8.3 简单几何体的表面积与体积-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019)

8.3简单几何体的表面积与体积 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 白题 基础过美 很时：25min 题组1棱柱、棱锥、棱台的表面积 6.(2024·山东聊城高一月考)三棱锥的底面为 1.（2024·安徽毫州高一月考)在长方体 直角边长分别是2和3的直角三角形，高为 ABCD-A,B1C1D1中，AB=4,AC1=13,BC=3, 4,则该三棱锥的体积为 ( 则该长方体的表面积为 ( A.4 B.6 C.12 D.24 A.204 B.200 C.196 D.192 7.某款厨房用具中的香料收纳罐为上、下底面周 2.(2024·河南商丘高一月考)如图，在正四棱 长分别为32cm,24cm的正四棱台，若棱台的 台ABCD-A1B,C,D1中，AB=3AB,=3,AA1= 高为3cm,忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳 罐的容积为 √5，则正四棱台ABCD-A,B,C,D1的表面积为 ( A.28 B.26 C.24 D.16 题组3简单组合体的表面积和体积 8.如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个 顶点A,B,C,D在同一平面内，若四边形 ABCD是边长为2的正方形，则这个八面体的 (第2题) (第3题) 表面积为 ( ) 3.(2024·四川巴中高一月考)如图，在正方 A.8 B.16 C.83 D.163 体ABCD-AB,CD1中，以A1,C1,B,D四个点 为顶点的正四面体B-A,C,D的表面积为a2, 则该正方体的表面积为 ( A.√2a2 B.3a2 C.2a2 D.√6a2 (第8题) (第9题) 4.(2024·江西宜春高一期末)将一个棱长为 9.为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的 1cm的正方体切成27个全等的小正方体，则 环境，某学校修建了若干“朗读亭”.如图所 表面积增加了 cm2. 示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱（底面 题组2棱柱、棱锥、棱台的体积 是正六边形，侧面是全等的矩形)和正六棱锥 5.(2024·广西南宁高一期中)已知正三棱 的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴 柱ABC-A1B,C,中，AB=AA1=2,则该三棱柱 截面为正方形，若正六棱锥的侧棱长为√2，正 的体积为 六棱柱的高为2，则此组合体的体 A.45 B.33 C.23 D.5 积为 第八章黑白题065 8.3.2圆柱、圆维、圆台、球的表面积和体积 白题 基础过美 限时：50min 题组1圆柱、圆锥、圆台的表面积 底面圆半径分别为2cm和4cm,母线长为 1.(2024·浙江杭州高一期中)已知圆柱的底面 6cm,则该圆台的体积为 () 直径和高均为2，则该圆柱的表面积为( A.122 B.1143Tr cm3 A.4T B.67 C.8m D.16m 3 T cm 2.(2024·天津红桥区高一月考)已知一个圆柱 C.1282cm3 D.134m cm3 的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的 8.如图，一个倒立的圆锥和一个底面直径为2R 表面积与侧面积的比值是 ( 的圆柱内装有等高H的液体，圆锥的轴截面 A.1+4n B.1+2m 为等腰直角三角形，圆柱的轴截面为一矩 4m 2 C.1+2m D.1+4n 形，H=√3R,记圆锥内液体体积为V,圆柱内 2m 2m 液体体积为V2,则 ( ) 3.(2024·江苏无锡高一期末)圆台的上、下底 RR 面半径分别是1和5，且圆台的母线长为5，则 该圆台的表面积是 A.V,=2V2 B.Vi=V2 A.26m B.41m C.51m D.56m 4.(2024·安徽六安高一期中)已知一圆锥的侧 C.V,=2V D.V,=√3V2 9.(2024·河北廊坊高一期末)若某圆台的上底 面展开图是圆心角为？且半径为3的扇形， 面半径、下底面半径分别为1,2，高为5，将该 则该圆锥的侧面积为 圆台的下底面半径扩大为原来的2倍，上底面 题组2圆柱、圆锥、圆台的体积 半径与高保持不变，则新圆台的体积比原圆 5.(2024·陕西宝鸡高一期中)若一个圆锥的底 台的体积增加了 ( ) 面半径为1，母线长为2√7，则圆锥的体积是 A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍 ( 题组3球的表面积和体积 B③ 10.(多选)(2024·四川内江高二期中)已知某 A号 C.3m D.33π 球的表面积为16π，则下列说法中正确的是 6.(多选)(2024·安徽安庆高一期中)圆柱的侧 ) 面展开图是长6cm,宽4cm的矩形，则这个圆 A.球的半径为2 B.球的体积为10m 柱的体积可能是 ( D.球的半径为1 A.24 cm 口球的体积为号。 B.24T cm3 11.(2024·广东惠州高一期中)将8个半径为1 的实心铁球熔成一个大球，则这个大球的半 D.36m cm3 径是 ) 7.(2024·江西吉安高一期末)已知某种零食的 A.8 B.22 C.2 塑料外壳形似圆台状，经测量该圆台的上、下 4 必修第二册：RJ黑白题066 12.(2023·浙江绍兴高二月考)若棱长为23 A.87,2mcm3 B 872π cm3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的 表面积为 ( C. 32 -cm3 D.43.2T cm A.12mB.24T C.36π D.144π 13.(2024·河南郑州高一期末)已知圆柱的底 17.(2024·浙江杭州高一月考)在一个如图所 面直径和球的直径相等，圆柱的高是球的 示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形，E恰 直径的2倍，则圆柱的体积与球的体积的 好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形 比值为 ( 绕直线DE旋转一圈，则所得几何体的体 积为 A.2 c D.3 题组4简单组合体的表面积和体积 14.(2024·安徽合肥高一期中)以边长为2 的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将 该正三角形旋转一周所得几何体的侧面积为 ( ) 题组5球的截面 A.2√3rB.4m C.43T D.8m 18.已知两个球的表面积之差为48π，两个球的 15.(2024·湖南常德高一期中)如图①，普通蒙 大圆周长之和为12π（大圆是过球心的平面 古包可近似看作是圆柱和圆锥的组合体；如 截球得到的圆)，则这两个球的半径之差为 图②，已知圆柱的底面直径AB=16米，母线 ( 长AD=4米，圆锥的高PQ=6米，则该蒙古 A.4 B.3 C.2 D.1 包的侧面积约为 19.(2024·重庆江北区高一期中)如图所示， 圆0，和圆02是球0的两个截面圆，且两个 截面互相平行，球心0在两个截面之间，记 圆01，圆02的半径分别为1,2，若r2=3r1= ① 3,0,02=4,则球0的表面积为 () A.336m平方米 B.272m平方米 C.208π平方米 D.144π平方米 0 16.(2024·福建泉州高一月考)如图，青铜器的 0 上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可 以近似看作两个圆台的组合体，已知AB= A.40π B.42π C.44π D.48m 8cm,CD=2cm,则该青铜器的体积为( 20.如图，有一个水平放置的无盖正 4cm 方体容器，容器高8cm,将一个球 22em 放在容器口，再向容器内注水，当 32cm 球面恰好接触水面时测得水深为 6cm.如果容器的厚度忽略不计，那么球的体 积为 第八章黑白题067CD=AB'=1,在直角△0rCD中，可得0C=CD 如45万，根据斜 2AB·BC+2AB·BB1+2BC·CC1=2×4×3+2×4×12+2×3×12=192.故 选D. 二测画法的规则，可得原平面图形的高为20'C=22,故选C, 3.A解析：因为A'D平行于y轴，所以在△ABC中，AD⊥BC.又因为D 是△A'BC中BC边的中点，所以D是BC的中点，所以AB= AC>AD,故A正确.故选A 4.D解析：依题意可得AC=BC=OD=2,OA=OC=1,AC⊥BC,由平面 图形可得如图所示直观图 (第1题) (第2题) 则gC∥0y,gC=号8c=1,AC 2.B解析：如图，在正四棱台ABCD-A:B,C,D1的侧面ABB1A,中，过 AC=2,0D20D=1,所以四边 点A,作A,E⊥AB,垂足为E,则A,E=√AM-AE= 形ABCD的直观图的面积S= √5-(=2，侧面4的面积Sm4,=(B+ 5ae+5ue1ax号1x2 1 =√2.故选D. 2 AB)·M1E=2×(3+1)×2=4,所以正四棱台ABCD-A,B,C,D,的 5.BC解析：由题意可画出其直观图如 表面积S=4×4+12+32=26.故选B 图，其中A'B∥CD,A'B=AB=4, 四思路点拨 C0=cD=2,D=子A0=反， 本题主要考查了正棱台的表面积，关健在于利用正棱台侧面是等腰 故A错误，B正确： 桃形 过点D,C分别作DM⊥A'B',CN⊥A'B',垂足分别为点M,N, 3.B解析：设正方体的校长为x(x>0),则正四面体B-A,C,D的棱长 故A'M=DM=CN=A'Dsin45°=1， NB'=A'B-CD'-A'M=1,故B'C=√2，则四边形A'BCD'为等稷梯 为vF7=2x,所以s4p=4号2sx·血60=22 形，故C正确： 故四边形A'B'CD'的周长为4+2+22=6+22，即D错误故选BC. a2,所以2=g2=3a2 2万6所以5a04e,=62=月a2,放选R 6.√/2+√2解析：如图①，过点A分别作x轴与y轴的平行线，交y轴， 4.12解析：由题意可知，正方休的表面积为6cm2,且小正方休的棱长 x轴于C,B两点，则AB⊥x轴，在Rt△AB0中，OA=√5，tan∠AOB= tan a=AB 为宁m,周1个小正方体销表面积为6x(传）广-号)，所 =2,所以AB=2OB.又OB2+AB=0OA2,所以得到OB= 1,AB=2,故0C=AB=2. 以27个全等的小正方体的表面积为27x号=18(m),所以表周积 如图②，过A'分别作x轴与y轴的平行线，交y轴，x轴于C,B两 增加了18-6=12(cm2).故答案为12. 点，则四边形0BA'C为平行四边形，所以O'C=A'B' 5.C解析：在正三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=AM1=2,所以SAAc= 由平面直现图的性质知，0g=08=1,0C=0C=1,所以4g 之×2x2Xsin60°=B,所以Vac-44G1=Sauc·M,=25.故选C 1.又因为∠x'0'y=45°，所以∠0'BA'=1350 6.A解析：因为三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角 在△0BA'中，由余弦定理得0A2=0B2+AB2-20B·A'B 3%。 形，高为4，所以该三棱维的体积V= 2×2×3x4=4,故 cos∠0BA'=1+1-2c0%135°=2+√2， 选A 所以0'A'■√2+互，故答案为√/2+2 7.148cm3解析：依题意，该四棱台的上、下底面是边长分别为8cm, 6cm的正方形，而棱台的高为3cm,所以该香料收纳罐的容积为 3×3x(82+8x6+62)=148(em).故答案为148cm2 &.C解折：每个面的面积为×2？=5，所以该图形的表面积为8,3 故选C 7.解：正方形A'B'C'D'的原图形为如图所示的四边形 ABCD. 933 2 解析：由正六棱柱的高为2知底面正六边形的边长为1，又正 A'C在水平位置，A'B'CD'为正方形， 六棱锥的侧棱长为2，所以正六棱锥的高为√2-丁=1，所以底面正 ∴.∠D'A'C'=∠A'CB'=45°，A'"D'=B'C .在原四边形ABCD中，DA⊥AC,AC⊥BC,DA 4*1233 六边形的面积为6x x2+× 2,此组合体的体积为3,3× BC=2D'A'=2,AC=A'C=√2， S四边影ACn=AC·AD=22. 2放答案为73 35x1=7 2 2 8.3简单几何体的表面积与体积 8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 白厨 基础过关 白题哥稀过关 1.B解析：依题意，圆柱的底面半径r=1,高h=2,所以圆柱的表面 积S=2r2+2mh=2g×12+2r×1×2=6m.故选B. 1.D解析：如图，在长方体ABCD-A,B,C,D,中，连接AC,AC,因 2.C解析：设圆柱的底面半径为，高为k,因为圆柱的侧面展开图是 为AB=4,AC1=13,BC=3,所以AC=√B2+BC=√16+9=5，所以 一个正方形，所以h=2mr,所以圆柱的表面积为2m2+2r·h= CC1■/AC-AC■√169-25=12，所以该长方体的表而积S= 2m2+4m22, 参考答案黑白题037 圆柱的侧面积为4π子，所以这个圆柱的表面积与侧面积的比值是： 四方法总结 2m2+4m2_1+2如，故选C 422 几何体 体积 3.D解析：因为圆台的上、下底面半径分别是1和5，母线长为5，则该 柱体 V姓株=h(S为底面面积，h为高)，V国鞋=mh(r为底面 圆台的表面积为π(1+5)×5+12T+52m=56m故选D. 半径)》 4.3行解析：扇形的面积为号×2×3=3，故圆维的侧面积为3行，故 2 锥体 V朱= 3站(S为底面面积，A为高)，V。= 3 答案为3m (r为底面半径) 四方法总结 圆锥（底面半 圆台（上、下底面 V*子(S"+网+S)h(S,5分别为上、下底面面 图柱（底面半径 几何体 径为「，母线长 合体 为r,高为1) 半径分别为，， 为) 母线长为) 积，h为高).V=3m(2+r)(,r分别为上， 下底面的半径) 侧面 10.AC解析：设球的半径为r,>0,则4m2=16,r=2,所以球的体积 展开图 0 2m7 ,-2m 为·P:,所以AC选项正确，B即选项错误放选AC E0 底面 S=Tr S焦=mr2 S上度=r2, 3×13.3 1.C解析：8个半径为1的实心铁球的总体积为8× , 面积 S下底=m2 设大球半径为(0)，则手-品，解得R=2赦法C 侧面积 Sg=2π S=Trl Sg=ml(r+r） 12.C解析：这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线 S表=2mr(r+ S表=πr(r+ S表=m(2+ 表面积 10 9 -=3,所以这个球的 2+1+r0 长的-半，即R=23)2+(23)2+(25 2 表面积S=4行R2=4r×32=36m.故选C. 5.C解析：因为圆锥的底面半径为1，母线长为27，所以圆锥的高 四重难点拨 为A=V(27P-可=35，所以圆维的体积为兮动=号 ×rx12x 求多面体的外接球的表面积和体积问题，常用方法有：(1)三条棱两 两互相垂直时，可补全为长方体，利用长方体的体对角线为外接球 35=5m,故选C. 的直径，求出球的半径：(2)直棱柱的外接球可利用棱柱的上、下底 6.AC解析：因为圆柱的侧面展开图是长6cm,宽4cm的矩形，所以 面平行，借助球的对称性，球心为上，下底面外接圆的圆心连我的中 当圆柱的高为4cm,则底面周长为6cm,设底面半径为r,则2rr=6, 点，再根据勾股定理求球的半径：(3)如果涉及几何体有两个面相 得一是所比时圆住的体积为A=(仁）广4兰e: 交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体 的球心 当圆柱的高为6cm.则底面周长为4cm,设底面半径为r,则2mr=4. 得2 312 (cm). ,所以此时圆柱的体积为=三×6=4 13.D解析：设球半径为R,则球的体积=智，圆柱的底面圆半径 为R,高为4R,体积V2=TR2·4R=4mR3,所以圆柱的体积与球的体 综上，圆柱的体积可能为4 m3或36 m,故选AC =3.故选D 积的比值为 7.A解析：如图，设圆台的高为h,因此圆台的高h=√-(R-r)= 14.C解析：如图，正三角形ABC以AB所在直线为旋转轴旋转一周， V6-(4-2刃：45(m)圆台的体积V=号(m2++R)h 得到的几何体是两个同底的全等圆锥， 3×(4+16m+8)×4 112w2 (cm3).故选A 3 底面半径r=√3，母线长1=2，由圆锥的侧面积公式可得该几何体的 侧面积为2×m×√3×2=45m.故选C. 15.D解析：依题意得，圆柱的侧面积S,=2×(行AB）xD=2× 8.B解析：圆锥的轴截面为等腰直角三角形，且H=√3R,则圆锥的液 体表面圆的直径为2H=25R,由名=了=(5R)2·5R= 164=64=(平方米).-DC=AB=16米0=号00=子× 1 16=8(米)，在R△PQC中，PC=√PQ+QC=√6+8= 3πR3,V2=mR2·3R=3πR3,.V=V2,故选B 9.B解析：设新圆台与原圆台的体积分别为，V,则了 10(米)，圆锥的侧面积S=2×PCx2m×QC=2×10x2mx8= 80m(平方米)，÷该蒙古包的侧面积S=S,+S2=64行+80m= 35x(12+4+Vx4)m 144(平方米)，故选D. =3，所以新圆台的体积比原圆台的体积 16.D解析：设圆柱的底面圆半径为1，底层圆台的上、下底面圆半径 35x(12+2+V个x2) 分别为2,5，则1=2cm,2=4cm,3=1cm,则青铜器的体积 增加了3-1=2倍.故选B. 为Va雕+台+V6=2n所+号×3万(a时+a叶+ 必修第二册·RJ黑白题038 属)+号x(时+时+V丽)=2x4+ 9_5故选B 6464 32(=x16+r4V16mx4)+万(=x16+mx1+v16a)= 5.ACD解析：台塔下底面6条棱，上底面3条棱，6条侧棱，共15条 棱，A选项正确： 432r(cm3),故选D. 台塔表面有1个正六边形，3个正方形，4个正三角形，由所有棱长均 17.28解析：由题意，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈后，所得 3 为1，得表面积为S=6× 21x1x -+3×1×1+4× 几何体是上部是圆锥，下部是圆柱挖去一个半球体的组合体，则该 5w 组合体的体积V组台体=V随+We-V车=了×mX4x4+mX4x4- 2,B选项错误： 如图①，上底面正三角形ABC在下底面正六边形DEFGHI内的投影 子子4：做着案为 为△A'B'C,则O点是正六边形DEFGⅢ的中心，也是△A'BC的 18.C解析：设两球的半径分别为R,,4mR2-4m2=48m→R2-2= 中心， 12,.(R+r)(R-r)=12又：2rR+2mr=12m→r+R=6,∴.R-r=2.故 选C 四方法总结 球的载面的性质： (1)球心和载面圆圆心的连线垂直于载面： (2)球心到载面的距离d与球的半轻R及载面圆的半轻？之间满足 △A'B'C和△ODE都是正三角形，C是△ODE的中心，棱长为1，则 关系式d=√R-子 19.A解析：设球0的半径为R,依题意，00+=R2=00号+r,则(4- BC-如脂②，所以台塔的商c心：V@C√写-5 002)2+1■003+9，解得002=1，因此R2=10,所以球0的表面 C选项正确： 积S=4mR2=40m.故选A 如图③④，设上底面正三角形ABC的外接圆圆心为01，则半径r1= 20.500mm解折：如图，设正方体上底面所在平 3 3,下底面正六边形DEFGHI的外接圆圆心为O:,则半径2=1 面截球得小圆M,则圆心M为正方体上底面正方 形的中心，设球的半径为Rcm,根据题意，球心O 到正方体上底面的距离等于(R-2)cm,而圆M 的半径为4cm,由球的截面圆性质，得R2=(R-2)2+42,解得R= 0 5m将球的半径代人球的体积公式得g=子x5:00(cm)。 4 3 8.3阶段综合 3 阶段强化 设台指的外接球率径为R0,=a,则有。2+P=(e+）广， 1.C解析：30cm=0.3m,25cm=0.25m,27.5cm=0.275m,120g= 0.12kg,Sm=m×0.275× (2+2）=0275x0275m,5g=m. /0.30.25Y (停)广或c+1(5。广（停）广解得a0,所以R=n1, 4 4 0.252 (2=0125×0125m,故-个桶需要涂漆面积为3=2(3+ 台塔的外接球体积V=3mR=子，D选项正确，故选ACD 6.3解析：长方体被钻掉一个圆柱形孔后，长方体的表面积减少了两 Se)=0.1825π(m2),故100个桶需要涂漆100×0.12×0.1825m= 个圆柱的底面积大小，同时又增加了圆柱的侧面积，：在上面往下面 6.9(kg).故选C. 钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，：，圆孔的侧面积与两个底面 2.B解桥：由题图②知Vc4,=3Sa6,h,其中h表示三棱柱的 的面积和相等，设圆柱的底面半径为r,则22=2r·3,即r=3,故 答案为3. 1 商，故Vc-4,=Vac44-Vc-A4,=Sa484-子5a46,h= 7.√0解析：设母线长为1，甲圆锥底面半径为1，乙圆维底面半径为 了S4Gh,因此可知无水部分体积与有水部分体积比为1：2，所 4,测则2=2.所以122202，则1 Szr3【h 以题图①中无水部分与有水部分的高度比为1：2，得A=3.故选B. 所以=子，所以甲圆的商A=子=孕.乙 2 3.A解析：由条件可得四片瓦的体积V=π×112×20-T×102×20= 0 3 420m(cm3),则1000名学生，每人制作四片瓦共诺黏土的体积为 1000×420m=420000T(cm3),又T=3.14,所以共需黏土量约为 3 1.3m3故选A 号，所以2 4.B解析：如图，连接DE,DF,EF,当D,E,F三 9 3 点在水平面时，该容器盛水最多因为SD: √10.故容案为√0 56 6.3 解析：由题意得 B2,设BF= EF 1 6又因为CF:8=3:1,所以C,F到平 9 2x,则AB=4x,BF=√6x,过点E,F在平 面ABFE内分别作EM⊥AB,FN⊥AB,垂 面S4B的距离之比为4：1，所以 I VE-SDE 9x1=9 w166所以 足分别为M,N,如图， 在等腰梯形ABFE中，因为EF∥AB,EM⊥AB,FN⊥AB,则四边 参考答案黑白题039