8.3.1 棱柱、枝锥、棱台的表面积和体积-【名师大课堂】2025-2026学年高中数学必修第二册同步小作业（人教A版）

m2+n2-√2mn=10, m2+(n+2)2-√2m(n+2)=10, 解得m=3②，或 m=-3反（含 n=2 n=-4 去).原平面图形如图所示，则OB⊥0C OC,OC=3√2，OA=4,AB=4,则AC<BC,BC= √OC+OB=√(3√2)+8=82，S△Ac 0C·AB=号×3巨x4=6厄.故选C 4.解：①设在△ABC中，CH为高，边AB平行于x 轴，用斜二测画法得到其直观图为△A'BC',则有 CH-合CH,△ABC'的高为CM-号CH' H. 4 所以Sae名B.CM号 ②当△ABC的三边都不与x轴平行时，可过其中 一个顶点作与x轴平行的直线与对边相交，不妨设 过点A作与x轴平行的直线交BC于点D,则AD 将△ABC分成△ABD和△ACD. 由D可知3ac=S28r十5aew-厚9w十 ③对多边形A1A2…An,可连接AA3,A1A4,, A1A,-1,得到(n-2)个三角形，即△A1A2A3, △AAA,…,△AA。-1An,由①②知 S多8A,A,A=S△AA,A,十S△AA,A,十…十 Sa411A,= (S2A十Sa44,十…十 4 5aAA9saaA- 综上，可知多边形A1A2…A,与其直观图多边形 A,'A2'…A'的面积之间有确定的数量关系，且 S2%g…A号S多意泰A,A- 第三节简单几何体的表面积与体积 课时1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 A级基础练 1.D如图，直四棱柱AB D CD-A1BC,D1,连接 B AC,BD交于点O,不妨取 AC=13,BD=9,所以AO D.-- =2AC-1号B0-2BD 因为直四棱柱的底面是菱形，所以ACLBD, 9 所以AB=√JAO+BO √)+() 5y四，所以直四棱柱的侧面积S=4X5四×6 2 2 60√10. 2.B以正方体的四个顶点为顶点作正四面体，则正 四面体的棱长为反，它的表面积是4×号×(2) ×5=25. 2 3.C因为正四棱锥S一ABCD的底面边长是2，所 以底面积为2×2=4.设正四棱锥的高为h,由V 号X锁=1，释A=5,所以刻装长为 √h2+(2)2=√5. 4.答案W38 解析：设长方体的长、宽、高分别为x,y,之，则2xy 十2yz十2xx=62,4x+4y十4x=40,所以AC=x +y2+z2=(x+y十x)2-2xy-2yz-2xx=100 62=38,则AC1=√/38. 5.答案：19 解析：由题意可知，过该四棱台各侧棱中点的截面 正方形的边长为3=2.设四楼台的高为2h,对 于甲容器，水面之上、水面之下台体的体积之比为 34+4X+9h 31+VX+0h 9设往乙容需里注水，当水 7 的高度是四棱台高度的一半时用时tmin,则= 号：即1=19，所以月时19min B级综合练 1.C由题意，拼成的几何体比原正方体的表面积增 加了两个截面的面积，减少了原来两个正方形的面 积.由于截面为矩形，面积为√2a·a=√2a2,所以拼 成的几何体的表面积为6a2-2a2+2√2a2=(4+ 2√2)a2. 2.ACD由题意得，△ABC是等腰直角三角形，所以 AC=√2，又在直三棱柱ABC-A,B,C,中，侧面全 是矩形，所以其侧面积为1×2×2十√2×2=4十 2√2，故A正确；直三棱柱ABC-AB,C,的体积 为56·AA,=×1X1×2=1,故B错误：三棱 锥E一AA,O即三棱锥O一AA,E,三棱锥O一 AA,E的高为定值，又S△A,E为定值，所以V,AM,E 为定值，即VEM,o为定值，故C正确；将平面 BB,CC展开至与平面AA,BB共面，则四边形 AA,CC为正方形，边长为2，连接AC1,交BB,于 点E(图略)，则E为BB1的中点，此时AE十EC 的值最小，为2√2，故D正确. 3.A如图，设正三棱柱为 EFG-EF'G',其下底面 的中心为O.由于△BCD 为正三角形，故O也为 △BCD的中心，连接O'B,BE“ D 则点E在O'B上.设正三 G 棱柱EFG一EF'G'的底面 正三角形的边长为x,x∈ (0,2).由题意可知△AEG为正三角形，故AE G=所以BE=2-x又0B=号×停×2 29,0E号×9BE-0B-0E 3 =25③L,所以正三棱柱EFG-EF'G的高h 3 3 =版-(RT-2--（(9) (2-),故正三棱柱EFG-E'F'G'的侧面积 3 s=8×92-z=6(2-)r=6(-+2a) =√6[1-(x-1)2].又x∈(0,2)，故当x=1时，S 取到最大值，为√6. 4.答案：√2 解析：由题知星形八面体的体积为一个棱长为2的 正四面体与四个棱长为1的正四面体的体积之和， 故体积为号×+4×号×1= 5.解：由题意，知这两个直三棱柱拼成一个三棱柱或 四棱柱，有如下四种情况： ①两个直三棱柱的底面重合在一起，拼成一个三棱 柱，如图1，表面积为12a2十48； - 4a. 30 5a 5a 图1 图2 ②边长为54,2的面重合在一起，拼成一个四棱 10 柱，如图2，表面积为24a2十28； ③边长为4如，号的面重合在一起，拼成一个三校柱 或四棱柱，如图3，图4，表面积为24a2+32; 4g. 3d、 5a 5a 图3 图4 ①边长为30，子的西变合在一起，拼成一个三楼柱 或四棱柱，如图5，图6，表面积为24a2+36. 4a. 5a 5a 图5 图6 因为表面积最小的是一个四棱柱， 所以24a2+28<12a2+48,即12a2<20,解得0<a V1 3 即实数a的取慌范国为0，雪)。 课时2圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 A级基础练 1.D设圆锥的底面半径为r,母线长为.由题意可 得2πr=πl,所以l=2r,所以该圆锥的侧面积为S侧 =元r=2πr2,底面积为S底=元r2,所以该圆锥的底 面面积与侧面面积之比是S底：S侧=1：2. 2.C由题意可得圆锥体的母线长为l=√62+4= 2√3(cm),所以圆锥体的侧面积为πX6X2√13 =12√/13π(cm).圆柱体的侧面积为12π×6=72π (cm),圆柱的一个底面面积为元×62=36π(cm2), 所以此陀螺的表面积为12√/13π+72π+36π= (108+12√13)π(cm2). 3.AB当圆柱的高为8cm时，体积V=x×()× 8=288(cm3)；当圆柱的高为12cm时，体积V= xx(0)×12-1兴em) 4.B设两个圆柱的底面半径和高分别为r1,r2和 A心=号释时号期身=登白同往的 侧面积相等，得2πr,h1=2πr2h2,即r1h1=r2h2,所 V1=ih1=1=3 以宁7五方2第三节简单几何体的表面积与体积 课时1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 A级基础练 1.已知一个直四棱柱的侧棱长为6，底面是对 4.已知长方体ABCD-A1B,C1D1的表面积为 角线长分别是9和13的菱形，则这个四棱 62,所有棱长之和为40，则线段AC1的长为 柱的侧面积是 ( A.30√/10 B.40√/10 5.现有甲、乙两个形状完全相同的四棱台容器 C.50√/10 D.60√10 2.棱长为1的正方体的八个顶点中有四个恰 如图所示，已知棱台上、下底面均为正方形， 为正四面体的顶点，则正四面体的表面积为 且AB=3,AB,=1,现按一定的速度匀速 ( 往甲容器里注水，当水的高度是四棱台高度 A.32 B.2√3 的一半时用时7min.若按照相同的速度匀 C.2√6 D.3√3 速往乙容器里注水，则当水的高度是四棱台 3.已知正四棱锥S一ABCD的底面边长是2， 高度的一半时，用时 min, 体积是3，那么这个四棱锥的侧棱长为 A.√3 B.2 C.√5 D.2√2 35 B级综合练 1.如图，已知正方体的棱长为a,沿图1中对 :4.如图是一个水晶饰品，名 角面将它分割成两个部分，拼成如图2的四 字叫梅尔卡巴，其对应的 棱柱，则该四棱柱的表面积为 几何体叫星形八面体，是 由两个有共同中心的正 四面体交叉组合而成的，且所有面都是全等 的正三角形.若组成一个星形八面体的两个 图1 图2 正四面体的棱长均为2，则该星形八面体的 A.(8+2√2)a B.(2+4√2)a 体积为 C.(4+2√2)a D.(6-4√2)a2 5.有两个相同的直三棱柱，高为2(a>0),底 2.（多选)如图，直三棱柱 面三角形的三边长分别为3a,4a,5a.用它 ABC-A1B1C1中，AA 们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的 =2,AB=BC=1, 情形中，表面积最小的是一个四棱柱，求实 ∠ABC=90°，侧面 数a的取值范围. AA,C1C的中心为O,点E是侧棱BB1上的 一个动点，则 ( A.直三棱柱ABC-A1B,C1的侧面积是4十 2√2 B.直三棱柱ABC-A,BC,的体积是号 C.三棱锥E一AA,O的体积为定值 D.AE+EC1的最小值为2√2 3.如图，正四面体A一BCD 的棱长为2，在AB上有一 动点E,过E作平行于底面 BCD的截面，以该截面为 底面向下挖去一个正三棱 柱，则该正三棱柱侧面积的最大值为( A.6 c D.46 3 36