7.1 复数的概念-【名师大课堂】2025-2026学年高中数学必修第二册同步小作业（人教A版）

∠ABD=T,所以cos∠ABD=2y7,所以BE 7 7 BDcos∠ABD=200,所以EF=300.设该无人机 在C,点处离地面的高度为xm,则tan∠BCE= tan(∠ECF-∠BCF)= tan∠ECF-tan∠BCF l+tan∠ECFtan,∠BCF 300100 x 200 200 1+300.100 x+30000 2/x·30000 ，当且仅当1-3000，中=10万时取号号。 x 此时无人机获得最佳拍照角度，该无人机离地面的 高度为100√5m. 4.答案：(10000√5+25000)m2 解析：在△OAB中，因为∠AOB=0,OB=100,OA =200,所以AB2=OB2+OA2-2OB·OAc0s0,即 AB=100√5-4c0s0,所以Sg速形0AcB=S△aAB十 SaA,OBsin100(sin 0- 2c0s9+多).令1am9=2,则Sm4ne=102[5 sin(0-g+]≤1005+受，所以直接盘测覆 盖区域”面积的最大值为(10000√5+25000)m2. 5.解：(1)设CD=akm. 在△ADC中，∠BDC=60°，∠ADB=30°，∠ACD =45°，则∠CAD=45°，所以△ACD是等腰直角三 角形，所以AC=√2akm. 在△BCD中，∠BCA=30°，∠ACD=45°，∠BDC =60°，可得∠CBD=45°. 、由正弦定理得b60Sin45,解得BC6。 2 d. 在△ABC中，由余弦定理得AB wa)+)-2xwia×X 一。 因为AB=2km,所以a=2√2，即CD=2√2km≈ 2828m, 因为2828一2840<20m,所以百度地图测距是 准确的」 (2)△ABN中，由正孩定理得BN=,sin0 AN sin(π-p) sin 63 s1n94 设BN=3xkm,AN=4xkm. △ABN中，由余弦定理，可得cos0= 4+16.x2-9.x2_4+7x2 16.x 16x, c0s∠ABN=92+4-16x2=4-7z2 12x 12.x cos9=Cos(r∠ABN)=-cos∠ABN=7x2-4 12.x O9号，所以x=1,所以BN=3km,AN 又c0s0_11 4 km. Rt△ANM中，MN=AN·tan∠MAN=4Xtan4. 8°≈4×0.084=0.336km=336m. 故常州现代传媒中心的高度约为336m. 第七章复数 第一节复数的概念 课时1数系的扩充和复数的概念 A级基础练 1.A因为复数x=3+2a十(2-3a)i的实部与虚部 互为相反数，所以3十2a=-(2-3a),解得a=5. 2.BCD由复数的定义可知A命题正确；形如a十bi (a,b∈R)的数，当b=0时，它不是虚数，故B命题 错误；若两个复数全是实数，则可以比较大小，故C 命题错误；两个虚数不能比较大小，故D命题错误. 故选BCD. 3.C若=则m-4=-3, m+m+1=3, 得m=1,所以m =1是名1=之2的充要条件. 4.答案：①③④ 解析：用Venn图表示集合C,R,I,M C 的关系如图，由图分析可知①③④ 正确. 5.答案：1,2 解析：设(x。y)是方程组的实数解.由已知及复数 x+号=①， 相等，得2(y,+1)=4。②， 由①②得 2xw+ayo=9③， 、-(4x0-y十b)=-8④， 5 2,=2'代入③④得0‘所以实教a,b的值分 b=2, y6=4, 别为1,2. 6.解：(1)若之是实数，则m2-m-2=0,解得m=2 或m=-1. (2)若之是虚数，则m2-m一2≠0，解得m≠2 且m≠一1. (3)若之是纯虚数，则 m2-一m一2≠0'解得m= m2+m-6=0, -3. 7.解：(1)因为1为纯虚数，所以 4-m=0,解 m-2≠0， 得m=-2. 4-m2=入+2sin0, (2)由名1=之2，得《 m-2=cos0-2, 所以入=4-cos20-2sin0=sin0-2sin0+3=(sin 0-1)2+2. 因为-1≤sin0≤1， 所以当sin0=1时，入mm=2,当sin0=一1时，入mx =6, 所以实数入的取值范围是[2,6]. 课时2复数的几何意义 A级基础练 1.C由题意得复数之1=1一5i在复平面内对应的，点 为Z1(1,一5)，Z1关于原点对称的点为Z3（一1， 5),Z3关于实轴对称的点为Z2(一1，一5)，则z2= -1-5i. 2.AB因为0∈（π，2π），所以-1<c0s0<1,-1≤ sin0<0,所以复数cos0+isin0在复平面内对应的 点不可能在第一和第二象限，故选AB. 3.C因为a十2i与1+bi互为共轭复数，所以a=1, b=-2,所以a-b=3. 4.ACD由题知之=1+i,所以z=1-i,之= √+1严=√2，|=√12十(-1)=√2.故选ACD. 5.答案：号 解析：因为x1=4+3i,之2=2a-3i(a∈R),所以OZ1 =(4,3),OZ2=(2a,-3).因为OZ1⊥OZ2,所以 8a=9,即a=8 6.解：(1)由m=1,得z=3+4i,z=3-4i, 则由|z|=x十(x-1)i, 得32+(-4)=√x+(x-1), 整理得x2一x一12=0，解得x=4或x=一3. (2)1:1=√(1+2m)2+[-(3+m)℉ √5m2+10m+10=√5(m+1)2+5≥√5， 当且仅当m=一1时，|之|取得最小值，最小值 为5. B级综合练 1.A复数之=1-i在复平面内对应的向量OZ=(1, -1),则0立=2，∠02=牙，所以将向量D立绕 点O按逆时针方向旅转T得到OZ=(√2,0)，其对 应的复数为W2. 2.AD 设之1=a十bi(a,b∈R),则之2=a-bi, A 之1，之在复平面内对应的点分别为Z (a,b),Z2(a,一b),关于实轴对称. B 十 若之1=1十i,之2=1-i,则|之1=|之2= √2，但1≠2且之1≠一2 当名1为虚数时，不能与实数一a,a比较 × 大小 令之=x十yi(xy∈R),则之=x-yi.因 D 为之=之，所以x十yi=x一yi,所以 =2,则y=0,所以x为实数. y=-y, 3.B由题意，知Z(1,-2),Z2(a,-1),Z(-b,0), 由Z1,Z2,Z3三点共线，可得Z1Z2∥Z1Z,所以2(a 1)=-b-1,化简可得2a十b=1.又a>0,b>0, 所以日+号=(2a+0(日+2)=4+冬+共≥4十 a b' 2·积-8，当里仅当名-铝即a=6=司 时等号成立， 4.解：(1)由题意得A(1,0),B(2,1),C(-1,2),所以 AB=(2,1)-(1,0)=(1,1),BC=(-1,2)-(2, 1)=(-3,1),AC=(-1,2)-(1,0)=(-2,2), 所以AB,BC,AC对应的复数分别为1十i,一3十i, -2+2i. (2)因为AB1=√2，|BC1=√0,1AC1=2√2， 所以AB2+|AC12=BC2, 所以△ABC为直角三角形，所以Sam=X2X 2√2=2. 第二节复数的四则运算 课时1复数的加、减运算及其几何意义 A级基础练 1.B因为名1十x2=(2-i)+(-3+5i)=-1十4i,所 以之1十2在复平面内对应的点的坐标为（一1,4）， 位于第二象限第七章复数 第一节复数的概念 课时1数系的扩充和复数的概念 A级基础练 1.设i是虚数单位，若复数之=3十2a十(2一 6.已知复数之=(m2十m-6)+(m2-m-2)i 3a)i的实部与虚部互为相反数，则实数a= (m∈R). (1)若之是实数，求实数m的值； A.5 B.-5 (2)若之是虚数，求实数m的取值范围； C.3 D.-3 (3)若z是纯虚数，求实数m的值. 2.(多选)下列命题不正确的是 A.1-ai(a∈R)是一个复数 B.形如a十bi(a,b∈R)的数一定是虚数 C.两个复数一定不能比较大小 D.若a>b,则a十i>b+i 3.若之1=(m2+m+1)+(-4)i(m∈R),之2 =3-3i,则m=1是之1=2的 () A.充分不必要条件 7.已知复数之1=4-m2+(m一2)i,x2=入十 B.必要不充分条件 2sin0+(cos0-2)i(其中i是虚数单位，m, C.充要条件 λ，0∈R). D.既不充分也不必要条件 (1)若之1为纯虚数，求实数m的值； 4.设C为复数集，R为实数集，I为虚数集，M (2)若之1=之2，求实数入的取值范围. 为纯虚数集，则下列式子中正确的是 (填序号). ①IUR=C;②IUM=M;③I∩R=O; ④R∩C=R, 5.已知关于x,y的方程组 (x+2）+2y+1)i=y+4i, 有实数 (2x+ay)-(4x-y+b)i=9-8i 解，则实数a,b的值分别为 22 课时2复数的几何意义 A级基础练 1.已知复数之，=1一5i,在复平面内复数之1与 6.已知复数z=(1+2m)+(3+m)i(m∈R). 之所对应的点关于原点对称，之？与x2所对 (1)若m=1,且|z|=|x+(x-1)i,求实数 应的点关于实轴对称，则之2= ( x的值； A.1-i B.1+5i (2)求当m为何值时，之|最小，并求|之|的 C.-1-5i D.-1+5i 最小值. 2.(多选)若0∈（π，2π），则复数cos0+isin0 在复平面内对应的点不可能 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知a,b∈R,i是虚数单位，若a+2i与1+ bi互为共轭复数，则a一b= ) A.1 B.-1 C.3 D.-3 4.（多选)在复平面内，复数之对应的点是(1， 1),则 ( A.=1+i B.z=-1+i C.|z=√2 D.1=2 5.在复平面内，已知O为坐标原点，点Z1,Z 分别对应复数x1=4+3i,x2=2a-3i(a∈ R),若0Z⊥OZ2,则a= 23 B级综合练 1.已知复数之=1一i,将复数之在复平面内对：4.在复平面内，A,B,C三点对应的复数分别 应的向量O乙绕点0按逆时针方向旋转平， 为1,2+i,-1+2i. (1)求AB,BC,AC对应的复数； 所得向量对应的复数为 (2)判断△ABC的形状，并求△ABC的 A.2 B.√2i 面积. C.1 D.i 2.(多选)设之1，x2为复数，下列命题一定成立 的是 A.如果之1，之2互为共轭复数，则之1，之2在复 平面内对应的点关于实轴对称 B.如果|之1|=|之2|，那么之1=士x2 C.如果|之1|≤a,a是正实数，那么一a ≤x1≤a D.如果之=之，那么之为实数 3.已知a>0,b>0,复数z1=1一2i,x2=a-i, 之3=一b在复平面内对应的点分别为Z1, 乙，2若乙乙，乙三点共线，则+号的 最小值为 A.9 B.8 C.6 D.4 24