6.3.3 平面向量数量积的坐标表示-【名师大课堂】2025-2026学年高中数学必修第二册同步小作业（人教A版）

故入的取值范国是(-1，一) 5.解：(1)AE=AB+BE-(2e,十e2)+(-e,十e2) e,+(1十λ)e2. 因为A,E,C三，点共线，所以存在实数，使AE kEC, 即e,+(1+λ)e2=k(-2e,+e2), 得(1+2k)e1=(k-1-λ)e2. 因为e1,e2是平面内两个不共线的非零向量， ,1+2k=0, 所以k一1一入=0， 每得== (2-成+武--364=-32,1)子 1 (2,-2)=(-6,-3)-(1,-1)=(-7,-2). (3)因为A,B,C,D四点按顺时针顺序构成平行四 边形，所以AD=BC 设A(2,y),则AD=(3-x,5-y). 因为BC=(7,一2)，所以 3-x=一7，解 5-y=-2, 0 即点A的坐标为(10.7). 课时3平面向量数量积的坐标表示 A级基础练 1.B方法-因为a=(3,4),a-b=(1,2),所以 b=a-(a-b)=(2,2),所以a·b=3×2+4×2 =14. 方法二a·(a-b)=3×1十4×2=11. 又a·(a-b)=a2-a·b,所以a·b=a2-11=32 +42-11=14. 2.BC A AB=(5,-12)-(-3,-4)=(8,-8). B / OC=OA-OB=BA=-AB=(-8, 8). C 1AB=√82+(-8)=8√2. 0 AB.OB=8X5+(-8)×(-12) =136. 3.C设向量a,b的夹角为0.因为(a十b)⊥b,则 (a十b)·b=a·b+b=0,所以|a·bcos0+ b12=0,则4×2c0s0叶4=0，解得c0s0=-7所 8 4.C因为向量a=(4,3),b=(3,入)，a⊥b,所以a·b =12+3入=0，解得入=-4，即b=(3,-4),则a十b =(7,-1),所以(a十b)·b=21十4=25，所以b在 a+b上的设彩向量为a。b:办.a+b1=5 a+b2 a+b)=( 5.答案：(-22)U(3,+∞) 解析：因为a=(1,0),b=(0,1),所以ka十b=(k, 1),a+2b=(1,2).因为向量ka+b与a+2b的夹 角为锐角，所以(ka十b)·(a+2b)=(k,1)·(1,2) =十2>0，解得>-2.又当灰=合时，如十b与 a十2b方向相同，此时ka十b与a十2b的夹角为0， 故≠分，所以实数的取值范国为(-2，)U (3+∞) B级综合练 1.B 曲随毫得1≠0，且品日 6年8合所以1bg+2a·b)=a1ab +2b2).将a=(t,0),b=(-1,√3)代入，整理得 2t2-4t=8t-t·|t.当t>0时，3t=12t,所以 t=4;当t<0时，t=-4t,所以t=一4.综上，实数 t的值为4或一4. 2.D因为AC=AB+AD,BD=BC-DC,所以AC =(AB+AD)2=AB+2AB.AD+AD=ABI +2A店.AD+AD1①，B市=(BC-DC)2= BC-2 BC DC+DC=BCI*-2 BC DC+ 1DC12②.又AB.AD=BC.DC,AC=1+4= 5,BD=16+4=20,①②两式相加得，|AB12+ BC12+1CD12+1DA12=5+20=25. 3.BCD由已知条件得e·0,=1X1Xc0s60=2, 则a·b=(2e1+e2)·(-4e1+5e2)=-8e+6e1· e,+5e=-8+6×2+5=0,放A错误，C正确， al=√(2e1+e2)=√4e+4e,·e,+e= √4+4X2+1=万，故B正确：0s(a十0，a) (a+b)·a (-2e1+6e2)·(2e1+e2) a+b a √7|-2e1+6e2l -4e+10e1·e2+6e2 -4+10x+6 √7/4e-24e1·e+36e /4-24×7+36 子又a十b:a)∈[0，]，故a+b:a>=60,放D正 确.故选BCD. 4.解：(1)方案一选条件①. 由题意，得十b=(一t,1一t),a十b=(一1，t1). 因为(ta+b)⊥(a+tb),所以(ta+b)·(a+tb) =0, 所以t+(1一t)(t-1)=0, 即t-3t+1=0,解得1=3±⑤ 2 方案二选条件②. 由题意，得加+b=(-t,1一t),a十b=(-1,t-1). 因为ta+b|=a+b|, 所以√（-t)+(1-t)=√（-1)2+(t-1), 即t=1, 解得t=士1. 方案三选条件③. 由题意，得t+b=(-t,1一t),所以cos(ta十b,b) _(ta+b)·b1-t ta+bb T√-t)+(1-t) (2)因为c=-ya+(1-x)b=(x,y), 所以(xy)=(y,1-x+y),即=y, y=1一x+,·解 得l'所以c=(1,1),所以c=+T=厄. y=1, 5.