6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

1．已知两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东10°方向上 B．北偏西10°方向上 C．南偏东80°方向上 D．南偏西80°方向上 解析：选D.作出图形，由条件及图可知，△ABC为等腰三角形，所以∠BAC＝∠ABC＝40°， 又∠BCD＝60°， 所以∠CBD＝30°， 所以∠DBA＝10°， 因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上或西偏南10°方向上．故选D. 2．如图所示，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应选用数据(　　) A．α，a，b B．α，β，a C．a，b，γ D．α，β，b 解析：选C.根据实际情况α，β都是不易测量的数据，在△ABC中，a，b可以测得，角γ也可测得，利用余弦定理AB2＝a2＋b2－2ab cos γ，可求解AB的长度． 3．某塔的塔身已经倾斜且与地面的夹角为60°，若将塔身看作直线，从塔的第三层地面到第三层顶可看作线段，且在地面的射影为1 m，则该塔第三层地面到第三层顶的距离是(　　) A． m B． m C． m D．2 m 解析：选D.由题设，如图所示，该塔第三层地面到第三层顶的距离l＝AB＝＝2(m). 4．沪苏通长江公铁大桥(如图1)是中国自主设计建造、世界上首座跨度超千米的公铁两用斜拉桥．已知主塔AB垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内乘客两次仰望塔顶A的仰角分别为∠ADE＝30°，∠ACE＝45°(如图2)，设乘客眼睛离地面的距离为DM＝CN＝h，CD＝a(h>0，a>0).若D，C，E在同一水平高度，且AD，AC，AB在同一竖直平面内，则根据以上数据可计算主塔AB高为(　　) A．a＋h B．a＋h C．(＋1)a＋h D．(－1)a＋h 解析：选A.在Rt△ADE中，AE＝DE tan 30°＝DE，则DE＝AE，在Rt△ACE中，AE＝CEtan 45°＝CE，CD＝DE－CE＝AE－AE＝(－1)AE＝a，解得AE＝＝a，所以主塔AB＝AE＋BE＝a＋h. 5．(多选)如图，在海岸上有两个观测点C，D，C在D的正西方向，距离为2 km，在某天10：00观察到某航船在A处，此时测得∠ADC＝30°，5 min后该船行驶至B处，此时测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，则(　　) A．当天10：00，该船位于观测点C的北偏西15°方向 B．当天10：00，该船距离观测点C的距离为 km C．当船行驶至B处时，该船距观测点C的距离为 km D．该船在由A行驶至B的这5 min内行驶了 km 解析：选ABD.对于A选项，∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝60°＋45°＝105°，因为C在D的正西方向，所以A在C的北偏西15°方向，故A正确； 对于B选项，在△ACD中，∠ACD＝105°，∠ADC＝30°，则∠CAD＝45°.由正弦定理，得AC＝＝，故B正确； 对于C选项，在△BCD中，∠BCD＝45°，∠CDB＝∠ADC＋∠ADB＝30°＋60°＝90°，则∠CBD＝45°，则BD＝CD＝2，于是BC＝2，故C不正确； 对于D选项，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos ∠ACB＝2＋8－2××2×＝6，即AB＝，故D正确．故选ABD. 6．如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山脚A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为__________m. 解析：由题意可得B＝45°，∠BAC＝30°，故BC＝＝＝30(m). 答案：30 7．如图所示，在地面上有一旗杆OP，测得它的高度为10 m，在地面上取一基线AB，AB＝20m，在A处测得P点的仰角∠OAP＝30°，在B处测得P点的仰角∠OBP＝45°，则∠AOB＝________． 解析：在Rt△AOP中，得OA＝＝10.在Rt△BOP中，得OB＝OP＝10，在△AOB中，400＝(10)2＋102，即AB2＝OA2＋OB2，所以∠AOB＝90°. 答案：90° 8．如图，某直径为5 海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距5海里，cos ∠BAD＝－，则小岛B，C，D所形成的三角形海域的面积为____________平方海里． 解析：由圆的内接四边形的对角互补，得∠BAD＋∠BCD＝π，cos ∠BCD＝cos (π－∠BAD)＝－cos ∠BAD＝， 所以sin ∠BCD＝＝. 在△BCD中，由正弦定理得＝＝2r＝5(r为圆形海域的半径)，得BD＝3海里， 在△BCD中，由余弦定理得(3)2＝CD2＋52－2×CD×5×，整理得CD2－8CD－20＝0，解得CD＝10(负值已舍去).所以S△BCD＝×10×5×＝15(平方海里)，即小岛B，C，D所形成的三角形海域的面积为15平方海里． 答案：15 9．(13分)如图，为测量横截面为直角三角形的某模型的平面图△ABC，其中∠ACB为直角，由于实际情况，它的可测量数据如下： ①BD＝1；②∠BDC＝；③∠BCD＝ . 请根据以上数据求出△ABC的面积． 解：在△BCD中，由正弦定理得 ＝，所以BC＝×＝， 因为tan ∠ABC＝tan (＋)＝＝2＋， ∠ACB＝，所以AC＝BC·tan ∠ABC＝＋，故S△ABC＝AC·BC＝＋. 10．如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动．当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处．设连杆AB长100 mm，曲柄CB长35 mm，则曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距离A0A)约为(参考数据：sin 53.2°≈0.8，结果保留整数)(　　) A．17 mm B．18 mm C．19 mm D．20 mm 解析：选B.在△ABC中，AB＝100，CB＝35，∠ACB＝53.2°， 因为sin 53.2°≈0.8， 所以cos 53.2°≈0.6. 由余弦定理得 AB2＝CB2＋CA2－2CA·CB·cos 53.2°， 所以1002＝352＋CA2－2CA×35×0.6， 整理得CA2－42CA－8 775＝0， 解得CA＝117或CA＝－75(舍去). 所以A0A＝AB＋CB－CA＝100＋35－117＝18，即A0A约为18 mm. 11．(15分)如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4 m，于是选择沿A→B→C路线清扫．已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2 m/s，忽略机器人吸入垃圾及在B处转向所用时间，10 s完成了清扫任务． (1)求B，C两处垃圾之间的距离；(精确到0.1 m)(8分) (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值．(7分) 解：(1)由题意得AB＋BC＝0.2×10＝2， 设BC＝x，0<x<2， 则AB＝2－x，AC＝2－x＋0.4＝2.4－x， 由题意得A＝90°＋30°＝120°. 在△ABC中，由余弦定理的推论得 cos A＝＝ ＝－， 解得x＝1.4或x＝5.2(舍去)， 所以BC＝1.4，即B，C两处垃圾之间的距离为1.4 m. (2)由(1)知AB＝2－1.4＝0.6，AC＝2.4－1.4＝1，BC＝1.4， 所以cos B＝＝＝. 12．(15分)在气象台A正西方向300 km处有一台风中心B，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40 km/h，距台风中心不超过350 km的地区都将受到影响． (1)若台风中心的这种移动趋势不变，气象台A所在地是否会受到台风的影响？如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长？(参考数据：≈3.6)(9分) (2)台风对气象台A的影响从开始到结束，线段AB扫过的面积大约是多少？(6分) 解：(1)如图，因为AB＝300，∠ABB1＝45°，所以点A到直线BB1的距离为300 km， 因为300 km<350 km，所以气象台A所在地会受到台风的影响． 假设台风中心到达B1和B2时，气象台A刚好受到台风影响， 则AB1＝AB2＝350 km，台风中心在B1和B2之间运动时，气象台A持续受到影响． 设台风中心距离B点a km气象台A刚好受到台风影响， 在△ABB1中，由余弦定理得AB＝BB＋AB2－2AB×BB1cos 45°， 即3502＝a2＋(300)2－2×300×a×， 即a2－600a＋57 500＝0， 得a＝300±50， 即a≈120或a≈480. 则BB1≈120 km，BB2≈480 km，B1B2≈360 km， 所以气象台大约会在≈＝3小时后受到影响，影响持续≈＝9小时． (2)由题可知台风影响从开始到结束，线段AB扫过的面积为 S△AB1B2＝S△ABB2－S△ABB1＝AB×(BB2－BB1)×sin 45°≈×300×360×＝54 000(km2). 学科网（北京）股份有限公司 $