第8章 实数 单元复习（7大知识点总结+9大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学七年级下册易错题重难点培优讲义

第8章 实数 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.平方根与算术平方根（，） 1.求非负数的平方根、算术平方根； 2.利用平方根的性质（正数有两个互为相反数的平方根）求值； 3.算术平方根的双重非负性应用 1.混淆平方根与算术平方根（算术平方根只有非负一个，平方根有两个）； 2.忽略算术平方根的双重非负性（且）； 3.误认为负数有平方根或算术平方根 2.立方根（，为任意实数） 1.求任意实数的立方根； 2.利用立方根的性质（正数立方根为正，负数为负）求值； 3.立方根与平方根的综合应用 1.混淆立方根与平方根的取值范围（立方根可负，平方根被开方数非负）； 2.计算立方根时符号错误； 3.误认为立方根的性质与平方根一致（如立方根没有“互为相反数”特征） 3.实数的概念与分类 1.区分有理数与无理数； 2.实数的分类（按定义、按正负）； 3.无理数的常见形式识别（开方不尽、含、无限不循环小数） 1.误将分数、有限小数、循环小数归为无理数； 2.认为“无理数的和、差、积、商一定是无理数”； 3.忽略“无限不循环”是无理数的核心特征 4.实数的性质（相反数、倒数、绝对值） 1.求实数的相反数、倒数、绝对值； 2.利用性质化简含绝对值、相反数的表达式； 3.非负数性质的综合应用（） 1.求负数的倒数时符号错误； 2.化简含无理数的绝对值时判断错误； 3.多个非负数和为0时漏解某一非负项 5.实数的运算 1.实数的加减乘除、乘方、开方混合运算； 2.无理数的近似计算（结合估算）； 3.运算律在实数范围内的应用 1.开方与乘方运算顺序错误； 2.无理数运算时未化简就合并； 3.近似计算时精度不足或过度精确 6.实数与数轴 1.实数与数轴上点的一一对应关系； 2.利用数轴比较实数大小； 3.在数轴上表示无理数 1.认为“数轴上的点都表示有理数”； 2.比较数轴上无理数位置时估算错误； 3.作图表示无理数时方法错误 7.实数的大小比较 1.直接比较法（正数>0>负数）； 2.估算比较法（无理数介于两整数之间）； 3.平方、立方比较法（同号实数比较） 1.比较两个负数时绝对值判断错误； 2.估算无理数时误差过大； 3.不同类型实数比较时未统一形式 【易错题型】 【题型1】无理数的概念误解与分类错误 1.易错点总结 分类错误：将分数、有限小数、循环小数归为无理数； 特征混淆：认为“带根号的数都是无理数”； 性质误判：认为“无理数一定是无限小数，无限小数一定是无理数”。 2.纠错技巧 核心特征记忆：无理数是“无限不循环小数”，有理数是“有限小数或无限循环小数”； 常见形式清单：①开方开不尽的数；②含的数；③特定无限不循环小数； 反例验证：遇到带根号的数先化简，遇到无限小数先判断是否循环。 【例题1】.（25-26七年级上·云南昆明·月考）下列关于有理数的说法正确的是（   ） A．有理数分为正有理数和负有理数 B．整数分为正整数和负整数 C．有理数是可以写成两个整数之比（比的后项不为0）的数 D．0不是有理数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类与定义． 根据有理数的相关概念逐一判断选项正误． 【详解】解：有理数分为正有理数、0和负有理数，A选项错误； 整数分为正整数、0和负整数，B选项错误； 有理数是可以写成两个整数之比（比的后项不为0）的数，C选项正确； 0是有理数，D选项错误； 故选：C． 【变式题1-1】.（24-25七年级上·新疆阿克苏·月考）在π，，，，这几个数中，有理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：在π，，，，这几个数中， 有理数为：，，，共有3个． 【变式题1-2】.（24-25七年级上·河南开封·月考）将下列各数填入适当的括号内： ，5，，，8.9，19， ，，0 有理数集：{                      …）； 整数集：{                  …}； 非正数集：{                       …}． 【答案】 5，，，8.9，19，，，0；5，，19，0；，，，0 【分析】本题考查有理数的定义及分类，根据有理数的分类，即可解答． 【详解】解：有理数集：{5，，，8.9，19，，，0…} 整数集：{5，，19，0…} 非正数集：{，，，0…}． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·山东日照·月考）把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个），． 负数集合：{_____________…}； 分数集合：{_____________…}； 负有理数集合：{_____________…}； 有理数集合：{________________…}． 【答案】，，，（每相邻两个1之间依次多一个0…）； 0.3，，，，，2.3%； ，，；0.3，，，，0，，，10，2.3% 【分析】本题考查有理数的分类．熟悉负数为小于的数，分数包括有限小数、无限循环小数和可以化为分数的百分数，负有理数既是负数又是有理数的数，有理数是整数和分数的统称，小数分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数． 【详解】解：负数集合：{，，，（每相邻两个之间依次多一个）}； 分数集合：{0.3，，，，，2.3%}； 负有理数集合：{，，}； 有理数集合：{0.3，，，，0，，，10，2.3%}． 【基础题型】 【题型2】平方根、算术平方根与立方根的直接计算 1.考点总结 核心考查三种根的定义与性质； 直接求具体数值的平方根、算术平方根、立方根； 已知根的值求原数。 2.解题技巧 公式套用：①平方根：若（），则；②算术平方根：（，）；③立方根：若，则（为任意实数）； 特殊值记忆：，，，，； 逆向计算：已知，则；已知，则。 【例题2】.（2022七年级下·重庆沙坪坝·专题练习）81的算术平方根是______． 【答案】9 【详解】解：， 的算术平方根是． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·河南洛阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．1的立方根是 C．任何一个实数都有两个平方根 D．任何一个实数都有一个立方根 【答案】D 【分析】本题考查平方根与立方根的基本概念，需根据相关定义逐一判断各选项的正误． 【详解】解：∵正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根， ∴4的平方根是，选项A错误； ∵负数没有平方根，0只有一个平方根， ∴选项C错误； ∵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0， ∴1的立方根是1，选项B错误， 任何实数都有一个立方根，选项D正确； 故选：D． 【变式题2-2】.（21-22八年级上·山东青岛·期末）计算的结果是______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 【变式题2-3】.（2025·青海·中考真题）4的算术平方根是___________． 【答案】2 【分析】根据算术平方根的定义，寻找平方等于4的非负实数即可． 【详解】解：根据算术平方根的定义：若一个非负数的平方等于，即，则叫做的算术平方根， ∵，且2是正数， ∴4的算术平方根是2． 【题型3】实数的相反数、倒数、绝对值求解 1.考点总结 考查实数的基本性质（相反数、倒数、绝对值）； 求具体实数（含有理数、无理数）的性质量； 利用性质化简简单表达式。 2.解题技巧 定义应用：①相反数：的相反数是；②倒数：非零实数的倒数是；③绝对值：； 特殊情况：没有倒数，的相反数是，； 无理数化简：绝对值化简先判断无理数与整数的大小。 【例题3】.（25-26七年级上·湖北·期末）的相反数是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相反数的定义，依据“互为相反数的两个数只有符号不同”即可求解． 【详解】解：的相反数是 故选：A． 【变式题3-1】.（24-25七年级上·新疆阿克苏·月考）下列各组数中，互为相反数的有（    ）． A．和 B．和 C．和2 D．和 【答案】A 【分析】先根据多重符号的化简方法和绝对值的性质化简各选项数值，再根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：A．，，两者互为相反数，符合题意； B．，，两者相等，不互为相反数，不合题意； C．，两者相等，不互为相反数，不合题意； D．，，两者相等，不互为相反数，不合题意； 【变式题3-2】.（25-26九年级下·山东济宁·开学考试）在数轴上，有理数a与b对应的点分别表示数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意得到a、b的具体值，再计算绝对值，结合有理数大小比较法则判断各选项即可． 【详解】解：∵， ∴ ，， 对选项A，∵， ∴，A错误，不符合题意； 对选项B，∵， ∴，B错误，不符合题意； 对选项C，∵， ∴，C正确，符合题意； 对选项D，∵， ∴，D错误，不符合题意． 【变式题3-3】.（22-23七年级上·安徽六安·期中）若与互为相反数，与互为倒数，的绝对值与倒数均是它本身，的相反数是它本身，则代数式的值为__________． 【答案】 【分析】利用相反数，倒数的定义，以及绝对值的代数意义求出，，与的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：，，，， 得， 原式， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，代数式求值，绝对值，相反数，以及倒数，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【题型4】实数与数轴的基础应用 1.考点总结 考查实数与数轴的一一对应关系； 利用数轴比较实数大小； 识别数轴上点表示的实数（含无理数）。 2.解题技巧 大小比较：数轴上右边的点表示的实数大于左边的点表示的实数（正数>0>负数）； 无理数定位：先估算无理数介于哪两个整数之间，再在数轴上确定大致位置； 点与数对应：已知数轴上点的位置，判断其表示的实数符号与范围。 【例题4】.（2026·河南郑州·一模）数轴上点P的位置如图所示，则点P表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴表示实数，无理数的估算，由数轴可知，点表示的数在到之间，根据选项进行判断即可． 【详解】解：根据题意，可得点表示的数在到之间， 各选项中，，，， 故只有满足在到之间． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为_____ ． 【答案】/ 【详解】解：正方形的面积为， 正方形的边长为， 则由题意可知， 点表示的数为， 点所表示的数为． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图所示，直径为个单位长度的半圆，从原点开始沿着数轴向右滚动一周，半圆上的一点由到达，则点对应的数为_____． 【答案】 【分析】本题考查的是半圆滚动与数轴的结合，灵活运用半圆的周长公式是解题的关键．根据半圆的周长等于半圆弧长与直径之和，先求出直径为个单位长度的半圆的周长，进而确定点对应的数． 【详解】解：由图可知，半圆向右滚动一周，走过的路径为半圆的周长， 即， 点对应的数为． 故答案为：． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·广东河源·月考）如图，在数轴上表示的点可能是（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】B 【分析】先估算的取值范围，然后结合数轴即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即在3和4之间， 结合数轴可知点Q满足条件，即B选项符合题意． 【题型5】实数的基础混合运算 1.考点总结 考查实数的加减乘除、乘方、开方运算； 结合运算律（交换律、结合律、分配律）简化计算； 结果化为最简形式（无理数需化简，有理数需约分）。 2.解题技巧 步骤规范：①先化简无理数；②按运算顺序计算（先乘方开方，再乘除，最后加减）；③合并同类二次根式； 运算律应用：分配律适用于含无理数的乘法； 结果要求：无理数保留最简形式，有理数化为整数或分数。 【例题5】.（19-20七年级下·四川自贡·期中）计算：． 【答案】 【分析】先通过算术平方根定义，取绝对值法则进行化简，然后合并即可． 【详解】解： ． 【变式题5-1】.（21-22七年级下·四川自贡·月考）计算： 【答案】 【分析】先求立方根，算术平方根，再进行计算即可求解． 【详解】解： 【变式题5-2】.（25-26七年级下·重庆·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先计算乘方，除法转化为乘法，再从左到右依次计算乘除运算，最后计算减法； （2）先分别计算乘方、立方根、绝对值和算术平方根，再进行加减运算，注意，故，去掉绝对值后前面加负号需变号． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·江苏镇江·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】根据立方根和算术平方根的意义计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 【提升题型】 【题型6】利用非负性求字母的值（综合应用） 1.考点总结 考查非负数的性质（、、）； 多个非负数和为0时求字母的值； 结合平方根、立方根的性质综合求解。 2.解题技巧 核心原理：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0； 步骤：①识别非负形式（绝对值、算术平方根、平方）；②列方程（每个非负项等于0）；③解方程求字母的值；④验证结果（确保被开方数非负等条件）。 【例题6】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）若，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查绝对值和算术平方根的非负性，解二元一次方程组，根据绝对值和算术平方根的非负性，列出方程组并求解． 【详解】解：∵ ，，且， ∴ ， ， 即 ， 得：， 即 ， ∴ ． 故答案为：． 【变式题6-1】.（24-25八年级下·北京·开学考试）若与互为相反数，则的值是________． 【答案】 5 【分析】根据非负数的性质结合相反数的定义求出a、b的值，再代入代数式计算即可得出结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得， ∴． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·湖南长沙·期末）若，则_____． 【答案】1 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，根据算术平方根和绝对值的非负性，求出a和b的值，再计算代数式的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：1． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·四川巴中·期中）若，则的平方根为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，先根据绝对值和算术平方根的非负性求出m、n的值，然后代入计算，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 【题型7】无理数的估算与大小比较 1.考点总结 考查无理数的估算能力（介于两整数之间）； 结合实际情境（如长度、面积）比较实数大小； 利用平方、立方法比较无理数大小。 2.解题技巧 估算步骤：①找与被开方数相邻的完全平方数（或立方数）；②确定无理数的整数部分；③估算小数部分； 比较方法：①正数比较：平方后大的数大；②负数比较：绝对值大的数小； 情境应用：先将实际问题转化为实数比较。 【例题7】.（2026·陕西榆林·一模）写出一个比大的负整数：______．（只写一个） 【答案】（填或也可） 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴比大的负整数为，，，任选其一即可． 【变式题7-1】.（安徽省C20联盟2026年第二次学业水平考试（二模）九年级数学试题）若实数p是满足的整数，则p的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过比较平方数的大小估算出和的取值范围，再根据是整数确定的值即可． 【详解】解，，， ，，， ，， ，且为整数， ． 【变式题7-2】.（2026·湖南·一模）下列四个数中，其中最大的数是（   ） A．3 B． C． D．0 【答案】A 【分析】估算出的范围，可得3与的大小，再根据正数大于0，0大于负数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四个数中最大的数是． 【变式题7-3】.（24-25八年级下·广东汕尾·月考）比较：________（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【分析】利用分母相同的正分数比较大小的规则，通过比较分子的大小来判断两个分数的大小关系，先确定的取值范围，进而得到分子的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵两个正分数分母相同，分子大的分数值大， ∴． 【培优题型】 【题型8】实数运算的实际应用（跨学科、生活化） 1.考点总结 考查实数运算在几何（面积、周长）、物理（长度、速度）等领域的应用； 结合实际问题进行无理数的近似计算； 数学建模素养（将实际问题转化为实数运算）。 2.解题技巧 建模步骤：①提取实际问题中的数量关系；②代入数据（含无理数）；③进行实数运算（化简或近似计算）；④验证结果的实际意义； 近似计算：根据实际需求保留精度。 【例题8】.（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【答案】13 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用圆柱的体积公式表示出瓶子中大圆柱与小圆柱的体积，以及杯子的体积，即可得到结果. 【详解】解：瓶子中大圆柱的容积为， 瓶子中小圆柱容积， 杯子的容积为， 则所需杯子个数为， 则一共需要13个这样的杯子. 【变式题8-1】.（22-23七年级下·江苏无锡·期中）如图，正方形中，点E、F在上，点E是的中点，以为边长向正方形形内作正方形，以、为长和宽向正方形形内作长方形，已知正方形的面积为70，正方形的面积为40，则长方形的面积为（   ） A．5 B．7.5 C．10 D．12.5 【答案】B 【分析】本题主要考查实数混合运算的应用，解答的关键是求得长方形的长与宽，理解图示，掌握乘法公式，实数的混合运算是解题的关键． 由正方形的面积可求得，的长度，可求得，再由点是的中点，则有，表示出长方形的长与宽，再利用长方形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：正方形的面积为，正方形的面积为， ，，解得：，， ， 点是的中点， ， ， ， ． 故选：． 【变式题8-2】.（20-21七年级下·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为_____．    【答案】 【分析】根据题意可知阴影部分可看作高为1，底为的三角形，求解即可； 【详解】解：大正方形的边长为：，小正方形的边长为：1； 阴影部分的面积为：； 故答案为：. 【点睛】本题主要考查实数混合运算的应用，正确列出算式是解题的关键. 【变式题8-3】.（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确列出算式，是解题的关键： （1）根据直角三角形的面积公式列式计算即可； （2）利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，三角形的面积为； （2）由题意， ． 【题型9】实数的规律探究（探究式） 1.考点总结 考查实数（含无理数）的排列规律； 归纳通项公式或递推关系； 探究式思维与归纳推理能力。 2.解题技巧 步骤：①列出前3-4项，标注每项的结构（整数部分、无理部分）；②找规律（如系数、被开方数、符号的变化）；③归纳通项公式；④验证公式的正确性； 关键：关注“不变量”与“变量”，将无理数的规律转化为有理数的规律。 【例题9】.（2026·安徽阜阳·一模）对于实数，在它的允许取值范围内，经过第1次变换可得，经过第2次变换可得，经过第3次变换可得，…，以此类推． （1）当时，______； （2）当时，______． 【答案】 2 / 【分析】（1）根据给定的变换规则，先计算再计算即可； （2）先计算前几次变换的结果，归纳得到循环周期，再根据总项数和周期计算总和． 【详解】（1）当时，， ； （2）当时， ， ， ， 因此结果每3个数为一个循环周期， 一个周期内的和为， ， ． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为______． 【答案】256 【分析】本题主要考查了新定义运算，数字规律探索，无理数的估算，从后往前逆推操作过程，根据定义 表示不小于的最小整数，结合不等式关系确定每步操作前数值的最大可能值，从而得到的最大值 【详解】解：设第三次操作前的数值为，由，得，平方得，取 时最大， 设第二次操作前的数值为，由，得，平方得，取 ， 设第一次操作前的数值为，由得，平方得，故 最大值为， 验证：对，第一次操作，第二次操作，第三次操作 ，恰好三次操作后变为2． 