6.4.1 平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例-【名师大课堂】2025-2026学年高中数学必修第二册同步小作业（人教A版）

子又a十b:a)∈[0，]，故a+b:a>=60,放D正 确.故选BCD. 4.解：(1)方案一选条件①. 由题意，得十b=(一t,1一t),a十b=(一1，t1). 因为(ta+b)⊥(a+tb),所以(ta+b)·(a+tb) =0, 所以t+(1一t)(t-1)=0, 即t-3t+1=0,解得1=3±⑤ 2 方案二选条件②. 由题意，得加+b=(-t,1一t),a十b=(-1,t-1). 因为ta+b|=a+b|, 所以√（-t)+(1-t)=√（-1)2+(t-1), 即t=1, 解得t=士1. 方案三选条件③. 由题意，得t+b=(-t,1一t),所以cos(ta十b,b) _(ta+b)·b1-t ta+bb T√-t)+(1-t) (2)因为c=-ya+(1-x)b=(x,y), 所以(xy)=(y,1-x+y),即=y, y=1一x+,·解 得l'所以c=(1,1),所以c=+T=厄. y=1, 5.解：(1)由题意可得OA=(6,0),OC=(1,√3)，OM =20i=(3,0),C=0M-=(2,-,d Cò.CM_√7 (1,3),故cos∠0CM=0C7 (2)设P(t,√3)(1≤t≤5)，则AOP=(at,W3), OA-AOP=(6-At,-3A),CM=(2,-√3). 若(OA-AOP)⊥CM,则(OA-AOP)·CM=0, 即12-2λt+3λ=0，可得(2t-3)λ=12. 若1=，则入不存在： 若≠=是又1，U(号时]， 故a∈(-0，-12]U[号，+∞) 第四节 平面向量的应用 课时1平面几何中的向量方法、向量在 物理中的应用举例 A级基础练 1.D如图所示，以B为坐标原，点，BC,BA所在直线 分别为xy轴，建立平面直角坐标系.设AD=d, BP=p(0p2d),则B(0,0),C(2d,0),D(d, 8 2),P(p,0),所以PC=(2d-p,0),PD=(d-p, 2),所以P元+3PD=(5d-4p,6),所以 PC+3PD1=√J(5d-4p)+6≥6，当且仅当5d =4幼，即b=1时等号成立，所以P心+3P方的 最小值是6. 2.C如图，AD交BC于点E.由 6AD=2AB+3AC,得AD= 子A计号A.授A应=xA 专不店+号A亡.由B,E,C三点 共线，得号+受=1，解得x=号所以A=号A店计 C,则号（定-）=（元-应，所以2屁 -3E记设S8m=2y,则56D=3y.又花=号 AD,则AD=5DE,所以S△ABD=5S△ED=15y,则 品 S△D= 3.B作OA=u1,OB=u,以OA,OB为邻边作平行四 边形OACB,如图所示.若该船的航程最短，则该船 的实际航行速度v=v1十u2与水流速度2垂直，即 OC⊥OB,且1BC1=1OA1=|u,|=13,1OB1=|u2 =5,由勾股定理可得1v|=|O心|= √BC2-OB2=12,因此，若该船的航程最短，则 行驶完全程需要的时间1=1：56=0.13(h),则1 12 0.13×60=7.8(min). A 02B 4.A如图，设n为垂直于水平面的单 位向量，其中一根绳子的拉力为F, 则(n,F)=30°，所以F在n上的投影 向量为 F,所以8根绳子拉力 2 的合力F=8X Fn=4√3F 2 n.因为该降落伞匀速下落，所以F。|=G引=10X 9.8,即4√3F·n=98,解得|F≈14.1N. 5.解：1)因为B驴=}B就，所以A市-A店=号AC-3 A店，即A庐=3AC+号A成 又O为线段AP的中点，所以Ad=子A户=子AC +}A成， 因为d=号A店，所以Q心-A心-0=-号店 +AC. 又0--0-专计号d. 所以0元=Q,国此C.0.Q三点共线. (2)由1)可得A庐-}AC+号A店 设AQ=tAB(0≤t≤1)，则C0=AQ-AC=tAB -AC 由AP⊥CQ,可得AP.CQ=0, 即（号AC+号A)(uA店-Ad)=0, 所以A.A店-{1AC+号-子AC. A店=0，即'号X6cos∠BAC-3+号：=0， 3-8 则c0s∠BAC=2(t-2) 2(t-2) 3 7 6(t-2) 因为1e[0,1小y=-专-6g2在[0.1]上单羽 递增， 所以eas∠BAC专6g”[子，]， B级综合练 1.AC设水的阻力为f,小船受到的绳的拉力为F, F与水平方向的夫角为(0<0<受)，则|Fc0s0= 【,所以1F1一05在小船靠岸的过程中，0增 大，cos0减小，所以|F增大，A正确；因为F|sin0 增大，所以船的浮力变小，C正确. 2.D因为AO=入AB+(1 A)AC,所以，点B,O,C三点 共线，且点O在线段BC B 上.