7.2.2 复数的乘、除运算-【名师大课堂】2025-2026学年高中数学必修第二册同步小作业（人教A版）

课时2复数的乘、除运算 A级基础练 1.已知i为虚数单位，若复数之1=2+i,且复数：7.已知关于x的方程(x2-4x+a)(x2-2x十 之1，之2在复平面内对应的点关于实轴对称， 3)=0(a∈R)的四个根均为虚数，且以这四 则之1之2所对应的点为 ( 个根在复平面内对应的点为顶点的四边形 A.(-5,0) B.(5,0) 的面积为4，则a= ( ) C.(-4,1) D.(-4,-1) A.18+4√2 B.18-4√2 2.(多选)已知复数x=1+i(为虚数单位)，则 C.22+82 下列说法正确的是 D.22-8√2 ( 8.已知复数之满足z(2一i)的实部大于0，写出 A.z|=√2 B.=2 C.1z(3+4i)1=10D.z1°=32i 符合条件的一个复数x= 3 3.若复数之满足之(1+2i)=i(1+z),则之= 9.已知复数=m-3 7m-31,2=-m2 A.+ m一，其中m≠3，m∈R (1)若之1一x2是纯虚数，求m的值 C.1+i D.1-i (2)之1，之2能否为某实系数一元二次方程的 4(多选)已知复数：=m十3”(m为纯虚 10 两个虚根？若能，求出m的值；若不能，请 数)，则 说明理由. A.之不可能为纯虚数 B若复数之为实数，则m=8 C.1e的最小值为号 D.若之在复平面内对应的点位于直线y=x 上则m=一 5.已知复数x是关于x的方程x2+x+1=0 的根，则|之= ) A.1 B.2 C.5 D.2 6.(多选)已知x∈C,关于x的方程x2+tx+2 =0(t∈R)的两根分别为x1,x2,若|x1一x2 =2√2，则t的可能取值为 A.-4 B.-2 C.0 D.4 27 B级综合练 1.(多选)已知复数之满足+1之=2十i(k∈ 5.若关于x的方程x2+(2-i)x+(2m-4)i= N),则之在复平面内对应的点可能位于 0有实数根，则纯虚数m= ( 6.在英语中，实数是Real Number,一般取Re A.第一象限 B.第二象限 al的前两个字母“Re”表示一个复数的实 C.第三象限 D.第四象限 部；虚数是Imaginary Number,一般取 2.已知之=a十i,2=1十i,a∈R,若是纯虚 Imaginaryl的前两个字母“Im”表示一个复数 的虚部.如：Re(2+3i)=2,Im(2+3i)=3; 2023 数.则+()+(+…+( Re(-3i)=0,Im(-3i)=-3.已知复数z 是方程x2十2x十2=0的解， A.1 B.-1 (1)若Im(z)>0,且a=b-2i(a,b∈R,i是 C.i D.-i 虚数单位)，求a十b; 3.(多选)已知虚数之1，之2，下列命题正确的是 (2)若1m(x)<0,复数之，-+ 2+3i,t∈R,且 ( A.1之1z21=|zx11lx21 Re(之)<0，Im(之，)>0，求实数t的取值 范围。 B.若=十是实数，则1=1 21 C.x11=|z112 D.若z=,则之1为实数 4.(多选)代数基本定理是数学中最重要的定 理之一，它在代数学中起着基础作用.由代 数基本定理可以得到：任何一元n(n∈N) 次复系数多项式方程f(x)=0有n个复数 根（重根按重数计）.若f(x)=(x一1)(x2+ x+1),记w为方程f(x)=0的一个虚数 根，则 ( A.w2+w+1=0 成a=名+ 2 C.w·w=1 D.w2=@ 28之表示点Z到原点O的距离. 如图所示，OA对应的复数的模为x的最大值，OB 对应的复数的模为之的最小值。 因为1OM1=√(-√3)2+(-1)2=2，所以|zmx= 2+1=3,zmin=2-1=1. 即x的最大值为3，最小值为1. (2)设x=a+bi(a,b∈R),则|x2=a2+b2, 1x-1|2+|x+1|2=1a-1+bi12+|a+1+bi2= (a-1)2+b+(a+1)2+b2=2(a2+b2)+2= 2z|2+2. 由(1)知1≤之≤3， 所以|之-12+|之十12的最大值为2×32+2=20， 最小值为2×12+2=4. 课时2复数的乘、除运算 A级基础练 1.B因为复数名1，之2在复平面内对应的点关于实轴 对称，且之1=2十i,所以2=2一i,所以1之2=（2十 i)(2-i)=4-i=5,之12所对应的点为(5,0). 2.ABD|x=√+1=√2，故A正确；=(1十i)(1 一i)=1一i=2,故B正确；因为之=1十i,所以之(3 +4i)=(1+i)(3+4i)=-1+7i,所以(3+4i) =√（-1)+7=5√2，故C错误；因为z2=(1+i)2 =2i,所以x1"=(x2)5=(2i)5=25X4+1=32i,故D 正确. 3.A因为x(1+2i)=i(1+x),所以x(1+i)=i,所 以==a0”)-1-g+2 1 4.ACD设m=bi(b∈R且b≠0)，则z=m十3-4 10 i+写”五=瓜十g20tD号+（号+列. 所以之不可能为纯虚数，故A正确；若复数之为实 教，则十0=0，解得=一号，所以m=一 故B 错误；x√（号）+（号+b),所以当6=-8 5 时，取最小值，最小值为号，故C正确；若：在复 平面内对应的点位于直钱y=上，则号十6=骨， 解得6=一号所以m=导，故D正璃 5.A方法一（待定系数法）由题意，得△=1一4 =一3<0，所以方程的根必为虚数，设方程的根为 x=a+bi(a,b∈R,b≠0)，则(a+bi)十a+bi+1= 0,即(a2-b2+a+1)+(2ab+b)i=0,所以 a2-b2+a+1=0, 2， 2 得 或 所以 12ab+b=0, 6=- 2 94 =合+或=昌，所以=1 方法二（求根公式法）因为复数之是关于x的 方程x2十x十1=0的根，又△=1-4=-3<0，所 以该方程的根为x= =±即= 2×1 召+或=3则=1 方法三（配方法）+十1=0归（十P+子 =092r=月受)，所以x=9 4 所以=子+9成=日-停所以到 =1. 6.ACD方法一（利用根与系数的关系）因为x1十 22=-t,x12x2=2,所以(1-x2)2=(1十x2)2 4x1x2=t-8.当t-8≥0时，x1-x2|=√f-8 =2√2，所以t=士4；当t-8<0时，x1-2x2= 士√8-ti,x1-x2=√8-平=2√2，所以t=0.故 选ACD. 方法二（结合选项分析）当t=一4时，方程为x2 一4x十2=0，即(x一2)2=2，所以x=2士√2，不妨 取x1=2十√2，x2=2-√2，则|x-x2=2V2,故A 正确；当t=一2时，方程为x2一2x十2=0，即(x一 1)2=-1,所以x=1士i,不妨取x1=1十i,x2=1- i,则|x1一x2=2i=2,故B错误；当t=0时，方 程为x2十2=0，即x2=一2，所以x=土√2i,不妨取 x1=√②i,x2=-√2i,则|x1-x2=|2√2i=2√2， 故C正确；当t=4时，方程为x2十4x十2=0，即(x 十2)2=2，所以x=-2士√2，不妨取x1=-2十√2， x2=-2-√2，则|x1一x2=2√2，故D正确. 7.D由已知得x2-4x十a=0或x2-2x十3=0.当 x2一4x十a=0时，设此方程的虚数根为x=m十ni (m,n∈R,n≠0)，将x=m十i代入方程，得(m十 ni)2-4(m十ni)+a=0,整理得m2-n2-4m十a十 (2mn-n)i=0,则m二nn+a=0·解得 2mm-4n=0, /m=2, 即x=2士√Q一4i.同理可得，当 n=±√a-4, x2-2x十3=0时，该方程的虚数根为1士√2i.当 a=6时，以这四个根在复平面内对应的，点为顶，点的 四边形为矩形，面积为2√2，不符合题意，所以该四 边形为等腰梯形，面积为2(2巨+2Va-④)×(2 -1)=4,解得a=22-8√2. 8.答案：1十i(答案不唯一) 解析：设x=x十yi(x,y∈R),则z(12-i)=(x一yi) (2-i)=2x-y-（x+2y)i,由2.x-y>0,可取x= 1,y=1,此时之=1十i. 9.解：(1)依题意，名=m-3十3 m-3i, 所以写-=m+2m3+(n3g十号)i 1m+2m-3=0, 国为一4是纯虚数，所以3十)0 解得m=1. (2)假设之1，z2是实系数一元二次方程ax2十bx十c =0的两个虚根！ 因为方程a.x+bx+c=0的两个虚根 为b士4 Za 所以名1，之2互为共轭复数，于是之1=之2， 1m-3=-m-m, 从而3 1 解得m=-3. m-3=-2, 故当m=一3时，之1，之2能为某实系数一元二次方 程的两个虚根， B级综合练 1BD同为=2十i,所以=名因为= =…=i,==…=一i,所以当k为奇数时，之= 2+i2+i(2+i)i=-1十2i,在复平面内对应的 2+7 一i-iXi 点为（一1,2），位于第二象限.当k为偶数时，之 2+i=2+i-(2士i0i-1一2i,在复平面内对应的点 i24+1 i ixi 为(1，一2)，位于第四象限.故复数之在复平面内对 应的，点位于第二象限或第四象限，故选BD. 2.B由复数名1=Q十i,x2=1十i,a∈R,可得名= 22 a+i=(a+i0(1-iD-a+1)+1-a)i.因为4是 1+i(1+i)(1-i) 2 纯虚数，所以a十1=0且1一a≠0，解得a=一1，所 以=i.因为+1十i+2十+3十im+4=0(n∈N). 所以+()°+()”+…+（②）-++ +i+…+223=505×0+i+2+9=i-1-i -1. 3.ABC设1=a+bi,之2=c+di(a,b,c,d∈R,b≠0， d≠0)，则|x之2|=√(ac-bd)2+(ad+bc)2= √Jac+ad+bc2+bd=√a2+b·√c2+d 1川，故A正确=十号=a十i十十 a+bi 9 a+i+2停=a+开石)+6千公i因为 是实数60，所以6。平6=0，即心+公=1. 即之1=1，故B正确；之11=a2-(bi)2=a2+b2, x112=a2十b2,故C正确；号=a2-b2十2abi,= a2-b2-2abi,由x=2,得ab=0,又b≠0，所以a =0,所以名1=bi,故名1一定不为实数，故D错误. 4.ACD令f(x)=(x-1)(x2+x十1)=0，得x=1 或7+z十1=0，由2+x+1=0,得(x+分P= 一是所以叶名=士号则=日土所以 号±号是f)=0的两个复数根.时于A:因 为w为方程f(x)=0的一个虚数根，即0满足x2十 x十1=0，所以w2十w十1=0，故A正确.对于B,w =号士号，故B锈说，对于C周为+9与 一方-号：互为共耗复数，所以”·可 (-2+)(-3)=1,故C正确，对于D. 迪0+w+1=0,得w三一w1,若w=二号3 则心=-。-1=子-9=0：若w=-子-9。 则w一1二2十号1=@，综上，心@，故D 正确.故选ACD. 5.答案：4i 解析：设m=bi(b∈R且b≠0)，则x2十(2-i)x+ (2bi-4)i=0,化简得(x2+2x-2b)+(-x-4)i= 0,即 +2-26=0·解得二-4“所以m=4 -x-4=0, b=4, 6.解：(1)由之是方程x2十2x十2=0的根，解得之= 1土i, 因为1m()>0,所以x=-1十i,所以号-1干 a b-2i, 则a=(b-2i)(-1+i)=-b+2+(b+2)i, a=-b十2， 所以 解得 {a=4, b+2=0, b=-2, ,所以a十b=2. (2)因为Im(x)<0,所以之=-1-i. 又i2023=i3=-i, 所以 t-i (t-i)(-1-2i) -1+2i-1+2i(-1+2i)(-1-2i) =-t-2+(1-2t)i 5 -t-2<0 5 因为Re(z)<0,m(1)>0,所以 1-2t>0 解得 5 -2<1<分，所以实数1的取值范国为(-2，)： 第三节*复数的三角表示 课时1复数的三角表示式 A级基础练 1.D对于A,c0s平与isin牙之间应用“+”连接，故 A错误：对于B,号<0不符合r≥0，故B错误： 对于C,sin+c0s平形式不对，故C错误.故 选D 2.Dz=sin15°+icos15°=cos75°+isin75°. a}9m号 3.B2 十isin号，故C,D错误.cos(-号)+isin(-） cos于-isin于，故A错误.cos(-号)十isin (-）=cos晋十isin晋，故B正确。 4.解：1)2(cos牙-isin牙）=2[cos(-)+isim 4 故原式的三角形式为2（c0s7至+sim7平)。 (2)由-1-i,得r=√(-1)2+(-1)2=√2，c0s0= 如9=怎所以-11的辐角主值为受。 所以-1-i=E(cos平+isim平)。 2 名(-合-)则s0=日n0-原所以 2 其辐角主位为誓，故原式的三角形式为2（©0s智 。4π +isin经). (4)因为a<0,所以r=√0十a=a=-a,复数ai 在复平面内对应的点在y轴的负半轴上. 取0=-分，所以ai=-a[cos(-艺)+isin(-)门 5解：)因为arRa=平，所以可设w=一a十ai(a> 0), 9 将其代入(1十w)2+(1十i)2=1十kw, 化简可得-2a-2a(1-a)i+2i=-ka+kai, (k=2, 所以 {2a=ka, ,解得 l-2a(1-a)+2=ka, a=1, 所以w=一1十i. (2)之一w =|(cos0+1)+(sin0-1)il =√/(cos0+1)2+(sin0-1) =√3+2(cos0-sin8) 3+22cos(0+王). 4 因为x-w=1十√2， 所以/3十2，V2cos(0+于)=1十√2，化简得cos(0+ )=1 因为平<0+至<2x+军， 所以9计骨=2x,即9=至 课时2复数乘、除运算的三角表示 及其几何意义 A级基础练 1.D(cos75°+isin75°)(cos15°+isin15)=cos (75°+15°)+isin(75°+15°)=cos90+isin90°=i. 2.A国为1+i=E(cos至+isin平)，cos0-isin0 =cos(2π-0)+isin(2π-0)，所以(1+i)(cos0 isin0)=√②[cos(平+2x-6)+isin(F+2x-0)]= Lcos(要-0)十isim(要-0]，故选A 3.AD设复数1=cos91+isin01,z2=cos0,+ isin02.因为OZ1·OZ2=0,所以OZ1⊥OZ2,即 cos 0 cos 02+sin 0 sin 02=0,cos(0-02)=0, 所以sin(0,-4)=±1，所以色=cos日十isin z2 cos 02 +isin 02 cos(01-02)+isin(01-02)=±i. 4.答案：-1-√3i 解析：复数1一√3i对应的向量绕原点O按顺时针 方向旋转60°，则所得向量对应的复数为 1-√3i 2(c0s300°+isin300)=2[c0s cos60°+isin60°-cos60°+isin60 (300°-60)+isin(300°-60°)]=2(cos240°+isin 240°)=-1-√3i. 5.解：(1)由题意得z。=(√3+i)·(cos120°+isin 120°)=-√5+i. (2)因为点B对应的复数为之，点C对应的复数为