8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 高中数学“棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积”新授课同步练，采用A/B/C三级分层设计，从基础公式应用到综合问题解决，梯度递进巩固空间几何体度量知识，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级（基础）|侧面积、体积公式直接应用|8道选择填空题，如正六棱柱侧面积计算，强化空间观念| |B级（提升）|几何体切割、体积比、实际应用|5题含多选与情境题，如油槽深度计算，发展推理能力| |C级（创新）|棱台综合计算、最值问题|2道解答题，如正三棱台边长求解，体现模型观念|

8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 A级 必备知识基础练 1.若六棱柱的底面是边长为3的正六边形,侧面为矩形,侧棱长为4,则其侧面积等于(　　) A.12 B.48 C.64 D.72 2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥D-ACD1的体积是(　　) A. B. C. D.1 3.若一个正四棱锥的底面边长为2,高为,则该正四棱锥的表面积为(　　) A.8 B.12 C.16 D.20 4.已知正方体的棱长为2,则以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为(　　) A.3π B. C. D.1 5.如图,一个三棱柱形容器中盛有水,侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B水平放置时,水面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点,则当底面ABC水平放置时,水面高为(　　) (第5题图) A.7 B.6 C.4 D.3 6.有一塔形空间图形由3个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2,则该塔形空间图形的表面积为　　　　　.  (第6题图) 7.在高为3的正三棱台ABC-A1B1C1中,A1B1=4,且上底面的面积为,则正三棱台ABC-A1B1C1的体积为　　　　　.  8.有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190 L,假如它的两底面边长分别等于60 cm 和40 cm,则它的深度为　　　　　cm.  B级 关键能力提升练 9.(多选题)一个棱长为2的正方体,用过同一顶点三条棱的中点平面截去各个顶点得到的一个新的几何体,对这个新的几何体说法不正确的是(　　) A.所有截面面积和为2 B.新几何体表面积为12+ C.新几何体表面积为12+2 D.新几何体的体积为 10.如图,在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中,过上底面的一边A1B1和AC,BC的中点F,E作一个平面A1B1EF,记平面分三棱台两部分的体积为V1(三棱柱A1B1C1-FEC),V2两部分,那么V1∶V2=　　　　　.  (第10题图) 11.如图,AA1,BB1,CC1相交于点O,形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥容器,AO=A1O,BO=B1O,CO=C1O.设三棱锥的高均为1,若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体,且液体能流入下面的三棱锥,则液体流下去后液面的高度为　　　　　.  (第11题图) 12.学校组织学生去工厂参加社会实践活动,任务是利用一块正方形的铁皮制作簸箕,方法如下:取正方形ABCD边AB的中点M(如图),沿MC,MD折叠,将MA,MB用胶水粘起来,使得点A,B重合于点E,这样就做成了一个簸箕E-MCD,若这个簸箕的容量为576cm3,则原正方形铁皮的边长是　　　　cm.  13.如图,一个正三棱锥P-ABC的底面边长为a,高为h.一个正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的顶点A1,B1,C1都在正三棱锥的三条棱上,A0,B0,C0分别在底面△ABC上,何时此三棱柱的侧面积取到最大值? C级 学科素养创新练 14.如图,在正三棱台ABC-A1B1C1中,已知AB=10,棱台一个侧面梯形的面积为,O1,O分别为上、下底面正三角形的中心,连接A1O1,AO并延长,分别交B1C1,BC于点D1,D,∠D1DA=60°,求上底面的边长. 参考答案 1.D　∵六棱柱的底面是边长为3的正六边形, ∴底面周长C=6×3=18,又侧面是矩形,侧棱长为4, ∴棱柱的高h=4,∴棱柱的侧面积S=Ch=72.故选D. 2.A　三棱锥D-ACD1的体积等于三棱锥D1-ACD的体积,三棱锥D1-ACD的底面ACD是直角边长为1的等腰直角三角形,高D1D=1,∴三棱锥D-ACD1的体积V=×1×1×1=.故选A. 3.B　由题意得侧面三角形底边上的高为=2,所以该四棱锥的表面积为22+4××2×2=12.故选B. 4.B　 如图,由图可知,该几何体由两个四棱锥构成,并且这两个四棱锥体积相等.四棱锥的底面为正方形,且边长为,故底面积为()2=2.四棱锥的高为1,则四棱锥的体积为×2×1=.故几何体的体积为2×.故选B. 5.B　设三棱柱的底面ABC的面积为S,高为h,则h=8.当侧面AA1B1B水平放置时,水的形状呈直四棱柱形,由于液面恰好经过AC,BC,A1C1,B1C1的中点,则直四棱柱的底面积是直三棱柱底面积的,即直四棱柱的底面积是S,∴水的体积是Sh=Sh=6S, 当底面ABC水平放置时,设水面高为h1,则V水=Sh1,从而有Sh1=6S,∴h1=6,即当底面ABC水平放置时,水面高为6.故选B. 6.36　易知由下向上三个正方体的棱长依次为2,,1, ∴S表=2×22+4×[22+()2+12]=36.∴该空间图形的表面积为36. 7.7　因为正三棱台ABC-A1B1C1下底面的面积为×42=4,所以正三棱台ABC-A1B1C1的体积V=×3×(+4)=7.故答案为7. 8.75　设油槽的上、下底面积分别为S',S,深度为h. 由V=(S++S')h,得h==75(cm). 9.ABC　每个顶点截去的几何体都是侧棱长为1,侧面是等腰直角三角形的正三棱锥.则每个截面都是边长为的正三角形,故所有截面的面积和S截面和=8××()2×=4,故A错误;S新表面积=S正方体-24S三角形+S截面和=24-24××1×1+4=12+4,故B,C错误;V新=V正方体-8V三棱锥=8-8××1×1×1=,故D正确.故选ABC. 10.3∶4　设三棱台的高为h,上底面的面积是S,则下底面的面积是4S,∴V棱台=h(S+4S+2S)=Sh,V1=Sh, ∴. 11.1-　液体部分的体积为三棱锥体积的,流下去后,液体上方空出的三棱锥的体积为三棱锥体积的.设空出的三棱锥的高为x,则,所以x=,所以液面高度为1-. 12.24　 如图,在三棱锥E-MCD中,设F为CD的中点,连接EF,MF.由题意,得MC=MD,EC=ED,则EF⊥CD,MF⊥CD,EF,MF⊂平面MEF,EF∩MF=F,所以CD⊥平面MEF,设正方形ABCD的边长为2a,则有EC=ED=CD=2a,EF=a,MC=MD=a,MF=2a,ME=a, 则有MF2=ME2+EF2,则ME⊥EF,故S△MEF=ME·EF=,所以VE-MCD=S△MEF·CD=×2a==576,得a3=1 728,即a=12,所以原正方形铁皮的边长是24 cm. 13.解设三棱锥的底面中心为O,连接PO(图略),则PO为三棱锥的高,设A1,B1,C1所在的底面与PO交于O1点,则,令A1B1=x,而PO=h,则PO1=x, 于是OO1=h-PO1=h-x=h. 所以所求三棱柱的侧面积S=3x·h(a-x)x=. 当x=时,S有最大值为ah,此时O1为PO的中点, 即A1,B1,C1分别是正三棱锥的三条棱的中点. 14.解∵AB=10, ∴AD=AB=5,OD=AD=. 设上底面的边长为x(x>0),则O1D1=x. 如图,连接O1O,过D1作D1H⊥AD于点H,则四边形OHD1O1为矩形,且OH=O1D1=x. ∴DH=OD-OH=x, 在Rt△D1DH中,D1D==2x. ∵四边形B1C1CB的面积为(B1C1+BC)·D1D, ∴(x+10)×2x, 即40=(x+10)(10-x), ∴x=2, 故上底面的边长为2. 6 学科网（北京）股份有限公司 $