又O为△ABC的外心， 86 所以△ABC为直角三角形且AB⊥AC,O为斜边 BC的中点.如图，过A作BC的垂线AQ,垂足为 Q.因为BA在BC上的投影向量为uBC,所以μBC =BQ,所以OA在BC上的投影向量为OQ=BQ Bd-rB元-2BC=(-)B元.又oi1- 2BC,所以cos∠A0C= 102 (-)BC OA C =g-.因为∈[号，]，所以24-1∈[号 ],即@s∠A0C的取值范周为[号，] 「137 3.C方法一如图，以A为 坐标原点，AB所在直线为 x轴，AD所在直线为y轴 建立平面直角坐标系.设 AB=2AD=2,则A(0,0), B(2,0),D(0,1),C(2,1),所以AB=(2,0),AD= (0,1),BC=(0,1),DC=(2,0),所以DF=入DC= (2x,0),B克=uBC=(0,),所以AE=A言+B2 (2),A庐=AD+D京=(2X,1).因为AE⊥AF,所 以A它·A京=0，即2X2x十uX1=0,即4入十u=0. 又A+4=1,所以A=-了=专，所以A弦-(2。 ),=(-号，，所以E京=-正=(-， 号)，所以耐》+(-因 为AD=1,所以需- 3 方法二因为AE=AB+B元=AB+μBC=AB+ (1-)BC,AF=AD+DF=AD+DC=BC+ 入AB,所以A它.A京=[A店+(1-A)BC]·(BC+ AAB)=[1+A(1-A)]AB·BC+(1-入)1BC12+ AB=(1-)BCBC=(1+3)IBC 1.因为AE⊥AF,所以A它.A庐=0，即1+3x=0, 得A=一子，所以=专，=(A京-A A-2AE.A京+A2=|A它12+|AF?=(AB +专B+(武-专A=AP+9BC+ 兮等，州器部 =65 3 4.解：(1)因为船在河内行驶的路程AB=2km,行驶 时间为0.2h,所以船沿AB方向的速度为v= 忌2=10km/h由AC=万km,AB=2km,ACL BC,得BC=√2-3=1(km),所以∠BAC=30°， 即(2,0)=60. 由v=1十w2,得1=v-2, 所以|1|=√(0-2)2=√02-22·w十 W/102-2×2×10cos60°+2=2√2T(km/h). (2)因为0=U1十2，所以2=(01十02)2，即100 (2√2I)2+2×2√2I×2cos(u1,u2)+22,解得 0s()2即船在静水中的速度与水流 速度”夹角的余弦值为四 14 5.解：(1)在△ABC中，AB=CB-CA,CB·CA 2X1Xcos60°=1，所以AB2=(CB-CA)2=CB+ CA2-2CB.CA=22+12-2×1=3, 则1AB12+|AC12=4=|BC12,所以∠BAC=90°， B=90°-∠ACB=30°. (2)假设存在非零实数入，使得AE⊥CD, 由AD=入AB,得AD=A(CB-CA), 则CD=CA+AD=CA+λ(CB-CA)=λCB+ (1-)CA. 又BE=ABC,则AE=AB+BE=(CB-CA)+ A(-CB)=(1-λ)CB-CA】 所以AE·CD=入(1-A)CB2-入CB·CA+(1 A)2CB.CA-(1-A)CA2=4x(1-A)-入+(1 λ)2-(1-λ)=-3入2+2入=0. 又久0，得入=号， 所以夺在非零实量入一号俊得正L励， 课时2余弦定理 A级基础练 1.C因为a>b>c,所以△ABC的最小角为C,所以 cosC=+c=49+4813=5.又∈(0， 2ab 2×7×4√3 2 ),所以C=吾 2.A因为b+c2=a-3bc,所以cosA= +-0=因为0<A<,所以 2bc 2bc A- 3.D如图，根据题意可知AB=16,BC 北 C =24,∠ABC=120°，则由余弦定理可 60 得AC=AB2+BC2-2AB·BC·cosB所 120°=162+24-2×16×24×(-2） =1216,所以AC=819. 4.C由题意，设a=2m,b=3m,c=4m,其中m>0. 由余弦定理可得c0sC=Q十b-c 2ab 2mmn咖-一<0.