故答案为：256． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·湖南永州·期中）将按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则 ①表示的数是________________ ； ②与表示的两数的平方和为________ ． 【答案】 【分析】先确定每行使用的自然数范围，再根据行数的奇偶性决定该行是递增还是递减排列． 【详解】①解：第1排： 第2排：，（从左到右依次增大） 第3排：，，（从左到右依次减小） 第4排：，，，（从左到右依次增大） 第5排：，，，，（从左到右依次减小） 奇数排（1，3，5，…）的数字从左到右是从大到小排列． 偶数排（2，4，…）的数字从左到右是从小到大排列． 数字是自然数开根号，不重复，顺序是连续填充的． 前m排数字的总个数：， 前一排（第排）的总个数是， 所以第m排的第1个数是序列中的第个数的平方根． 当 m为奇数时， 第m排有m个数，从左到右依次是：，，…，， 即最左是，最右是， 因此奇数排的第n个数（从左向右数）是：， 当m为偶数时， 第m排有m个数，从左到右依次是：，，…，， 即最左是，最右是， 因此偶数排的第 n个数是：， ，为偶数， ， 所代表的数为， 故答案为：； ②，为偶数，， ， ，为奇数，， ， 它们的平方和为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字类规律探索，用代数式表示数、图形的规律，用有序数对表示位置，求一个数的算术平方根解题关键是根据“蛇形”排列规则推导出第m排第n个数所对应的自然数序号． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·广东湛江·月考）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查算术平方根的性质． （1）仿照例题进行解答即可； （2）根据题意，结合（1），进行解答即可； （3）化简算术平方根，再进行求和即可． 【详解】（1）解：、， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）解： ． 同步练习 一、单选题 1．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是（   ） A．0，1 B．1， C．0， D．0， 【答案】D 【详解】解：0，的立方根等于本身． 2．已知整数m满足，则m的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，只需确定介于哪两个连续整数之间，即可求出整数m的值． 【详解】解：∵， ∴，则， ∴， ∵，m为整数， ∴， 故选：C． 3．下列四个数中，其绝对值最大的数是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数比较大小，熟练掌握正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键． 先根据绝对值的性质求出各数的绝对值，再比较绝对值的大小，进而确定绝对值最大的数即可． 【详解】解：，，，， ∵，即， ∴绝对值最大的数是． 故选：B． 4．在如图所示的数轴上，点是线段的中点，，两点对应的实数分别是和，则点所对应的实数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，根据线段中点的性质可得，进而求得点所对应的实数． 【详解】解：∵，两点对应的实数分别是和， ∴ ∵点是线段的中点， ∴， ∴点所对应的实数是 故选：D． 5．，，，，，，（相邻两个1中间依次多1个0）中，无理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】先对能开方、开立方的数进行化简，再根据有理数（整数、有限小数、无限循环小数、分数）和无理数（无限不循环小数）的定义逐一判断，统计无理数的个数． 【详解】解：∵，， ∴有理数有：，，，，，共5个． 无理数有：，，，（相邻两个1中间依次多一个0），共4个． 二、填空题 6．若，则________ 【答案】 【分析】先利用等式的基本性质化简原方程，再根据立方根的定义，对等式两边同时立方，即可求出的值. 【详解】解：原方程为 ， 根据等式的基本性质，等式两边同乘，得， 根据立方根的定义，将等式两边同时立方，得， 计算得 将未知数系数化为，得． 7．64的立方根为______． 【答案】4 【详解】解：64的立方根为4． 8．的整数部分是______． 【答案】 1 【分析】先估算的取值范围，再利用不等式的性质得到的取值范围，即可确定其整数部分． 【详解】解：∵，，且， ∴根据算术平方根的性质，可得. 不等式两边同时减1，得， 即， ∴的整数部分是1． 9．已知a、b为连续整数，且，则_____________． 【答案】8 【分析】先估算出的取值范围，确定、的值，再代入计算得到结果． 【详解】解：， ∴， 、为连续整数，且， ，， ． 10．的立方根最接近的整数是________ 【答案】3 【分析】先找出与相邻的两个整数的立方，确定的立方根所在的整数范围，再估算的立方根的大小，比较它与相邻整数的距离，即可得到最接近的整数． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即与整数3的距离小于，与整数4的距离大于， ∴的立方根最接近的整数是． 三、解答题 11．计算 (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义求解即可； （2）先去括号，然后根据实数的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．求x的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先移项，再整体开平方运算即可； （2）先移项，再整体开立方运算即可； 【详解】（1） 解： 或 （2） 13．已知是49的平方根，是的立方根，求的值 【答案】或 【分析】平方根的定义：若，则；立方根的定义：若，则． 【详解】解：∵是49的平方根， ∴， ∵是的立方根， ∴， 当时，； 当时，； 综上，的值为或． 14．已知数有平方根． (1)求x的取值范围； (2)数A的两个不同的平方根是和，求A的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）利用平方根的非负性列不等式求解； （2）依据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求出a，再求． 【详解】（1）解：根据题意可知，， 解得：； （2）解：根据题意可知，， 解得：， 将代入，得其中一个平方根为， 所以． 15．数，在数轴上的位置如图所示，化简： 【答案】 【分析】根据数轴得出，进而根据算术平方根的非负性化简，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得， ∴ ． 16．定义一种新运算“⊕”：⊕，比如：1⊕． (1)求4⊕的值； (2)若⊕，求x的值． (3)若关于x的方程2 ⊕的解为正整数，求整数k的值． 【答案】(1) (2) (3)1，2，3，6 【分析】本题主要考查新定义，有理数的运算以及解一元一次方程，准确理解新定义是解题的关键． （1）根据定义得到4⊕ ，即可得到答案； （2）根据定义得到⊕，解一元一次方程即可得到答案； （3）2 ⊕，根据解为正整数且为整数即可求出答案． 【详解】（1）解：4⊕ ； （2）解：⊕， 解得； （3）解：2 ⊕， ， ， 由于方程的解为正整数，即x为正整数，且为整数， 故当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故整数的值为1，2，3，6． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 实数 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.平方根与算术平方根（，） 1.求非负数的平方根、算术平方根； 2.利用平方根的性质（正数有两个互为相反数的平方根）求值； 3.算术平方根的双重非负性应用 1.混淆平方根与算术平方根（算术平方根只有非负一个，平方根有两个）； 2.忽略算术平方根的双重非负性（且）； 3.误认为负数有平方根或算术平方根 2.立方根（，为任意实数） 1.求任意实数的立方根； 2.利用立方根的性质（正数立方根为正，负数为负）求值； 3.立方根与平方根的综合应用 1.混淆立方根与平方根的取值范围（立方根可负，平方根被开方数非负）； 2.计算立方根时符号错误； 3.误认为立方根的性质与平方根一致（如立方根没有“互为相反数”特征） 3.实数的概念与分类 1.区分有理数与无理数； 2.实数的分类（按定义、按正负）； 3.无理数的常见形式识别（开方不尽、含、无限不循环小数） 1.误将分数、有限小数、循环小数归为无理数； 2.认为“无理数的和、差、积、商一定是无理数”； 3.忽略“无限不循环”是无理数的核心特征 4.实数的性质（相反数、倒数、绝对值） 1.求实数的相反数、倒数、绝对值； 2.利用性质化简含绝对值、相反数的表达式； 3.非负数性质的综合应用（） 1.求负数的倒数时符号错误； 2.化简含无理数的绝对值时判断错误； 3.多个非负数和为0时漏解某一非负项 5.实数的运算 1.实数的加减乘除、乘方、开方混合运算； 2.无理数的近似计算（结合估算）； 3.运算律在实数范围内的应用 1.开方与乘方运算顺序错误； 2.无理数运算时未化简就合并； 3.近似计算时精度不足或过度精确 6.实数与数轴 1.实数与数轴上点的一一对应关系； 2.利用数轴比较实数大小； 3.在数轴上表示无理数 1.认为“数轴上的点都表示有理数”； 2.比较数轴上无理数位置时估算错误； 3.作图表示无理数时方法错误 7.实数的大小比较 1.直接比较法（正数>0>负数）； 2.估算比较法（无理数介于两整数之间）； 3.平方、立方比较法（同号实数比较） 1.比较两个负数时绝对值判断错误； 2.估算无理数时误差过大； 3.不同类型实数比较时未统一形式 【易错题型】 【题型1】无理数的概念误解与分类错误 1.易错点总结 分类错误：将分数、有限小数、循环小数归为无理数； 特征混淆：认为“带根号的数都是无理数”； 性质误判：认为“无理数一定是无限小数，无限小数一定是无理数”。 2.纠错技巧 核心特征记忆：无理数是“无限不循环小数”，有理数是“有限小数或无限循环小数”； 常见形式清单：①开方开不尽的数；②含的数；③特定无限不循环小数； 反例验证：遇到带根号的数先化简，遇到无限小数先判断是否循环。 【例题1】.（25-26七年级上·云南昆明·月考）下列关于有理数的说法正确的是（   ） A．有理数分为正有理数和负有理数 B．整数分为正整数和负整数 C．有理数是可以写成两个整数之比（比的后项不为0）的数 D．0不是有理数 【变式题1-1】.（24-25七年级上·新疆阿克苏·月考）在π，，，，这几个数中，有理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题1-2】.（24-25七年级上·河南开封·月考）将下列各数填入适当的括号内： ，5，，，8.9，19， ，，0 有理数集：{                      …）； 整数集：{                  …}； 非正数集：{                       …}． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·山东日照·月考）把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个），． 负数集合：{_____________…}； 分数集合：{_____________…}； 负有理数集合：{_____________…}； 有理数集合：{________________…}． 【基础题型】 【题型2】平方根、算术平方根与立方根的直接计算 1.考点总结 核心考查三种根的定义与性质； 直接求具体数值的平方根、算术平方根、立方根； 已知根的值求原数。 2.解题技巧 公式套用：①平方根：若（），则；②算术平方根：（，）；③立方根：若，则（为任意实数）； 特殊值记忆：，，，，； 逆向计算：已知，则；已知，则。 【例题2】.（2022七年级下·重庆沙坪坝·专题练习）81的算术平方根是______． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·河南洛阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．1的立方根是 C．任何一个实数都有两个平方根 D．任何一个实数都有一个立方根 【变式题2-2】.（21-22八年级上·山东青岛·期末）计算的结果是______． 【变式题2-3】.（2025·青海·中考真题）4的算术平方根是___________． 【题型3】实数的相反数、倒数、绝对值求解 1.考点总结 考查实数的基本性质（相反数、倒数、绝对值）； 求具体实数（含有理数、无理数）的性质量； 利用性质化简简单表达式。 2.解题技巧 定义应用：①相反数：的相反数是；②倒数：非零实数的倒数是；③绝对值：； 特殊情况：没有倒数，的相反数是，； 无理数化简：绝对值化简先判断无理数与整数的大小。 【例题3】.（25-26七年级上·湖北·期末）的相反数是（    ） A．2 B． C． D． 【变式题3-1】.（24-25七年级上·新疆阿克苏·月考）下列各组数中，互为相反数的有（    ）． A．和 B．和 C．和2 D．和 【变式题3-2】.（25-26九年级下·山东济宁·开学考试）在数轴上，有理数a与b对应的点分别表示数，，则（    ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（22-23七年级上·安徽六安·期中）若与互为相反数，与互为倒数，的绝对值与倒数均是它本身，的相反数是它本身，则代数式的值为__________． 【题型4】实数与数轴的基础应用 1.考点总结 考查实数与数轴的一一对应关系； 利用数轴比较实数大小； 识别数轴上点表示的实数（含无理数）。 2.解题技巧 大小比较：数轴上右边的点表示的实数大于左边的点表示的实数（正数>0>负数）； 无理数定位：先估算无理数介于哪两个整数之间，再在数轴上确定大致位置； 点与数对应：已知数轴上点的位置，判断其表示的实数符号与范围。 【例题4】.（2026·河南郑州·一模）数轴上点P的位置如图所示，则点P表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为_____ ． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图所示，直径为个单位长度的半圆，从原点开始沿着数轴向右滚动一周，半圆上的一点由到达，则点对应的数为_____． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·广东河源·月考）如图，在数轴上表示的点可能是（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【题型5】实数的基础混合运算 1.考点总结 考查实数的加减乘除、乘方、开方运算； 结合运算律（交换律、结合律、分配律）简化计算； 结果化为最简形式（无理数需化简，有理数需约分）。 2.解题技巧 步骤规范：①先化简无理数；②按运算顺序计算（先乘方开方，再乘除，最后加减）；③合并同类二次根式； 运算律应用：分配律适用于含无理数的乘法； 结果要求：无理数保留最简形式，有理数化为整数或分数。 【例题5】.（19-20七年级下·四川自贡·期中）计算：． 【变式题5-1】.（21-22七年级下·四川自贡·月考）计算： 【变式题5-2】.（25-26七年级下·重庆·月考）计算： (1)； (2)． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·江苏镇江·期末）计算： (1) (2) 【提升题型】 【题型6】利用非负性求字母的值（综合应用） 1.考点总结 考查非负数的性质（、、）； 多个非负数和为0时求字母的值； 结合平方根、立方根的性质综合求解。 2.解题技巧 核心原理：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0； 步骤：①识别非负形式（绝对值、算术平方根、平方）；②列方程（每个非负项等于0）；③解方程求字母的值；④验证结果（确保被开方数非负等条件）。 【例题6】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）若，则的值为________． 【变式题6-1】.（24-25八年级下·北京·开学考试）若与互为相反数，则的值是________． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·湖南长沙·期末）若，则_____． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·四川巴中·期中）若，则的平方根为_____． 【题型7】无理数的估算与大小比较 1.考点总结 考查无理数的估算能力（介于两整数之间）； 结合实际情境（如长度、面积）比较实数大小； 利用平方、立方法比较无理数大小。 2.解题技巧 估算步骤：①找与被开方数相邻的完全平方数（或立方数）；②确定无理数的整数部分；③估算小数部分； 比较方法：①正数比较：平方后大的数大；②负数比较：绝对值大的数小； 情境应用：先将实际问题转化为实数比较。 【例题7】.（2026·陕西榆林·一模）写出一个比大的负整数：______．（只写一个） 【变式题7-1】.（安徽省C20联盟2026年第二次学业水平考试（二模）九年级数学试题）若实数p是满足的整数，则p的值可能为（    ） A． B． C． D． 【变式题7-2】.（2026·湖南·一模）下列四个数中，其中最大的数是（   ） A．3 B． C． D．0 【变式题7-3】.（24-25八年级下·广东汕尾·月考）比较：________（填“”“ ”或“”）． 【培优题型】 【题型8】实数运算的实际应用（跨学科、生活化） 1.考点总结 考查实数运算在几何（面积、周长）、物理（长度、速度）等领域的应用； 结合实际问题进行无理数的近似计算； 数学建模素养（将实际问题转化为实数运算）。 2.解题技巧 建模步骤：①提取实际问题中的数量关系；②代入数据（含无理数）；③进行实数运算（化简或近似计算）；④验证结果的实际意义； 近似计算：根据实际需求保留精度。 【例题8】.（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【变式题8-1】.（22-23七年级下·江苏无锡·期中）如图，正方形中，点E、F在上，点E是的中点，以为边长向正方形形内作正方形，以、为长和宽向正方形形内作长方形，已知正方形的面积为70，正方形的面积为40，则长方形的面积为（   ） A．5 B．7.5 C．10 D．12.5 【变式题8-2】.（20-21七年级下·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为_____．    【变式题8-3】.（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【题型9】实数的规律探究（探究式） 1.考点总结 考查实数（含无理数）的排列规律； 归纳通项公式或递推关系； 探究式思维与归纳推理能力。 2.解题技巧 步骤：①列出前3-4项，标注每项的结构（整数部分、无理部分）；②找规律（如系数、被开方数、符号的变化）；③归纳通项公式；④验证公式的正确性； 关键：关注“不变量”与“变量”，将无理数的规律转化为有理数的规律。 【例题9】.（2026·安徽阜阳·一模）对于实数，在它的允许取值范围内，经过第1次变换可得，经过第2次变换可得，经过第3次变换可得，…，以此类推． （1）当时，______； （2）当时，______． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为______． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·湖南永州·期中）将按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则 ①表示的数是________________ ； ②与表示的两数的平方和为________ ． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·广东湛江·月考）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 同步练习 一、单选题 1．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是（   ） A．0，1 B．1， C．0， D．0， 2．已知整数m满足，则m的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．下列四个数中，其绝对值最大的数是（   ） A．3 B． C． D． 4．在如图所示的数轴上，点是线段的中点，，两点对应的实数分别是和，则点所对应的实数是（    ） A． B． C． D． 5．，，，，，，（相邻两个1中间依次多1个0）中，无理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 二、填空题 6．若，则________ 7．64的立方根为______． 8．的整数部分是______． 9．已知a、b为连续整数，且，则_____________． 10．的立方根最接近的整数是________ 三、解答题 11．计算 (1) (2) 12．求x的值： (1) (2) 13．已知是49的平方根，是的立方根，求的值 14．已知数有平方根． (1)求x的取值范围； (2)数A的两个不同的平方根是和，求A的值． 15．数，在数轴上的位置如图所示，化简： 16．定义一种新运算“⊕”：⊕，比如：1⊕． (1)求4⊕的值； (2)若⊕，求x的值． (3)若关于x的方程2 ⊕的解为正整数，求整数k的值． 学科网（北京）股份有限公司 $