解：(1)由题意可得OA=(6,0),OC=(1,√3)，OM =20i=(3,0),C=0M-=(2,-,d Cò.CM_√7 (1,3),故cos∠0CM=0C7 (2)设P(t,√3)(1≤t≤5)，则AOP=(at,W3), OA-AOP=(6-At,-3A),CM=(2,-√3). 若(OA-AOP)⊥CM,则(OA-AOP)·CM=0, 即12-2λt+3λ=0，可得(2t-3)λ=12. 若1=，则入不存在： 若≠=是又1，U(号时]， 故a∈(-0，-12]U[号，+∞) 第四节 平面向量的应用 课时1平面几何中的向量方法、向量在 物理中的应用举例 A级基础练 1.D如图所示，以B为坐标原，点，BC,BA所在直线 分别为xy轴，建立平面直角坐标系.设AD=d, BP=p(0p2d),则B(0,0),C(2d,0),D(d, 8 2),P(p,0),所以PC=(2d-p,0),PD=(d-p, 2),所以P元+3PD=(5d-4p,6),所以 PC+3PD1=√J(5d-4p)+6≥6，当且仅当5d =4幼，即b=1时等号成立，所以P心+3P方的 最小值是6. 2.C如图，AD交BC于点E.由 6AD=2AB+3AC,得AD= 子A计号A.授A应=xA 专不店+号A亡.由B,E,C三点 共线，得号+受=1，解得x=号所以A=号A店计 C,则号（定-）=（元-应，所以2屁 -3E记设S8m=2y,则56D=3y.又花=号 AD,则AD=5DE,所以S△ABD=5S△ED=15y,则 品 S△D= 3.B作OA=u1,OB=u,以OA,OB为邻边作平行四 边形OACB,如图所示.若该船的航程最短，则该船 的实际航行速度v=v1十u2与水流速度2垂直，即 OC⊥OB,且1BC1=1OA1=|u,|=13,1OB1=|u2 =5,由勾股定理可得1v|=|O心|= √BC2-OB2=12,因此，若该船的航程最短，则 行驶完全程需要的时间1=1：56=0.13(h),则1 12 0.13×60=7.8(min). A 02B 4.A如图，设n为垂直于水平面的单 位向量，其中一根绳子的拉力为F, 则(n,F)=30°，所以F在n上的投影 向量为 F,所以8根绳子拉力 2 的合力F=8X Fn=4√3F 2课时3平面向量数量积的坐标表示 A级基础练 1.已知向量a=(3,4),a-b=（1,2),则a·b A B晋 ( A.5 B.14 c野 D. C.-6 D.2√2 4.已知向量a=(4,3),b=(3,λ)，且a⊥b,则b 2.(多选)在平面直角坐标系中，点O为原点， 在a+b上的投影向量的坐标为( ) A(-3,-4),B(5,-12),0C=0A-0B,则 ( A.AB=(-8,8) B-) B.OC=(-8,8) c(3-》 C.IAB|=8√2 D.(7,-1) D.AB·OB=(-15,48) 5.已知a=(1,0),b=(0,1),若向量a+b与 3.已知向量a,b满足|a=4,|b=2,(a十b) a十2b的夹角为锐角，则实数的取值范围 ⊥b,则向量a,b的夹角为 为 B级综合练 1.已知非零向量a=(t,0),b=(一1，√3)，若a 3.（多选)如图，设Ox,Oy是平面内相交成60° 十2b与a的夹角等于a+2b与b的夹角，则 角的两条数轴，e1,e2分别是与x轴、y轴正 实数t= 方向同向的单位向量.若向量OP=xe,十 A.4 B.4或-4 e2,则把有序数对(x,y)叫作向量OP在坐 C.2 D.2或-2 标系xOy中的坐标.若在坐标系xOy中， 2.在平行四边形ABCD中，AC=(1,2),BD a=(2,1),b=(-4,5),则 =(-4,2),则|AB12+1BC12+1CD12+ A.a·b=-3 |DA2= B.|a=√7 e 0 A.5 C.a⊥b B.5 D.a+b与a的夹角为60 C.3√5 D.25 13 4.已知向量a=（一1，一1)，b=(0,1). 5.如图，在平面直角坐标系中，已知四边形 (1)在①(ta+b)⊥(a+b),②|扣+b|= OABC是等腰梯形，A(6,0),C(1,√3)，点M a+b|,③ta+b,b〉=45°这三个条件中任 选一个，补充在下面问题中，并解答问题. 满是OM=OA,点P在线段BC(包括端 若 ,求实数t的值； 点)上运动 (2)若向量c=(x,y),且c=一ya+(1-x) (1)求∠OCM的余弦值. b,求cl. (2)是否存在实数λ，使(OA-λOP)⊥CM? 若存在，求出满足条件的实数入的取值范 围；若不存在，请说明理由 y : 14