6.4.2 余弦定理&6.4.3 正弦定理-【名师大课堂】2025-2026学年高中数学必修第二册同步小作业（人教A版）

4.解：(1)因为船在河内行驶的路程AB=2km,行驶 时间为0.2h,所以船沿AB方向的速度为v= 忌2=10km/h由AC=万km,AB=2km,ACL BC,得BC=√2-3=1(km),所以∠BAC=30°， 即(2,0)=60. 由v=1十w2,得1=v-2, 所以|1|=√(0-2)2=√02-22·w十 W/102-2×2×10cos60°+2=2√2T(km/h). (2)因为0=U1十2，所以2=(01十02)2，即100 (2√2I)2+2×2√2I×2cos(u1,u2)+22,解得 0s()2即船在静水中的速度与水流 速度”夹角的余弦值为四 14 5.解：(1)在△ABC中，AB=CB-CA,CB·CA 2X1Xcos60°=1，所以AB2=(CB-CA)2=CB+ CA2-2CB.CA=22+12-2×1=3, 则1AB12+|AC12=4=|BC12,所以∠BAC=90°， B=90°-∠ACB=30°. (2)假设存在非零实数入，使得AE⊥CD, 由AD=入AB,得AD=A(CB-CA), 则CD=CA+AD=CA+λ(CB-CA)=λCB+ (1-)CA. 又BE=ABC,则AE=AB+BE=(CB-CA)+ A(-CB)=(1-λ)CB-CA】 所以AE·CD=入(1-A)CB2-入CB·CA+(1 A)2CB.CA-(1-A)CA2=4x(1-A)-入+(1 λ)2-(1-λ)=-3入2+2入=0. 又久0，得入=号， 所以夺在非零实量入一号俊得正L励， 课时2余弦定理 A级基础练 1.C因为a>b>c,所以△ABC的最小角为C,所以 cosC=+c=49+4813=5.又∈(0， 2ab 2×7×4√3 2 ),所以C=吾 2.A因为b+c2=a-3bc,所以cosA= +-0=因为0<A<,所以 2bc 2bc A- 3.D如图，根据题意可知AB=16,BC 北 C =24,∠ABC=120°，则由余弦定理可 60 得AC=AB2+BC2-2AB·BC·cosB所 120°=162+24-2×16×24×(-2） =1216,所以AC=819. 4.C由题意，设a=2m,b=3m,c=4m,其中m>0. 由余弦定理可得c0sC=Q十b-c 2ab 2mmn咖-一<0.即最大角C为 2×2mX3m 钝角，所以△ABC为钝角三角形 5.B由(a+b+c)(b+c-a)=3bc,得(b+c)2-a2= 36c,整理得B十c2-a2=bc,则cosA=+c2-a 2bc =子因为A∈(0，x,所以A=子又a=2bc0sC, 所以a=26.Q+b2-c2 ,化简得b=c,所以△ABC 2ab 为等边三角形 6.答案W19 解析：由题意得a十b=5,ab=2.由余弦定理，得 c2=a2+62-2abcos C=a2+62-ab=(a+b)2- 3ab=52-3×2=19,所以c=√19. B级综合练 1.B不坊令在△ABC中，A=6,AB=AC,S 5.设AB=2,BC=5-1D 则c0s36°=(2)+(2)2-[W5-1)x]2 2×2xX2.x =4z2+4x2-(6-25)x=5+1 8x2 4 2.ACD因为a2=b+c2-√3bc,所以cosA= 6+c2-d-Bc=5.因为0<A<元，所以A= 2bc 2bc21 若，因为1amB=2c0sA=,所以B=受，则C 受，所以6=a,c=2a,sinA=cosB.故选ACD. 3.A因为20aBC+15bCA+12cAB=0,所以 20a(AC-AB)+156 CA+12c AB =0,Ep (20a- 15b)AC+(12c-20a)AB=0.又AC和AB不共线， 对以2地0年以6=号0=号所以在 △ABC中a为最小边，即A为最小角，所以△ABC 中最小角的余孩依为c0sA士正-青 2bc 7 4.答案：(2,2√2) 解析：在△ABC中，a=x,b=2,B=45°，由余弦定 理得4=6+2-20x×号，即e-x+父-4 =0. 因为符合条件的三角形有两个，所以关于C的方程 △=2.x2-4(x2-4)>0, 有两个正根，所以x2一4>0， √2x>0, 解得2<x<2√2. 课时3正弦定理 A级基础练 1.A因为sinB=2C=晋，所以B=吾，A=由 sin A-sin B得6=sE-1. 正弦定理a sin A 2.D由asin Asin B十bcos2A=√2a及正弦定理，得 sin Asin Asin B+sin Bcos2A=√2sinA,所以sinB (sinA+cos2A)=√2sinA,即sinB=√2sinA,所 以b=sinB-反. a sin A 3.C在能角三角形ABC中，C=三，故A=答-B, 0CB<, 则 0<-B<号 所以吾<B<受，则2<sinB 6 <1.由正弦定理可得c=bsin C2X sin B sin Bsin (5,2√5) 4.D因为sinA=只=4，所以b=c.又(b+c+a)(b sin B 6 c +c-a)=bc,所以b+c2-a2=-bc,所以cosA= b2+c2-a2 2b0 一六=合因为A0x,所以A 2bc 三，所以△ABC是锐角三角形. 5.A因为向量m=(a,0s分)，m=(b,c0s号)共 线，所以u60s号-bcos会由正弦定理，得sin Acos 号-in Bo所以2snosos号=2sn号 22 B∠工，所以cos2 0wB。0sA.又0≤号<20227 ≠00s号≠0，则sm号所以号号即 A=B同理由n=,o号)p=(c,0s台)共线， B、 8 可得B=C.所以△ABC为等边三角形」 6.答案：3 解析：S=csnA=c×9-8,得6 6.又b十c=35,所以cosA=B+c2-a= 2bc 么三-5=号解得。= 2bc B级综合练 1.D因为a一b=ccos B-ccos A,所以由正弦定理， 得sinA-sinB=sin Ccos B-sin Ccos A.又sinA =sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,sin B=sin (A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以sin Bcos C +cos Bsin C-sin Acos C-cos Asin C=sin C cosB-sin Ccos A,整理得sin Bcos C-sin Acos C =0,所以(sinB-sinA)cosC=0,所以sinB= sinA或cosC=0.因为A,B,C∈(0，元)，所以A= B或C=受，即△ABC是等腰或直角三角形. 2.B由题意得△DEF为等边三角形，在△ACF中， ∠AFC=180°-60°=120°.设AF=CE=t,则CF =2+向正定思，可物n2识C=n2 _AC 即、t =C,则AC=子.在△ACF中，AC- 3√53 14 2 AF+CF-2AF·CFcos∠AFC,即号=f+(2 +-2x(2+)×(-2）.由>0，得=3，故 3.AD 因为2cosC=5sin号+e0s号-2(cos 3 A s+snsn含)=2(g 号)，所以cosC=cas(骨-).国为 A 0<A<,0<C<,则0<号号< 子又余弦通数y=c0sx在(0，)上单 调运减，所以C=晋号，所以A+3C 元. 8 因为A+3C=元=A+B+C,则B 2C,所以0<2C<,可得0<C<号.由 b b J6 B sin B sin 2C sin C,得2 2sin Ceos C 2 S方·所以cosC三8，则s刀G= √1-cos'C-√⑩ 4 由选项B,可得sin2C=2 sin Ccos C √1 ,c0s2C=2osC-1=-子，所以 4 sin A=sin 3C=sin Ccos 2C+cos Csin C × 20=平×()+9×平=四 48 由正弦定理，a sinA=sinC,可得a= csin A=1. sin C S△ABC-1 2 absin C= -X1X/6x/10 D / /15 4 4.解：(1)方案一选条件①. 因为csin B+bcos C=√2b, 所以sin Csin B+sin Bcos C=√2sinB. 因为0<B<元，所以sinB≠0，所以sinC+cosC= 2sin(C+)-2,sin(C+)=1, 因为0<C<,所以受<C+年<5买，则C+至 4 ,C= 方案二选条件②. 因为（√2a-b)cosC=ccos B, 所以（√2sinA-sinB)cosC=sin Ccos B, 所以√2 sin Acos C=sin Bcos C+sin Ccos B= sin(B+C)=sin(-A)=sin A. 因为0<A<π，所以sinA≠0，所以√2cosC=1,即 cos C=2 2 又0<C<x,所以C=至 方案三选条件③. 因为asin C-ccos Bcos C=bcos2C, 所以sin Asin C-sin Ccos Bcos C=sin Bcos2C, 8 Ep sin Asin C=cos C(sin Ccos B+sin Bcos C)= cos Csin(B++C)=cos Csin A. 因为0<Aπ，所以sinA≠0，所以sinC=cosC, 即tanC=l. 又0<C<,所以C=至。 (2)因为c0sB=号0B<,所以simB=号 'sin Bsin C,可得b=csin B10X冬 由 b C sin C =82, 2 2 所以sinA=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C 专×号+×号 则△ABC的面积S=号esin A=号×82X10X 72=56. 10 5.解：(1)在△DCB中，由余弦定理得cos∠BCD BC°+CD2-BD2 2BC,CD"即3=4+CD13,所以CD 2 4CD =5. CD BD 由正弦定理可得 sin∠CBD sin,∠BCD' 中sn∠CBD-CD·s<BCD万X .-39 BD √13 26 (2)在△ACD中，由正弦定理得sin/CAD CD sin∠ADC,所以sin∠ADC=AC AC 2 在△ABC中，由正弦定理得sinZABC AC snAC·所以n∠ABC=9AC BC 因为∠CAD=∠BAC-5,∠DCB=, 所以∠ADC+∠ABC=受 所以sin2∠ADC+sin2∠ABC=cos2∠ABC+sin ∠ABC=1, 所以AC+3AC=1,所以AC=4y7 4 16 7 课时4余弦定理、正弦定理应用举例 A级基础练 1.B连接AC,由题意，知∠ABC=45°，∠ACD=75° -15°=60°，∠ACB=15°+45°=60°，AB=10√3 km,CD=4√2km.在△ABC中，由正弦定理得课时2 A级 基础练 1.在△ABC中，a=7,b=4√3，c=√13，则 △ABC的最小角为 A号 B平 C. D 2.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a, b,c,若b2+c2=a2-√3bc,则角A的大小为 A晋 B c号 D.香 3.已知一个足球场地呈南北走向.在一次进攻 时，某运动员从点A处开始带球沿正北方 向行进16m到达B处，再沿北偏东60°方 向行进24m到达C处，然后起脚射门，则 B级 综合练 1.黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等 腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角 形.其中顶角为36°的等腰三角形的底与腰 的长度之比为5。，这种黄金三角形被认为 是最美的三角形.根据这些信息，则cos36°= A.61 B,5+1 4 4 C.3+⑤ 8 D. 2.(多选)在△ABC中，角A,B,C所对的边分 别为a,b,c,若a2=b2+c2-√5bc,tanB= 2cosA,则 余弦定理 A,C两点间的距离为 A.8√7m B.8√10m C.32m D.8√/19m 4.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别 为a,b,c,若a:b:c=2:3:4,则△ABC 为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 5.在△ABC中，若(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 且a=2 bcos C,则△ABC是 A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 6.在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对 的边，且a,b是方程x2一5.x+2=0的两个 根，C=60°，则c= A.sin A=cos B B.C=2A C.b=/3a D.c=2a 3.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a, b,c.若20aBC+15bCA+12cAB=0,则 △ABC中最小角的余弦值等于 () A.6 R名 c 9 4.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b, c,且a=x,b=2,B=45°，符合条件的三角形有 两个，则实数x的取值范围是 17 课时3 A级 基础练 1.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a, b,c,若a=5,sinB=7,C-若，则b 1 A.1 B.2 D.√5 2.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a, b,c,且asinAsin B+bcos2A=2a,则b= a A.23 B.2√2 C.√5 D.√2 3.在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分 别为abc,b=2,C-后，则c的取值范固为 A.(2,2√3) B.(2√3，+∞) C.(5,2√5) D.(2,十∞) B级 综合练 1.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别 为a,b,c.若a-b=ccos B-ccos A,则 △ABC是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 2.中国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创 造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽 弦图”.类比赵爽弦图，用3个全等的小三角 形拼成了如图所示的等边三角形ABC.若 EF2,sin∠ACP=.则AC= 正弦定理 4.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b, c.若inA-只，(6+c十a)(6+c-u)=bc, sin B c 则△ABC是 ( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 5.在△ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b, c.已知三个向量m=(a,cos A),n=(b,cos 号p=(Cs号共线则△ABC为 () A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 6.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a, 6e,A=60,且△ABC的面积为3，若 十c=3√3，则a= A.8 B.7 C.6 D.5 3.(多选)在△ABC中，角A,B,C所对的边分 别为a,b,c.若b=6,c=23sin3+cos A =2cosC,则 ( ) A.A+3C=π B.sin C= 4 C.a=2 D.S△ABc= 15 4 18 4.在①csin B+bcos C=√2b,②(2a-b)cosC:5.如图，在平面四边形ABCD中，∠CAD= =ccos B,3asin C-ccos Bcos C=bcos2C ∠BAC=吾，∠DCB-=5,BD 3, 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题 √13，BC=2. 中并作答. 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a, b,c,且 · D (1)求角C的大小； (2)若osB=三，e=10,求△ABC的面积 (1)求sin∠CBD; (2)求AC的长. : 19