7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

1．已知复数z1＝1＋2i，z2＝3＋2i，则z1＋z2＝(　　) A．4 B．4i C.2＋4i D．4＋4i 解析：选D.由z1＝1＋2i，z2＝3＋2i可得z1＋z2＝1＋2i＋3＋2i＝4＋4i. 2．在复平面内，复数6＋5i，－3＋4i对应的向量分别是，，其中O是原点，则向量对应的复数为(　　) A.－9－i B．9－i C.3＋9i D．－3＋9i 解析：选A.因为复数6＋5i与－3＋4i对应的向量分别是与， 所以＝－＝－3＋4i－6－5i＝－9－i. 3．已知z＝a－i(a∈R)，且z＋1为纯虚数，则z在复平面内对应的点位于(　　) A.第一象限 B．第二象限 C.第三象限 D．第四象限 解析：选C.因为z＝a－i(a∈R)，又z＋1＝(a＋1)－i为纯虚数，所以a＋1＝0，解得a＝－1，所以复数z＝－1－i，其在复平面内对应的点为(－1，－1)位于第三象限． 4．若z∈C，z＋＝1＋3i，则＝(　　) A.3 B．4 C．5 D．6 解析：选C.设z＝a＋bi，a，b∈R， 则＝，因为z＋|z|＝1＋3i， 所以(a＋)＋bi＝1＋3i， 所以 解得 所以z＝－4＋3i，所以＝5. 5．已知复数m(3＋i)－(1＋i)在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　) A.<m<1 B．<m<1 C.<m< D．m>1 解析：选A.复数m(3＋i)－(1＋i)＝(3m－1)＋(m－1)i， 其在复平面内对应的点(3m－1，m－1)在第四象限，则解得<m<1. 6．(多选)若z－＝－14i，||＝5，则z可能为(　　) A.1－7i B．1＋7i C.－1－7i D．－1＋7i 解析：选AC.设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，由题意可得 解得或 所以z＝1－7i或z＝－1－7i. 7．(－10－8i)＋(12＋6i)－(－7i＋4)＝____________________. 解析：原式＝－10－8i＋12＋6i＋7i－4＝－2＋5i. 答案：－2＋5i 8．已知复数z1，z2满足z1＋z2＝5＋i，2z1＋z2＝3i，则z1＝__________． 解析：由题意得z1＝(2z1＋z2)－(z1＋z2)＝3i－(5＋i)＝－5＋2i. 答案：－5＋2i 9．已知复数z满足z＝1－3i(i是虚数单位)，则＝___________． 解析：因为z＝1－3i，所以＝1＋3i， 则＝＝. 答案： 10．(13分)已知复数z1＝a2＋(a－6)i，z2＝2a－3＋a2i，a∈R. (1)若z1＋z2是纯虚数，求a；(6分) (2)若z1＋z2>0，求.(7分) 解：(1)由题意得 z1＋z2＝a2＋2a－3＋(a2＋a－6)i， 因为z1＋z2是纯虚数， 所以 解得a＝1. (2)因为z1＋z2>0， 所以 解得a＝2. 故＝＝4. 11．已知复数z满足＝，则的最小值为(　　) A.1 B．2 C． D． 解析：选B.设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足＝，所以由复数的几何意义可知，点Z到点(0，－1)和(0，1)的距离相等，所以在复平面内点Z的轨迹为实轴， 又表示点Z到点(－1，－2)的距离，所以问题转化为实轴上的动点Z到定点(－1，－2)距离的最小值，所以的最小值为2. 12．(多选)在复平面内有一个平行四边形OABC，点O为坐标原点，点A表示的复数为z1＝1＋i，点B表示的复数为z2＝1＋2i，点C表示的复数为z3，则下列结论正确的是(　　) A.z1－z2＝－i B．点C位于第二象限 C.z1＋z3＝z2 D．＝|| 解析：选ACD.对于A，z1－z2＝1＋i－1－2i＝－i，故A正确； 对于B，由题意得O(0，0)，A(1，1)，B(1，2)，因为四边形OABC为平行四边形，则＝＝(0，1)，所以C(0，1)，所以z3＝i，点C位于虚轴上，故B错误； 对于C，D，如图，z1，z2，z3对应的向量分别为，，，则＋＝，－＝，即z1＋z3＝z2，＝，故C，D正确． 13．(13分)在复平面内，已知复数z1，z2满足＝＝3，且＝3，求. 解：设对应的复数为z1，对应的复数为z2， 则＋对应的复数为z1＋z2， －对应的复数为z1－z2， 因为＝＝3，且＝3， 所以△AOB为等腰直角三角形，且＝3. 作正方形AOBC，如图所示， 则＋＝对应的复数为z1＋z2，故＝＝＝3. 14．(15分)已知复数z满足|z＋＋i|≤1，求： (1)|z|的最大值和最小值；(7分) (2)|z－1|2＋|z＋1|2的最大值和最小值．(8分) 解：(1)设在复平面内复数z对应的点为Z，则满足|z＋＋i|≤1的点Z的集合是圆心为M(－，－1)，半径为1的圆内区域(包括边界)，|z|表示点Z到原点O的距离． 如图所示，对应的复数的模为|z|的最大值，对应的复数的模为|z|的最小值． 因为||＝ ＝2，所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1. 即|z|的最大值为3，最小值为1. (2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|2＝a2＋b2， |z－1|2＋|z＋1|2＝|a－1＋bi|2＋|a＋1＋bi|2＝(a－1)2＋b2＋(a＋1)2＋b2＝2(a2＋b2)＋2＝2|z|2＋2. 由(1)知1≤|z|≤3， 所以|z－1|2＋|z＋1|2的最大值为2×32＋2＝20，最小值为2×12＋2＝4. 15．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马(1601－1665)于1643年提出的平面几何最值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°的点P即为费马点．根据以上材料，若z∈C，则＋＋的最小值为(　　) A.2－2 B．2＋2 C.－1 D．＋1 解析：选B.设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＋＋表示复数z对应的点Z(x，y)到△ABC三个顶点A(－2，0)，B(2，0)，C(0，－2)的距离之和. 依题意结合对称性可知△ABC的费马点P位于虚轴的负半轴上，且∠APB＝120°，则∠PAO＝∠PBO＝30°. 此时＋＋＝×2＋(2－2tan 30°)＝2＋2. 学科网（北京）股份有限公司 $