6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示-【名师大课堂】2025-2026学年高中数学必修第二册同步小作业（人教A版）

课时2平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示 平面向量数乘运算的坐标表示 A级基础练 1.在平面直角坐标系中，如果用i,j分别表示 3.已知M(3,-2),V(5,-1),若NP=MN, x轴正方向上和y轴正方向上的单位向量， 则点P的坐标为 且A(2,3),B(4,2),则AB可以表示为 A.(3,2) B.(3,-1) ( C.(7,0) D.(1,0) A.2i+3j B.4i+2j 4.已知a=(-3,4),b=(5,2),则2a-3b= C.2i-j D.-2i+j () 2.(多选)已知坐标平面内的任一向量a,下列 A.(21,2) B.(-21,2) 说法错误的是 () C.(2,21) D.(-2,21) A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x, 5.在四边形ABCD中，A(一2,0)，B(一1,3)， y) C(3,4),D(2,3),E,F分别为AB,CD的中 B.若x1,x2,y1,y2∈R,a=（x1,y1)卡(x2, 点，则3EF= ( ) y2),则x1≠x2,且y1≠y2 A.(12,6) C.若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0，则a的起 B.(-12,-6) 点是原点O C.(4,2) D.若x,y∈R,a≠0，且a的终点坐标是(x, D.（-4,-2) y),则a=(x,y) B级综合练 1.(多选)已知a=(1,1),b=(2,0),c=(2,4), 则下列可以作为平面内基底的是 ( A+2 A.(a,b-c) B.(a,b+c) B20i-27i 3 3 C.{a,2b-c} D.{a,2b+c} 2.如图，A,B,C是圆O上三个不同的点，且 c.F 3 ∠AOB=120°，∠AOC=30°，则OC=() D. 11 3.设OA=(-2,4),OB=(一a,2),OC=:5.已知e1,e2是平面内两个不共线的非零向 (b,0),a>0,b>0.若A,B,C三点共线，则 量，AB=2e,十e2,BE=-e1+e2,EC +云的最小值为 -2e1十e2,且A,E,C三点共线. a (1)求实数入的值： 4.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1, (2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求BC的 -2),B(2,1),C(3,2) 坐标； (1)若点D(-2,3),AB=a,AC=b,试用基 (3)已知D(3,5),在(2)的条件下，若A,B, 底{a,b}表示AD+BD+CD: (2)若AP=AB+入AC(入∈R),且点P在第 C,D四点按顺时针顺序构成平行四边形， 求点A的坐标. 四象限，求λ的取值范围. 12课时2平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示 平面向量数乘运算的坐标表示 : A级基础练 1.C记O为坐标原点，则OA=2i+3j,OB=4i十 2j,所以AB=OB-OA=2i-j. 2.BCD由平面向量基本定理，可知A说法正确：若 a=(1,0),则(1,0)≠(1,3)，但1=1，故B说法错 误；因为向量可以平移，所以a=(x,y)与a的起点 是不是原，点无关，故C说法错误；当a的终点坐标 是(x,y)时，a=(x,y)是以a的起点是原点为前提 的，故D说法错误.故选BCD. 3.C设P(x,y),则NP=(x-5,y+1).又MV= (2,1),且NP=MN,即(x-5,y+1)=(2,1),所以 2-5=2解得2=7所以P(7,0). y+1=1, y=0, 4.B由题意得，2a=(一6,8)，3b=(15,6),所以2a -3b=(-21,2). 5.A因为A(-2,0),B(-1,3),E为AB的中点， 所以点E的坐标为（二2+)-山，0十3)，即 2 3 -是，).同理可得F(3,),所以序=（受， 号)-（-号，多）=(4,2，则3E萨=126). B级综合练 1.ACD b-c=(0,-4),由1×(-4)-1×0 A 一4≠0，可得a,b-c不共线，则{a,b c}可以作为基底。 b+c=(4,4),由1×4一1×4=0，可得 女 a,b十c共线，则{a,b十c}不可以作为 基底。 2b-c=(2,-4),由1×(-4)-1×2= C / 一6≠0，可得a,2b-c不共线，则{a,2b 一c}可以作为基底. 2b+c=(6,4),由1×4一1×6=一2≠ D 0,可得a,2b+c不共线，则{a,2b+c} 可以作为基底. 2.D如图，建立平面直角坐标系.设圆O的半径为 1,因为∠AOB=120°，∠AOC=30°，所以A(-1, 0,B(分号).c(-,）,所以0=(-1， 83 0.0成=(3，)，0心 = (-9,-2》.因为i.0丽不 共线，所以由平面向量基本定 理，可知存在实数入，4，使O心= A0所+0成，所以(-9-)=A-1.0)+ ()，所以 2 解 =B 39 得 3 所以0-oi-o成 3答案.3十22 2 解析：由题意，得AB=(一a十2，一2)，AC=(b十2， 一4).因为A,B,C三点共线，所以AB∥AC,所以 -4(-a十2)=-2(b+2),整理得2a十b=2,所以 日+6-22a+合+)=(3+0+2)≥ b (3+2会·2)-3+22当且仅当6-= 2√2-2时等号成立. 4.解：(1)AB=(1,3),AC=(2,4),AD=(-3,5), BD=(-4,2),CD=(-5,1), 所以AD+BD+CD=(-3,5)+(-4,2)+(-5, 1)=(-12,8). 由题意，知存在实数m,n,使得AD+BD+C市= m AB+n AC, 即(-12,8)=m(1,3)+n(2,4)=(m+2n,3m+ 4n), 可得 0+212解得032 3m十4n=8, n=-22, 所以AD+BD+CD=32AB-22AC=32a-22b. (2)设P(x,y),则AP=(x-1,y十2). 又AP=AB+λAC=(1,3)+A(2,4)=(1+2λ，3+ 4入)， x-1=1+2λ，即 x=2+2A, 则十2=3+以，甲y=1+以 又点P在第四象限， 2十2以之0·解得-1<A<-子 所以1十4<0： 故入的取值范国是(-1，一) 5.解：(1)AE=AB+BE-(2e,十e2)+(-e,十e2) e,+(1十λ)e2. 因为A,E,C三，点共线，所以存在实数，使AE kEC, 即e,+(1+λ)e2=k(-2e,+e2), 得(1+2k)e1=(k-1-λ)e2. 因为e1,e2是平面内两个不共线的非零向量， ,1+2k=0, 所以k一1一入=0， 每得== (2-成+武--364=-32,1)子 1 (2,-2)=(-6,-3)-(1,-1)=(-7,-2). (3)因为A,B,C,D四点按顺时针顺序构成平行四 边形，所以AD=BC 设A(2,y),则AD=(3-x,5-y). 因为BC=(7,一2)，所以 3-x=一7，解 5-y=-2, 0 即点A的坐标为(10.7). 课时3平面向量数量积的坐标表示 A级基础练 1.B方法-因为a=(3,4),a-b=(1,2),所以 b=a-(a-b)=(2,2),所以a·b=3×2+4×2 =14. 方法二a·(a-b)=3×1十4×2=11. 又a·(a-b)=a2-a·b,所以a·b=a2-11=32 +42-11=14. 2.BC A AB=(5,-12)-(-3,-4)=(8,-8). B / OC=OA-OB=BA=-AB=(-8, 8). C 1AB=√82+(-8)=8√2. 0 AB.OB=8X5+(-8)×(-12) =136. 3.C设向量a,b的夹角为0.因为(a十b)⊥b,则 (a十b)·b=a·b+b=0,所以|a·bcos0+ b12=0,则4×2c0s0叶4=0，解得c0s0=-7所 8 4.C因为向量a=(4,3),b=(3,入)，a⊥b,所以a·b =12+3入=0，解得入=-4，即b=(3,-4),则a十b =(7,-1),所以(a十b)·b=21十4=25，所以b在 a+b上的设彩向量为a。b:办.a+b1=5 a+b2 a+b)=( 5.答案：(-22)U(3,+∞) 解析：因为a=(1,0),b=(0,1),所以ka十b=(k, 1),a+2b=(1,2).因为向量ka+b与a+2b的夹 角为锐角，所以(ka十b)·(a+2b)=(k,1)·(1,2) =十2>0，解得>-2.又当灰=合时，如十b与 a十2b方向相同，此时ka十b与a十2b的夹角为0， 故≠分，所以实数的取值范国为(-2，)U (3+∞) B级综合练 1.B 曲随毫得1≠0，且品日 6年8合所以1bg+2a·b)=a1ab +2b2).将a=(t,0),b=(-1,√3)代入，整理得 2t2-4t=8t-t·|t.当t>0时，3t=12t,所以 t=4;当t<0时，t=-4t,所以t=一4.综上，实数 t的值为4或一4. 2.D因为AC=AB+AD,BD=BC-DC,所以AC =(AB+AD)2=AB+2AB.AD+AD=ABI +2A店.AD+AD1①，B市=(BC-DC)2= BC-2 BC DC+DC=BCI*-2 BC DC+ 1DC12②.又AB.AD=BC.DC,AC=1+4= 5,BD=16+4=20,①②两式相加得，|AB12+ BC12+1CD12+1DA12=5+20=25. 3.BCD由已知条件得e·0,=1X1Xc0s60=2, 则a·b=(2e1+e2)·(-4e1+5e2)=-8e+6e1· e,+5e=-8+6×2+5=0,放A错误，C正确， al=√(2e1+e2)=√4e+4e,·e,+e= √4+4X2+1=万，故B正确：0s(a十0，a) (a+b)·a (-2e1+6e2)·(2e1+e2) a+b a √7|-2e1+6e2l -4e+10e1·e2+6e2 -4+10x+6 √7/4e-24e1·e+36e /4-24×7+36