6.2.2 向量的数乘运算-【名师大课堂】2025-2026学年高中数学必修第二册同步小作业（人教A版）

课时2向量的数乘运算 A级基础练 1.化简：6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a A.AD-AC-7AB +c)= ( A.6a+2b+8c B.6a-14b B.AB+BC+CD+DA=0 C.-2a-14b D.6a+2b C.10A+2 ODI-0 2.(多选)如图所示，C,D是线段AB上的两个 三等分点，则下列关系式正确的是( n.0i-号Dc+D丽 A 4.设a,b是两个不共线的向量，则“a十b与 C D B λa十4b共线”是“λ=2”的 () A.AB=3 AC A.充分不必要条件 B.DA=-2 CD B.必要不充分条件 C.AC+BD=0 C.充要条件 D.BC=AD D.既不充分也不必要条件 3.(多选)如图，在梯形ABDC中，AB∥CD,AB= 5.已知四边形ABCD的对角线交于点O,E为 2CD,AD与BC相交于点O,则 ( AO的中点，若AE=AB+以AD,则入十 1 A.2 B 1 C. D.1 4 B级综合练 1.在△ABC中，AP=AB-2AC,则点P( 2.已知P为△ABC所在平面内一点，且满足 9 AP=λ(AB+AC),BP=(1-2)BC,λ，μ∈ BP 2 A.在线段BC上，且BC=g R,则入十u ( B.在线段CB的延长线上，且BP-2 BC 9 A.一2 1 B C.在线段BC的延长线上，且C=是 c D.一4 D.在线段BC上，且SP=2 5 3.(多选)已知M为△ABC的重心，D为BC: (2)若△ABC所在平面内一点O满足2AO 的中点，则下列等式成立的是 () =OB+OC,证明：OE∥BC. A.IMAI=MBI=IMC B.MA+MB+MC=0 C.BM-BA+号Bi D.cM=号d+}d 4.已知A,B,P是直线1上不同的三点，点O 在直线1外，若OP=mAP+(2m-3)OB, 则PB IPAI 5.如图，在△ABC中，点M,N满足AM= mAB,AV=nAC(m>0,n>0),D是线段 BC上一点，BD-专B元，点E为AD的中 点，且M,N,E三点共线 (1)求3m+6n的最小值. 6因为a=b|=|a-b|,所以OA=OB=BA. 所以△OAB为正三角形. 设△OAB的边长为1，则a-b=BA=1,a十bl =2×5=5, 2 所以9 课时2向量的数乘运算 A级基础练 1.D6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c)=6a -6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c=6a+2b. 2.ABC 因为C,D是线段AB上的两个三等分 A 点，所以AB|=3AC1,又AB与AC同 向，所以AB=3AC 因为C,D是线段AB上的两个三等分 6 / 点，所以DA1=2CD1,又DA与CD反 向，所以DA=一2CD 因为C,D是线段AB上的两个三等分 点，所以AC|=|BD1,又AC与BD反 向，所以AC=一BD,所以AC十B市 =0. 因为C,D是线段AB上的两个三等分 D 点，所以|BC1=|AD,又BC与AD反 向，所以BC=一AD. 3.ABC 对于A,市-心-C市=店，所以A正 确；利用向量的加法运算，知B正确：对于C,因为 △0D0△0BA,所以景-器-子，即0市 20i,所以10i+20市=1O-Oi1=01 0,所以C正确；对于D,Oi=号Di=号(D成+ B=号(D成+2D心)=号D成+号D心，故D错误。 故选ABC 4.Ba十b与入a十4b共线等价于存在实数k≠0，使 得a+b=k(a+4b),即(k入-1)a=(入-4k)b.因 为a,b是两个不共线的向量，所以 k入-1=0·解得 入-4k=0, 入=士2，所以“a十入b与入a十4b共线”是“入=2”的必 要不充分条件. 5.A由已知得A它=子A0,A它=入A店+uAd,故 AO=2入AB+2μAD.又B,O,D共线，故2入十2= 1,所以A+以= B级综合练 1.B由题意，得A市-A店=号(A店-A心，则B丽 号C,所以C,P,B三点共线，且点P在线段CB 的延长线上部忌故选 2.C因为AP=入(AB十AC),所以，点P在边BC的 中线所在的直线上.因为BP=(1一2)BC,所以，点 P在边BC所在的直线上，所以点P是边BC的中 点，所以入=7,1-2=，所以以=子，所以入+公 4· 3.BC如图，M为△ABC的重心，D为BC的中点， 三角形的重心到三个顶点的距离不一 A 定相等. B / Ai=2Mi=2×号(M+MC)=Mi +MC,则MA+MB+MC=0. Bmi=防+Di=防+}DA=B防+ C 骨-)-号i+号防 Ci=C市+Di=C币+Di-Ci+ D ci-=ci+号ci. 4.2因为AP=OP-OA,所以OP=mA户+(2m 3)OB=m(OP-OA)+(2m-3)OB,整理得(m- 1)OP=mOA+(3-2m)OB,当m=1时，0=OA +O成显然不成立，故m≠1，所以O市m”Oi十 3-2mO克.因为A,B,P是直线1上不同的三点，所 m-1 以十-1，解得a=2片以0驴=20时 -OB,则OA-OP=O店-OA,即PA=AB,所以 P店=PA+A店=2PA,则P PAL 二2. 5.解：(1)由题可知A方=AB+B方=AB+3BC=A方 +子(AC-A)=子A店+子AC 因为点E为AD的中点，所以A它=号AD=号A店 +gAC. 因为ai=mA店，AN=nAC,所以A应-Ai十 , 因为M,N,E三点共线，所以，十1=1， 3m 6n 所以3m+6n=(3m+6m)(动+品)=2+(0+ %)≥2+2兴·贺=2+2=4，当且仅当0-器 m 2n 即m=号m=号时，等子成立， 所以3m十6n的最小值为4. (2)由2AO=OB+O元，得2AO=OA+AB+OA +AC,即AO=上AB+AC), O=A应-Aò=(}A+6A)-(A+A心 =A店-bAC-C弦，所以O/C, 又E,C,B三点不共线，所以OE∥BC 课时3向量的数量积 A级基础练 1.AD A 根据向量的运算律可知，A正确， (a·b)c表示与向量c共线的向量， 3 a(b·c)表示与向量a共线的向量，则 (a·b)c与a(b·c)不一定相等. 当两个非零向量a与b的方向相反时， C X a·b=一ab<0,此时a与b的夹 角为180°，不是钝角. 若a与b中至少有一个零向量，则 |a·b|=|ab=0,此时a与b共线； 若a与b均为非零向量，设a与b的夹 D√ 角为0，则|a·b=a|bcos=a |b,可得c0s0=土1，又0≤0≤π，所以 0=0或π，即a与b共线，反之也成立. 综上，a·b|=a|b台a∥b. 8 2.C因为a=2a·(a-b)=a2-a·b=|a2- a·b=5, 所以a·b=一1.设向量a与b的夹角为0，则cos0 8治==-名因为9∈[0]，所 =0·b 以02 3.AD由平面向量a,b,c两两的夹角相等，得夹角 为0°或120°.当夹角为0°时，a+b十c|=a+b +c=1+2+3=6;当夹角为120°时，|a+b+c (a+b+c)2 √Ja+b+c2+2a·b+2a·c+2b·c √14-2-3-6=3.故a十b+c的值为6或√3. 4.B由PA·PB=PB·PC,得PB·(PA-PC)= PB·CA=O,即PB⊥CA,同理PA⊥BC,PC⊥ BA,所以P是△ABC的垂心，故选B. 5.D设向量a与b的夹角为0.由题意可知向量a在 向量b上的投影向量为acos0e,则|acos0e= -e,所以4：b=-1,即2cos0=-1,所以cos0 b 厂2，因为0≤小≤180，所以0=1358 6.A由AB+AC=2AO,得点 O为BC的中点.又点O为 △ABC的外接圆圆心，故B D O △ABC为直角三角形，且 ∠BAC=90°，则OA=OB,又1OA|=|AB1,所以 △ABO为等边三角形.如图，过点A作BC的垂 线，套足为D.设AB=B0=号BC=m,则BD 罗，国此可得向量BA在向量B武上的投影向量为 BD=上BC. B级综合练 1.B因为a+b=3,所以a2+2a·b+b2=9①. 又a-b=1,所以a2-2a·b+b=1②.由①② 得a·b=2,a2+b=5,所以cos0十acos6 a b a6+al8。名-县选B 2.BC因为a=|b=2,所以a+b|=√(a+b)= √a+2a·b+b=√8+2a·b=2√5，则a·b=2, 故A错送：闲为cosa,6)=日论=2灵2=司 0≤a,b)≤，所以a,b=号，故B正确：因为a· (a-2b)=a2-2a·b=4-2×2=0,所以a⊥(a