7.2.2 复数的乘、除运算同步检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.2.2 复数的乘、除运算同步检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： （满分：100分）（单选题、填空题每题5分；多选题每题6分） 一、选择题 1．复数z＝(1－2i）(1＋i）在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．复数z满足(1－i）2z＝1＋i(i为虚数单位），则|z|＝（ ） A． B． C． D．1 3．若复数z满足(1－i）z＝3＋4i，则复数z的共轭复数的虚部为（ ） A．－ B． C．－i D．－ 4．已知复平面内坐标原点为O，复数z对应点Z，z满足z(4－3i）＝3＋4i，则||＝（ ） A． B． C．1 D．2 5．复数的实部为（ ） A．－ B． C．－ D． 6．（多选）关于方程x2＋5x＋7＝0，下列说法正确的是（ ） A．该方程在实数范围内无解 B．该方程可能有3个复数解 C．x＝是它的一个复数解 D．x＝是它的一个复数解 7．已知复数z满足z＝－i(i为虚数单位），且|z|＝，则z2＝（ ） A．2i B．－2i C．＋i D．－i 8．若－＋i是关于x的实系数方程ax2＋bx＋1＝0的一个复数根，且z＝a＋bi，则＝（ ） A．－i B．＋i C．－i D．＋i 9．（多选）已知复数z1，z2，则下列命题正确的是（ ） A．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2 B．若z1＝2，则|z1z2|＝|z1|2 C．若z1是非零复数，且z＝z1z2，则z1＝z2 D．若z1是非零复数，则z1＋≠0 10．已知集合A＝，则A的元素个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．计算：＝________． 12．已知z＝x＋yi，x，y∈R，i是虚数单位，复数＋i是实数，则|z|的最小值为________． 三、解答题 13．（8分）计算： （1）＋； （2）． 14．(10分）设实部为正数的复数z，满足|z|＝，且复数(1＋2i）z在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上． （1）求复数z； （2）若＋(m∈R）为纯虚数，求实数m的值． 15．(10分）在英语中，实数是Real Quantity，一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是Imaginary Quantity，一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部．如：Re(2＋3i）＝2，Im(2＋3i）＝3；Re(－3i）＝0，Im(－3i）＝－3．已知复数z是方程x2＋2x＋2＝0的解． （1）若Im(z）>0，且＝b－2i(a，b∈R，i是虚数单位），求|a＋bi|； （2）若Im(z）<0，复数z1＝，t∈R，且Re(z1）>0，Im(z1）<0，求t的取值范围． 16．(10分）设虚数z满足|2z＋15|＝|＋10|． （1）计算|z|的值． （2）是否存在实数a，使＋∈R？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 7.2.2 复数的乘、除运算同步检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： （满分：100分）（单选题、填空题每题5分；多选题每题6分） 一、选择题 1．复数z＝(1－2i）(1＋i）在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：D　由题得z＝(1－2i）(1＋i）＝1＋i－2i－2i2＝1＋i－2i＋2＝3－i，则在复平面内对应的点的坐标为(3，－1），所以在复平面内对应的点位于第四象限． 2．复数z满足(1－i）2z＝1＋i(i为虚数单位），则|z|＝（ ） A． B． C． D．1 解析：C　由已知得z＝＝＝＝－＋i，所以|z|＝＝． 3．若复数z满足(1－i）z＝3＋4i，则复数z的共轭复数的虚部为（ ） A．－ B． C．－i D．－ 解析：D　由(1－i）z＝3＋4i⇒z＝＝＝＝－＋i，所以＝－－i，虚部为－． 4．已知复平面内坐标原点为O，复数z对应点Z，z满足z(4－3i）＝3＋4i，则||＝（ ） A． B． C．1 D．2 解析：C　由z(4－3i）＝3＋4i，得z＝＝＝＝i＝i，所以可得Z(0，1），即＝(0，1），则||＝＝1． 5．复数的实部为（ ） A．－ B． C．－ D． 解析：A　根据复数的运算法则，求得＝＝－－i，所以复数的实部为－． 6．（多选）关于方程x2＋5x＋7＝0，下列说法正确的是（ ） A．该方程在实数范围内无解 B．该方程可能有3个复数解 C．x＝是它的一个复数解 D．x＝是它的一个复数解 解析：AC　根据题意，可知方程x2＋5x＋7＝0的判别式Δ＝52－4×7＝－3<0，故该方程在实数范围内无解，即A正确；利用配方法可得＝－，在复数范围内＝－，所以x＋＝±i，可得x＝－±i＝，共有两个复数解，因此可判断B，D错误、C正确． 7．已知复数z满足z＝－i(i为虚数单位），且|z|＝，则z2＝（ ） A．2i B．－2i C．＋i D．－i 解析：B　设z＝a＋bi(a，b∈R），则＝a－bi，因为z＝－i，则a＋bi＝－(a－bi）i⇒a＋b＋(a＋b）i＝0⇒a＝－b，又|z|＝，则a2＋b2＝2，解得a＝1，b＝－1或a＝－1，b＝1，所以z＝1－i或z＝－1＋i，所以z2＝(1－i）2＝－2i或z2＝(－1＋i）2＝－2i．故选B． 8．若－＋i是关于x的实系数方程ax2＋bx＋1＝0的一个复数根，且z＝a＋bi，则＝（ ） A．－i B．＋i C．－i D．＋i 解析：A　若－＋i是关于x的实系数方程ax2＋bx＋1＝0的一个复数根，则另一个复数根为－－i，由根与系数的关系可得 解得 则z＝1＋i，所以＝1－i， 故有＝＝＝＝－i． 9．（多选）已知复数z1，z2，则下列命题正确的是（ ） A．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2 B．若z1＝2，则|z1z2|＝|z1|2 C．若z1是非零复数，且z＝z1z2，则z1＝z2 D．若z1是非零复数，则z1＋≠0 解析：BC　对于A项，若z1＝1＋i，z2＝i，显然满足|z1|＝|z2|，但z1≠±z2，故A项错误；对于B项，设z1＝a＋bi(a，b∈R），则z2＝a－bi，z1z2＝(a＋bi）(a－bi）＝a2＋b2，故|z1z2|＝a2＋b2，而|z1|2＝a2＋b2，故B项正确；对于C项，由z＝z1z2，可得z－z1z2＝z1(z1－z2）＝0，因为z1是非零复数，故z1－z2＝0，即z1＝z2，故C项正确；对于D项，当z1＝i时，z1是非零复数，但z1＋＝i＋＝i－i＝0，故D项错误． 10．已知集合A＝，则A的元素个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 解析：C　当n＝1时，z＝i＋＝i－i＝0；当n＝2时，z＝i2＋＝－1－1＝－2；当n＝3时，z＝i3＋＝－i－＝0；当n＝4时，z＝i4＋＝1＋1＝2；当n＝5时，z＝i5＋＝i＋＝i－i＝0；当n＝6时，z＝i6＋＝i2＋＝－1－1＝－2；当n＝7时，z＝i7＋＝i3＋＝－i－＝0；当n＝8时，z＝i8＋＝i4＋＝1＋1＝2……可知以上四种情况循环，故集合A＝{0，－2，2}，A的元素个数为3． 二、填空题 11．计算：＝________． 答案：2 解析：＝＝＝2． 12．已知z＝x＋yi，x，y∈R，i是虚数单位，复数＋i是实数，则|z|的最小值为________． 答案： 解析：因为＋i＝＋i＝＋i＝＋i＝＋i，又复数＋i是实数，所以＝0，即y＝－x－2，所以|z|＝＝＝＝，所以当x＝－1，y＝－1时|z|取得最小值，且|z|min＝． 三、解答题 13．（8分）计算： （1）＋； （2）． 解：（1）＋＝－＝i－i＝0． （2）＝＝＝＝＝－1＋i． 14．(10分）设实部为正数的复数z，满足|z|＝，且复数(1＋2i）z在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上． （1）求复数z； （2）若＋(m∈R）为纯虚数，求实数m的值． 解：（1）设z＝a＋bi，a，b∈R，a>0，由题意a2＋b2＝10　①， 计算(1＋2i）z＝(1＋2i）(a＋bi）＝a－2b＋(2a＋b）i，得a－2b＝2a＋b　②， 联立①②，解得a＝3，b＝－1，得z＝3－i． （2） ＋＝3＋i＋＝3＋＋i， 所以3＋＝0且1－≠0，解得m＝－5． 15．(10分）在英语中，实数是Real Quantity，一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是Imaginary Quantity，一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部．如：Re(2＋3i）＝2，Im(2＋3i）＝3；Re(－3i）＝0，Im(－3i）＝－3．已知复数z是方程x2＋2x＋2＝0的解． （1）若Im(z）>0，且＝b－2i(a，b∈R，i是虚数单位），求|a＋bi|； （2）若Im(z）<0，复数z1＝，t∈R，且Re(z1）>0，Im(z1）<0，求t的取值范围． 解：（1）由z是方程x2＋2x＋2＝0的根，解得z＝－1±i， ∵Im(z）>0，∴z＝－1＋i， ∴＝＝b－2i，a＝(b－2i）(－1＋i）＝－b＋2＋(b＋2）i， ∴解得a＝4，b＝－2，∴|a＋bi|＝2． （2）∵Im(z）<0，∴z＝－1－i，又i2 025＝i，复数z1＝，t∈R，且Re(z1）>0，Im(z1）<0， ∴z1＝＝＝， ∵Re(z1）>0，Im(z1）<0，∴解得－<t<2． ∴t的取值范围为－<t<2． 16．(10分）设虚数z满足|2z＋15|＝|＋10|． （1）计算|z|的值． （2）是否存在实数a，使＋∈R？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）设z＝c＋bi(c，b∈R且b≠0），则＝c－bi， 因为|2z＋15|＝|＋10|，所以|(2c＋15）＋2bi|＝|(c＋10）－bi|， 所以＝ ， 所以c2＋b2＝75，所以＝5，所以|z|＝5． （2）存在a＝±5满足题意． 设z＝c＋bi(c，b∈R且b≠0），假设存在实数a使＋∈R， 则有＋＝＋＝＋i∈R， 所以－＝0，因为b≠0，所以a2＝c2＋b2＝75，得a＝±5， 所以存在实数a＝±5，满足＋∈R． 学科网（北京）股份有限公司 $