第9章 平面直角坐标系单元复习（5大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年人教版七年级数学下学期培优讲义

第9章 平面直角坐标系 知识点1：有序数对 1.定义：有顺序的两个数与组成的数对，叫做有序数对，记作。 2.核心特征：“有序”是关键，顺序不同表示的位置不同，如和表示两个不同位置。 3.应用：可准确表示平面内物体的位置，如教室座位、棋盘棋子位置等。 知识点2：平面直角坐标系的概念 1.组成：在平面内，由两条互相垂直、原点重合的数轴组成。水平 数轴叫轴（横轴），向右为正方向；竖直数轴叫轴（纵轴），向上为正方向；两轴交点为原点。 2.象限划分：坐标平面被坐标轴分成四个象限，按逆时针方向依次 为第一至第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限。 3.画法要求：两轴互相垂直、原点重合，单位长度一般一致（实际问题中可不同，但同一轴上单位长度必须相同）。 知识点3：点的坐标 1.表示方法：过平面内一点作轴垂线，垂足对应的数为横坐标；作轴垂线，垂足对应的数为纵坐标，有序数对即为点的坐标。 2.几何意义：点到轴的距离为，到轴的距离为，到原点的距离为 （拓展）。 3.坐标与点的对应关系：坐标平面内的点与有序数对一一对应。 知识点4：不同位置点的坐标特征 点的位置 坐标特征 第一象限 ，即， 第二象限 ，即， 第三象限 ，即， 第四象限 ，即， 轴上 纵坐标为0，即 轴上 横坐标为0，即 原点 ，横、纵坐标均为0 平行于轴的直线上 所有点纵坐标相同 平行于轴的直线上 所有点横坐标相同 第一、三象限角平分线 横、纵坐标相等，即 第二、四象限角平分线 横、纵坐标互为相反数，即 知识点5：坐标方法的应用 1.表示地理位置： 步骤：建立坐标系（选参照点为原点，定正方向和单位长度）→确定各地点坐标→描点标注。 补充方式：除坐标外，还可通过“方位角+距离”表示，如北偏东方向5千米处。 2.表示平移： 点的平移规律：左右平移“左减右加”横坐标，纵坐标不变；上下平移“上加下减”纵坐标，横坐标不变。即点向右平移个单位得，向上平移个单位得。 图形的平移：图形上所有点按相同规律平移，坐标变化一致，平移不改变图形的形状和大小，只改变位置。 【基础必考题型】 【题型1】平面直角坐标系的识别与画法 1.核心知识点： 平面直角坐标系的三要素（互相垂直的数轴、原点重合、正方向）、象限划分标准。 2.解题方法技巧： 识别正误：判断坐标系画法是否符合三要素，重点检查两轴是否垂直、是否有正方向、原点是否重合。 规范画法：先画水平轴（标正方向和单位长度），再画竖直轴（与轴垂直交于原点），最后标注象限。 注意事项：单位长度标注清晰，象限按逆时针方向标注Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ。 【例题1】.（25-26八年级上·全国·课前预习）下列语句不正确的是（   ） A．在平面直角坐标系内两条互相垂直的数轴的交点是原点 B．凡是两条互相垂直的直线都能组成平面直角坐标系 C．平面直角坐标系所在的平面叫作坐标平面 D．两坐标轴的单位长度一般是相同的，但在某些实际问题中可以不同 【变式题1-1】.（25-26八年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中有M，N两点，若以N点为原点建立平面直角坐标系，则点M的坐标为，若以M点为原点建立平面直角坐标系，则点N的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）下列平面直角坐标系画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级·上海·假期作业）下列四个选项中，关于平面直角坐标系的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】根据点的位置确定坐标 1.核心知识点： 点的坐标定义、点到坐标轴的距离、不同位置点的坐标特征。 2.解题方法技巧： 直接读取法：对于网格中的点，直接过点作坐标轴垂线，读取垂足对应的数值即为横、纵坐标。 距离转化法：已知点到坐标轴的距离时，结合所在象限确定坐标符号，如第四象限内点到轴距离为2、到轴距离为3，则坐标为。 特殊位置法：坐标轴上的点直接利用“轴上，轴上”的特征求解。 【例题2】.（2026·贵州·一模）如图，这是围棋棋盘的一部分，若建立平面直角坐标系后，黑棋①的坐标是，白棋③的坐标是，则黑棋②的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·湖北襄阳·开学考试）在平面直角坐标系中，点A在第二象限，距离轴2个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，点A、B、C、D、E都在格点上，用表示A点的位置，用表示B点的位置，则点E的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为25，点A的坐标为，则点C的坐标为（______，______）． 【题型3】点的平移与坐标变化 1.核心知识点： 点的平移规律（左减右加、上加下减）、平移前后坐标的变化关系。 2.解题方法技巧： 正向平移：根据平移方向和距离，直接套用规律计算，如点向右平移4个单位得。 逆向推导：已知平移后坐标，反向计算原坐标，如平移后点是由原点点向左平移3个单位得到，则原坐标为。 多次平移：分步计算，先算一次平移后的坐标，再以此为基础进行下一次平移。 【例题3】.（甘肃张掖市2025--2026学年下学期九年级数学阶段反馈试卷）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，将平移后得到，若平移后点B的对应点D的坐标为，则点A的对应点C的坐标为__________． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·山东淄博·期末）若点，向右平移3个单位长度后得到点，则a，b的值分别为（   ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（2026·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，若直线沿x轴向右平移m个单位长度后过点．则m的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【变式题3-3】.（2026·山东滨州·一模）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，得到的对应点的坐标为_______． 【题型4】坐标系建立的灵活选择与坐标转化 1.核心知识点: 平面直角坐标系的建立方法 不同原点下点的坐标转化规律 坐标与实际位置的对应关系 2.解题方法技巧: 定原点建系：根据已知点坐标或位置要求，选择合适的原点（如网格点、实际地点），确定轴、轴。 坐标转化：若原点从点切换到点，点的新坐标为原坐标减去相对于的坐标。 实际应用：结合图形或实际场景，先根据已知点坐标画出坐标系，再读取或计算其他点坐标，确保单位长度一致。 【例题4】.（24-25七年级下·山东临沂·期末）一个平面直角坐标系的横轴和纵轴的单位长度相同，该平面直角坐标系中的点，的位置如图所示，则该平面直角坐标系的原点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式题4-1】.（24-25七年级下·山西吕梁·期中）如图，在边长为1的正方形网格中有A，B，C三个点，规定向右为x轴的正方向、向上为y轴的正方向，1为1个单位长度． (1)若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为______，点C的坐标为______． (2)若使点A在第一象限，则选择点______（填“B”或“C”）为坐标原点建立平面直角坐标系，并在图中画出该平面直角坐标系． 【变式题4-2】.（24-25七年级下·天津河东·期中）如图是天安门广场周围的主要景点分布示意图，在此图中建立平面直角坐标系，表示故宫的点的坐标为，表示美术馆的点的坐标为，请你解答下列问题． (1)请画出符合题意的平面直角坐标系； (2)在平面直角坐标系内表示下列位置的坐标：天安门 ；   王府井 ；  人民大会堂 ； 【变式题4-3】.（24-25七年级下·广西钦州·期末）方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【培优高频题型】 【题型5】坐标与距离的综合计算 1.核心知识点： 点到坐标轴的距离、平行于坐标轴的直线上点的坐标特征、线段长度计算方法。 2.解题方法技巧： 平行于坐标轴的线段长度：平行于轴的线段长度为两点横坐标差的绝对值；平行于轴的线段长度为两点纵坐标差的绝对值。 距离与坐标互求：已知点到坐标轴的距离，分情况讨论坐标符号，如到轴距离为3的点，纵坐标为。 综合应用：结合点的位置特征（如象限、坐标轴）缩小范围，避免漏解，如第二象限内到轴距离为2的点，横坐标为。 【例题5】.（25-26八年级上·山东淄博·月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；较大值称为点P的“长距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”． (1)点到x轴的距离为　　，到y轴的距离为　　，点A的“短距”为　　． (2)若点是“完美点”，求a的值． (3)若点的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【变式题5-1】.（24-25九年级上·江西宜春·月考）已知：在平面直角坐标系中，点在第四象限，且到轴的距离为，到轴的距离为． (1)求点的坐标； (2)若轴，且点到轴的距离与点到轴的距离相等，请直接写出点的坐标； (3)在坐标轴上是否存在一点，使的面积的面积的一半？画出图形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·山东枣庄·期中）已知点P在轴的右侧，点P到轴的距离为6，且它到轴的距离是到轴距离的一半，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式题5-3】.（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，写出下面各点的坐标： (1)点在轴上，位于原点上侧，距离轴个单位长度； (2)点在第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度． 【题型6】坐标表示地理位置的实际应用 1.核心知识点： 坐标系建立的步骤、坐标与实际位置的转化、比例尺的应用。 2.解题方法技巧： 建立坐标系：选择合适的参照点为原点（通常选中心位置或已知点），以正东、正北为、轴正方向，根据实际距离确定单位长度（如1厘米代表100米）。 坐标读取与转化：从图中读取地点坐标，结合比例尺转化为实际距离；或根据实际位置和距离，计算对应坐标。 方位角补充：当题目要求用“方位角+距离”表示时，先确定观测点，再测量方位角和距离，如点在观测点北偏东方向，距离2千米，记作。 【例题6】.（25-26八年级上·广东河源·期末）2025年9月28日，国内首个无人机夜间配送服务落地深圳！低空经济开启“不眠模式”．如图，若无人机在某次投送点的中心位置在图中阴影部分，则中心位置的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）小东家在学校西偏北方向米处，则学校在小东家（   ） A．西偏北方向米 B．北偏西方向米 C．东偏南方向米 D．东偏南方向米 【变式题6-2】.（25-26八年级上·山东聊城·期末）在“探索与发现展厅”有一个雷达探测器，如图，雷达探测器测得六个目标点，，，，，按照规定的目标表示方法，目标点，的位置分别表示为，，按照此方法在表示目标，，，的位置时，其中表示正确的是（   ）． A． B． C． D． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·河南郑州·期末）奇奇发给来访的朋友小明一张旅游简图，并告知大学城的坐标是，黄河风景区的坐标是，自己在河南博物院等待与他会合，河南博物院的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型7】平面直角坐标系中的图形面积计算 1.核心知识点： 规则图形面积公式、割补法的应用、坐标与线段长度的转化。 2.解题方法技巧： 直接法：图形有边平行于坐标轴时，利用坐标求出底和高，套用面积公式，如三角形底为横坐标差的绝对值，高为纵坐标差的绝对值。 割补法：不规则图形或无边平行于坐标轴时，将其分割为长方形、三角形等规则图形，或补成规则图形，通过面积和或差求解。 关键点转化：将图形顶点坐标转化为线段长度，确保底和高的计算准确，如点、、，则，，三角形面积为。 【例题7】.（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）定义：任意三点A，B，C的“矩面积”计算方法：“水平底”a是任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h是任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如，三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”h＝6，“矩面积”．若，，三点的“矩面积”为20，则______． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·宁夏银川·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)求出的面积． (2)在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，，且． (1)直接写出，的值和三角形的面积； (2)设与轴交于点，求三角形的面积； (3)如图2，连接，点在轴上，使三角形与三角形的面积相等，求的值； (4)如图3，点在四边形内部，使三角形的面积是三角形的面积的2倍，且三角形的面积是三角形的面积的2倍，直接写出点的坐标． 【变式题7-3】.（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，其中a，b满足． (1)求的面积； (2)在x轴上求一点P，使得的面积与的面积相等； (3)在y轴上是否存在一点Q，使得的面积与的面积相等？若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【压轴素养题型】 【题型8】新定义下的坐标问题 1.核心知识点： 坐标的本质、新定义规则的理解、知识迁移能力。 2.解题方法技巧： 理解新定义：仔细阅读题干，明确新定义的运算规则或位置关系，如“对角点”定义为。 转化为常规问题：将新定义条件转化为坐标之间的数量关系，如“伴随点”，可根据原坐标直接计算伴随点坐标。 验证与应用：按新定义规则验证实例，再应用规则解决问题，确保符合定义要求。 【例题8】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式． 【定义】将点变换得到点，则称点是点的“加密点”． 【示例】点的“加密点”是点． 【问题】点的“加密点”不在第______象限． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴，轴距离的较小值称为点的“短距”，点到轴，轴的距离相等时，称点为“等距点”． (1)求点的“短距”． (2)若点是“等距点”，求的值． 【变式题8-2】.（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点，则称点为点的“双移点”． 根据上述定义，回答下列问题： (1)已知点，则它的“双移点”为___________；若点的“双移点”为点，则点的坐标为_____________； (2)对于任意点，其“双移点”的坐标可以表示为____________； (3)若点是点的“双移点”，且在轴上存在一点，使的面积为4，请求出点的坐标； (4)若点是点的“双移点”，且在轴上有一点，使的面积为9，请直接写出点的坐标． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）在平面直角坐标系中，定义一种新运算：对于点，规定P的“特征值”为横坐标的绝对值的2倍与纵坐标的绝对值之和，即． (1)求点的“特征值”． (2)若点B在第二象限且满足“特征值”，求满足条件的所有点B与坐标轴围成的图形的面积． 【题型9】坐标中的规律探究问题 1.核心知识点： 点的坐标变化规律、循环规律的识别、从特殊到一般的思想方法。 2.解题方法技巧： 列举特殊点：计算前几个点的坐标，观察横、纵坐标的变化规律，如循环周期、增减趋势。 总结通式：根据特殊点规律，推导第个点的坐标通式，如点、、、，则偶数项纵坐标为1，横坐标为项数，通式为。 验证与应用：将取特殊值代入通式，验证规律正确性，再解决具体问题（如求第2025个点的坐标）。 【例题9】.（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图所示，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律将变换成，则的坐标是______，的坐标是______． (2)若按第（1）题的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测的坐标是______，的坐标是______． 【变式题9-1】.（2025·安徽宿州·一模）【观察思考】 如图，学校的围墙由三种图案围成，一种是正方形，另外两种是大小不等的等腰直角三角形．将围墙的图案放在平面直角坐标系中，已知正方形图案的边长与小等腰直角三角形图案的直角边长都为，设大等腰直角三角形图案在轴上的直角顶点分别为，，，…，． 【规律发现】 （1）填空：点的横坐标为______，点的横坐标为______． （2）直接写出点的横坐标（用含的式子表示）． 【规律应用】 （3）已知学校的围墙总共有201个正方形图案（最右边以正方形结束），结合图案中的排列方式及上述规律（不考虑其他因素），求围墙的总长． 【变式题9-2】.（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将变换成，则的坐标为______，的坐标为______，的面积为______． (2)按以上规律将进行n次变换得到，则的坐标为______，的坐标为______； (3)的面积为______ 【变式题9-3】.（2023七年级下·全国·专题练习）如图，在直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形……已知，，，，，，，． (1)仔细观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律将三角形变换成三角形，则的坐标是________，的坐标是________ ； (2)若按第（1）题的规律将三角形进行了n次变换，得到三角形，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测：的坐标是_______，的坐标是_______． 易错点 1.混淆有序数对的顺序，误认为与表示同一位置，忽略“有序”特征。 2.点到坐标轴的距离与坐标混淆，如将点到轴的距离误认为是，到轴的距离误认为是。 3.忽略坐标轴上的点不属于任何象限，错误地将原点或、轴上的点归为某一象限。 4.应用平移规律时符号错误，如向左平移误加横坐标，向上平移误减纵坐标。 5.解决含参数的坐标问题时，未分类讨论导致漏解，如点到两坐标轴距离相等时，只考虑，忽略的情况。 6.建立坐标系时，单位长度不统一或正方向标注错误，导致坐标与实际位置对应偏差。 7.计算图形面积时，未将坐标转化为正确的线段长度，或割补法应用错误，导致面积计算失误。 重点 1.掌握平面直角坐标系的概念和画法，能准确识别象限和坐标轴。 2.理解点的坐标的定义和几何意义，能根据点的位置确定坐标，或根据坐标确定点的位置。 3.熟记不同位置点的坐标特征，能快速判断点所在象限、坐标轴或特殊直线（如角平分线）。 4.掌握点的平移规律，能解决点和图形的平移问题，理解平移前后坐标的变化关系。 5.学会运用坐标表示地理位置，能建立适当的坐标系解决实际问题。 6.掌握坐标与图形面积的计算方法，能运用割补法求不规则图形的面积。 难点 1.含参数的坐标问题的求解，需运用方程思想和分类讨论思想，避免漏解和错解。 2.坐标中的规律探究问题，能从特殊点的坐标中总结出一般规律，并应用规律解决问题。 3.不规则图形面积的计算，灵活运用割补法将其转化为规则图形的面积和或差。 4.坐标与几何图形的综合探究，能实现坐标与几何量之间的相互转化，解决探究性问题。 5.新定义和跨学科情境题，能准确理解新定义规则和跨学科信息，将其转化为熟悉的坐标问题。 6.建立合适的坐标系表示地理位置，根据实际情况选择原点、单位长度和正方向，确保坐标与实际位置准确对应。 【对应练习题】 一、单选题 1．平面直角坐标系中，点在（　　）． A．第一象限 B．第二象限 C．轴上 D．轴上 2．在平面直角坐标系中，将点平移到点处，则下列方法正确的是（    ） A．向右平移6个单位长度 B．向右平移4个单位长度 C．向左平移6个单位长度 D．向左平移4个单位长度 3．太原古县城是中国国家历史文化街区，下图是古县城内景点分布示意图．若隆恩寺的位置是，城隍庙的位置是，则县衙的位置是（   ） A． B． C． D． 4．若，，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．如图，直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个长度单位，同时点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒个长度单位，记，在长方形边上第次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段平移后点A的对应点是，则点B的对应点的坐标为 __________ ． 7．在平面直角坐标系中，将点沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移4个单位，得到的点的坐标是______． 8．已知点P在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离是5，则点P的坐标为________． 9．平面直角坐标系中，有点与点，且轴，则点P的坐标为______． 10．点到轴和轴的距离相等，则点的坐标是__________． 三、解答题 11．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点的纵坐标比横坐标大3，求的值； (2)若点在轴上，求的值． 12．如图，已知点A坐标为，点C坐标为，点，B在格点上． (1)描出A，C两点的位置，写出点B的坐标； (2)连结，将平移，使点A平移到点，画出平移后所得的． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知，，M为第三象限内一点． (1)若点到两坐标轴的距离相等． ①求点M的坐标； ②若且，求点N的坐标． (2)若点M为，连接，，将沿x轴方向向右平移得到（点A，M的对应点分别为点D，E），若的周长为m，四边形的周长为，求点E的坐标（用含n的式子表示）． 14．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点的纵坐标比横坐标大3，求点的坐标． 15．把三角形放在直角坐标系中如图所示，现将三角形向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形． (1)在图中画出三角形； (2)写出、、的坐标； (3)求在平移过程中扫过的面积． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 平面直角坐标系 知识点1：有序数对 1.定义：有顺序的两个数与组成的数对，叫做有序数对，记作。 2.核心特征：“有序”是关键，顺序不同表示的位置不同，如和表示两个不同位置。 3.应用：可准确表示平面内物体的位置，如教室座位、棋盘棋子位置等。 知识点2：平面直角坐标系的概念 1.组成：在平面内，由两条互相垂直、原点重合的数轴组成。水平 数轴叫轴（横轴），向右为正方向；竖直数轴叫轴（纵轴），向上为正方向；两轴交点为原点。 2.象限划分：坐标平面被坐标轴分成四个象限，按逆时针方向依次 为第一至第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限。 3.画法要求：两轴互相垂直、原点重合，单位长度一般一致（实际问题中可不同，但同一轴上单位长度必须相同）。 知识点3：点的坐标 1.表示方法：过平面内一点作轴垂线，垂足对应的数为横坐标；作轴垂线，垂足对应的数为纵坐标，有序数对即为点的坐标。 2.几何意义：点到轴的距离为，到轴的距离为，到原点的距离为 （拓展）。 3.坐标与点的对应关系：坐标平面内的点与有序数对一一对应。 知识点4：不同位置点的坐标特征 点的位置 坐标特征 第一象限 ，即， 第二象限 ，即， 第三象限 ，即， 第四象限 ，即， 轴上 纵坐标为0，即 轴上 横坐标为0，即 原点 ，横、纵坐标均为0 平行于轴的直线上 所有点纵坐标相同 平行于轴的直线上 所有点横坐标相同 第一、三象限角平分线 横、纵坐标相等，即 第二、四象限角平分线 横、纵坐标互为相反数，即 知识点5：坐标方法的应用 1.表示地理位置： 步骤：建立坐标系（选参照点为原点，定正方向和单位长度）→确定各地点坐标→描点标注。 补充方式：除坐标外，还可通过“方位角+距离”表示，如北偏东方向5千米处。 2.表示平移： 点的平移规律：左右平移“左减右加”横坐标，纵坐标不变；上下平移“上加下减”纵坐标，横坐标不变。即点向右平移个单位得，向上平移个单位得。 图形的平移：图形上所有点按相同规律平移，坐标变化一致，平移不改变图形的形状和大小，只改变位置。 【基础必考题型】 【题型1】平面直角坐标系的识别与画法 1.核心知识点： 平面直角坐标系的三要素（互相垂直的数轴、原点重合、正方向）、象限划分标准。 2.解题方法技巧： 识别正误：判断坐标系画法是否符合三要素，重点检查两轴是否垂直、是否有正方向、原点是否重合。 规范画法：先画水平轴（标正方向和单位长度），再画竖直轴（与轴垂直交于原点），最后标注象限。 注意事项：单位长度标注清晰，象限按逆时针方向标注Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ。 【例题1】.（25-26八年级上·全国·课前预习）下列语句不正确的是（   ） A．在平面直角坐标系内两条互相垂直的数轴的交点是原点 B．凡是两条互相垂直的直线都能组成平面直角坐标系 C．平面直角坐标系所在的平面叫作坐标平面 D．两坐标轴的单位长度一般是相同的，但在某些实际问题中可以不同 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，熟知平面直角坐标系的定义是解决问题的关键. 根据平面直角坐标系的定义及其相关知识即可解答. 【详解】解：A. 在平面直角坐标系内两条互相垂直的数轴的交点是原点，选项正确，不符合题意； B. 有公共原点的两条互相垂直的数轴才能组成平面直角坐标系，选项错误，符合题意； C. 平面直角坐标系所在的平面叫作坐标平面，选项正确，不符合题意 D. 两坐标轴的单位长度一般是相同的，但在某些实际问题中可以不同，选项正确，不符合题意. 故选：B 【变式题1-1】.（25-26八年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中有M，N两点，若以N点为原点建立平面直角坐标系，则点M的坐标为，若以M点为原点建立平面直角坐标系，则点N的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标，熟练掌握点的坐标规律是解答本题的关键．根据以点M为原点重新建立直角坐标系，点N的横坐标与纵坐标分别为点M的横坐标与纵坐标的相反数，进行解答即可． 【详解】解：∵以N为原点建立平面直角坐标系，M点的坐标为， ∴以M点为原点建立平面直角坐标系，则N点在M点左边3个单位，下边5个单位处， 即N点坐标为． 故选：C． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）下列平面直角坐标系画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系，解决本题的关键熟知平面直角坐标系的定义. 平面直角坐标系的三要素：两条数轴，互相垂直，公共原点，由此判断即可. 【详解】解：A、两条数轴不互相垂直，公共原点，选项错误，不符合题意； B、两条数轴互相垂直，公共原点，符合平面直角坐标系的定义，选项正确，符合题意； C、横轴的正方向向右，即原点左侧为负，右侧为正，选项错误，不符合题意； D、坐标轴未标注名称，选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式题1-3】.（25-26八年级·上海·假期作业）下列四个选项中，关于平面直角坐标系的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标以及建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．平面直角坐标系的三要素：两条数轴，互相垂直，公共原点，由此判断即可． 【详解】解：A、两条数轴不互相垂直，故此选项不符合题意； B、横轴的正方向向右，即原点左侧为负，右侧为正，故此选项不符合题意； C、两条数轴都没有正方向，故此选项不符合题意； D、符合平面直角坐标系的定义，故此选项符合题意； 故选：D． 【题型2】根据点的位置确定坐标 1.核心知识点： 点的坐标定义、点到坐标轴的距离、不同位置点的坐标特征。 2.解题方法技巧： 直接读取法：对于网格中的点，直接过点作坐标轴垂线，读取垂足对应的数值即为横、纵坐标。 距离转化法：已知点到坐标轴的距离时，结合所在象限确定坐标符号，如第四象限内点到轴距离为2、到轴距离为3，则坐标为。 特殊位置法：坐标轴上的点直接利用“轴上，轴上”的特征求解。 【例题2】.（2026·贵州·一模）如图，这是围棋棋盘的一部分，若建立平面直角坐标系后，黑棋①的坐标是，白棋③的坐标是，则黑棋②的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黑棋①、白棋③的坐标建立平面直角坐标系，即可写出黑棋②的坐标． 【详解】解：根据题意建立平面直角坐标系得： ∴ ②的坐标是． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·湖北襄阳·开学考试）在平面直角坐标系中，点A在第二象限，距离轴2个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平面直角坐标系中的点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，结合第二象限点的符号特征求解即可． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵点A距离x轴2个单位长度， ∴， ∴， ∵点A距离y轴3个单位长度， ∴， ∴， ∵点A在第二象限， ∴点A的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∴，即点A的坐标为． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，点A、B、C、D、E都在格点上，用表示A点的位置，用表示B点的位置，则点E的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系，熟练掌握平面直角坐标系的概念是解答本题的关键．根据点A，B的坐标建立平面直角坐标系，由图可得点E的坐标． 【详解】解：∵A点坐标为，B点为， ∴建立如图平面直角坐标系， ∴点E的坐标为． 故选：B． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为25，点A的坐标为，则点C的坐标为（______，______）． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形；由正方形的面积得正方形的边长为5，结合点A的坐标得点D的坐标，即可求得点C的坐标． 【详解】解：∵正方形的面积为25， ∴正方形的边长为5，即， ∵点A的坐标为， ∴点D的坐标为， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 【题型3】点的平移与坐标变化 1.核心知识点： 点的平移规律（左减右加、上加下减）、平移前后坐标的变化关系。 2.解题方法技巧： 正向平移：根据平移方向和距离，直接套用规律计算，如点向右平移4个单位得。 逆向推导：已知平移后坐标，反向计算原坐标，如平移后点是由原点点向左平移3个单位得到，则原坐标为。 多次平移：分步计算，先算一次平移后的坐标，再以此为基础进行下一次平移。 【例题3】.（甘肃张掖市2025--2026学年下学期九年级数学阶段反馈试卷）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，将平移后得到，若平移后点B的对应点D的坐标为，则点A的对应点C的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，掌握坐标平移变化规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 先根据平移后点的对应点D的坐标为，得出是向右平移2个单位，向上平移1个单位得到，再由坐标平移变化规律“左减右加，上加下减”得出点C的坐标即可． 【详解】解：∵将平移后得到，平移后点的对应点D的坐标为， ∴是向右平移2个单位，向上平移1个单位得到， ∴点是向右平移2个单位，向上平移1个单位得到点C， ∴点C的坐标为，即． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·山东淄博·期末）若点，向右平移3个单位长度后得到点，则a，b的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点的平移规律，解题的关键是掌握该规律． 根据点向右平移时横坐标增加、纵坐标不变的规律，结合平移后点的坐标列等式求解即可． 【详解】解：∵ 点向右平移3个单位长度后，新点坐标为，即， 又∵ 平移后得到点， ∴ ，且， 解得 ， 故选：B． 【变式题3-2】.（2026·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，若直线沿x轴向右平移m个单位长度后过点．则m的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律，熟练掌握平移中函数解析式“左加右减”是解题的关键．利用“左加右减”得到平移后的直线解析式，将已知点代入解析式求解即可． 【详解】解：一次函数图象沿轴向右平移个单位，符合“左加右减”的平移规律 平移后直线的解析式为 平移后的直线过点， 把代入解析式得 ， 解得， 故选D． 【变式题3-3】.（2026·山东滨州·一模）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，得到的对应点的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据点的平移规律“右加左减”原则计算即可． 【详解】解：将点向右平移个单位长度，平移后纵坐标不变，横坐标加上，所得对应点的坐标为，即． 【题型4】坐标系建立的灵活选择与坐标转化 1.核心知识点: 平面直角坐标系的建立方法 不同原点下点的坐标转化规律 坐标与实际位置的对应关系 2.解题方法技巧: 定原点建系：根据已知点坐标或位置要求，选择合适的原点（如网格点、实际地点），确定轴、轴。 坐标转化：若原点从点切换到点，点的新坐标为原坐标减去相对于的坐标。 实际应用：结合图形或实际场景，先根据已知点坐标画出坐标系，再读取或计算其他点坐标，确保单位长度一致。 【例题4】.（24-25七年级下·山东临沂·期末）一个平面直角坐标系的横轴和纵轴的单位长度相同，该平面直角坐标系中的点，的位置如图所示，则该平面直角坐标系的原点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查了画平面直角坐标系，根据平面直角坐标系求点的坐标． 根据题意作平面直角坐标系，再判断即可． 【详解】解：∵一个平面直角坐标系的横轴和纵轴的单位长度相同，该平面直角坐标系中的点，的位置如图所示， ∴平面直角坐标系如下： ∴原点可能是点B， 故选：B 【变式题4-1】.（24-25七年级下·山西吕梁·期中）如图，在边长为1的正方形网格中有A，B，C三个点，规定向右为x轴的正方向、向上为y轴的正方向，1为1个单位长度． (1)若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为______，点C的坐标为______． (2)若使点A在第一象限，则选择点______（填“B”或“C”）为坐标原点建立平面直角坐标系，并在图中画出该平面直角坐标系． 【答案】(1)， (2)，见解析 【分析】本题主要考查了写出坐标系中点的坐标，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）以A点为原点建立坐标系，再根据B、C位置写出对应的坐标即可； （2）根据点A在第一象限可知要以C为原点，据此画出坐标系即可． 【详解】（1）解：如图所示，当以A点为原点时，点B的坐标为，点C的坐标为； （2）解：如图所示，当点A在第一象限时，应该以C为原点建立坐标系． 【变式题4-2】.（24-25七年级下·天津河东·期中）如图是天安门广场周围的主要景点分布示意图，在此图中建立平面直角坐标系，表示故宫的点的坐标为，表示美术馆的点的坐标为，请你解答下列问题． (1)请画出符合题意的平面直角坐标系； (2)在平面直角坐标系内表示下列位置的坐标：天安门 ；   王府井 ；  人民大会堂 ； 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，画出相应的平面直角坐标系． （1）根据表示故宫的点的坐标为，表示美术馆的点的坐标为，可以画出相应的平面直角坐标系； （2）根据（1）中的坐标系，可以写出表示各个地点的坐标． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如下所示， （2）由（1）中的坐标系可知， 表示天安门的坐标为， 表示王府井的坐标为， 表示人民大会堂的坐标为， 故答案为：，，． 【变式题4-3】.（24-25七年级下·广西钦州·期末）方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，弄清题意，准确确定坐标是解题的关键． 根据以点A为原点重新建立直角坐标系，点B的横坐标与纵坐标分别为点A的横坐标与纵坐标的相反数解答． 【详解】解：以B为原点建立平面直角坐标系，A点的坐标为， ∴若以A点为原点建立平面直角坐标系，则B点在A点左2个单位，上1个单位处， ∴B点坐标为． 故选：A． 【培优高频题型】 【题型5】坐标与距离的综合计算 1.核心知识点： 点到坐标轴的距离、平行于坐标轴的直线上点的坐标特征、线段长度计算方法。 2.解题方法技巧： 平行于坐标轴的线段长度：平行于轴的线段长度为两点横坐标差的绝对值；平行于轴的线段长度为两点纵坐标差的绝对值。 距离与坐标互求：已知点到坐标轴的距离，分情况讨论坐标符号，如到轴距离为3的点，纵坐标为。 综合应用：结合点的位置特征（如象限、坐标轴）缩小范围，避免漏解，如第二象限内到轴距离为2的点，横坐标为。 【例题5】.（25-26八年级上·山东淄博·月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；较大值称为点P的“长距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”． (1)点到x轴的距离为　　，到y轴的距离为　　，点A的“短距”为　　． (2)若点是“完美点”，求a的值． (3)若点的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【答案】(1)2，3，2 (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点到坐标轴的距离，解一元一次方程，弄清题意是解题的关键； （1）根据“短距”的定义解答即可； （2）根据完美点的定义可得，即可求出答案； （3）先根据“长距”是5求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可． 【详解】（1）解：点到x轴的距离为2，到y轴的距离为3． ∵点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”， 又∵，， ∴点的“短距”为2， 故答案为：2，3，2； （2）解：由条件可知， ∴或， 解得或． （3）解：点的长距为5，且点在第三象限内， ， 解得：， ， 点的坐标为， 点到轴、轴的距离都是8， 是“完美点”． 【变式题5-1】.（24-25九年级上·江西宜春·月考）已知：在平面直角坐标系中，点在第四象限，且到轴的距离为，到轴的距离为． (1)求点的坐标； (2)若轴，且点到轴的距离与点到轴的距离相等，请直接写出点的坐标； (3)在坐标轴上是否存在一点，使的面积的面积的一半？画出图形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)图见解析，轴上不存在，理由见解析，轴上或 【分析】本题考查直角坐标系，解题的关键是掌握点到坐标轴的距离，点所在象限的特征，当轴时，点的坐标特点，三角形面积公式，坐标轴上两点间的距离． （1）根据点到坐标轴的距离可求出、的值，代入即可求出点坐标； （2）由（1）可知，利用轴，点到轴的距离与点到轴的距离相等，可得的横坐标为，纵坐标为，即可求出点坐标； （3）当点在轴上时，设，则，所以点不能在轴上，设，到的距离为，根据，可得，，进一步可求出坐标． 【详解】（1）解：点在第四象限，且到轴的距离为，到轴的距离为， ， 解得：， ，， ； （2）解：由（1）可知：， 轴，点到轴的距离与点到轴的距离相等， 的横坐标为，纵坐标为， ； （3）解：假设存在点，使得， ，，， ， ， ， 当点在轴上时，设，则， 点不能在轴上， 设，到的距离为，如图： 则， ， 当位于左侧时，，得； 当位于右侧时，，得； 综上所述：，． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·山东枣庄·期中）已知点P在轴的右侧，点P到轴的距离为6，且它到轴的距离是到轴距离的一半，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 根据点到坐标轴的距离定义，点P到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，结合点P在y轴右侧，横坐标为正，求解即可． 【详解】解：∵点到轴的距离为 6 ，且它到轴的距离是到轴距离的一半， ∴点到轴的距离是 3 ， ∵点在轴右侧， ∴点的横坐标为 3 ， ∵点到轴的距离为 6 ， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为或， 故选：D． 【变式题5-3】.（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，写出下面各点的坐标： (1)点在轴上，位于原点上侧，距离轴个单位长度； (2)点在第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度． 【答案】(1)点的坐标为 (2)点的坐标为 【分析】本题考查了平面内的点到坐标轴的距离和点的坐标的关系．熟练掌握平面内的点到坐标轴的距离和点的坐标的关系是解题的关键； （1）根据轴上的点的横坐标等于，再根据距离轴个单位长度即可得出答案； （2）利用象限，结合距离轴个单位长度，距离轴个单位长度即可求解． 【详解】（1）点在轴上， 点的横坐标为． 点位于原点上侧，距离轴个单位长度， 点的坐标为； （2）解：点在第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度， 点的横坐标是，纵坐标是， 点的坐标为． 【题型6】坐标表示地理位置的实际应用 1.核心知识点： 坐标系建立的步骤、坐标与实际位置的转化、比例尺的应用。 2.解题方法技巧： 建立坐标系：选择合适的参照点为原点（通常选中心位置或已知点），以正东、正北为、轴正方向，根据实际距离确定单位长度（如1厘米代表100米）。 坐标读取与转化：从图中读取地点坐标，结合比例尺转化为实际距离；或根据实际位置和距离，计算对应坐标。 方位角补充：当题目要求用“方位角+距离”表示时，先确定观测点，再测量方位角和距离，如点在观测点北偏东方向，距离2千米，记作。 【例题6】.（25-26八年级上·广东河源·期末）2025年9月28日，国内首个无人机夜间配送服务落地深圳！低空经济开启“不眠模式”．如图，若无人机在某次投送点的中心位置在图中阴影部分，则中心位置的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由各象限的坐标特征，结合图中阴影部分所在象限进行判定即可． 【详解】解：∵第四象限的坐标符号为：横坐标为正，纵坐标为负，图中阴影部分在第四象限， ∴中心位置的坐标应为选项A． 【变式题6-1】.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）小东家在学校西偏北方向米处，则学校在小东家（   ） A．西偏北方向米 B．北偏西方向米 C．东偏南方向米 D．东偏南方向米 【答案】C 【分析】根据位置的相对性求解即可． 【详解】解：∵位置具有相对性，当观测点互换时，方向互为反向，角度不变，距离不变，小东家在学校西偏北方向米处， ∴学校在小东家东偏南方向米处． 故选：C． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·山东聊城·期末）在“探索与发现展厅”有一个雷达探测器，如图，雷达探测器测得六个目标点，，，，，按照规定的目标表示方法，目标点，的位置分别表示为，，按照此方法在表示目标，，，的位置时，其中表示正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标确定位置，理解有序数对的两个数表示的实际意义是解题的关键． 根据题意和图形，可以写出各点的坐标，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由图可得， 目标的坐标为，故选项A错误，不符合题意； 目标的坐标为，故选项B错误，不符合题意； 目标的坐标为，故选项C正确，符合题意； 目标的坐标为，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·河南郑州·期末）奇奇发给来访的朋友小明一张旅游简图，并告知大学城的坐标是，黄河风景区的坐标是，自己在河南博物院等待与他会合，河南博物院的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由大学城的坐标是，黄河风景区的坐标是，建立直角坐标系如图， 由图可知河南博物院的坐标为． 【题型7】平面直角坐标系中的图形面积计算 1.核心知识点： 规则图形面积公式、割补法的应用、坐标与线段长度的转化。 2.解题方法技巧： 直接法：图形有边平行于坐标轴时，利用坐标求出底和高，套用面积公式，如三角形底为横坐标差的绝对值，高为纵坐标差的绝对值。 割补法：不规则图形或无边平行于坐标轴时，将其分割为长方形、三角形等规则图形，或补成规则图形，通过面积和或差求解。 关键点转化：将图形顶点坐标转化为线段长度，确保底和高的计算准确，如点、、，则，，三角形面积为。 【例题7】.（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）定义：任意三点A，B，C的“矩面积”计算方法：“水平底”a是任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h是任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如，三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”h＝6，“矩面积”．若，，三点的“矩面积”为20，则______． 【答案】5或 【分析】本题考查坐标与图形的性质，根据矩面积的定义表示出“水平底”a和铅垂高h，利用分类讨论对其铅垂高h进行讨论，从而列出关于m的方程，解出方程即可求解． 【详解】解：∵“水平底”，“矩面积”为20， ∴“铅垂高”， ∴或， ∴或， 故答案为：5或． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·宁夏银川·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)求出的面积． (2)在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标． 【答案】(1)4 (2)或 【分析】（1）过点M作轴于点N，根据列式求解即可； （2）设点P的坐标为，则，根据三角形的面积公式可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点M作轴于点N， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：设点P的坐标为，则， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，，且． (1)直接写出，的值和三角形的面积； (2)设与轴交于点，求三角形的面积； (3)如图2，连接，点在轴上，使三角形与三角形的面积相等，求的值； (4)如图3，点在四边形内部，使三角形的面积是三角形的面积的2倍，且三角形的面积是三角形的面积的2倍，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，完全平方公式和算术平方根的非负性，解一元一次方程求三角形的面积， 对于（1），根据平方和二次根式的非负性求出a，c，即可得出，再求出面积即可； 对于（2），先根据求出，进而得出答案； 对于（3），分三种情况根据面积相等列出方程，求出解，并判断即可； 对于（4），先根据求出点的纵坐标为2，再求出，然后根据求出，则答案可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得． ∵点， ∴点， 则， ∴； （2）解：∵ ， ∴， ， ； （3）解：①当点在线段上时， ，， 即， 解得：； 同理：当在点B上方时，， 解得：； 当在点下方时，， 解得：，不存在． 所以m的值为或8； （4）解：，理由如下： 过点作直线轴，交于，交轴于，交于， ∵， ， 即， 解得：， 因此点的纵坐标为2； 设点的坐标为， ， 解得：， ，同理， ． ， ， 解得：， ． 【变式题7-3】.（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，其中a，b满足． (1)求的面积； (2)在x轴上求一点P，使得的面积与的面积相等； (3)在y轴上是否存在一点Q，使得的面积与的面积相等？若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点 (3)存在，点Q坐标为 或 【分析】本题考查了坐标与图形的性质、解一元一次方程、绝对值，（1）利用非负数的性质求出a，b的值，再利用三角形面积公式计算即可． （2）设点，构建方程求出p的值即可． （3）如图，设交y轴于点N，设、，利用面积法求出点N的坐标，再利用面积法构建方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， 又，， ∴，， ∴，， 过点C作轴于点N， 点， ， ，， ∴， ∴． （2）解：设点． ∵， 解得或 ， 当时，与重合，不合题意，舍去， ∴点． （3）解：如图，连接，设交y轴于点N，设、， ∵， ， ， ∵， ∴， 解得或， ∴点Q坐标为或． 【压轴素养题型】 【题型8】新定义下的坐标问题 1.核心知识点： 坐标的本质、新定义规则的理解、知识迁移能力。 2.解题方法技巧： 理解新定义：仔细阅读题干，明确新定义的运算规则或位置关系，如“对角点”定义为。 转化为常规问题：将新定义条件转化为坐标之间的数量关系，如“伴随点”，可根据原坐标直接计算伴随点坐标。 验证与应用：按新定义规则验证实例，再应用规则解决问题，确保符合定义要求。 【例题8】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式． 【定义】将点变换得到点，则称点是点的“加密点”． 【示例】点的“加密点”是点． 【问题】点的“加密点”不在第______象限． 【答案】三 【分析】本题主要考查了新定义下的坐标变换以及平面直角坐标系中象限的坐标特征．根据“加密点”的定义，求出点的坐标，再根据各象限点的坐标符号特征，分析参数的取值范围，判断点可能出现的象限即可解答． 【详解】解：点的加密点的坐标计算如下： 横坐标为， 纵坐标为， 因此点的坐标为， 象限判断： 若在第一象限，则且，即且，解得； 若在第二象限，则且，即且，解得； 若在第三象限，则且，即且，无解； 若在第四象限，则且，即且，解得； 由以上分析，点可能出现在第一、第二、第四象限，但不可能出现在第三象限． 故答案为：三． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴，轴距离的较小值称为点的“短距”，点到轴，轴的距离相等时，称点为“等距点”． (1)求点的“短距”． (2)若点是“等距点”，求的值． 【答案】(1)1 (2)或 【分析】（1）根据新定义，进行判断即可； （2）根据新定义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：点到轴的距离为，到轴的距离为1，， ∴点的“短距”为1； （2）解：由题意，， 即：或， 解得或． 【变式题8-2】.（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点，则称点为点的“双移点”． 根据上述定义，回答下列问题： (1)已知点，则它的“双移点”为___________；若点的“双移点”为点，则点的坐标为_____________； (2)对于任意点，其“双移点”的坐标可以表示为____________； (3)若点是点的“双移点”，且在轴上存在一点，使的面积为4，请求出点的坐标； (4)若点是点的“双移点”，且在轴上有一点，使的面积为9，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点的坐标为或 (4)或 【分析】此题考查了坐标系中点的平移、坐标与图形等知识，数形结合和分类讨论是关键． （1）根据“双移点”的定义进行解答即可； （2）根据“双移点”写出答案即可； （3）求出点 ，设点D的坐标为，根据面积得到，即可求出答案； （4）求出，设点的坐标为，分两种情况，当点在线段的右侧时，当点在线段的左侧时，分别画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：点，先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点， 即点的“双移点”为， 把先向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点， 即点的坐标为； 故答案为：， （2）∵先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点， ∴对于任意点，其“双移点”的坐标可以表示为， 故答案为： （3）∵点是点的“双移点”， ∴点 ， 设点D的坐标为， ∵的面积为4， ∴ 解得或， ∴点的坐标为或； （4）∵点是点的“双移点”， ∴， 设点的坐标为， 当点在线段的右侧时， ∵的面积为9， ∴ 解得， ∴点的坐标为， 当点在线段的左侧时， ∵的面积为9， 当点点在原点时，的面积为， ∴点在原点的左侧， ∴ 解得， ∴点的坐标为， 综上可知，点的坐标为或 【变式题8-3】.