精品解析：山东省济南第二中学2025-2026学年高一下学期4月阶段性检测数学试题

山东高一4月阶段性检测 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：. 2. 在平行四边形ABCD中，与AC交于点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由三点共线，将分别用表示出来，列出方程，即可得到结果. 【详解】由题意可知，三点共线，设， 则， 又， 则，解得. 3. 已知，则“向量共线”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据讨论同向、反向共线两种情况，结合充分、必要性定义确定条件间的关系. 【详解】若向量共线且，同向共线时有，反向共线时有，充分性不成立； 若，而，则向量同向共线，必要性成立； 所以“向量共线”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 在钝角三角形中，角的对边分别为，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由最长边确定钝角为，再通过和联立即可求得的取值范围. 【详解】因为且三角形为钝角三角形，所以为钝角，且 由余弦定理得：， 所以，解得，. 又因为三角形两边之和大于第三边，即，解得， 所以. 5. 在中，已知，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据数量积公式确定的形状，再代入投影向量的公式. 【详解】两边平方得，即， 又两边平方得， 即，即， 如图，，向量与的夹角为， 所以向量在上的投影向量为. 6. 在中，内角的对边分别为，则一定为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角之间的关系，进而判断三角形的形状. 【详解】在中， , 则，即， 则，即得, 由于，故，结合，可得， 即一定为直角三角形， 7. 在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系确定、的向量坐标，利用向量的数量积公式计算即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 因为，，所以，，， 因为为中点，所以，，则. 所以，. 所以 . 8. 的内角，，的对边分别为，，.已知，，若是的中点，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角恒等变换先化简，进而得，再由余弦定理即可求解. 【详解】由 ， 所以， 又，所以， 所以， 所以， 又，， 所以，所以， 又是的中点，所以， 由余弦定理有：， 又， 所以， 当时，，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，则下列选项正确的有（ ） A. B. 的共轭复数为 C. 为实数 D. 在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，可得，根据求模公式，可判断A的正误；根据共轭复数的概念，可判断B的正误；根据除法运算法则，可判断C的正误；根据复数的几何意义，可判断D的正误. 【详解】由题意知， 所以，A正确； 的共轭复数为，B正确； 为实数，C正确； 因为， 所以在复平面内对应的点为,位于第四象限,D错误. 10. 在四边形中，，，其外接圆半径为，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 四边形的面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A，利用余弦定理，结合已知边长计算的余弦值即得；选项B，先在中利用余弦定理求出的余弦值，再根据向量数量积计算即得；选项C，利用正弦定理结合三角形的边长和内角正弦值计算外接圆半径；选项D，利用三角形面积公式，结合已求的内角正弦值计算面积. 【详解】 如图连接，在中，由余弦定理及题意得； 在中，由余弦定理及题意得. ，， 解得，，，故A正确. ，故B错误. ，由正弦定理得， ，故C错误. 由C知，，， ， ， 四边形的面积，故D正确. 11. 在中， ，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题知，进而得，，再结合即可判断A；根据得或，再分类讨论判断B，结合面积分类讨论求解判断CD. 【详解】对于A，由和正弦定理得：（*）， 因为，所以，所以， 即，再由正弦定理，可得， 又由余弦定理，，所以，则， 又，即，所以， 则，故， 由（*）得，与矛盾， 故不成立，即，所以，即 所以，故A正确； 对于B，因为，即得， 又，所以或，解得或， 当时，，当时，，故B错误； 对于C，D,当时，，由正弦定理，， 则由解得； 当时，，由正弦定理，， 则由解得.故C错误，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在复平面内，是坐标原点，已知复数，它们所对应的点分别是A，B，C．若，则的值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示和复数对应的向量进行计算即可. 【详解】由题意可得：，，， 所以 由可得： 解得，​，因此. 13. 如图，在四边形中，为等边三角形，，则______． 【答案】18 【解析】 【分析】先通过勾股定理判断是直角三角形，再通过向量分解将拆分为，最后结合等边三角形的性质即可求得结果. 【详解】因为，即， 所以是直角三角形，且， 因为，所以， 因为是等边三角形，所以， 即. 14. 草坪上有一个带有围栏的边长为6m的正三角形活动区域，点在边上，且，小王同学在该区域玩耍，他在处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角（任两条光线的最大夹角）为60°，则手电筒在内部所能照射到的地面的最大面积为________ 【答案】 【解析】 【分析】通过正弦定理、割补法计算平面几何图形面积，基本不等式求解. 【详解】依题意，要使手电筒在内部所能照射到的地面的面积最大，则光线必须经过边，如图，在正中，，，，设， 由正弦定理得：，则， ，则， ， ， 当且仅当，即时取等号， 所以，最大值为． 若，，， 若，，， 所以，最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为2，且是实数. （1）求； （2）设，在复平面内的对应点分别为，，求以，为邻边的平行四边形的面积.（为坐标原点） 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）先利用复数除法运算和乘法运算，求解，然后设出，再根据为实数求解即可； （2）先根据题（1）条件求出、两点坐标，再求解，然后根据，利用三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 设，所以， 因为为实数，所以即，所以， 【小问2详解】 因为，， 所以对应点坐标，， 所以，， 因为，， 所以、与轴所成角相等，设为， 所以，，， 所以， 所以. 16. 在中，内角的对边分别为．若． （1）已知，求三角形的三边长； （2）若，为中点，求外接圆半径． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理结合求得或，又由题意知：所以即可求解三角形的三边长； （2）由代入条件化简得到，分析得到，利用勾股定理和，解得，设的内切圆半径为，再由正弦定理求解即可. 【小问1详解】 ，解得或， 又由题意知：，∴，∴满足条件 ∴，即为三角形的三边 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴，即， ∴或， ∵， ∴， 当时，边最长，与条件矛盾，故舍去； 当时，则，又， ∴，解得：， ∴,∴, 又∵为中点，∴， ∴在中，， 设的外接圆半径为， 由正弦定理得，即， ∴的外接圆半径为． 17. 如图所示，一辆汽车从市出发沿海岸一条直公路以的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在市南偏东方向距市500km且与海岸距离为300km的海上处有一快艇与汽车同时出发，要把一件材料交送给这辆汽车的司机． （1）快艇至少以多大的速度行驶才能把材料送到司机手中？ （2）求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角； （3）若快艇每小时最快行驶75km，快艇应如何行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要多长时间？ 【答案】（1）快艇至少以的速度行驶才能把材料送到司机手中． （2）快艇应以垂直的方向向北偏东行驶． （3）4h． 【解析】 【分析】（1）画图分析，设后与汽车在C处相遇，再根据三角形中的关系分别表示快艇与汽车所经过的路程，再化简求得快艇速度与时间之间的函数关系，再利用二次不等式的最值分析即可. （2）根据（1）中的结论分析可得汽车与快艇路程构成的三角形中的边的关系，进而求得时间即可. （3）设快艇以的速度沿行驶，后与汽车在E处相遇，同（1）中的方法求得三角形各边的关系分析即可. 【小问1详解】 如图，设快艇以的速度从B处出发，沿方向行驶，后与汽车在C处相遇， 在中，,,,为边上的高，， 设，则,，由余弦定理，得， 即，整理得 ， 当，即时取等号，因此， 所以快艇至少以的速度行驶才能把材料送到司机手中. 【小问2详解】 由（1）知，， 在中，,，， 由余弦定理，得，因此， 所以快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角为90°. 【小问3详解】 如图，设快艇以的速度沿行驶，后与汽车在E处相遇， 在中，,,,， 由余弦定理，得，解得或， 而，取，,,， 所以快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要4h. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求； （2）若的面积为，内角的角平分线交边于，，求的长； （3）若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再求出，即可得解； （2）使用“拆面积法”，即，由此求解即可； （3）由题意，两边平方得，结合余弦定理可求出，再根据数量积的几何意义即可得. 【小问1详解】 由及正弦边角关系，得， 因为，即， 则有 ， 由，因此， 则， 由，得，解得， 又，所以； 【小问2详解】 由，得，，则， 又， 因为内角的角平分线交边于，所以， ∴， ∴； 【小问3详解】 在中，由余弦定理，得， 由边上的中线，又因为， 两边平方得， 则，即， 解得， 令边的中点分别为，由点为的外接圆圆心， 得，， ， ， 所以. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面的问题： （1）若是边长为的6等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； （2）的内角，，所对的边分别为，，，且，点为的费马点． （i）若，求； （ii）求的最小值． 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）过作于，结合正三角形性质求解. （2）（i）根据正弦定理求得，由三角形面积公式及向量数量积即可求解；（ii）设，得出，由勾股定理得出，再利用基本不等式求出最小值． 【小问1详解】 由为等边三角形，三个内角均小于，得费马点在三角形内， 满足，且，如图： 过作于，则，，， 所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为． 【小问2详解】 （i）由正弦定理得，而，， 则，即，得，则的三个角都小于， 由费马点定义知，， 设，， 由得：， 整理得，则 ． （ii）由（i）知，点在内部，且， 设，， 则， 由余弦定理得，， ， ， 而，即， 整理得，即，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东高一4月阶段性检测 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 在平行四边形ABCD中，与AC交于点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“向量共线”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 4. 在钝角三角形中，角的对边分别为，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，已知，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角的对边分别为，则一定为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形 7. 在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 的内角，，的对边分别为，，.已知，，若是的中点，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，则下列选项正确的有（ ） A. B. 的共轭复数为 C. 为实数 D. 在复平面内对应的点位于第二象限 10. 在四边形中，，，其外接圆半径为，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 四边形的面积为 11. 在中， ，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在复平面内，是坐标原点，已知复数，它们所对应的点分别是A，B，C．若，则的值是______． 13. 如图，在四边形中，为等边三角形，，则______． 14. 草坪上有一个带有围栏的边长为6m的正三角形活动区域，点在边上，且，小王同学在该区域玩耍，他在处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角（任两条光线的最大夹角）为60°，则手电筒在内部所能照射到的地面的最大面积为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为2，且是实数. （1）求； （2）设，在复平面内的对应点分别为，，求以，为邻边的平行四边形的面积.（为坐标原点） 16. 在中，内角的对边分别为．若． （1）已知，求三角形的三边长； （2）若，为中点，求外接圆半径． 17. 如图所示，一辆汽车从市出发沿海岸一条直公路以的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在市南偏东方向距市500km且与海岸距离为300km的海上处有一快艇与汽车同时出发，要把一件材料交送给这辆汽车的司机． （1）快艇至少以多大的速度行驶才能把材料送到司机手中？ （2）求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角； （3）若快艇每小时最快行驶75km，快艇应如何行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要多长时间？ 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求； （2）若的面积为，内角的角平分线交边于，，求的长； （3）若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面的问题： （1）若是边长为的6等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； （2）的内角，，所对的边分别为，，，且，点为的费马点． （i）若，求； （ii）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $