专练：与球有关的“切”、“接”问题-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专练：与球有关的“切”、“接”问题-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 基础过关练 一、单项选择题 1．如图，在四面体A－BCD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝2，则四面体A－BCD外接球的体积为 （ ） A． B．2π C． D．4π 2．若圆台的上、下底面半径分别为r，R，则其内切球的表面积为 （ ） A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2 C．4πRr D．π(R＋r)2 3．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和2，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为 （ ） A． B． C． D． 4．已知正方形ABCD的边长为2，E为边AB的中点，F为边BC的中点，将△AED，△DCF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合于点P，则三棱锥P－DEF的外接球与内切球的表面积比值为 （ ） A．6 B．12 C．24 D．30 5．正三棱锥P－ABC的底面边长为2，侧棱长为2，若球H与正三棱锥所有的棱都相切，则这个球的表面积为 （ ） A． B．(44－16)π C．π D．32π 二、多项选择题 6．已知某正方体的外接球上有一个动点M，该正方体的内切球上有一个动点N，若线段MN的最小值为－1，则下列说法正确的是 （ ） A．正方体的外接球的表面积为12π B．正方体的内切球的体积为 C.正方体的棱长为2 D．线段MN的最大值为2 7．在七面体MN－ABCD中，四边形ABCD为正方形且边长为2，MB，ND都与平面ABCD垂直，且MB＝ND＝h，则对这个多面体描述正确的是 （ ） A．当h＝1时，它有外接球，且其半径为 B．当h＝2时，它有外接球，且其半径为 C．当它有内切球时，h＝2 D．当它有内切球时，h＝4 三、填空题 8．如图所示的多面体是由一个正方体沿着各棱的中点截去八个三棱锥后剩下的部分，这个多面体的各棱长均为2，则该多面体外接球的表面积为________． 9．用一个直立且底面直径为3 dm的圆柱体塑料桶(含桶盖)装表面积为4π dm2的小球(可滑动)，恰好能装入3个小球，若不考虑塑料桶桶壁及桶盖厚度，则该圆柱体塑料桶的侧面积是________ dm2. 四、解答题 10．如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．我们来重温这个伟大发现． （1）求圆柱的体积与球的体积之比； （2）求圆柱的表面积与球的表面积之比． 11．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB>1，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为2. （1）求AB的长度； （2）求该长方体外接球的表面积． 能力提升练 12．（多选）正四棱锥P－ABCD的底面积为3，外接球的表面积为8π，则正四棱锥P－ABCD的体积为 （ ） A． B． C．2 D． 13．在上、下底面均为正方形的四棱台ABCD－A1B1C1D1中，已知AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝，AB＝2，A1B1＝1，则该四棱台的表面积为________；该四棱台外接球的体积为________． 14．一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球．求： （1）圆锥的侧面积； （2）圆锥内切球的体积． 专练：与球有关的“切”、“接”问题-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 基础过关练 一、单项选择题 1．如图，在四面体A－BCD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝2，则四面体A－BCD外接球的体积为 （ ） A． B．2π C． D．4π 解析：由题意，设AB的中点为O，连接OC，OD，因为∠ACB＝∠ADB＝90°，所以OA＝OB＝OC＝OD，所以O是四面体A－BCD外接球的球心，且半径为OA＝OB＝OC＝OD＝AB＝1，所以外接球的体积为×13＝. 答案：A 2．若圆台的上、下底面半径分别为r，R，则其内切球的表面积为 （ ） A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2 C．4πRr D．π(R＋r)2 解析：如图，BE＝BO2＝r，AE＝AO1＝R，又OE⊥AB且BO⊥OA，∴△AEO∽△OEB，∴OE2＝AE·BE＝Rr，∴球的表面积为4πOE2＝4πRr. 答案：C 3．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和2，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为 （ ） A． B． C． D． 解析：如图所示，将直三棱柱ABC－A1B1C1补成长方体，则该长方体的体对角线为＝4，设长方体的外接球的半径为R，则2R＝4，R＝2，所以该长方体的外接球的体积V＝πR3＝，故选C. 答案：C 4．已知正方形ABCD的边长为2，E为边AB的中点，F为边BC的中点，将△AED，△DCF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合于点P，则三棱锥P－DEF的外接球与内切球的表面积比值为 （ ） A．6 B．12 C．24 D．30 解析：如图①，依题意可知AD⊥AE，CD⊥CF，BE⊥BF，所以PD⊥PE，PF⊥PD，PE⊥PF，如图②.所以在三棱锥P－DEF中，PD，PE，PF两两垂直，且PE＝PF＝1，PD＝2，所以三棱锥P－DEF的外接球即为以PD，PE，PF为邻边的长方体的外接球，所以三棱锥P－DEF的外接球半径R满足2R＝＝，所以R＝，则其外接球的表面积为4πR2＝6π.因为三棱锥P－DEF的表面积为正方形ABCD的面积，所以S表＝2×2＝4，VP－DEF＝××1×1×2＝.设三棱锥P－DEF的内切球的半径为r，所以由S表·r＝VP－DEF，解得r＝，所以内切球的表面积为4πr2＝，所以三棱锥P－DEF的外接球与内切球的表面积比值为＝24.故选C. 答案：C 5．正三棱锥P－ABC的底面边长为2，侧棱长为2，若球H与正三棱锥所有的棱都相切，则这个球的表面积为 （ ） A． B．(44－16)π C．π D．32π 解析：如图，设底面三角形ABC的外接圆的圆心为O，连接PO，AO，延长AO交BC于N，球H与棱PA和BC分别相切于点M，N，点H在PO上，设球H的半径为r.AN＝×2＝3，所以AO＝AN＝2，ON＝AN＝1，PO＝＝＝2.在直角三角形OHN中，OH＝.在直角三角形POA中，AO＝PO＝2，所以∠APO＝45°，所以在直角三角形PMH中，PM＝MH＝r，PH＝r，所以由PO＝PH＋OH，得2＝r＋，解得r＝2－，则这个球的表面积为4πr2＝4π×(2－)2＝(44－16)π. 答案：B 二、多项选择题 6．已知某正方体的外接球上有一个动点M，该正方体的内切球上有一个动点N，若线段MN的最小值为－1，则下列说法正确的是 （ ） A．正方体的外接球的表面积为12π B．正方体的内切球的体积为 C.正方体的棱长为2 D．线段MN的最大值为2 解析：设正方体的棱长为a，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，为a，内切球半径为棱长的一半，为.∵M，N分别为该正方体外接球和内切球上的动点，∴MNmin＝a－＝a＝－1，解得a＝2，∴正方体的棱长为2，C正确．正方体的外接球的表面积为4π×()2＝12π，A正确．正方体的内切球的体积为π×12＝，B正确．线段MN的最大值为a＋＝＋1，D错误．故选ABC. 答案：ABC 7．在七面体MN－ABCD中，四边形ABCD为正方形且边长为2，MB，ND都与平面ABCD垂直，且MB＝ND＝h，则对这个多面体描述正确的是 （ ） A．当h＝1时，它有外接球，且其半径为 B．当h＝2时，它有外接球，且其半径为 C．当它有内切球时，h＝2 D．当它有内切球时，h＝4 解析：以ABCD为底面作长方体ABCD－PMQN，则这个长方体的外接球即为多面体MN－ABCD的外接球，当h＝1时，外接球半径为＝，当h＝2时，外接球半径为＝，故A、B正确；设E，F分别为MN，AC的中点，若这个多面体有内切球，则其球心O必在EF上，且半径为r＝1.设OH⊥AE，垂足为H，则由＝，可得＝，解得h＝4，故C错误，D正确． 答案：ABD 三、填空题 8．如图所示的多面体是由一个正方体沿着各棱的中点截去八个三棱锥后剩下的部分，这个多面体的各棱长均为2，则该多面体外接球的表面积为________． 解析：把该多面体补成正方体，如图所示，则该正方体的棱长为2，正方体的中心即为多面体的外接球球心，球心到多面体顶点的距离为＝2，所以所求外接球的半径R＝2，其表面积S＝4πR2＝16π. 答案：16π 9．用一个直立且底面直径为3 dm的圆柱体塑料桶(含桶盖)装表面积为4π dm2的小球(可滑动)，恰好能装入3个小球，若不考虑塑料桶桶壁及桶盖厚度，则该圆柱体塑料桶的侧面积是________ dm2. 解析：设小球的半径为r dm，则4πr2＝4π，得r＝1.由于两个小球的直径之和比圆柱体塑料桶的底面直径大，故不可能同时有两个小球都和塑料桶的底面相切，不妨取轴截面如下图所示，则O1O3＝2＝2，所以塑料桶的高为(2＋2)dm，所以该圆柱体塑料桶的侧面积是(2＋2)×2π×＝6(＋1)π dm2. 答案：6(＋1)π 四、解答题 10．如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．我们来重温这个伟大发现． （1）求圆柱的体积与球的体积之比； （2）求圆柱的表面积与球的表面积之比． 解：（1）设圆柱的高为h，底面半径为r，球的半径为R，由已知得h＝2R，r＝R， ∴V圆柱＝πr2h＝2πR3，V球＝πR3， ∴＝＝. （2）∵S圆柱＝S侧＋2S圆＝2πrh＋2πr2＝6πr2， S球＝4πr2，∴＝＝. 11．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB>1，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为2. （1）求AB的长度； （2）求该长方体外接球的表面积． 解：（1）设AB＝x，由题意点A到点C1的路径有两种可能，如图甲经过棱A1B1的最短路程为AC1＝. 如图乙经过棱BB1的最短路程为 AC1＝＝. ∵x>1，∴x2＋2x＋2>x2＋2＋2＝x2＋4， 故从点A沿长方体的表面爬到点C1的最短路程为. 由题意得＝2，解得x＝2， 即AB的长度为2. （2）设长方体外接球的半径为R，则(2R)2＝12＋12＋22＝6，∴R2＝， ∴S＝4πR2＝6π，即该长方体外接球的表面积为6π. 能力提升练 12．（多选）正四棱锥P－ABCD的底面积为3，外接球的表面积为8π，则正四棱锥P－ABCD的体积为 （ ） A． B． C．2 D． 解析：因为正四棱锥P－ABCD的底面积为3，所以底面边长为，因为外接球的表面积为8π，所以球的半径r＝.连接AC，BD交于点O(图略).①当球心在线段PO上时，计算得PO＝r＋＝＋＝，所以正四棱锥P－ABCD的体积为×3×＝；②当球心在线段PO的延长线上时，计算得PO＝r－＝－＝，所以正四棱锥P－ABCD的体积为×3×＝. 答案：AB 13．在上、下底面均为正方形的四棱台ABCD－A1B1C1D1中，已知AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝，AB＝2，A1B1＝1，则该四棱台的表面积为________；该四棱台外接球的体积为________． 解析：在等腰梯形DCC1D1中，过点C1作C1H⊥DC，垂足为H，易求CH＝，C1H＝，则四棱台的表面积S＝S上底＋S下底＋S侧＝1＋4＋4××＝5＋3. 如图，将该棱台补成四棱锥S－ABCD，连接AC，BD交于点O，A1C1，B1D1交于点O1，连接SO， 由题意及棱台的结构特征可知，O1在线段SO上． 因为AB＝2，A1B1＝1， 所以△SA1B1与△SAB的相似比为1∶2， 所以SA＝2AA1＝2，AO＝， 故SO＝，OO1＝， 即该四棱台的高为. 由于四棱台的上、下底面都是正方形， 则该四棱台外接球的球心在OO1上，连接OB1， 在四边形B1BOO1中，OO1＝，B1O1＝， 则OB1＝＝OB， 即点O到点B的距离与点O到点B1的距离相等， 同理点O到点A，A1，C，C1，D，D1的距离均为， 所以O为该四棱台外接球的球心，且外接球的半径r＝， 故该四棱台外接球的体积V＝πr3＝π. 答案：5＋3　π 14．一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球．求： （1）圆锥的侧面积； （2）圆锥内切球的体积． 解：（1）如图，作出轴截面，则等腰三角形SAB内接于圆O，而圆O1内切于△SAB. 设圆O的半径为R，则有πR3＝972π， ∴R3＝729，R＝9，∴SE＝18. 又∵SD＝16，∴ED＝2. 连接AE，∵SE是直径， ∴SA⊥AE，SA2＝SD·SE＝16×18＝288， ∴SA＝12.∵AB⊥SD， ∴AD2＝SD·DE＝16×2＝32，AD＝4. ∴S圆锥侧＝π×4×12＝96π. （2）设内切球O1的半径为r， ∵△SAB的周长为2×(12＋4)＝32， ∴S△SAB＝r×32＝×8×16， ∴r＝4. ∴内切球O1的体积V球＝πr3＝π. 学科网（北京）股份有限公司 $