（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）在平面直角坐标系中，定义一种新运算：对于点，规定P的“特征值”为横坐标的绝对值的2倍与纵坐标的绝对值之和，即． (1)求点的“特征值”． (2)若点B在第二象限且满足“特征值”，求满足条件的所有点B与坐标轴围成的图形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，一次函数的图象和性质，正确理解定义是解题的关键. ()由平面直角坐标系中，定义一种新运算即可求解； ()设点的坐标为，由，得到方程，进而得出，求出所有点与坐标轴围成的三角形的面积即可. 【详解】（1）解：． （2）设，由题意可知，． 点在第二象限， ，， ， 即， 点在直线上． 令直线与轴，轴分别交于点，则有，， ，． ． 【题型9】坐标中的规律探究问题 1.核心知识点： 点的坐标变化规律、循环规律的识别、从特殊到一般的思想方法。 2.解题方法技巧： 列举特殊点：计算前几个点的坐标，观察横、纵坐标的变化规律，如循环周期、增减趋势。 总结通式：根据特殊点规律，推导第个点的坐标通式，如点、、、，则偶数项纵坐标为1，横坐标为项数，通式为。 验证与应用：将取特殊值代入通式，验证规律正确性，再解决具体问题（如求第2025个点的坐标）。 【例题9】.（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图所示，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律将变换成，则的坐标是______，的坐标是______． (2)若按第（1）题的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测的坐标是______，的坐标是______． 【答案】(1)， (2)， 【分析】考查了坐标与图形性质，坐标规律，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉2的指数次幂是解题的关键． （1）根据规律直接写出结论； （2）由题可得，点的规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3；点坐标规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0，再写出，的坐标即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点的坐标为：． 又∵， ∴的横坐标为：，纵坐标为：0， ∴点的坐标为：． 故答案为：； （2）解：由，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3． 故的坐标为：． 由，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：． 故答案为：． 【变式题9-1】.（2025·安徽宿州·一模）【观察思考】 如图，学校的围墙由三种图案围成，一种是正方形，另外两种是大小不等的等腰直角三角形．将围墙的图案放在平面直角坐标系中，已知正方形图案的边长与小等腰直角三角形图案的直角边长都为，设大等腰直角三角形图案在轴上的直角顶点分别为，，，…，． 【规律发现】 （1）填空：点的横坐标为______，点的横坐标为______． （2）直接写出点的横坐标（用含的式子表示）． 【规律应用】 （3）已知学校的围墙总共有201个正方形图案（最右边以正方形结束），结合图案中的排列方式及上述规律（不考虑其他因素），求围墙的总长． 【答案】（1）11；16（2）（3） 【分析】本题主要考查了关于图形的规律问题，点的坐标，代数式的表示，图形的周期性等，解题的关键是找到图形排列的规律． （1）先根据条件求出，再确定两个在轴上的大等腰直角三角形顶点间的长度，即可求解； （2）利用规律推出公式即可； （3）按照图形规律，求出两个正方形之间的长度，根据周期性即可求出答案． 【详解】解：（1）根据题意可知，正方形图案的边长与小等腰直角三角形图案的直角边长都为， ,,,, ∴点的横坐标为11，点的横坐标为16， 故答案为：11，16； （2）点的横坐标为； （3）按照图形规律，可得第1个正方形出现的围墙长度为3m，后面则每5m长的围墙为1组，不断循环，每组只有1个正方形图案， ∴ 故围墙的总长为1003m． 【变式题9-2】.（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将变换成，则的坐标为______，的坐标为______，的面积为______． (2)按以上规律将进行n次变换得到，则的坐标为______，的坐标为______； (3)的面积为______ 【答案】(1)，，48 (2)， (3) 【分析】此题考查了坐标规律的探索，解题的关键是根据已知点的坐标，总结出点的坐标规律． （1）根据、、的坐标求出的坐标即可，根据、、的坐标求出的坐标即可； （2）根据前几个点的坐标，总结出规律分别求出、的坐标即可； （3）根据三角形面积公式以及、的坐标，求解即可． 【详解】（1）解：、、． 的横坐标为：，纵坐标为：3． 故点的坐标为：． 又、、． 的横坐标为：，纵坐标为：0． 故点的坐标为：． 的面积为 故答案为：，，48； （2）解：由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3． 故的坐标为：， 由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：； 故答案为：，； （3）解：的坐标为：，的坐标为：， 的面积为． 故答案为：． 【变式题9-3】.（2023七年级下·全国·专题练习）如图，在直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形……已知，，，，，，，． (1)仔细观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律将三角形变换成三角形，则的坐标是________，的坐标是________ ； (2)若按第（1）题的规律将三角形进行了n次变换，得到三角形，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测：的坐标是_______，的坐标是_______． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】（1）因为，，，…纵坐标均为3，同时横坐标都和2有关，为， 因为，，，…纵坐标不变，为0，同时横坐标都和2有关为， 即可得出答案； （2）由上题第一问规律可知的纵坐标总为3，横坐标为，的纵坐标总为0，横坐标为 ，即可得出答案． 【详解】（1）解：因为，，，…纵坐标不变为3， 同时横坐标都和2有关，为，那么； 因为，，，…纵坐标不变，为0， 同时横坐标都和2有关为，那么B的坐标为； 故答案为：，； （2）解：由上题第一问规律可知的纵坐标总为3，横坐标为，的纵坐标总为0，横坐标为， ∴的坐标是，Bn的坐标是． 故答案为：，． 【点睛】本题考查点的坐标规律，正确理解题意得出规律是解题的关键． 易错点 1.混淆有序数对的顺序，误认为与表示同一位置，忽略“有序”特征。 2.点到坐标轴的距离与坐标混淆，如将点到轴的距离误认为是，到轴的距离误认为是。 3.忽略坐标轴上的点不属于任何象限，错误地将原点或、轴上的点归为某一象限。 4.应用平移规律时符号错误，如向左平移误加横坐标，向上平移误减纵坐标。 5.解决含参数的坐标问题时，未分类讨论导致漏解，如点到两坐标轴距离相等时，只考虑，忽略的情况。 6.建立坐标系时，单位长度不统一或正方向标注错误，导致坐标与实际位置对应偏差。 7.计算图形面积时，未将坐标转化为正确的线段长度，或割补法应用错误，导致面积计算失误。 重点 1.掌握平面直角坐标系的概念和画法，能准确识别象限和坐标轴。 2.理解点的坐标的定义和几何意义，能根据点的位置确定坐标，或根据坐标确定点的位置。 3.熟记不同位置点的坐标特征，能快速判断点所在象限、坐标轴或特殊直线（如角平分线）。 4.掌握点的平移规律，能解决点和图形的平移问题，理解平移前后坐标的变化关系。 5.学会运用坐标表示地理位置，能建立适当的坐标系解决实际问题。 6.掌握坐标与图形面积的计算方法，能运用割补法求不规则图形的面积。 难点 1.含参数的坐标问题的求解，需运用方程思想和分类讨论思想，避免漏解和错解。 2.坐标中的规律探究问题，能从特殊点的坐标中总结出一般规律，并应用规律解决问题。 3.不规则图形面积的计算，灵活运用割补法将其转化为规则图形的面积和或差。 4.