即最大角C为 2×2mX3m 钝角，所以△ABC为钝角三角形 5.B由(a+b+c)(b+c-a)=3bc,得(b+c)2-a2= 36c,整理得B十c2-a2=bc,则cosA=+c2-a 2bc =子因为A∈(0，x,所以A=子又a=2bc0sC, 所以a=26.Q+b2-c2 ,化简得b=c,所以△ABC 2ab 为等边三角形 6.答案W19 解析：由题意得a十b=5,ab=2.由余弦定理，得 c2=a2+62-2abcos C=a2+62-ab=(a+b)2- 3ab=52-3×2=19,所以c=√19. B级综合练 1.B不坊令在△ABC中，A=6,AB=AC,S 5.设AB=2,BC=5-1D 则c0s36°=(2)+(2)2-[W5-1)x]2 2×2xX2.x =4z2+4x2-(6-25)x=5+1 8x2 4 2.ACD因为a2=b+c2-√3bc,所以cosA= 6+c2-d-Bc=5.因为0<A<元，所以A= 2bc 2bc21 若，因为1amB=2c0sA=,所以B=受，则C 受，所以6=a,c=2a,sinA=cosB.故选ACD. 3.A因为20aBC+15bCA+12cAB=0,所以 20a(AC-AB)+156 CA+12c AB =0,Ep (20a- 15b)AC+(12c-20a)AB=0.又AC和AB不共线， 对以2地0年以6=号0=号所以在 △ABC中a为最小边，即A为最小角，所以△ABC 中最小角的余孩依为c0sA士正-青 2bc 7第四节平面向量的应用 课时1平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例 A级基础练 1.在梯形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,IAB= 5.如图，在△ABC中，已知AB=2,AC=3,P 2,BC=2|ADL.若点P在线段BC上（含端 在线段BC上，且BP-BC.Q是边AB(含 点)，则|PC+3PD的最小值是 端点)上的动点 A号 B.4 （1)若AQ=号AB.0是AP中点，求证：C c D.6 O,Q三点共线； (2)若存在点Q使得AP⊥CQ,求cos 2.已知D为△ABC所在平面内一点，直线 ∠BAC的取值范围. AD交BC于点E,且6AD=2AB+3AC, 则S△ NS△ABD A.吉 B司 c品 品 3.一条河两岸平行，河的宽度为1560m,一艘 船从河岸出发，向河对岸航行.已知该船在 静水中的速度y1的大小为1|=13km/h, 水流速度v2的大小为|y2|=5km/h,若该 船的航程最短，则行驶完全程需要的时间t 为 ( A.7.2 min B.7.8 min C.120 min D.130 min 4.如图为某种礼物降落伞的示意 图，其中有8根绳子和伞面连 接，每根绳子和垂直于水平面的 向量的夹角均为30°.已知某礼 物的质量为10kg,每根绳子的 拉力大小相同，则该降落伞在匀速下落的过 程中每根绳子拉力的大小约为（重力加速度 g取9.8m/s2,精确到0.1N) A.14.1N B.15.6N C.16.9N D.17.4N 15 B级综合练 1.(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船 (2)船在静水中的速度U1与水流速度2夹 在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么 角的余弦值. 小船在匀速靠岸的过程中，下列说法正确的 是 () A.小船受到的绳子的拉力不断增大 B.小船受到的绳子的拉力不断变小 C.船的浮力不断变小 D.船的浮力保持不变 2.已知O为△ABC的外心，且AO=入AB十 (1一λ)AC,若向量BA在向量BC上的投影向 5.如图，在△ABC中，已知CA=1,CB=2, 量为BC,其∈[得，引，则ms∠A0c ∠ACB=60°. (1)求角B; 的取值范围为 A品别 B哈周 (2)已知点D是AB上一点，满足AD= AAB,点E是边CB上一点，满足BE= c易高 D. 入BC,是否存在非零实数入，使得AE⊥CD? 3.已知四边形ABCD是矩形，AB=2AD,DF 若存在，求出入的值；若不存在，请说明 理由. =入DC,BE=uBC,λ+4=1，AE⊥AF,则 EF ( AD A辱 B.58 9 c. n号 4.如图，一条河两岸平行，河的宽度AC= √3km,一艘船从河边的A点出发到达对岸 的B点，船在河内行驶的路程AB=2km, 行驶时间为0.2h.已知船在静水中的速度 ℃，的大小为|v1|,水流的速度2的大小为 v2|=2km/h.求： (1)1o11: 16