专题01 整式乘法与乘法公式中的2种数学思想4种综合应用 （高效培优专项训练）数学新教材沪科版七年级下册

专题01 整式乘法与乘法公式中的2种数学思想4种综合应用 题型一：整式乘法中数形结合思想 题型二：整式乘法中归纳思想 题型三：利用乘法公式变形求值 题型四：平方差公式几何背景的探究及应用 题型五：完全平方公式几何背景的探究及应用 题型六：乘法公式综合几何背景的探究及应用 题型一：整式乘法中数形结合思想 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）综合与实践 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 项目背景 数形结合是一种常用的数学思想，我们可以利用图形直观解释整式乘法运算．例如，由图1可以得到： 问题探究 提出问题 （1）由图2可以得到：_____________． 迁移应用 （2）利用图2所得的等式解答下列问题：若实数a，b，c满足，求的值． 拓展创新 （3）请画图，用平面几何图形的面积来表示代数恒等式：（画出一种即可） 2．（2025·安徽蚌埠·三模）数学兴趣小组在计算，，等两位数乘法时发现，当十位上的数字相同、个位上的数字之和为的两个两位数相乘时可以用图形面积来分解计算： 由图可得； 由图可得； 由图可得． (1)请你帮助数学兴趣小组画出计算的面积分解图并计算； (2)设这两个两位数的十位数字为，个位数字分别为，请用含的代数式表示出你发现的计算规律，并证明． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，在一个足够长且宽为的纸带上剪出一些长方形纸片，其面积分别为．图中的虚线为裁剪线，试用含的式子解决下列问题． (1)求的值； (2)若，求长方形的周长； (3)在（2）的前提下，若长方形在边上的长为，比较与的大小，并通过计算说明理由． 4.一些平面几何图形的面积，可以用代数恒等式来表示． 例如：图①就可以用等式来表示该几何图形的面积． (1)请写出图②所表示的代数恒等式：__________________； (2)请写出图③所表示的代数恒等式：__________________； (3)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为． 5．【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式， 代数式的值与x的取值无关， ，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为_________． （2）已知，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 题型二：整式乘法中归纳思想 6．（23-24七年级下·安徽阜阳·月考）观察以下等式： (1)按以上等式的规律，填空： ①______． ②______． (2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立． (3)利用（1）中的公式化简； 7．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：．………… (1)根据上述规律，请写出第5个等式：_______． (2)猜想：_______． (3)利用（2）中的结论，求的值． 8．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）（1）计算 ______． ______． ______． …… （2）猜想：______． （3）利用上面结论计算：的值． 9．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）观察下列多项式的乘法计算． ①； ②； ③； ④． (1)计算：_______，________． (2)若，求的值． 10．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）某数学兴趣小组开展研究：如果有两个两位数，它们的十位上的数相同，个位上的数的和等于10，那么这两个数的积存在一定的规律．观察下列算式，回答相关问题： 算式①：． 算式②：． 算式③：． 算式④：． …… (1)探索以上算式规律，请写出________________． (2)若两个两位数的十位上的数都是a，个位上的数分别为b和c，且． ①上述规律可用等式表示为________； ②试说明①中等式的正确性． 11．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）【观察思考】 观察下列各式． …… 【规律发现】 请根据你发现的规律完成下列各题： （1）根据规律可得： ①______； ②______（其中n为正整数）； 【规律应用】 （2）根据以上规律分解因式：_______； （3）计算：． 12．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）【阅读材料】 对于任意实数x，都有． 当x分别取值1，2，3，4，…，n时，得到下列有一定规律的等式： 第1个等式   ； 第2个等式   ； 第3个等式   ； 第4个等式   ； …… 第n个等式   ； 把以上n个等式相加，并整理、化简， 得， 进一步化简，得． 【初步理解】 有一列数满足以下等式： ，…… （1）根据阅读材料、以上等式所包含的规律，解决问题： ①______； ②______；_____．（用含n的代数式表示） 【深化应用】 （2）结合阅读材料、等式，求的值． 13．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下图是杨辉三角与（其中为正整数）展开式的部分对照，它揭示了展开式的项数及各项系数的有关规律． (1)直接写出：________；________． (2)若，其中，，，，，，为各项系数． ①直接写出：________，________； ②求的值． 题型三：利用乘法公式变形求值 14.（24-25七年级下·安徽宿州·月考）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值；总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值-1． 根据上述材料，解答下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：___________； (2)将变形为的形式___________，则的最小值为___________； (3)已知，求代数式的最大值； 15．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）利用完全平方公式，可以解决很多的数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为， 所以， 所以． 所以． 得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 16．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）（1）问题探究：已知，可利用完全平方公式，得______ （2）自主推导：_________ 根据上面的公式计算：已知，求________ （3）问题解决：已知，求的值． 17．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）我们在应用完全平方公式解题时，经常会对公式进行变形．比如：已知，则． 根据以上变形，回答下列问题： (1)若，求； (2)已知，则______； 题型四：平方差公式几何背景的探究及应用 18.（24-25七年级下·安徽宿州·月考）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 ．（请选择“A”“B”“C”） A．          B．        C． (2)已知，，则的值为 ． (3)计算：． 19．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）如图所示：从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形． (1)上述操作能验证的等式是 ． A． B． C． (2)已知，，则 ． (3)应用所得的公式计算： (4)应用所得的公式计算： 20．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示） (1)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式______． (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 题型五：完全平方公式几何背景的探究及应用 21．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）在学习完全平方公式时，我们借助图形的面积可以更加直观地了解公式的几何背景，经历“以数解形”“以形助数”的思想方法——数形结合．请你跟随某数学学习小组研究完全平方公式的过程，解决下列相关问题． (1)如图1，利用剪刀将长为2a、宽为的长方形纸片沿着虚线裁剪成四个全等的小长方形，然后按照图2的方式拼成一个大正方形． ①结合图1与图2，直接写出，，之间的数量关系； ②已知，，求a和b的值． (2)如图3，正方形的边长为x，，，长方形的面积是5，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积． 22．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，已知正方形，E，F分别是上的点，且，，长方形的面积为48，分别以为边长作正方形，设正方形的边长为x，正方形的边长为a和正方形的边长为b． (1)用含x的代数式表示a和b分别为__________和__________； (2)则由题意得________， __________； (3)请运用所学的完全平方公式和平方差公式探索阴影部分的面积． 23．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）根据所学我们知道：可以通过用不同的方法求解长方形面积，从而得到一些数学等式．如图1可以表示的数学等式：（a+m）（b+n）=ab+an+bm+mn，请完成下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式：___________． (2)结合图3可得___________；结合图4可得数学等式___________． (3)已知，运用上述结论求的值． 24．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）如图①是一个长为，宽为的长方形（），沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形，如图②所示． (1)观察图②，请你写出，，之间的等量关系：______； (2)根据（1）中的结论，若，，求； (3)如图③，正方形的边长为，，，长方形的面积是20，四边形和四边形都是正方形，求图中阴影部分的面积． 25．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用、的等式表示出来） 图1表示：______； 图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）若，，则______；______； （3）拓展提升：若满足，求______； （4）问题解决：如图3，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 26．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）在数学学习中，通常用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式，充分体现了数形结合的思想方法．如图，用图1三种不同大小的正方形与长方形若干个，可以拼成一个如图2所示的正方形． (1)观察猜想：观察图2，用两种不同的方法表示图2阴影部分的面积则可得，，之间的数量关系为：______； (2)理解运用：若，，根据（1）中得出的数量关系，求，的值； (3)拓展提升：若满足，求的值． 27．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）综合与探究通过前面的学习，我们知道：在周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． 【方法理解】 （1）已知长方形的周长是20，设长方形的一边长是，则相邻一边的长是． ①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，将原长方形沿直线l剪成长方形和长方形，长方形的一边长是，相邻一边的长是 ． 如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分正方形的边长为 ．（以上两空，均用含的代数式表示） 通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式满足的等量关系为 ． 请利用整式乘法的知识，通过计算验证上述等式的正确性． ②当时，进行类似上述过程的割补（图4~图6），由图，可得出的等量关系为 ． ③当时，该长方形即为正方形，其面积为 ． 综上所述，周长是20的长方形的面积的最大值是 ． 【方法迁移】 （2）当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 28．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个相同的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用含、的代数式表示出来）； 图1表示：_____； 图2表示：_____． (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，求的值； ②如果，，求的值； ③请直接写出下列问题答案： 如果，_____． 29．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系：_______． (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： 已知：，，求的值． (3)如图，在线段上取一点D，分别以为边作正方形，连接．若阴影部分的面积和为30，的面积为14，求的长度． 30．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式：_______ (2)根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式； (3)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 若，求的值 31．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以， 所以；得 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)请直接写出下列问题答案： 若，，则______； 若，_______． (3)如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 32．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． 【应用】根据图②所得的公式，若，，则______． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和． 33．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）现有若干个长与宽分别为，的小长方形，用这样的两个小长方形，拼成如图1所示的图形，用这样的四个小长方形拼成如图2所示的图形． (1)请认真观察图形，通过图形面积割补的方法，写出图1和图2所蕴含的关于，的关系式．（用含有，的式子表示） 图1表示：________； 图2表示：________； (2)根据上面的思路与方法，解决下列问题： ①若，，求的值； ②如图3，点是线段上一点，以，为边向两边作正方形，设，正方形，正方形的面积分别为，，且，求图中阴影部分的面积． 34．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）【阅读理解】 换元法是一种重要的方法，体现了整体思想．举例如下： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ， 那么． 【解决问题】 (1)若x满足，则的值是_____； (2)若x满足，求的值； (3)如图，在数轴上，点A，B，C表示的数分别是m，10，13，正方形与正方形的面积之和为89，且边的延长线与边交于点P．求长方形的面积． 35．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）【问题呈现】 （1）若，，求下列各代数式的值：①；②． 【问题推广】 （2）若，求的值． 【问题拓展】 （3）如图，E，F分别是正方形的边，上的点，且，，长方形的面积是96，分别以，为边作正方形和正方形，计算阴影部分的面积． 36．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）数学活动课上．老师准备了若干个如图1的三种纸片（其中A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是边长分别为a、b的长方形），并用A种纸片一张，B种纸片一张．C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你写出三个代数式：之间的关系； (2)若，则的值为 ； (3)两个正方形如图3摆放，边长分别为x，y．若，求图中两个阴影部分的面积的和． 37．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）现有若干个长与宽分别为a，b的小长方形，用这样的两个小长方形，拼成如图1所示的图形，用这样的四个小长方形拼成如图2所示的图形． (1)请认真观察图形，通过图形面积割补的方法，写出图1和图2所蕴含的关于a，b的关系式．（用含有a，b的式子表示） 图1表示： ； 图2表示： ； (2)根据上面的思路与方法，解决下列问题： ①若，，求的值； ②如图3，点C是线段上一点，以，为边向两边作正方形，设，正方形，正方形的面积分别为，，且，求图中阴影部分的面积． 38．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）【问题情景】 数学活动课上，老师出了一个题目，阅读下列解题过程． 若x满足，求的值． 解：∵ ∴ 【实践探究】 根据以上解题方法，解决下列问题，若x满足 (1)请直接写出的值为_______． (2)求的值； (3)如图，在长方形中，，点E，F分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为40平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少？ (4) 39．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）如图，将一个边长为的正方形ABCD分割成四部分（边长分别为a，b的正方形、边长为a和b的长方形），请认真观察图形，解答下列问题： (1)请用两种方法分别表示正方形ABCD的面积（用含a，b的代数式表示） ①________，②________； 由此可以验证一个重要的公式是________； (2)若图中a，b满足，，求的值； (3)若，求的值． 40．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）完全平方公式：经过适当变形后可解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以，， 所以． 【探究】（1）若，，，求的值． 【延伸】（2）若，求的值． 【应用】（3）如图，在四边形中，，连接，，交点为，且，，，若，求四边形的面积． 题型六：乘法公式综合几何背景的探究及应用 41．（24-25七年级下·安徽六安·期末）数形结合是一种重要的数学思想，我们可以利用几何图形验证乘法公式．某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有___________（填序号）； (2)利用“平方差公式”计算： (3)兴趣小组中有一位同学想利用“等面积法”来探究的展开式，请你设计并画出一个几何图形来帮助这位同学，根据你设计的图形直接写出的展开式； (4)利用（3）的结论，计算：． 42．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）有两种正方形纸片A和B，边长分别为a和b（）．如图1，将正方形纸片B放置在正方形纸片A的内部，测得阴影部分的面积为16． (1)如图2，将正方形纸片A和B并列放置构造成一个新的正方形（无重叠部分），测得阴影部分的面积为24，求的值． (2)如图3，若将3个正方形纸片A和2个正方形纸片B按照如图3所示的方式放置构造成一个新的正方形（无重叠部分），求图3中阴影部分的面积； (3)若两个正方形边长之和为8，则_______，________． 43．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）【问题呈现】 （1）若，，求下列各代数式的值：①；②． 【问题推广】 （2）若，求的值． 【问题拓展】 （3）如图，E，F分别是正方形的边上的点，且，，长方形的面积是96，分别以为边作正方形和正方形，计算阴影部分的面积． 44．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图1是长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出，，之间的等量关系：______； (2)根据（1）中的结论，若，，求的值； (3)如图3，正方形边长为x，正方形边长为y，点在同一直线上，连接，若，，根据（1）中的结论，求图3中阴影部分的面积． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式乘法与乘法公式中的2种数学思想4种综合应用 题型一：整式乘法中数形结合思想 题型二：整式乘法中归纳思想 题型三：利用乘法公式变形求值 题型四：平方差公式几何背景的探究及应用 题型五：完全平方公式几何背景的探究及应用 题型六：乘法公式综合几何背景的探究及应用 题型一：整式乘法中数形结合思想 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）综合与实践 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 项目背景 数形结合是一种常用的数学思想，我们可以利用图形直观解释整式乘法运算．例如，由图1可以得到： 问题探究 提出问题 （1）由图2可以得到：_____________． 迁移应用 （2）利用图2所得的等式解答下列问题：若实数a，b，c满足，求的值． 拓展创新 （3）请画图，用平面几何图形的面积来表示代数恒等式：（画出一种即可） 【详解】解：（1） ， 故答案为：             （2）由（1）可知：                  （3）如图． 2．（2025·安徽蚌埠·三模）数学兴趣小组在计算，，等两位数乘法时发现，当十位上的数字相同、个位上的数字之和为的两个两位数相乘时可以用图形面积来分解计算： 由图可得； 由图可得； 由图可得． (1)请你帮助数学兴趣小组画出计算的面积分解图并计算； (2)设这两个两位数的十位数字为，个位数字分别为，请用含的代数式表示出你发现的计算规律，并证明． 【详解】（1）解：如图， 由图可得； （2）解：， 证明：左边， 右边， ∴左边右边， ∴该等式成立． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，在一个足够长且宽为的纸带上剪出一些长方形纸片，其面积分别为．图中的虚线为裁剪线，试用含的式子解决下列问题． (1)求的值； (2)若，求长方形的周长； (3)在（2）的前提下，若长方形在边上的长为，比较与的大小，并通过计算说明理由． 【详解】（1）解：由图可知：， ∴； （2）解：； ， 长方形落在边上的长为； ∴长方形的周长为； （3）解：，理由如下： 依题意， ，则 ， 即． 4.一些平面几何图形的面积，可以用代数恒等式来表示． 例如：图①就可以用等式来表示该几何图形的面积． (1)请写出图②所表示的代数恒等式：__________________； (2)请写出图③所表示的代数恒等式：__________________； (3)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为． 【详解】（1）解：由图（2）的面积关系可知，； 故答案为； （2）解：由图（3）的面积关系可知，； 故答案为； （3）解：以长为，宽为画长方形，如图所示， 由图可知，． 5．【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式， 代数式的值与x的取值无关， ，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为_________． （2）已知，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【详解】解：（1） ， 关于的代数式的值与的取值无关， ， 解得：， 故答案为：4； （2）， ， 的值与x无关， ， 即； （3）设，由图可知， ， 当的长变化时，的值始终保持不变． 取值与x无关， ， 题型二：整式乘法中归纳思想 6．（23-24七年级下·安徽阜阳·月考）观察以下等式： (1)按以上等式的规律，填空： ①______． ②______． (2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立． (3)利用（1）中的公式化简； 【详解】（1）解：根据材料提示， ①． ②． 故答案为：；； （2）解： ； （3）解： ． 7．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：．………… (1)根据上述规律，请写出第5个等式：_______． (2)猜想：_______． (3)利用（2）中的结论，求的值． 【详解】（1）解：由题意得，第五个等式为； （2）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． ……， 以此类推可知，； （3）解：由（2）可知， ． 8．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）（1）计算 ______． ______． ______． …… （2）猜想：______． （3）利用上面结论计算：的值． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：，，． （2）归纳可得： ； （3） ； 9．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）观察下列多项式的乘法计算． ①； ②； ③； ④． (1)计算：_______，________． (2)若，求的值． 【详解】（1）解：由①②③④运算情况可知， ； ； 故答案为：，． （2）解：，， ，， 解得， 将代入中，有， ． 10．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）某数学兴趣小组开展研究：如果有两个两位数，它们的十位上的数相同，个位上的数的和等于10，那么这两个数的积存在一定的规律．观察下列算式，回答相关问题： 算式①：． 算式②：． 算式③：． 算式④：． …… (1)探索以上算式规律，请写出________________． (2)若两个两位数的十位上的数都是a，个位上的数分别为b和c，且． ①上述规律可用等式表示为________； ②试说明①中等式的正确性． 【详解】（1）解：． 故答案为：；3021． （2）解：①根据题意可得 ， 故答案为：． ②∵， 所以等式左边 右边， 所以等式成立． 11．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）【观察思考】 观察下列各式． …… 【规律发现】 请根据你发现的规律完成下列各题： （1）根据规律可得： ①______； ②______（其中n为正整数）； 【规律应用】 （2）根据以上规律分解因式：_______； （3）计算：． 【详解】（1）解：① ②； 故答案为：；； （2）解：； 故答案为：． （3）解：由可得： 原式 ． 12．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）【阅读材料】 对于任意实数x，都有． 当x分别取值1，2，3，4，…，n时，得到下列有一定规律的等式： 第1个等式   ； 第2个等式   ； 第3个等式   ； 第4个等式   ； …… 第n个等式   ； 把以上n个等式相加，并整理、化简， 得， 进一步化简，得． 【初步理解】 有一列数满足以下等式： ，…… （1）根据阅读材料、以上等式所包含的规律，解决问题： ①______； ②______；_____．（用含n的代数式表示） 【深化应用】 （2）结合阅读材料、等式，求的值． 【详解】解：（1）①有一列数满足以下等式： ， ∴， ②由①归纳可得：； ∵， ， 把所有的等式相加可得： ； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴， 整理得：， ∴， ∴． 13．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下图是杨辉三角与（其中为正整数）展开式的部分对照，它揭示了展开式的项数及各项系数的有关规律． (1)直接写出：________；________． (2)若，其中，，，，，，为各项系数． ①直接写出：________，________； ②求的值． 【详解】（1）解：∵， 将用替代可得 由杨辉三角可得展开式中系数为 ∴， 故答案为：，； （2）解：①由杨辉三角可得展开式中系数为 ∴系数为， ∴中系数， 故答案为：1，6； ②当时，， 即． 题型三：利用乘法公式变形求值 14.（24-25七年级下·安徽宿州·月考）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值；总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值-1． 根据上述材料，解答下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：___________； (2)将变形为的形式___________，则的最小值为___________； (3)已知，求代数式的最大值； 【详解】（1） 解：∵， 故答案为：16； （2）解：∵ ， 其中，， ， 的最小值是1； 故答案为：，1； （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值． 15．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）利用完全平方公式，可以解决很多的数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为， 所以， 所以． 所以． 得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即． 又∵， ∴， 解得：， 答：的值是12； （2）解：设，则． ∵， ∴， 把，代入， ， ， ， ， ． 16．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）（1）问题探究：已知，可利用完全平方公式，得______ （2）自主推导：_________ 根据上面的公式计算：已知，求________ （3）问题解决：已知，求的值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （3）∵，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 答：的值是 17．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）我们在应用完全平方公式解题时，经常会对公式进行变形．比如：已知，则． 根据以上变形，回答下列问题： (1)若，求； (2)已知，则______； 【详解】（1）解：∵， ∴， 即． （2）解：∵， ∴， ∴， 即． ∴． （3）解：∵长和宽分别为的长方形，它的周长为，面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 题型四：平方差公式几何背景的探究及应用 18.（24-25七年级下·安徽宿州·月考）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 ．（请选择“A”“B”“C”） A．          B．        C． (2)已知，，则的值为 ． (3)计算：． 【详解】（1）解：由题知， 图①中阴影部分的面积为， 图②中阴影部分的面积为， 又图②由图①中的阴影部分剪拼而得， 所以． 故选：B． （2）解：由（1）可知， ， 又，， 所以． 故答案为：2； （3）解：原式 ． 19．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）如图所示：从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形． (1)上述操作能验证的等式是 ． A． B． C． (2)已知，，则 ． (3)应用所得的公式计算： (4)应用所得的公式计算： 【详解】（1）解：图1的面积，图2的面积， ， 故选：B； （2）解：， ， ， ， 故答案为：； （3）解： ； （4）解： ． 20．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示） (1)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式______． (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 【详解】（1）解：由图1可得，阴影部分的面积是， 由图2可得，阴影部分的宽是，长是，面积是， 故答案为：； （2）①， ， ， ， ； ② 题型五：完全平方公式几何背景的探究及应用 21．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）在学习完全平方公式时，我们借助图形的面积可以更加直观地了解公式的几何背景，经历“以数解形”“以形助数”的思想方法——数形结合．请你跟随某数学学习小组研究完全平方公式的过程，解决下列相关问题． (1)如图1，利用剪刀将长为2a、宽为的长方形纸片沿着虚线裁剪成四个全等的小长方形，然后按照图2的方式拼成一个大正方形． ①结合图1与图2，直接写出，，之间的数量关系； ②已知，，求a和b的值． (2)如图3，正方形的边长为x，，，长方形的面积是5，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：①根据图1和图2求出空白部分面积可得． ②因为，，， 所以， 所以，． 因为， 所以， 所以， 解得． （2）解：因为正方形的边长为x， 所以，． 因为四边形和都是正方形， 所以，， 所以，． 因为长方形的面积是5， 所以， 即， 所以阴影部分的面积为． 22．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，已知正方形，E，F分别是上的点，且，，长方形的面积为48，分别以为边长作正方形，设正方形的边长为x，正方形的边长为a和正方形的边长为b． (1)用含x的代数式表示a和b分别为__________和__________； (2)则由题意得________， __________； (3)请运用所学的完全平方公式和平方差公式探索阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由题意可得，，． ∴；． 故答案为：；； （2）解：； ； 故答案为：48；2； （3）解：∵， ∴， ∴． 23．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）根据所学我们知道：可以通过用不同的方法求解长方形面积，从而得到一些数学等式．如图1可以表示的数学等式：（a+m）（b+n）=ab+an+bm+mn，请完成下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式：___________． (2)结合图3可得___________；结合图4可得数学等式___________． (3)已知，运用上述结论求的值． 【详解】（1）解：由题意可知：； 故答案为：； （2）解：图3：； 图4：． 故答案为：；； （3）解：由（2）得：， ∵， ∴， ∴． 24．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）如图①是一个长为，宽为的长方形（），沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形，如图②所示． (1)观察图②，请你写出，，之间的等量关系：______； (2)根据（1）中的结论，若，，求； (3)如图③，正方形的边长为，，，长方形的面积是20，四边形和四边形都是正方形，求图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由图形知，大正方形的面积为，中间小正方形的面积为， 大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为的长方形面积， ， 故答案为：； （2）解：∵， 将，代入得：， ， ， ∵， ， 故答案为：2； （3）解：∵正方形的边长为， ， ， 设， ， ， ∴图中阴影部分的面积为84． 25．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用、的等式表示出来） 图1表示：______； 图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）若，，则______；______； （3）拓展提升：若满足，求______； （4）问题解决：如图3，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【详解】解：（1）图1中，由图可知， ， 由题意得，， 即， 图2中，由图可知，，， 由题图可知，， 即， 故答案为：；； （2）， ，， ， ∴． 故答案为：16；12； （3）设，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：5； （4）由题意得， ， ， ， ， ， ， ∴． 即图中阴影部分的面积为24． 26．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）在数学学习中，通常用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式，充分体现了数形结合的思想方法．如图，用图1三种不同大小的正方形与长方形若干个，可以拼成一个如图2所示的正方形． (1)观察猜想：观察图2，用两种不同的方法表示图2阴影部分的面积则可得，，之间的数量关系为：______； (2)理解运用：若，，根据（1）中得出的数量关系，求，的值； (3)拓展提升：若满足，求的值． 【详解】（1）解：由图2可得，阴影部分的面积等于两个小正方形的面积之和，即为； 阴影部分的面积也等于大正方形的面积减去两个长方的面积，即， ， 故答案为：； （2）解：∵， ， 解得：， ， ， ， ． （3）解：设， ， 由（2）知，， ， ， 即． 27．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）综合与探究通过前面的学习，我们知道：在周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． 【方法理解】 （1）已知长方形的周长是20，设长方形的一边长是，则相邻一边的长是． ①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，将原长方形沿直线l剪成长方形和长方形，长方形的一边长是，相邻一边的长是 ． 如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分正方形的边长为 ．（以上两空，均用含的代数式表示） 通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式满足的等量关系为 ． 请利用整式乘法的知识，通过计算验证上述等式的正确性． ②当时，进行类似上述过程的割补（图4~图6），由图，可得出的等量关系为 ． ③当时，该长方形即为正方形，其面积为 ． 综上所述，周长是20的长方形的面积的最大值是 ． 【方法迁移】 （2）当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 【详解】解：（1）①， 长方形的一边长是，相邻一边长， ∴阴影部分是一个边长为的正方形， 由图可知，长方形面积大正方形面积小正方形面积， ∴， 验证：等式左边， 等式右边， ∴左边右边， ∴等式正确． ②当时，阴影部分是边长为的正方形， ．    ③当时，该长方形即为正方形，其面积为； ∵，， ∴ ∴周长是20的长方形的面积的最大值是25； （2）如图1，当时，阴影部分是边长为的正方形， ∴； 如图2，当时，阴影部分是边长为的正方形， ∴； 当时，该长方形为边长是3的正方形， ∴边长是和的长方形的最大面积是9， ∴的最大值为9． 28．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个相同的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用含、的代数式表示出来）； 图1表示：_____； 图2表示：_____． (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，求的值； ②如果，，求的值； ③请直接写出下列问题答案： 如果，_____． 【详解】（1）解：（1）图1中，由图可知， ， 由题意得，， 即， 故答案为：． 图2中，由图可知，，， 由题图可知，， 即， 故答案为：； （2）解：， ，， ； 解：①由图2可得， ，， ， ． ∴当时 ， 当时 ②由图1可得， ， ， 原式． 故答案为：7． 29．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系：_______． (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： 已知：，，求的值． (3)如图，在线段上取一点D，分别以为边作正方形，连接．若阴影部分的面积和为30，的面积为14，求的长度． 【详解】（1）解：由图2得：大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，则； 故答案为： （2）解：由（1）得：， ∵，， ∴， ∴； （3）解：设正方形和的边长分别为a、b，则， ∵阴影部分的面积和为30，的面积为14， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵a，b均为正数， ∴， 即． 30．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式：_______ (2)根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式； (3)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 若，求的值 【详解】（1）解：由图可知：大正方形的面积为：； （2） ； 或 ； （3）由（1）知：， ∴， ∵， ∴； ∴． 31．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以， 所以；得 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)请直接写出下列问题答案： 若，，则______； 若，_______． (3)如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【详解】（1）解：，， ， ， ． 故答案为：3； （2）解：①， ， ， ， ， ， ， 即， ， 故答案为：； ②设， 则． ∵， ∴， ∴，即． 故答案为：3； （3）解：如图： 设， 根据题意得：， 则阴影部分的面积为 ， 即阴影部分面积为6． 32．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． 【应用】根据图②所得的公式，若，，则______． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和． 【详解】类比探究：由题意知，， 故答案为：； 应用：， 故答案为：90； 拓展：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴，解得，， ∴种草区域的面积和为， ∴种草区域的面积和为12． 33．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）现有若干个长与宽分别为，的小长方形，用这样的两个小长方形，拼成如图1所示的图形，用这样的四个小长方形拼成如图2所示的图形． (1)请认真观察图形，通过图形面积割补的方法，写出图1和图2所蕴含的关于，的关系式．（用含有，的式子表示） 图1表示：________； 图2表示：________； (2)根据上面的思路与方法，解决下列问题： ①若，，求的值； ②如图3，点是线段上一点，以，为边向两边作正方形，设，正方形，正方形的面积分别为，，且，求图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：图1中，由图可知， ， 由题意得，， 即， 故答案为：． 图2中，由图可知，，， 由题图可知，， 即， 故答案为：； （2）①解：， ，， ； ②解：由题意得， ， ， ， ， ， ， 阴影． 即图中阴影部分的面积为． 34．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）【阅读理解】 换元法是一种重要的方法，体现了整体思想．举例如下： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ， 那么． 【解决问题】 (1)若x满足，则的值是_____； (2)若x满足，求的值； (3)如图，在数轴上，点A，B，C表示的数分别是m，10，13，正方形与正方形的面积之和为89，且边的延长线与边交于点P．求长方形的面积． 【详解】（1）解：设，则，， 那么． （2）解：设，则，， ∵， ∴， ∴的值为23． （3）解：由题意得，，则长方形的面积为， ∵正方形与正方形的面积之和为89，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴长方形的面积为40． 35．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）【问题呈现】 （1）若，，求下列各代数式的值：①；②． 【问题推广】 （2）若，求的值． 【问题拓展】 （3）如图，E，F分别是正方形的边，上的点，且，，长方形的面积是96，分别以，为边作正方形和正方形，计算阴影部分的面积． 【详解】解：（1）①因为，所以， 所以，所以． 因为，所以． ②． 因为，所以． （2）因为， 所以 ． （3）因为四边形是正方形， 所以， 所以． 因为， 所以，即， 所以，即． 因为长方形的面积是96， 所以， 所以， 所以， 所以． 因为四边形和四边形都是正方形， 所以阴影部分的面积为． 36．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）数学活动课上．老师准备了若干个如图1的三种纸片（其中A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是边长分别为a、b的长方形），并用A种纸片一张，B种纸片一张．C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你写出三个代数式：之间的关系； (2)若，则的值为 ； (3)两个正方形如图3摆放，边长分别为x，y．若，求图中两个阴影部分的面积的和． 【详解】（1）解：根据图形可得：正方形的面积可以表示为，又可以表示为， 所以的关系是：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴阴影部分的面积 ． 37．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）现有若干个长与宽分别为a，b的小长方形，用这样的两个小长方形，拼成如图1所示的图形，用这样的四个小长方形拼成如图2所示的图形． (1)请认真观察图形，通过图形面积割补的方法，写出图1和图2所蕴含的关于a，b的关系式．（用含有a，b的式子表示） 图1表示： ； 图2表示： ； (2)根据上面的思路与方法，解决下列问题： ①若，，求的值； ②如图3，点C是线段上一点，以，为边向两边作正方形，设，正方形，正方形的面积分别为，，且，求图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：图1中，由图可知，大正方形的面积可以表示为， 大正方形的面积还可以表示为， ∴； 图2中，由图可知，大正方形的面积可以表示为， 大正方形的面积还可以表示为， ∴； （2）解：①由（1）得，， ∵，， ∴ ∴ 由（1）得， ∴ ∴； ②由题意，得． ∵， ∴． ∵四边形，四边形是正方形，， ∴ ∵， ∴， ∴，即图中阴影部分的面积为． 38．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）【问题情景】 数学活动课上，老师出了一个题目，阅读下列解题过程． 若x满足，求的值． 解：∵ ∴ 【实践探究】 根据以上解题方法，解决下列问题，若x满足 (1)请直接写出的值为_______． (2)求的值； (3)如图，在长方形中，，点E，F分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为40平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少？ (4) 【详解】（1）解： （2）解：， （3）解：由图及题中条件可知正方形的边长为，正方形的边长为，则由长方形的面积为40平方单位得到， 阴影部分面积为， 设，， 则，且， ∵， ∴， ， 阴影部分面积为． 39．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）如图，将一个边长为的正方形ABCD分割成四部分（边长分别为a，b的正方形、边长为a和b的长方形），请认真观察图形，解答下列问题： (1)请用两种方法分别表示正方形ABCD的面积（用含a，b的代数式表示） ①________，②________； 由此可以验证一个重要的公式是________； (2)若图中a，b满足，，求的值； (3)若，求的值． 【详解】（1）解：根据正方形面积公式得：正方形的面积， 根据正方形面等于两个小正方形与两个相等的长方形面积和可得：正方形的面积， 根据两种方式计算出的面积相等得：， 故答案为：，，； （2）解∶ ∵，， ∴， ∴，（舍去）； （3）解：∵， ∴， ∴． 40．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）完全平方公式：经过适当变形后可解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以，， 所以． 【探究】（1）若，，，求的值． 【延伸】（2）若，求的值． 【应用】（3）如图，在四边形中，，连接，，交点为，且，，，若，求四边形的面积． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ； （3）设，，则， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 题型六：乘法公式综合几何背景的探究及应用 41．（24-25七年级下·安徽六安·期末）数形结合是一种重要的数学思想，我们可以利用几何图形验证乘法公式．某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有___________（填序号）； (2)利用“平方差公式”计算： (3)兴趣小组中有一位同学想利用“等面积法”来探究的展开式，请你设计并画出一个几何图形来帮助这位同学，根据你设计的图形直接写出的展开式； (4)利用（3）的结论，计算：． 【详解】（1）解：图①中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于边长为，且这条边上的高等于的平行四边形的面积， 则，可以验证平方差公式； 图②中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于长为、宽为的长方形的面积， 则，可以验证平方差公式； 图③中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于2个上底等于，下底等于，高等于的直角梯形的面积， 则，可以验证平方差公式； 图④中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于长为、宽为的长方形的面积， 则，不可以验证平方差公式； 故答案为：①②③． （2）解： ． （3）解：由题意画出图形如下： 由图可知，大正方形的面积等于3个小正方形的面积与6个小长方形的面积之和， 则． （4）解： ． 42．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）有两种正方形纸片A和B，边长分别为a和b（）．如图1，将正方形纸片B放置在正方形纸片A的内部，测得阴影部分的面积为16． (1)如图2，将正方形纸片A和B并列放置构造成一个新的正方形（无重叠部分），测得阴影部分的面积为24，求的值． (2)如图3，若将3个正方形纸片A和2个正方形纸片B按照如图3所示的方式放置构造成一个新的正方形（无重叠部分），求图3中阴影部分的面积； (3)若两个正方形边长之和为8，则_______，________． 【详解】（1）解：由于正方形纸片A和B的边长分别为：a，b， 图2可知，阴影部分面积， 所以； （2）解：由图1可知，阴影部分面积， 图2可知，， 由图3可知，阴影部分面积 ； （3）解：由（1）得，则， ∵两个正方形边长之和为8， ∴①， ∴②， 得， 解得， ∴． 故答案为：5；3． 43．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）【问题呈现】 （1）若，，求下列各代数式的值：①；②． 【问题推广】 （2）若，求的值． 【问题拓展】 （3）如图，E，F分别是正方形的边上的点，且，，长方形的面积是96，分别以为边作正方形和正方形，计算阴影部分的面积． 【详解】解：（1）∵，， ∴①， ②∵， ∴； （2）设，，则，， ∴ ； （3）设正方形的边长为x， 由题意得，正方形的边长为，正方形的边长为， ∵长方形的面积是96， ∴， 设，，则，， ∴ ， ∵， ∴（负值舍去）， ∴ ． 44．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图1是长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出，，之间的等量关系：______； (2)根据（1）中的结论，若，，求的值； (3)如图3，正方形边长为x，正方形边长为y，点在同一直线上，连接，若，，根据（1）中的结论，求图3中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：根据题意得：小正方形的边长为，此时面积为， 小正方形可以看作是由大正方形减去四个长方形，此时面积为， ∴， 即； 故答案为： （2）解：∵，， ∴， ∴； （3）解：根据题意得：，， ∴， ∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴阴影部分的面积为 ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $