8.3.2 第1课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（人教A版2019）

8．3．2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 第1课时　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 知识点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积 1．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为4π的正方形，则这个圆柱的表面积是(　　) A．8π＋16π2 B．2π＋4π2 C．4π＋16π2 D．8π＋4π2 答案：A 解析：设圆柱的底面半径为r，母线长为l，因为圆柱的侧面展开图是一个边长为4π的正方形，所以2πr＝l＝4π，解得r＝2，l＝4π，所以圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrl＝8π＋16π2．故选A． 2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是________． 答案：3π 解析：设圆锥的底面半径为r，由于轴截面的面积为，则r＝1，母线长为2．∴S表＝π×1×(1＋2)＝3π． 3．圆台的上、下底面半径分别是r＝1，R＝4，圆台的高为4，则该圆台的侧面积是________． 答案：25π 解析：∵圆台的上、下底面半径分别是r＝1，R＝4，圆台的高为4，∴圆台的母线长为l＝＝5，∴该圆台的侧面积是S＝π(R＋r)l＝25π． 知识点二　圆柱、圆锥、圆台的体积 4．已知圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则它的体积是(　　) A．9π B．9 C．3π D．3 答案：C 解析：设圆锥底面圆的半径为r，则2πr＝6π，∴r＝3．设圆锥的高为h，则h＝＝，∴V圆锥＝πr2h＝3π．故选C． 5．如图是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，已知该扇环的面积为9π，两段圆弧，所在圆的半径分别为3和6，则该圆台的体积为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：圆台的侧面展开图是一扇环，设该扇环的圆心角为α，则其面积为S＝α×62－α×32＝α＝9π，解得α＝，所以扇环的两个圆弧长分别为×3＝2π和×6＝4π，设圆台上、下底面的半径分别为r1，r2，高为h，所以2π＝2πr1，解得r1＝1，4π＝2πr2，解得r2＝2，作出圆台的轴截面，如图所示，图中OD＝r1＝1，O′A＝r2＝2，AD＝6－3＝3，过点D向AP作垂线，垂足为T，则AT＝r2－r1＝1，所以圆台的高h＝＝＝2，则上底面面积S1＝π×12＝π，下底面面积S2＝π×22＝4π，由圆台的体积计算公式可得V＝×(S1＋S2＋)×h＝×7π×2＝．故选A． 6．已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD(如图)，若底面圆的弦AB所对的圆心角为，则圆柱被分成的两部分中较大部分的体积为________． 答案：10π＋3 解析：由题意可知，圆柱中较大部分的底面面积为××22＋×2×2×sin＝＋，所以较大部分的体积为×3＝10π＋3． 知识点三　组合体的表面积和体积 7．白酒又名烧酒、白干，是世界六大蒸馏酒之一，据《本草纲目》记载：“烧酒非古法也，自元时创始，其法用浓酒和糟入甑(蒸锅)，蒸令气上，用器承滴露”，而饮用白酒则有专门的白酒杯，图1是某白酒杯，可将它近似地看成一个圆柱挖去一个圆台构成的组合体，图2是其直观图(图中数据的单位为厘米)，则该组合体的体积为(　　) A． cm3 B． cm3 C． cm3 D． cm3 答案：D 解析：由题可知圆柱部分的底面半径r1＝ cm，高为h1＝6 cm，∴圆柱的体积为V1＝πrh＝π××6＝ cm3，圆台部分下底面半径为r1＝ cm，上底面半径为r2＝1 cm，高为h2＝4 cm，∴圆台部分的体积为V2＝πh2(r＋r1r2＋r)＝π×4×＝ cm3，则该组合体的体积为V＝V1－V2＝－＝ cm3．故选D． 一、单项选择题 1．已知一个圆柱的侧面展开图内切圆的半径为1，则该圆柱的体积为(　　) A． B． C．8π D．π 答案：A 解析：设圆柱的底面圆半径为r，高为h，由侧面展开图的内切圆半径为1可知，h＝2，2πr＝2，解得r＝，所以圆柱的体积为πr2h＝π×2＝． 2．圆台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则圆台的体积是(　　) A．18＋6 B．6＋2 C．24 D．18 答案：B 解析：V＝(S＋＋S′)h＝×(2＋＋4)×3＝6＋2．故选B． 3．已知圆锥的侧面积为2π，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆半径为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：设圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，则2πr＝l，解得l＝6r，由圆锥的侧面积为2π，得πrl＝2π，即6r2＝2，所以r＝．故选A． 4．若圆台的高为3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，其轴截面的一个底角为45°，则这个圆台的侧面积是(　　) A．27π B．27π C．9π D．36π 答案：B 解析：设上底半径为r，母线长为l，则下底半径为2r，由其轴截面的一个底角是45°，得r＝3，l＝＝3，所以侧面积为S＝π(r＋2r)l＝27π．故选B． 5．《九章算术》作为古代中国的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．《九章算术》中将圆台称为“圆亭”．今有圆亭，上、下底面圆直径分别为18寸，30寸，圆亭母线长为10寸(取π≈3)，则该圆亭的表面积和体积分别约为(　　) A．1368平方寸，3528立方寸 B．1638平方寸，4410立方寸 C．1638平方寸，3528立方寸 D．1368平方寸，4410立方寸 答案：C 解析：由题意，圆亭的上、下底面圆半径分别为9寸，15寸，圆亭的母线长为10寸，则该圆亭的高h＝＝8寸，故该圆亭的表面积S＝π×10×(9＋15)＋π×92＋π×152＝546π≈1638平方寸，体积为V＝π×(92＋152＋9×15)×8≈3528立方寸．故选C． 二、多项选择题 6．(2024·河北邢台开学考试)已知圆柱和圆锥的底面半径相等、高相等、侧面积也相等，则(　　) A．圆柱和圆锥的体积之比为3 B．圆柱的底面半径和高之比为 C．圆锥的母线和高之比为2 D．圆柱和圆锥的表面积之比为 答案：ABC 解析：设圆柱和圆锥的底面半径为r(r>0)，高为h(h>0)，则V圆柱＝πr2h，V圆锥＝πr2h，所以＝＝3，故A正确；圆锥的母线l＝，又圆柱和圆锥的侧面积相等，所以2πrh＝πr，所以r2＝3h2，则r＝h，即圆柱的底面半径和高之比为，故B正确；圆锥的母线l＝＝＝2h，则圆锥的母线和高之比为2，故C正确；圆柱的表面积S1＝2πr2＋2πrh＝(6＋2)πh2，圆锥的表面积S2＝πr2＋πr×2h＝(3＋2)πh2，所以＝＝＝2－2，故D错误．故选ABC． 7．一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在其中有一个高为x cm的内接圆柱．下列说法正确的是(　　) A．圆锥的母线长为2 cm B．S圆锥侧＝4π cm2 C．S圆柱侧＝－(x－3)2＋(cm2) D．当x＝3时，S圆柱侧取得最大值 cm2 答案：AB 解析：画圆锥及内接圆柱的轴截面如图，则圆锥的母线长为＝2(cm)，故A正确；圆锥的侧面积为S＝πrl＝4π cm2，故B正确；设圆柱的底面半径为r′，则＝，∴r′＝(cm)，∴S圆柱侧＝4πx－πx2＝－(x－3)2＋6π(cm2)，故C错误；当x＝3时，圆柱的侧面积最大，最大值为6π cm2，故D错误．故选AB． 三、填空题 8．若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的________倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的________倍． 答案：4　16 解析：圆柱的体积公式为V圆柱＝πr2h，底面半径不变，高扩大为原来的4倍，其体积也扩大为原来的4倍；当圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积扩大为原来的42＝16倍． 9．一位涂料工用一把长度为20 cm，横截面直径为15 cm的圆柱形涂料滚给一面长为3 m的正方形墙壁刷涂料，已知圆柱形涂料滚以每秒2周的速度在墙壁上匀速滚动前进，则涂料工完成任务所需的时间为________秒． 答案： 解析：3 m＝300 cm，＝15，故需要刷15次，横截面直径为15 cm，故周长为15π cm，每秒2周共30π cm，因此一次需要＝秒，完成任务共需要×15＝秒． 10．如图，把底面半径为8 cm的圆锥，放倒在平面内，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2．5周，则圆锥的母线长为________，表面积为________． 答案：20 cm　224π cm2 解析：设圆锥的母线长为l，以S为圆心，SA为半径的圆的面积为S＝πl2．又圆锥的侧面积S1＝πRl＝8πl，根据圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了2．5周，得πl2＝2．5×8πl，∴l＝20 cm．∴圆锥的表面积为π×8×(8＋20)＝224π cm2． 四、解答题 11．从一张半径为3的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮(如图1阴影部分)，并卷成一个深度为h的圆锥筒(如图2)．若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为．求圆锥筒的容积． 解：设圆锥筒的半径为r，容积为V，因为所裁剪的扇形铁皮的圆心角为，所以2πr＝3×，解得r＝1，所以h＝＝2，所以V＝πr2h＝×π×12×2＝．所以圆锥筒的容积为． 12．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，AD＝6，AA1＝3，现分别以AB，CD为轴，截去底面半径为3的两个四分之一圆柱，得到如图所示几何体，求该几何体的表面积． 解：由题意可得，该几何体共有5个面，其中两个曲面的面积均是以3为底面半径，6为母线长的圆柱的侧面的四分之一，所以其面积和为2××(2π×3)×6＝18π． 两侧的平面图形可看作矩形BCC1B1面积的两倍减去一个半径为3的圆，其面积为2×3×6－π×32＝36－9π． 顶部的平面图形为矩形A1B1C1D1，其面积为6×6＝36， 故该几何体的表面积为18π＋(36－9π)＋36＝72＋9π． 13．[多选](2024·安徽淮南阶段练习)折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图甲)，图乙是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和12，且∠AOD＝120°，则该圆台的(　　) A．高为6 B．上底面面积和下底面面积之比为1∶4 C．表面积为62π D．体积为42π 答案：ACD 解析：对于A，设圆台的上底面圆的半径为r，下底面圆的半径为R，则2πr＝×3且2πR＝×12，解得r＝1，R＝4，圆台的母线长为l＝12－3＝9，所以圆台的高为h＝＝6，故A正确；对于B，圆台的上、下底面面积比为＝＝，故B不正确；对于C，圆台的上、下底面面积分别为S1＝πr2＝π，S2＝πR2＝16π，圆台的侧面积为S＝π(r＋R)l＝π(1＋4)×9＝45π，所以圆台的表面积为π＋16π＋45π＝62π，故C正确；对于D，圆台的体积为V＝π(r2＋rR＋R2)h＝π(12＋4＋42)×6＝42π，故D正确．故选ACD． 14．如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为2的正方形，高PA＝2．在正四棱锥内放有一个圆柱，使圆柱的下底面在正四棱锥的底面上，圆柱的上底面与正四棱锥的四个侧面相切．当圆柱的侧面积最大时，圆柱的底面半径为________． 答案： 解析：如图，在四棱锥P－ABCD内作正四棱柱AMNK－HEFG，其中E，F，G，H，M，K分别在棱PD，PC，PB，PA，AD，AB上，要使圆柱的侧面积最大，则需其底面圆为正四棱柱AMNK－HEFG的内切圆，连接HF，设圆柱的底面圆半径为r，高为h，则HF＝2r，AH＝h，连接AC，则点N在AC上，在平面PAC内，HF∥AC，则＝，即＝，解得h＝2－2r，圆柱的侧面积为S＝2πrh＝2πr(2－2r)＝－4π(r2－r)＝－4π＋π，故当r＝时，圆柱的侧面积最大． 15．在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2．将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周，求形成的曲面所围成的几何体的体积． 解：如图所示，过点D作BC的垂线，垂足为H．则由旋转体的定义可知，该梯形绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个圆柱挖去一个圆锥． 其中圆柱的底面半径R＝AB＝1，高h1＝BC＝2，其体积V1＝πR2h1＝π×12×2＝2π． 圆锥的底面半径r＝DH＝1，高h2＝HC＝1，其体积V2＝πr2h2＝π×12×1＝． 故所求几何体的体积为V＝V1－V2＝2π－＝． 7 学科网（北京）股份有限公司 $$