8.2 立体图形的直观图-【名师大课堂】2025-2026学年高中数学必修第二册同步小作业（人教A版）

第二节立体图形的直观图 A级基础练 1.下图中可能为长方形的直观图的是()： ① ② ④ ⑤ A.4 B.6 A.①② B.①②③ C.4√2+4 D.46+4 C.②⑤ D.③④ 4.若画一个高为10cm的圆柱的直观图，则圆 2.已知按斜二测画法得到的水平放置的 柱的高应画成 ( △ABC的直观图如图所示，其中B'O'=C A.平行于z轴且为10cm 0=1,A0r-9则△ABC中∠AC的大 B.平行于之轴且为5cm C.与之轴成45°且为10cm 小为 D.与之轴成45°且为5cm y 5.如图，水平放置的矩形ABCO,在平面直角 0 C 坐标系下点B的坐标为(2,1)，则用斜二测 A.30° B.45° 画法画出的矩形的直观图A'BCO'中，顶 C.60° D.90° 点B到x'轴的距离为 ,直观图的 3.如图，一个水平放置的平面图形的直观图 面积为 A'B'C'D'是边长为2的菱形，且OD'=2, B2,1) 则原平面图形的周长为 0 33 B级综合练 1.(多选)如图所示的是 3.如图，△A'B'C为水平放置 KB 水平放置的△ABC 的△ABC的直观图，其中 4 B'D'C 的直观图，D'是 A'B′=2，A'C'=BC'= Cx" △A'BC'中B'C'边上的一点，且D'C'<D √10，则在原平面图形△ABC中有( B'.又A'D'∥y轴，那么原△ABC中AB, A.AC-BC B.AB=2 AD,AC这三条线段中 ( C.BC=√J82 D.S△ABc=3√2 A.最长的是AB B.最长的是AC 4.用斜二测画法得到的多边形A1A2…A。的 C.最短的是AC D.最短的是AD 直观图为多边形A,'A,'…A',试探索多边 2.如图所示的正方形是水 形A1A2…An与多边形A1'A2’…An的面积 平放置的平面图形 之间有无确定的数量关系. OABC的直观图，则平面 图形OABC以边OA所在直线为轴旋转一 周所形成的几何体是 A.一个圆柱 B.一个圆柱和一个同底的圆锥的组合体 C.一个圆锥和一个同底的圆柱（内部挖去 一个同底等高的圆锥)的组合体 D.两个同底的圆锥的组合体 —34B级综合练 1.D正三棱柱中9条棱长度可以完全相同，正四棱 锥中8条棱长度可以完全相同，正四棱柱中12条 棱长度可以完全相同，故可拼成正三棱柱、正四棱 锥，正四棱柱.因为正六边形的中心到六个顶点的 距离都等于边长，所以正六棱锥的侧棱总比底边 长，故不可能拼成正六棱锥。 2.C根据题意，知无底圆锥的母线长为R,设其底面 半径为r,则有2πr= 40X2R,可得，=2S,故该 360 3 圆锥的高h√R一(T- 3 3.答案：(1)三棱锥A1-ABC、三棱锥A1一BB,C1、三 棱锥A,一BCC,(答案不唯一)；(2)两个三棱台（或 一个三棱柱和一个五面体或一个三棱锥和一个四 棱锥等，答案不唯一) 解析：(1)如图①所示，所截成的三个三棱锥分别是 三棱锥A1一ABC、三棱锥A1-BB,C1、三棱 锥A1-BCC1. (2)用平行于三棱台的底面的平面去截，可以得到 两个三棱台；也可以截成一个三棱柱和一个五面 体，如图②所示；也可以截成一个三棱锥和一个四 棱锥，如图③所示. 图① 图② 图③ 4.解：(1)不对.水面的形状就是用一个与棱（长方体 形容器倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体 时截面的形状，该截面的形状一定是矩形. (2)不对.水的形状就是用与棱（长方体形容器倾斜 时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分 后，剩余几何体的形状，剩余几何体一定是棱柱，不 可能是棱台或棱锥， (3)用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以 是三角形、四边形、五边形或六边形，因而水面的形 状可以是三角形、四边形、五边形或六边形，水的形 状可能是棱锥，也可能是棱柱，还可能是棱台.故 (1)对，(2)也对. 第二节立体图形的直观图 A级基础练 1.C由斜二测画法知，原图形中的平行线在直观图 中依然平行，但是原图形中的直角在直观图中不再 是直角，所以①③④错误，②⑤正确 2.C根据斜二测画法可知△ABC中，BC=B'C'= 2,AO=2A'O'=√5，AO⊥BC,O是BC的中点，所 以AB=AC=√1+(W3)2=2,故△ABC是等边三 角形，所以∠ABC=60°. 3.D由题可知，OD'=A'D'=2, ∠A'OD'=45°，所以OA'=2√2 还原直观图可得原平面图形，如图 所示，则OD=2OD'=4,OA=O OA B A'=2√2，AB=A'B'=2,所以AD=√OA+OD =√/(2√2)2+42=2√6，所以原平面图形的周长为 2(AD+AB)=4√6+4. 4.A由直观图画法原则，知高平行于之轴，且长度 与原图一致，故选A. 5答案号 解析：矩形ABCO的直 观图如图所示.过B'作 BD'⊥x轴于D',则由 A B' 直观图的作法可知B'C' 0' C”D'x =名∠BCD=45,所以BD=BC· sin∠B'C'D'= 2sin45°=2 ,所以顶点B到轴 的距离为2，直观图的面积S=OC'·B'D'=2公 2_2 42 B级综合练 1.AD由题意得到原△ABC如图，其中，AD⊥BC, BD>DC,所以AB>AC>AD,故选AD. 2.C由直观图画出原图，如图所示，所以平面图形 OABC以边OA所在直线为轴旋转一周所形成的 几何体是一个圆锥和一个同底的圆柱（内部挖去一 个同底等高的圆锥)的组合体.故选C. OA 3.C设O'C'=m,OA'=n,在△OA'C'和△OC'B' 中分别应用余弦定理，得 m2+n2-√2mn=10, m2+(n+2)2-√2m(n+2)=10, 解得m=3②，或 m=-3反（含 n=2 n=-4 去).原平面图形如图所示，则OB⊥0C OC,OC=3√2，OA=4,AB=4,则AC<BC,BC= √OC+OB=√(3√2)+8=82，S△Ac 0C·AB=号×3巨x4=6厄.故选C 4.解：①设在△ABC中，CH为高，边AB平行于x 轴，用斜二测画法得到其直观图为△A'BC',则有 CH-合CH,△ABC'的高为CM-号CH' H. 4 所以Sae名B.CM号 ②当△ABC的三边都不与x轴平行时，可过其中 一个顶点作与x轴平行的直线与对边相交，不妨设 过点A作与x轴平行的直线交BC于点D,则AD 将△ABC分成△ABD和△ACD. 由D可知3ac=S28r十5aew-厚9w十 ③对多边形A1A2…An,可连接AA3,A1A4,, A1A,-1,得到(n-2)个三角形，即△A1A2A3, △AAA,…,△AA。-1An,由①②知 S多8A,A,A=S△AA,A,十S△AA,A,十…十 Sa411A,= (S2A十Sa44,十…十 4 5aAA9saaA- 综上，可知多边形A1A2…A,与其直观图多边形 A,'A2'…A'的面积之间有确定的数量关系，且 S2%g…A号S多意泰A,A- 第三节简单几何体的表面积与体积 课时1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 A级基础练 1.D如图，直四棱柱AB D CD-A1BC,D1,连接 B AC,BD交于点O,不妨取 AC=13,BD=9,所以AO D.-- =2AC-1号B0-2BD 因为直四棱柱的底面是菱形，所以ACLBD, 9 所以AB=√JAO+BO √)+() 5y四，所以直四棱柱的侧面积S=4X5四×6 2 2 60√10. 2.B以正方体的四个顶点为顶点作正四面体，则正 四面体的棱长为反，它的表面积是4×号×(2) ×5=25. 2 3.C因为正四棱锥S一ABCD的底面边长是2，所 以底面积为2×2=4.设正四棱锥的高为h,由V 号X锁=1，释A=5,所以刻装长为 √h2+(2)2=√5. 4.答案W38 解析：设长方体的长、宽、高分别为x,y,之，则2xy 十2yz十2xx=62,4x+4y十4x=40,所以AC=x +y2+z2=(x+y十x)2-2xy-2yz-2xx=100 62=38,则AC1=√/38. 5.答案：19 解析：由题意可知，过该四棱台各侧棱中点的截面 正方形的边长为3=2.设四楼台的高为2h,对 于甲容器，水面之上、水面之下台体的体积之比为 34+4X+9h 31+VX+0h 9设往乙容需里注水，当水 7 的高度是四棱台高度的一半时用时tmin,则= 号：即1=19，所以月时19min B级综合练 1.C由题意，拼成的几何体比原正方体的表面积增 加了两个截面的面积，减少了原来两个正方形的面 积.由于截面为矩形，面积为√2a·a=√2a2,所以拼 成的几何体的表面积为6a2-2a2+2√2a2=(4+ 2√2)a2. 2.ACD由题意得，△ABC是等腰直角三角形，所以 AC=√2，又在直三棱柱ABC-A,B,C,中，侧面全 是矩形，所以其侧面积为1×2×2十√2×2=4十 2√2，故A正确；直三棱柱ABC-AB,C,的体积 为56·AA,=×1X1×2=1,故B错误：三棱 锥E一AA,O即三棱锥O一AA,E,三棱锥O一