6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示同步练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 一、单选题 1. 已知为坐标原点，点 ， ，是线段的中点，那么向量 的坐标是( ) A. B. C. D. 2. 设是所在平面内一点， ，设 ， ，则 在基 下的坐标为( ) A. B. C. D. 3. 如果用分别表示轴和轴正方向上的单位向量，且 ，则可以表示为( ) A. B. C. D. 4. 如图，分别取与轴，轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若 ，则向量的坐标为( ) A. B. C. D. 5. 已知 ，若 ，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 6. 已知向量 ，将向量 绕原点 沿逆时针方向旋转 到 的位置，则点 的横坐标为( ) A. -1 B. C. 0 D. 1 7. 已知 为坐标原点，若点 的坐标 ，向量 ，则( ) A. 点 在直线 上 B. 点 在直线 上 C. 的位置向量为 D. 8. 在平面直角坐标系中， ， 与 轴正半轴的夹角为 ，则向量 的坐标是( ) A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知 ，则下列说法不正确的是( ) A. 点的坐标是 B. 点的坐标是 C. 当 是原点时， 点的坐标是 D. 当 是原点时， 点的坐标是 10. 在平面直角坐标系 中， ， 分别是与 ， 轴正方向相同的单位向量，对于直角 ，若 ， ，则实数 可能的取值为( ) A. -1 B. 2 C. -6 D. 11. 已知向量 ，对坐标平面内的任一向量 ，下列说法错误的是( ) A. 存在唯一的一对实数 ，使得 B. 若 ,则 ,且 C. 若 ，且 ，则 的起点是原点 D. 若 ，且 的终点坐标是 ，则 三、填空题 12. 平面直角坐标系内， 为坐标原点，若点 ，则向量 的向量正交分解形式是_____. 13. 已知 ， 都是单位向量，夹角为 ，若向量 ，则称 在基底 ， 下的坐标为 ，已知 在基底 ， 下的坐标为 ，则 _____. 14. 如图，在正方形 中， 为中心，且 ，则 _____； _____； _____. 四、解答题 15. 已知 ， 是平面内两个相互垂直的单位向量，且 ， ， ，求 ， ， 的坐标. 16. 已知四边形 的顶点分别为 ， ， ， ，求证:四边形 是平行四边形. 17. 如图，在平行四边形 中， ， 为DC上靠近D的三等分点， 为 上靠近C的三等分点，且 : 恰为 3 : 5,若以 为原点， 为 轴， 为 轴， ， 为基底. (1)求 坐标. 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 一、单选题 1. 答案：B 解析：中点坐标公式为：若，，则中点。 代入，，得，向量的坐标与点坐标一致，即。 2. 答案：D 解析：由得，则。 又，故。 因此，坐标为。 3. 答案：C 解析：向量坐标运算：，代入，，得。 由，，得。 4. 答案：A 解析：向量的坐标可由模长和夹角表示：。 代入，，得。 5. 答案：C 解析：设，则，。 由得，解得，即。 6. 答案：B 解析：先求与轴正方向夹角：，，故。 逆时针旋转后，夹角为，。 则横坐标为（或用旋转公式：，代入，得）。 7. 答案：C 解析：位置向量定义：以原点为起点，指向点的向量称为点的位置向量。 已知，则，与相等，故的位置向量为； A、B选项重复且无坐标无法判断点是否在直线上；D选项，错误。 8. 答案：C 解析：向量坐标公式：，为与轴正半轴夹角。 代入，，得，， 则（表示向量可在轴上/下方）。 二、多选题 9. 答案：ABC 解析：向量的坐标，仅知道向量坐标，无法确定起点、终点的具体坐标，故A、B错误； 当为原点时，，则，，得，C错误； 当为原点时，，则，，得，D正确。 10. 答案：AC 解析：为直角三角形，分三种直角情况： 1.：，则。 ，，得，解得； 2.：，， 得，解得； 3.：，得，即，，无实数解。 综上，或，选AC。 11. 答案：BCD 解析：A选项：平面向量基本定理，平面内任一向量都可由唯一一对实数表示为，正确； B选项：向量不相等，只需横坐标或纵坐标其中一个不相等即可，如，横坐标相等，错误； C选项：平面向量是自由向量，与起点位置无关，只要坐标为，起点可为任意点，错误； D选项：只有当向量起点为原点时，终点坐标才等于向量坐标，起点非原点时不成立，错误。 三、填空题 12. 答案： 解析：的坐标为点坐标，正交分解为，其中，。 13. 答案： 解析：由题意，则。 为单位向量，故，夹角，则。 代入得。 14. 答案：；； 解析：正方形中心为原点，关于原点和坐标轴对称，已知（第三象限），则： 在第四象限，坐标为；在第一象限，坐标为；在第二象限，坐标为。 四、解答题 15. 解： 已知：是相互垂直的单位向量，平面向量正交分解中，若，则的坐标为。 对于，坐标为； ，，则： ，。 16. 证明： 平行四边形判定：一组对边平行且相等（向量相等），则为平行四边形。 计算向量坐标： ； ； ； 。 故，，即，平行且相等，因此四边形是平行四边形。 17. 解:（设，，即，，简化为，，基底为） 设，，，则平行四边形中。 为靠近的三等分点：，； 为靠近的三等分点：，。 （1）已知，则，即。 整理得：。 代入，： 故。 学科网（北京）股份有限公司 $