7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义-【名师大课堂】2025-2026学年高中数学必修第二册同步小作业（人教A版）

第二节复数的四则运算 课时1复数的加、减运算及其几何意义 A级基础练 1.设复数之1=2一i,x2=-3十5i,则之1十之2在 5.己知四边形OACB是复平面内的平行四边 复平面内对应的点位于 形，O是原点，点A,B分别表示复数3+i, A.第一象限 B.第二象限 2+4i,M是OC,AB的交点，如图所示，求点 C.第三象限 D.第四象限 C,M表示的复数，及点C,M间的距 2.(多选)已知i为虚数单位，复数之1=5+12i, 离CM. 之2=-12+5i,则 ( A.lz1|=|z2 B.1与2互为共轭复数 C.1十2十7为纯虚数 D.之1-7-7i+z2=6i 3.(多选)在复平面内有一个平行四边形 OABC,点O为坐标原点，点A对应的复数 为之1=1十i,点B对应的复数为x2=1十2i, 点C对应的复数为之3，则下列结论正确的 是 A.21一z2=-i B.点C位于第二象限 C.之1十z3=x% D.1之1-x1=|AC 4.设1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且之1+ x2=5一6i,则1一2=」 25 B级综合练 1.若复数z满足之十=2，|z=√2，则之 5.已知复数z满足|之+√+i≤1，求： (1)之的最大值和最小值； A.1+i B.1+√5i (2)川之一1|2+|z+1的最大值和最小值， C.1士i D.1士√i 2.已知之∈C,且|之一2-2i=1(i为虚数单 位)，则z+2-的最大值为 ( A.√17+1 B./17 C.√/17-1 D.√21 3.在复平面中，Z1,Z2,Z所对应的复数分别为 之1,2，之，且之=2x1十32，△Z1Z,O(O为原 点)的面积为S,则△ZZ2Z的面积为 A.S B.2S C.6S D.4S 4.已知复数之1,2满足引之1|=2√3，之2|=5， 且x1一2=3十4i,则之1十2= —26-7.解：(1)因为1为纯虚数，所以 4-m=0,解 m-2≠0， 得m=-2. 4-m2=入+2sin0, (2)由名1=之2，得《 m-2=cos0-2, 所以入=4-cos20-2sin0=sin0-2sin0+3=(sin 0-1)2+2. 因为-1≤sin0≤1， 所以当sin0=1时，入mm=2,当sin0=一1时，入mx =6, 所以实数入的取值范围是[2,6]. 课时2复数的几何意义 A级基础练 1.C由题意得复数之1=1一5i在复平面内对应的，点 为Z1(1,一5)，Z1关于原点对称的点为Z3（一1， 5),Z3关于实轴对称的点为Z2(一1，一5)，则z2= -1-5i. 2.AB因为0∈（π，2π），所以-1<c0s0<1,-1≤ sin0<0,所以复数cos0+isin0在复平面内对应的 点不可能在第一和第二象限，故选AB. 3.C因为a十2i与1+bi互为共轭复数，所以a=1, b=-2,所以a-b=3. 4.ACD由题知之=1+i,所以z=1-i,之= √+1严=√2，|=√12十(-1)=√2.故选ACD. 5.答案：号 解析：因为x1=4+3i,之2=2a-3i(a∈R),所以OZ1 =(4,3),OZ2=(2a,-3).因为OZ1⊥OZ2,所以 8a=9,即a=8 6.解：(1)由m=1,得z=3+4i,z=3-4i, 则由|z|=x十(x-1)i, 得32+(-4)=√x+(x-1), 整理得x2一x一12=0，解得x=4或x=一3. (2)1:1=√(1+2m)2+[-(3+m)℉ √5m2+10m+10=√5(m+1)2+5≥√5， 当且仅当m=一1时，|之|取得最小值，最小值 为5. B级综合练 1.A复数之=1-i在复平面内对应的向量OZ=(1, -1),则0立=2，∠02=牙，所以将向量D立绕 点O按逆时针方向旅转T得到OZ=(√2,0)，其对 应的复数为W2. 2.AD 设之1=a十bi(a,b∈R),则之2=a-bi, A 之1，之在复平面内对应的点分别为Z (a,b),Z2(a,一b),关于实轴对称. B 十 若之1=1十i,之2=1-i,则|之1=|之2= √2，但1≠2且之1≠一2 当名1为虚数时，不能与实数一a,a比较 × 大小 令之=x十yi(xy∈R),则之=x-yi.因 D 为之=之，所以x十yi=x一yi,所以 =2,则y=0,所以x为实数. y=-y, 3.B由题意，知Z(1,-2),Z2(a,-1),Z(-b,0), 由Z1,Z2,Z3三点共线，可得Z1Z2∥Z1Z,所以2(a 1)=-b-1,化简可得2a十b=1.又a>0,b>0, 所以日+号=(2a+0(日+2)=4+冬+共≥4十 a b' 2·积-8，当里仅当名-铝即a=6=司 时等号成立， 4.解：(1)由题意得A(1,0),B(2,1),C(-1,2),所以 AB=(2,1)-(1,0)=(1,1),BC=(-1,2)-(2, 1)=(-3,1),AC=(-1,2)-(1,0)=(-2,2), 所以AB,BC,AC对应的复数分别为1十i,一3十i, -2+2i. (2)因为AB1=√2，|BC1=√0,1AC1=2√2， 所以AB2+|AC12=BC2, 所以△ABC为直角三角形，所以Sam=X2X 2√2=2. 第二节复数的四则运算 课时1复数的加、减运算及其几何意义 A级基础练 1.B因为名1十x2=(2-i)+(-3+5i)=-1十4i,所 以之1十2在复平面内对应的点的坐标为（一1,4）， 位于第二象限 2.AC 1名11=√5+122=13,1x21 √/(-12)2+5=13. B 复数之1=5十12i的共轭复数为=5 -12i. C x1+x2+7=5+12i-12+5i+7=17i, / 为纯虚数。 x1-7-7i+x2=5+12i-7-7i-12十 D 5i=-14+10i. 3.ACD 1 21一 x2=1+i-1-2i=-i. 由题意，O(0,0),A(1,1),B(1,2),因为 四边形OABC为平行四边形，所以C (0,1),所以x3=i,点C位于虚轴上. 2 如图，之1,2，之3对应的 向量分别为OA,OB, O元，则OA+O元=OB, -10 OA-O元=CA,即1十 D xg=x2,名1一23=|AC1. 4.答案：-1+10i 解析：因为名1十之2=5一6i,所以(x+2i)十(3一yi) =5-6i,所以 十3=5，。即-2所以，=2十 2-y=-6,y=8, 2i,之2=3-8i,所以x1-22=(2+2i)-(3-8i)= -1+10i. 5.解：因为OA,OB分别表示复数3十i,2十4i, 所以O元=OA+OB表示的复数为(3+i)十(2十4i) =5+5i,即点C表示的复数为5+5i. 又O-宁元.所以O成泰示的复教为受十。 即点M表示的复数为受十受 所以cM=6-)+(-)-59 B级综合练 1.C设x=a十bi(a,b∈R),则z=a一bi,所以之十= 2a=2,解得a=1.又|x=√a2+b=√1+b=√2， 故b=士1，故x=1士i. 2.A设之在复平面内对应的，点为Z.由之一2一2i =1可得点Z在以C(2,2)为圆心，1为半径的圆 上.又之十2一i表示点Z与点M(-2,1)间的距 离，且C(2,2)与点M(一2,1)间的距离为√4十1 =√17，则|之+2-i的最大值为√/17+1. 3.D设221,3之2在复平面内对 应的点分别为Z,',Z2',则四边 形OZ,'ZZ,'为平行四边形，如0 图，由题意可知02=寸 10z,1,02=31021. 设平行四边形OZ,'ZZ′的面积为A, 则△Z,2.0的面叔S=21021×102.× sn∠Z,02=日×10z'×102:'1×sim ∠202=日×号A=是所以=12s,则5ae2 -×A=日A,5g-×A=子A,故 △Z乙Z的西积为后A+A-A=45. 4.解：方法一如图，设之1，之2在 复平面内对应的向量分别为 OA,OB,作平行四边形OACB,0 则1一对应的向量为BA名十2对应的向量为 OC.由题意知|OA=2√5，|OB=5,|AB|= |z1-22|=5,在平行四边形OACB中，|AB2= 1OB2+1OA|2-2|OA|·|OB|cos∠BOA,|OCI2 =|AC2+|OA|2-2|OA|·|AC|cos∠OAC.又 |OB|=|AC|,∠BOA+∠OAC=180°，即cos ∠BOA=-c0s∠OAC,所以|AB|2+|OC12=2 1OA2+2OB|,所以25+|x1十2|2=2×12+2 ×25,得x1十x2=7. 方法二设名1=a十bi(a,b∈R),z2=x十yi(x,y∈ R),则a2十b2=12,x2十y2=25.又|x1-22=5,所 以(a-x)2+(b-y)2=25,即a2-2a.x+x2+b 2by十y=25,所以2ax+2by=12,所以之1十z2|2 =(a+x)2+(b十y)2=(a-x)2+(b-y)2+4a.x+ 4ay=25+24=49,所以之1十x2=7. 5.解：(1)设在复平面内复数之十 √3十i对应的点为Z,则满足 -3 |之十√+i≤1的点Z的集合 是圆心为M(-√3，-1)，半径 M 为1的圆内区域（包括边界）， 之表示点Z到原点O的距离. 如图所示，OA对应的复数的模为x的最大值，OB 对应的复数的模为之的最小值。 因为1OM1=√(-√3)2+(-1)2=2，所以|zmx= 2+1=3,zmin=2-1=1. 即x的最大值为3，最小值为1. (2)设x=a+bi(a,b∈R),则|x2=a2+b2, 1x-1|2+|x+1|2=1a-1+bi12+|a+1+bi2= (a-1)2+b+(a+1)2+b2=2(a2+b2)+2= 2z|2+2. 由(1)知1≤之≤3， 所以|之-12+|之十12的最大值为2×32+2=20， 最小值为2×12+2=4. 课时2复数的乘、除运算 A级基础练 1.B因为复数名1，之2在复平面内对应的点关于实轴 对称，且之1=2十i,所以2=2一i,所以1之2=（2十 i)(2-i)=4-i=5,之12所对应的点为(5,0). 2.ABD|x=√+1=√2，故A正确；=(1十i)(1 一i)=1一i=2,故B正确；因为之=1十i,所以之(3 +4i)=(1+i)(3+4i)=-1+7i,所以(3+4i) =√（-1)+7=5√2，故C错误；因为z2=(1+i)2 =2i,所以x1"=(x2)5=(2i)5=25X4+1=32i,故D 正确. 3.A因为x(1+2i)=i(1+x),所以x(1+i)=i,所 以==a0”)-1-g+2 1 4.ACD设m=bi(b∈R且b≠0)，则z=m十3-4 10 i+写”五=瓜十g20tD号+（号+列. 所以之不可能为纯虚数，故A正确；若复数之为实 教，则十0=0，解得=一号，所以m=一 故B 错误；x√（号）+（号+b),所以当6=-8 5 时，取最小值，最小值为号，故C正确；若：在复 平面内对应的点位于直钱y=上，则号十6=骨， 解得6=一号所以m=导，故D正璃 5.A方法一（待定系数法）由题意，得△=1一4 =一3<0，所以方程的根必为虚数，设方程的根为 x=a+bi(a,b∈R,b≠0)，则(a+bi)十a+bi+1= 0,即(a2-b2+a+1)+(2ab+b)i=0,所以 a2-b2+a+1=0, 2， 2 得 或 所以 12ab+b=0, 6=- 2 94 =合+或=昌，所以=1 方法二（求根公式法）因为复数之是关于x的 方程x2十x十1=0的根，又△=1-4=-3<0，所 以该方程的根为x= =±即= 2×1 召+或=3则=1 方法三（配方法）+十1=0归（十P+子 =092r=月受)，所以x=9 4 所以=子+9成=日-停所以到 =1. 6.ACD方法一（利用根与系数的关系）因为x1十 22=-t,x12x2=2,所以(1-x2)2=(1十x2)2 4x1x2=t-8.当t-8≥0时，x1-x2|=√f-8 =2√2，所以t=士4；当t-8<0时，x1-2x2= 士√8-ti,x1-x2=√8-平=2√2，所以t=0.故 选ACD. 方法二（结合选项分析）当t=一4时，方程为x2 一4x十2=0，即(x一2)2=2，所以x=2士√2，不妨 取x1=2十√2，x2=2-√2，则|x-x2=2V2,故A 正确；当t=一2时，方程为x2一2x十2=0，即(x一 1)2=-1,所以x=1士i,不妨取x1=1十i,x2=1- i,则|x1一x2=2i=2,故B错误；当t=0时，方 程为x2十2=0，即x2=一2，所以x=土√2i,不妨取 x1=√②i,x2=-√2i,则|x1-x2=|2√2i=2√2， 故C正确；当t=4时，方程为x2十4x十2=0，即(x 十2)2=2，所以x=-2士√2，不妨取x1=-2十√2， x2=-2-√2，则|x1一x2=2√2，故D正确. 7.D由已知得x2-4x十a=0或x2-2x十3=0.当 x2一4x十a=0时，设此方程的虚数根为x=m十ni (m,n∈R,n≠0)，将x=m十i代入方程，得(m十 ni)2-4(m十ni)+a=0,整理得m2-n2-4m十a十 (2mn-n)i=0,则m二nn+a=0·解得 2mm-4n=0, /m=2, 即x=2士√Q一4i.同理可得，当 n=±√a-4, x2-2x十3=0时，该方程的虚数根为1士√2i.当 a=6时，以这四个根在复平面内对应的，点为顶，点的 四边形为矩形，面积为2√2，不符合题意，所以该四 边形为等腰梯形，面积为2(2巨+2Va-④)×(2 -1)=4,解得a=22-8√2.