坐标与几何图形的综合探究，能实现坐标与几何量之间的相互转化，解决探究性问题。 5.新定义和跨学科情境题，能准确理解新定义规则和跨学科信息，将其转化为熟悉的坐标问题。 6.建立合适的坐标系表示地理位置，根据实际情况选择原点、单位长度和正方向，确保坐标与实际位置准确对应。 【对应练习题】 一、单选题 1．平面直角坐标系中，点在（　　）． A．第一象限 B．第二象限 C．轴上 D．轴上 【答案】C 【详解】解：∵点的横坐标为，纵坐标为， ∴点在轴上． 2．在平面直角坐标系中，将点平移到点处，则下列方法正确的是（    ） A．向右平移6个单位长度 B．向右平移4个单位长度 C．向左平移6个单位长度 D．向左平移4个单位长度 【答案】C 【分析】根据 “左减右加、上加下减”的平移规律，结合平移前后点的坐标变化确定平移方向与距离． 【详解】解：∵平移前点P的坐标为，平移后点的坐标为， ∴纵坐标保持不变，横坐标的变化量为， ∴根据“左减右加”的平移规律，点P需向左平移6个单位长度． 3．太原古县城是中国国家历史文化街区，下图是古县城内景点分布示意图．若隆恩寺的位置是，城隍庙的位置是，则县衙的位置是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据隆恩寺 和城隍庙 的坐标确定平面直角坐标系的原点和坐标轴方向，再根据坐标系确定县衙的坐标． 【详解】解：以隆恩寺 和城隍庙 为参考， 设水平向右为 轴正方向，竖直向上为 轴正方向，由两点坐标可确定原点位置， 建立平面直角坐标系如下： 进而得到县衙的位置是 ． 4．若，，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先根据有理数乘法的符号法则判断的正负，再根据平面直角坐标系各象限的坐标符号特征，判断点所在象限． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点的横坐标，纵坐标， 又∵第三象限内点的横、纵坐标均为负数， ∴点在第三象限． 5．如图，直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个长度单位，同时点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒个长度单位，记，在长方形边上第次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，根据点坐标可得长方形的周长，设点与点每次相遇所需时间为秒，由行程问题的数量关系可得，由此可得每次相遇的时间，从而找出规律计算即可求解． 【详解】解：如图可知， ∴长方形的周长为， ∴每一次相遇后，出发到再相遇，点和点所运动的路程和均为， 设点与点每次相遇所需时间为秒，则，解得， 即每秒相遇一次，则根据运动方式可求出 ，可以发现相遇点的坐标每次完成一循环， 又∵， ∴点的坐标与点的坐标相同，即点的坐标为． 二、填空题 6．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段平移后点A的对应点是，则点B的对应点的坐标为 __________ ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化——平移，关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．根据点A平移前后的坐标，得到其平移方式，即可得到点B的对应点的坐标． 【详解】解：平移后得到的对应点的坐标为， 平移方式为向右平移了个单位，向上平移了个单位， 的对应点坐标为，即， 故答案为：． 7．在平面直角坐标系中，将点沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移4个单位，得到的点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，平移的变化规律是∶横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 根据平移的变化规律解答即可． 【详解】解：将点沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移4个单位，得到的点的坐标是，即． 故答案为： 8．已知点P在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离是5，则点P的坐标为________． 【答案】 【分析】四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．点到轴的距离是纵坐标的绝对值，点到轴的距离是横坐标的绝对值，结合点所在象限求解即可． 【详解】解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点纵坐标的绝对值为，横坐标的绝对值为． ∵点在第四象限，第四象限内点的横坐标大于，纵坐标小于． ∴点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为． 9．平面直角坐标系中，有点与点，且轴，则点P的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行于轴的直线上点的坐标特点，根据平行于轴的直线上点的横坐标相同建立方程求解，即可解题． 【详解】解： 轴，点，点， ， 解得， 则， 点的坐标为； 故答案为：． 10．点到轴和轴的距离相等，则点的坐标是__________． 【答案】或 【分析】根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值，再根据“点到轴和轴的距离相等”得到绝对值方程，求解后即可得到点的坐标． 【详解】解：∵点到轴和轴的距离相等， ∴， ∴或， 解方程，得： ∴，， 此时点坐标为； 解方程，得：， ∴，， 此时点坐标为； 综上所述，点的坐标是或． 三、解答题 11．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点的纵坐标比横坐标大3，求的值； (2)若点在轴上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“点的纵坐标比横坐标大3”列方程求解即可； （2）根据“点在轴上”得到纵坐标为0，列方程求解即可． 【详解】（1）解：点的纵坐标比横坐标大3， ， 解得． （2）解：点在轴上， ， 解得． 12．如图，已知点A坐标为，点C坐标为，点，B在格点上． (1)描出A，C两点的位置，写出点B的坐标； (2)连结，将平移，使点A平移到点，画出平移后所得的． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【分析】（1）根据点的坐标 画出点A，C，再根据点B的位置写出坐标； （2）画出，利用平移变换的性质分别作出B，C的对应点，即可． 【详解】（1）解：如图，点A，C即为所求，． （2）解：如图，，即为所求． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知，，M为第三象限内一点． (1)若点到两坐标轴的距离相等． ①求点M的坐标； ②若且，求点N的坐标． (2)若点M为，连接，，将沿x轴方向向右平移得到（点A，M的对应点分别为点D，E），若的周长为m，四边形的周长为，求点E的坐标（用含n的式子表示）． 【答案】(1)①；②或 (2)点E的坐标为 【分析】（1）①根据点到两坐标轴的距离相等，可列方程求解；②根据且，即可求得答案； （2）根据平移的性质，可得，，再结合三角形和四边形的周长，即可求得，即得答案． 【详解】（1）解：①到两坐标轴的距离相等，且在第三象限， ， ， ； ②，， ， 且，， 或； （2）解：沿x轴方向向右平移得到， ，， 的周长为m， ， 四边形的周长为， ， ， ， 点M为， 点E的坐标为． 14．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点的纵坐标比横坐标大3，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了坐标系中点的坐标特点，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据y轴上点的横坐标为0得到，求出，进而求解即可； （2）根据题意得到，求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为； （2）解：∵点的纵坐标比横坐标大3， ∴ ∴ ∴， ∴点的坐标为． 15．把三角形放在直角坐标系中如图所示，现将三角形向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形． (1)在图中画出三角形； (2)写出、、的坐标； (3)求在平移过程中扫过的面积． 【答案】(1)见详解 (2) (3)15 【分析】（1）首先确定、、三点平移后的位置，再连接即可； （2）利用坐标系确定、、的坐标； （3）根据平行四边形的面积公式可得在平移过程中扫过的面积． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由图可得：； （3）解：， ， 在平移过程中扫过的面积为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $