专题03 三角形（知识必备+9大重难题型+过关验收）（期中复习讲义）七年级数学下学期新教材人教版五四制

专题03 三角形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 三角形基础概念与性质 掌握三角形的核心概念与分类；牢记并理解三角形的基本性质；掌握三角形稳定性的特性，了解其实际应用价值。 基础考点，多以选择、填空题形式出现，考查三角形的分类、三边关系、重要线段的特征、内角和与外角性质等基础知识点。 三角形重要线段的应用 准确理解高、中线、角平分线的概念，能规范作出不同类型三角形的三条重要线段，掌握其位置特点及核心性质。 重点考查中线平分面积的性质，常以填空题或解答题小题形式出现，通过线段中点关系求解三角形或四边形的面积。 角度计算综合题 牢记三角形内角和为180°，理解其剪拼、作平行线等证明思路；熟练运用直角三角形两锐角互余的性质及逆判定；掌握三角形外角的定义、性质及外角和为360°的结论。 高频考点，多以解答题形式出现，综合运用内角和定理、外角性质、直角三角形锐角互余、角平分线定义等知识，涉及折叠模型、双角平分线模型等常见题型。 知识点01 三角形 1.三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． 2.按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． 3.三角形具有稳定性． 4.三角形的重心是三角形三边中线的交点． 知识点02 三角形三边关系 1.三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． 2.在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 3.三角形的两边差小于第三边． 4.在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 知识点03 三角形的角平分线、中线和高 1.从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 2.三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． 3.三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 4.三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． 5.锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，三条高的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 知识点04 三角形内角和定理 1. 三角形的内角和定理 文字语言 几何语言 图形 三角形的内角和等于180° 在△ ABC 中， ∠ A＋∠ B＋ ∠ C=180° 2. 三角形内角和定理的操作探究 如图，把△ ABC 的三个内角拼在一起，组成一个平角，即△ ABC 三个内角的和等于180 °. 3. 三角形内角和定理的证明思路 证明思路 利用“两直线平行，内错角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为一个平角 利用“两直线平行，内错角及同位角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为一个平角 利用“两直线平行，内错角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角 知识点05 三角形的外角 1. 三角形的外角：如图 ①，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 特别提醒：如图 ②，三角形每一个顶点处都有两个外角，它们是对顶角，因此三角形共有六个外角，通常每一个顶点处取一个外角. 2. 外角性质(三角形内角和定理的推论) 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 符号语言：如图 ①，∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A＋∠B. 3. 三角形的外角和定理 在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫作三角形的外角和. 三角形的外角和为360 ° 如图，∠1＋∠2＋∠3＝360 ° 知识点06 直角三角形的性质与判定 1. 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt △”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt △ ABC. 注意：“Rt△”后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母,不能单独使用.如“直角三角形的边”不能写成“Rt△的边’ 2.直角三角形的性质与判定 文字语言 几何语言 图形 性质 直角三角形的两个锐角互余 在Rt △ ABC 中， ∵ ∠ C=90°， ∴∠ A＋ ∠ B=90° 判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ ABC 中， ∵ ∠ A＋∠ B=90°，∴∠ C=90°， 即△ABC是直角三角形 题型一 三角形的相关概念 【典例1】（25-26八年级上·四川凉山·期末）观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； B、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； C、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； D、符合三角形的概念． 故选：D． 【变式1-1】（24-25八年级上·广东肇庆·期末）将空调安装在墙上时，采用如图所示的方法固定，这种做法的依据是（   ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【详解】解：空调安装在墙上时，采用如图所示的三角形支架方法固定， 这种方法应用的几何原理：三角形具有稳定性． 故选：D． 【变式1-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】A 【详解】解：露出的角是钝角，因此是钝角三角形， 故选：A． 【变式1-3】（22-23八年级上·山东滨州·期末）在如图所示的图形中，三角形的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：图中的三角形有：，共5个． 故选：C 题型二 三角形的三边关系 【典例2-1】（25-26八年级上·全国·期末）若一个三角形的两边长分别为5和12，则第三边长不可能是（   ） A．7 B．9 C．13 D．16 【答案】A 【详解】解：设三角形的第三边长为， 由三角形三边关系可得：，即， 第三边长不可能是， 故选：A． 【典例2-2】（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）学校马师傅为了绿化校园工作，需要搭建一个三角形木架，他去库房取了三根木条，请你帮他选择以下选项中哪三根木条能够完成搭建工作（   ） A．3，10，6 B．2，5，8 C．3，4，5 D．1，5，6 【答案】C 【详解】解：A、，不能构成三角形，则此项不能搭建一个三角形木架，不符合题意； B、，不能构成三角形，则此项不能搭建一个三角形木架，不符合题意； C、，，能构成三角形，则此项能搭建一个三角形木架，符合题意； D、，不能构成三角形，则此项不能搭建一个三角形木架，不符合题意； 故选：C． 【典例2-3】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）已知是等腰三角形，且，．求的周长． 【答案】的周长为16 【详解】解：因为，， 所以，即， 因为是等腰三角形， 所以， 所以的周长． 【变式2-1】（25-26八年级上·河北邢台·期末）将一根长的铁丝按下列四个选项标记的长度剪开，能围成三角形的是（   ） A．；； B．；； C．；； D．；； 【答案】D 【详解】解：选项A：∵，∴不能围成三角形； 选项B：∵，等于第三边7，∴不能围成三角形； 选项C：∵，∴不能围成三角形； 选项D：∵，，，∴能围成三角形； 故选：D． 【变式2-2】（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图是折叠凳及其侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ∴， A、B、C、D四个选项只有D选项符合上述范围， 故选：D． 【变式2-3】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）等腰三角形周长为，一中线将周长分成的两部分差为，则这个三角形三边长为 ． 【答案】8，8，5或6，6，9 【详解】解：设这个等腰三角形腰长为，则底边长为， 或， 解得：或， ∴或， ∴这个三角形三边长为8，8，5或6，6，9． 故答案为：8，8，5或6，6，9． 题型三 三角形的重要线段 【典例3-1】（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， 则， ∵， ∴， 故选：D． 【典例3-2】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，，分别是的高、中线、角平分线，则下列线段中，最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为，，分别是的高、中线、角平分线， ∴是点到直线的垂线段， 利用连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短， 可得最短， 故选：A． 【变式3-3】（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）如图，是边上的中线，的面积是3，则的面积是 ． 【答案】6 【详解】解：∵是边上的中线，的面积是3， ∴ ， 故答案为：6． 【变式3-1】（25-26八年级上·内蒙古·期末）下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了三角形的高：三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的定义进行判断． 【详解】解：若线段是的高，需过点A作对边的垂线，则垂线段是的高． 选项B、C、D错误，只有选项A符合题意， 故选：A． 【变式3-2】（24-25八年级上·安徽·期末）如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是中线， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； 过点E作于点G，于点H， ∵是角平分线， ∴， ∵，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵是中线， ∴与不一定相等，故D错误，符合题意． 故选：D． 【变式3-3】（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，是的中线，，，的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长， 故答案为：． 【变式3-4】（23-24八年级上·全国·期末）如图，在中，已知点D、E、F分别是的中点，且的面积等于15，则的面积为 ． 【答案】/3.75 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形的面积公式、三角形中线的性质等知识点，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两等份是解题的关键． 根据三角形中线的性质可得，，，即；最后再根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：∵点D为边的中点，且的面积等于15， ∴， ∵点E为边的中点， ∴， ∴， ∵点F为边的中点， ∴． 故答案为：． 题型四 三角形内角和定理的证明 【典例4】（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 【变式4-1】（24-25八年级上·山西晋中·期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定的内容后，数学老师安排了自主探究内容――利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．下面是两种不同的添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 已知：如图，，求证： 方法一 方法二 【详解】证明：方法一：过点A作． ∵， ∴，． ∵， ∴， 即； 方法二：过点C作． ∵， ∴，， ∴，即． 【变式4-2】（24-25八年级上·山西晋中·期末）课堂回顾 在学习《三角形内角和定理》时，张老师鼓励同学们用不同的方法证明三角形内角和定理． 已知：如图1，． 求证：． 下面是小明与小颖的想法． 小明的想法：把三个角“凑”到A处，他过点A作直线（如图2）．下面是他写的证明过程，请你在括号内填写依据． 证明：过点A作直线，则 ，（______） ，（平角的定义） ．（______） 小颖的想法：从之前撕角的验证过程中得到了思路启发（如图3），在线段的右侧作（如图4）．你认为她的想法可行吗？如果可行，请写出证明过程；如果不可行，请说明理由． 【详解】解：小明的想法证明过程如下： 证明：过点A作直线，则 ，（两直线平行，内错角相等） ，（平角的定义） ．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换； 小颖的想法可行． 证明：如图，作， ∴， ， 即， ． 题型五 三角形内角和定理的应用 【典例5】（25-26八年级上·全国·期末）在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ （三角形内角和定理），（已知）， ∴， 即， ∴． 故选：A． 【变式5-1】（24-25八年级上·山东德州·期末）若的三个内角之比是，则是（   ） A．锐角三角形 B．各边不相等的直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【详解】解：由题意：， ∴的三个内角度数为，， ∴是等腰直角三角形， 故选：D． 【变式5-2】（24-25八年级上·山东威海·期末）若干个三角形中，共有2个钝角、4个直角、21个锐角，这些三角形中锐角三角形的个数为 个． 【答案】3 【详解】解：共有个角，则共有（个）三角形， 而有4个直角，2个钝角， 所以有4个直角三角形和2个钝角三角形， 所以锐角三角形的个数． 故答案为：3． 题型六 三角形折叠中的角度问题 【典例6】（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∴． 在中，，， ∴． 故选：． 【变式6-1】（22-23八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，现将三角形的一个角沿折叠，使得点C落在边上的点处．若是等腰三角形，则的度数为（        ） A．36° B．38° C．48° D．84° 【答案】C 【详解】解：在中，， ∴， 由折叠可知， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式6-2】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，，则为 ． 【答案】 【详解】解：，， 由折叠可知，， ， ， 故答案为：． 【变式6-3】（23-24八年级上·吉林白山·期末）如图，在中，，将沿直线翻折，使点B落在处，分别交边于点F、G．若，则 ． 【答案】40 【详解】解：∵将沿直线翻折，使点B落在处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：40． 题型七 与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例7】（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，在直角中，，平分交于，且． (1)求的度数； (2)过点作交于，若，则是的平分线吗？请说明理由． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴； （2）解：是的平分线，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线． 【变式7-1】（24-25八年级上·湖北随州·期末）如图，在中，平分，平分，与相交于点G，于点F，若，求与的度数． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【变式7-2】（24-25八年级上·吉林·期末）在中，与的平分线相交于点． (1)如图1，试探究与的数量关系； (2)如图2，作外角的平分线，交于点．请分别写出与，与的数量关系，不需要证明； (3)如图3，延长线段，交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接用（1）和（2）中的相关结论求的度数． 【详解】（1）解：如图①中，与的平分线相交于点， ， ， ； （2）解：；，理由如下： 理由：如图②中，外角，的角平分线交于点， ， ， ， ； （3）解：如图，延长至， 平分， ， ，， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ， ， 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分3种情况： ①，则，， ②，则，； ③，则， 综上所述，的度数是或或． 题型八 与高的角平分线有关计算 【典例8】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，求的度数． 【详解】解：是边上的高， ． ，， ， ． ． 是的平分线， ． ． 【变式8-1】（23-24八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在中，是边上的高，，平分交于点，，求的度数． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式8-2】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若面积为40，，求的长． 【详解】（1）解：∵， ， ∵平分， ∴， ∵为高， ， ． （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式8-3】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）【母题呈现】人教版八年级上册数学教材56页第10题，如图的三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：是由折叠而得到， ． ，． ， ． ， 的周长为：． 【知识应用】（1）在中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P连接．如图2，若，，求的面积； （2）如图2，求证：平分； 【拓展应用】（3）如图3，在中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接，过点P作．若，，，直接写出长． 【详解】（1）解：根据折叠可知：，，， ； （2）证明：如图，过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M， 由题可知，，， ， 平分， ， ， ， 即平分； （3）如图，过点P分别作、边的垂线，垂足分别为点G、M，连接， 由题可知，，， ， 由（2）可知， ， ， ， 即， 解得． 题型九 与平行线有关的三角形内角和问题 【典例9】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图2，已知线段，相交于点O，平分，交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 【变式9-1】（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，点D在上，，的平分线交AC于点E，过点E作，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式9-2】（24-25八年级上·全国·期末）如图1，直线，直角三角尺的锐角顶点A，C分别在直线，上，点在直线之间，． （1）当时， ； （2）如图2，在线段上取一点，过点作直线，若射线平分，且满足，则 ． 【详解】解：（1）由题意可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）设，则， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 【变式9-3】（23-24八年级上·全国·期末）如图1，直线与直线、分别交于点E、F，与互补． (1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)如图2，与的角平分线交于点P，与交于点G，点H是上一点，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由． 【详解】（1）解：，理由如下， 如图1，∵与互补， ∴． 又∵， ∴， ∴； （2）证明：如图2，由（1）知，， ∴． 又∵与的角平分线交于点P， ∴， ∴， ∴，即． ∵， ∴； （3）解：的大小不会发生变化，其值为，理由如下： ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴的大小不会发生变化，其值为． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图所示图形中具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性， ∴图形中具有稳定性的是A． 故选：A． 2．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）若一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则其面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【详解】解：∵一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4， ∴该三角形的面积为， 故选：C． 3．（22-23八年级上·全国·期末）一把直尺和一块三角尺如图所示放置，若图中，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴. ∵是的外角， ∴， ∴． 故选：B． 4．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据三角形外角性质得，， ， ， 故选D． 5．（25-26八年级上·四川凉山·期末）在中，，的外角分别是和，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，的外角分别是和， ∴， ， ∴． 故选：C． 6．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）已知：如图，在中，，于D，平分，，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 7．（25-26八年级上·四川凉山·期末）已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c为偶数，求的周长； (2)化简：． 【详解】（1）解：，， ，即． 又为偶数， ． ． （2），， ，． ． 8．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）小明在学习了三角形内角和定理时，对三角形进一步开展探究活动： (1)【问题情境】 如图①，已知是的三个内角． 求证：．小明过点A作，请完善小明的证明过程； (2)【尝试运用】 如图②，在（1）的条件下，分别作和的角平分线和，若，求的度数； (3)【拓展探索】 如图③，在图①的基础上，分别作和的四等分线和，即，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，交平分线的定义，平行线的性质． （1）由平行线的性质得到，再根据平角的定义即可解答； （2）根据交平分线的定义求出，再利用三角形内角和定理结合，即可解答； （3）同理（2）可得，求出，由即可解答． 【详解】（1）证明：∵． ． ， ； （2）解：由（1）知， ∵平分，平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：同理（2）可得：， ∴， ∴． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）有若干个三角形，这些三角形的所有内角中，有个直角，个钝角，个锐角，则在这些三角形中锐角三角形有（　　） A．个 B．个 C．个或个 D．个 【答案】B 【详解】解：∵这些三角形的所有内角中，有个直角，个钝角，个锐角， ∴共有个三角形，且有个直角三角形，个钝角三角形， ∴有个锐角三角形， 故选：B． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【答案】D 【详解】解：可以组成的三角形有：，，，，，，，，共9个， 故选：D． 3．（24-25八年级上·江西赣州·期末）如图，中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴． 故选：C． 4．（25-26八年级上·全国·期末）将一副三角板拼成如图所示的图形交于点，则的度数是 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，，， 是的一个外角， ． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，是的中线，E，F分别为，的中点，若的面积为，则的面积是 ． 【答案】24 【详解】解：∵F为的中点，是的中线，且的面积为， ∴，，即， ∵E为的中点， ∴， ∴； 故答案为：24． 6．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，是的外角，平分，平分，且交于点E． (1)若，求证：； (2)试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ， ， ； （2）解：， 理由： ∵是的一个外角， ， ∵平分平分， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ， ． 7．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，是边上的高，垂足为D点，点P在边上，连接，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： 是边上的高线， ， ， 又， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（25-26八年级上·全国·期末）若等腰三角形的一个角是，则等腰三角形的底角是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】解：由题意知，分的角是顶角和底角两种情况求解： ①当的角是顶角， 则等腰三角形的底角为； ②当的角是底角，则等腰三角形的底角为， 综上，等腰三角形的底角为或． 故选：B． 2．（24-25八年级上·海南儋州·开学考试）如图，为等腰直角三角形，，将按如图方式进行折叠，使点A与边上的点F重合，折痕分别与交于点D、点E．下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论序号为（ ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③ 【答案】C 【详解】解：由折叠的性质，，，， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴，故选项③正确； 设，， ∴，，∵， ∴， ∴， ∴，故选项②正确； ∵， ∴与不一定相等，故选项①不一定正确； ∵点在边上，不固定，与不一定平行，故选项④不一定正确； 综上分析可知：正确的结论有②③． 故选：C． 3．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）如图，在中，，，，，为边上不同的个点，从点首先连接，图中出现了3个不同的三角形；再连接，图中便有6个不同的三角形……如此继续下去.连接BAn后，共有三角形的个数是 . 【答案】 【详解】解：观察图形可知： 从点首先连接，不同的三角形个数为， 再连接，不同的三角形个数为， 再连接，不同的三角形个数为， ， ∴连接到时，图中有个三角形(n为正整数)， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）已知等腰三角形的两边长分别为4和6，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】14或16 【详解】解：当腰长为4时，三角形的三边分别为4，4，6， ， 能构成三角形，周长为； 当腰长为6时，三角形的三边分别为6，6，4， ∵， 能构成三角形，周长为． 故答案为：14或16． 5．（23-24八年级上·河南安阳·期末）如图，一个等腰三角形纸片，其中． (1)把纸片按图1所示折叠，使点A落在边上的点F处，是折痕，说明； (2)把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时（如图2），探索与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点A落在四边形外部时（如图3），直接写出与，之间的数量关系． 【详解】（1）∵在中，， ∴． 由折叠，可知， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． （2）． 理由如下：如图，连接， 则，分别是和的外角， ∴，， ∴． ∴． ∵，， ∴． （3）． 如图，设与相交于点O， 则是的外角，是的外角， ∴，， ∴． ∵，， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 三角形基础概念与性质 掌握三角形的核心概念与分类；牢记并理解三角形的基本性质；掌握三角形稳定性的特性，了解其实际应用价值。 基础考点，多以选择、填空题形式出现，考查三角形的分类、三边关系、重要线段的特征、内角和与外角性质等基础知识点。 三角形重要线段的应用 准确理解高、中线、角平分线的概念，能规范作出不同类型三角形的三条重要线段，掌握其位置特点及核心性质。 重点考查中线平分面积的性质，常以填空题或解答题小题形式出现，通过线段中点关系求解三角形或四边形的面积。 角度计算综合题 牢记三角形内角和为180°，理解其剪拼、作平行线等证明思路；熟练运用直角三角形两锐角互余的性质及逆判定；掌握三角形外角的定义、性质及外角和为360°的结论。 高频考点，多以解答题形式出现，综合运用内角和定理、外角性质、直角三角形锐角互余、角平分线定义等知识，涉及折叠模型、双角平分线模型等常见题型。 知识点01 三角形 1.三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． 2.按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． 3.三角形具有稳定性． 4.三角形的重心是三角形三边中线的交点． 知识点02 三角形三边关系 1.三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． 2.在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 3.三角形的两边差小于第三边． 4.在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 知识点03 三角形的角平分线、中线和高 1.从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 2.三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． 3.三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 4.三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． 5.锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，三条高的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 知识点04 三角形内角和定理 1. 三角形的内角和定理 文字语言 几何语言 图形 三角形的内角和等于180° 在△ ABC 中， ∠ A＋∠ B＋ ∠ C=180° 2. 三角形内角和定理的操作探究 如图，把△ ABC 的三个内角拼在一起，组成一个平角，即△ ABC 三个内角的和等于180 °. 3. 三角形内角和定理的证明思路 证明思路 利用“两直线平行，内错角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为一个平角 利用“两直线平行，内错角及同位角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为一个平角 利用“两直线平行，内错角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角 知识点05 三角形的外角 1. 三角形的外角：如图 ①，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 特别提醒：如图 ②，三角形每一个顶点处都有两个外角，它们是对顶角，因此三角形共有六个外角，通常每一个顶点处取一个外角. 2. 外角性质(三角形内角和定理的推论) 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 符号语言：如图 ①，∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A＋∠B. 3. 三角形的外角和定理 在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫作三角形的外角和. 三角形的外角和为360 ° 如图，∠1＋∠2＋∠3＝360 ° 知识点06 直角三角形的性质与判定 1. 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt △”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt △ ABC. 注意：“Rt△”后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母,不能单独使用.如“直角三角形的边”不能写成“Rt△的边’ 2.直角三角形的性质与判定 文字语言 几何语言 图形 性质 直角三角形的两个锐角互余 在Rt △ ABC 中， ∵ ∠ C=90°， ∴∠ A＋ ∠ B=90° 判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ ABC 中， ∵ ∠ A＋∠ B=90°，∴∠ C=90°， 即△ABC是直角三角形 题型一 三角形的相关概念 【典例1】（25-26八年级上·四川凉山·期末）观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级上·广东肇庆·期末）将空调安装在墙上时，采用如图所示的方法固定，这种做法的依据是（   ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性 【变式1-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【变式1-3】（22-23八年级上·山东滨州·期末）在如图所示的图形中，三角形的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型二 三角形的三边关系 【典例2-1】（25-26八年级上·全国·期末）若一个三角形的两边长分别为5和12，则第三边长不可能是（   ） A．7 B．9 C．13 D．16 【典例2-2】（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）学校马师傅为了绿化校园工作，需要搭建一个三角形木架，他去库房取了三根木条，请你帮他选择以下选项中哪三根木条能够完成搭建工作（   ） A．3，10，6 B．2，5，8 C．3，4，5 D．1，5，6 【典例2-3】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）已知是等腰三角形，且，．求的周长． 【变式2-1】（25-26八年级上·河北邢台·期末）将一根长的铁丝按下列四个选项标记的长度剪开，能围成三角形的是（   ） A．；； B．；； C．；； D．；； 【变式2-2】（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图是折叠凳及其侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）等腰三角形周长为，一中线将周长分成的两部分差为，则这个三角形三边长为 ． 题型三 三角形的重要线段 【典例3-1】（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，，分别是的高、中线、角平分线，则下列线段中，最短的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）如图，是边上的中线，的面积是3，则的面积是 ． 【变式3-1】（25-26八年级上·内蒙古·期末）下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级上·安徽·期末）如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，是的中线，，，的周长为，则的周长为 ． 【变式3-4】（23-24八年级上·全国·期末）如图，在中，已知点D、E、F分别是的中点，且的面积等于15，则的面积为 ． 题型四 三角形内角和定理的证明 【典例4】（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25八年级上·山西晋中·期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定的内容后，数学老师安排了自主探究内容――利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．下面是两种不同的添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 已知：如图，，求证： 方法一 方法二 【变式4-2】（24-25八年级上·山西晋中·期末）课堂回顾 在学习《三角形内角和定理》时，张老师鼓励同学们用不同的方法证明三角形内角和定理． 已知：如图1，． 求证：． 下面是小明与小颖的想法． 小明的想法：把三个角“凑”到A处，他过点A作直线（如图2）．下面是他写的证明过程，请你在括号内填写依据． 证明：过点A作直线，则 ，（______） ，（平角的定义） ．（______） 小颖的想法：从之前撕角的验证过程中得到了思路启发（如图3），在线段的右侧作（如图4）．你认为她的想法可行吗？如果可行，请写出证明过程；如果不可行，请说明理由． 题型五 三角形内角和定理的应用 【典例5】（25-26八年级上·全国·期末）在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25八年级上·山东德州·期末）若的三个内角之比是，则是（   ） A．锐角三角形 B．各边不相等的直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【变式5-2】（24-25八年级上·山东威海·期末）若干个三角形中，共有2个钝角、4个直角、21个锐角，这些三角形中锐角三角形的个数为 个． 题型六 三角形折叠中的角度问题 【典例6】（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】（22-23八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，现将三角形的一个角沿折叠，使得点C落在边上的点处．若是等腰三角形，则的度数为（        ） A．36° B．38° C．48° D．84° 【变式6-2】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，，则为 ． 【变式6-3】（23-24八年级上·吉林白山·期末）如图，在中，，将沿直线翻折，使点B落在处，分别交边于点F、G．若，则 ． 题型七 与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例7】（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，在直角中，，平分交于，且． (1)求的度数； (2)过点作交于，若，则是的平分线吗？请说明理由． 【变式7-1】（24-25八年级上·湖北随州·期末）如图，在中，平分，平分，与相交于点G，于点F，若，求与的度数． 【变式7-2】（24-25八年级上·吉林·期末）在中，与的平分线相交于点． (1)如图1，试探究与的数量关系； (2)如图2，作外角的平分线，交于点．请分别写出与，与的数量关系，不需要证明； (3)如图3，延长线段，交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接用（1）和（2）中的相关结论求的度数． 题型八 与高的角平分线有关计算 【典例8】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，求的度数． 【变式8-1】（23-24八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在中，是边上的高，，平分交于点，，求的度数． 【变式8-2】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若面积为40，，求的长． 【变式8-3】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）【母题呈现】人教版八年级上册数学教材56页第10题，如图的三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：是由折叠而得到， ． ，． ， ． ， 的周长为：． 【知识应用】（1）在中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P连接．如图2，若，，求的面积； （2）如图2，求证：平分； 【拓展应用】（3）如图3，在中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接，过点P作．若，，，直接写出长． 题型九 与平行线有关的三角形内角和问题 【典例9】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图2，已知线段，相交于点O，平分，交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式9-1】（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，点D在上，，的平分线交AC于点E，过点E作，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式9-2】（24-25八年级上·全国·期末）如图1，直线，直角三角尺的锐角顶点A，C分别在直线，上，点在直线之间，． （1）当时， ； （2）如图2，在线段上取一点，过点作直线，若射线平分，且满足，则 ． 【变式9-3】（23-24八年级上·全国·期末）如图1，直线与直线、分别交于点E、F，与互补． (1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)如图2，与的角平分线交于点P，与交于点G，点H是上一点，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图所示图形中具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）若一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则其面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 3．（22-23八年级上·全国·期末）一把直尺和一块三角尺如图所示放置，若图中，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·四川凉山·期末）在中，，的外角分别是和，则的度数为（  ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）已知：如图，在中，，于D，平分，，求的度数． 7．（25-26八年级上·四川凉山·期末）已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c为偶数，求的周长； (2)化简：． 8．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）小明在学习了三角形内角和定理时，对三角形进一步开展探究活动： (1)【问题情境】 如图①，已知是的三个内角． 求证：．小明过点A作，请完善小明的证明过程； (2)【尝试运用】 如图②，在（1）的条件下，分别作和的角平分线和，若，求的度数； (3)【拓展探索】 如图③，在图①的基础上，分别作和的四等分线和，即，若，求的度数． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）有若干个三角形，这些三角形的所有内角中，有个直角，个钝角，个锐角，则在这些三角形中锐角三角形有（　　） A．个 B．个 C．个或个 D．个 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 3．（24-25八年级上·江西赣州·期末）如图，中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处，若，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·期末）将一副三角板拼成如图所示的图形交于点，则的度数是 ． 5．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，是的中线，E，F分别为，的中点，若的面积为，则的面积是 ． 6．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，是的外角，平分，平分，且交于点E． (1)若，求证：； (2)试探究与之间的数量关系，并说明理由． 7．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，是边上的高，垂足为D点，点P在边上，连接，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（25-26八年级上·全国·期末）若等腰三角形的一个角是，则等腰三角形的底角是（     ） A． B．或 C． D．或 2．（24-25八年级上·海南儋州·开学考试）如图，为等腰直角三角形，，将按如图方式进行折叠，使点A与边上的点F重合，折痕分别与交于点D、点E．下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论序号为（ ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③ 3．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）如图，在中，，，，，为边上不同的个点，从点首先连接，图中出现了3个不同的三角形；再连接，图中便有6个不同的三角形……如此继续下去.连接BAn后，共有三角形的个数是 . 4．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）已知等腰三角形的两边长分别为4和6，则这个等腰三角形的周长为 ． 5．（23-24八年级上·河南安阳·期末）如图，一个等腰三角形纸片，其中． (1)把纸片按图1所示折叠，使点A落在边上的点F处，是折痕，说明； (2)把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时（如图2），探索与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点A落在四边形外部时（如图3），直接写出与，之间的数量关系． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $