第24讲 包含与排除-五年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第24讲 包含与排除 📋 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、包含与排除解题方法图表记忆法 2 三、奥数思维提升 2 📊 典型例题解构与解题策略精讲 3 📌 考点一：二元容斥原理基础 3 📌 考点二：三元容斥原理进阶 5 📌 考点三：包含与排除综合实际应用 6 ⚠️ 易错避坑指南 7 📚 分层专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 9 一、基础夯实篇（共8题） 9 二、能力进阶篇（共7题） 10 三、思维跃迁篇（共5题） 11 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 13 一、基础夯实篇（共8题） 13 二、能力进阶篇（共7题） 15 三、思维跃迁篇（共5题） 17 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 包含与排除（也叫容斥原理），是五年级奥数计数模块的核心知识点，承接前序枚举法、四则运算知识点，核心是解决多个集合重叠计数的问题，避免重复计算重叠部分，是统计、计数、数论、概率等题型的基础解题工具。 解题核心：先不考虑重叠的情况，把所有集合的数量先相加，再把计数时重复计算的部分排除出去，使得最终的计数结果既无重复也无遗漏。核心分为二元容斥（两个集合）和三元容斥（三个集合）两大基础模型。 类型 特征 解题策略 典型例子 二元容斥基础型 两个集合有重叠交叉，已知总数量、两个集合的数量，求重叠部分/都不满足的数量 核心公式：总数量-都不满足的=A集合+B集合-重叠部分 五年级一班40人，喜欢语文的25人，喜欢数学的30人，每人至少喜欢一科，求两科都喜欢的人数 二元容斥进阶型 两个集合重叠，已知重叠部分、都不满足的数量，求总数量/单个集合数量 逆向应用公式：总数量=A+B-重叠部分+都不满足的 一个班，喜欢跳绳的28人，喜欢踢毽子的30人，两项都喜欢的13人，两项都不喜欢的5人，求班级总人数 三元容斥基础型 三个集合两两重叠，已知总数量、三个集合的数量、两两重叠的数量，求三者都满足/都不满足的数量 核心公式：总数量-都不满足的=A+B+C-AB重叠-AC重叠-BC重叠+三者都重叠的数量 100名学生，会骑自行车的65人，会游泳的48人，会打球的52人，两两都会的数量已知，求三项都会的人数 数论应用型 求一定范围内，能被某几个数整除的数的个数 先分别求出能被每个数整除的数量，再用容斥原理排除重复计数的公倍数 1-100中，能被2或3整除的数有多少个 几何应用型 多个图形重叠，求总面积/重叠面积 总面积=各图形面积和-重叠部分面积 两个长方形重叠放置，已知各自面积和重叠面积，求覆盖桌面的总面积 二、包含与排除解题方法图表记忆法 方法 适用场景 核心步骤 注意 文氏图法（核心推荐） 所有容斥问题，尤其三个及以上集合的复杂题型 1. 画对应数量的圆圈代表不同集合，圆圈重叠部分代表交集；2. 标注已知的数量，从最内层的三者重叠部分向外标注；3. 结合公式计算未知部分；4. 验证所有区域数量和等于总数量 必须标注清楚每个区域的含义，区分“只满足A”和“满足A”的区别 公式法 条件完整、直接对应二元/三元容斥模型的基础题型 1. 判断题干是二元还是三元容斥；2. 找到公式中对应的已知量；3. 代入核心公式，求解未知量；4. 验证结果是否符合逻辑 严格区分“至少满足一个”和“都不满足”的数量，不可混淆公式边界 逆向排除法 已知总数量、至少满足一个的数量，求都不满足的数量；或正面计数复杂的题型 1. 先求出至少满足一个条件的数量；2. 用总数量减去至少满足一个的数量，得到都不满足的数量；3. 复杂计数先算反面，再用总数减反面 必须保证“至少满足一个”和“都不满足”的和等于总数量，无遗漏 枚举验证法 数值较小、集合数量少的基础题型 1. 按顺序列出所有集合的元素；2. 圈出重复的元素，统计重复次数；3. 按包含与排除规则计算总个数；4. 验证计数无重复无遗漏 仅适合100以内的小数，大数场景不适用，仅用于入门理解原理 三、奥数思维提升 1　 核心公式牢记： 二元容斥：至少满足一个的数量 = A + B - A与B都满足的数量 三元容斥：至少满足一个的数量 = A + B + C - AB都满足 - AC都满足 - BC都满足 + ABC都满足的数量 通用关系：总数量 = 至少满足一个的数量 + 所有条件都不满足的数量 2　 文氏图核心原则：先填最内层的重叠部分，再向外填两两重叠的剩余部分，最后填只满足单个集合的部分，从内到外标注，避免计算错误。 3　 关键概念区分：“满足A的数量”=“只满足A的数量”+“A和B都满足的数量”+“A和C都满足的数量”+“三者都满足的数量”，解题时必须严格区分“只满足”和“满足”，这是高频易错点。 4　 验证闭环：计算完成后，把所有区域的数量相加，必须等于总数量；单个集合的所有区域相加，必须等于该集合的总数量，确保无重复、无遗漏。 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：二元容斥原理基础 ✨ 典型例题 1（二元容斥基础——求重叠部分） 五年级一班有40名学生，其中喜欢语文的有25人，喜欢数学的有30人，每人至少喜欢一科，请问两科都喜欢的有多少人？ 解题步骤： ① 明确二元容斥模型：A集合=喜欢语文的25人，B集合=喜欢数学的30人，总人数40人，每人至少喜欢一科，即都不喜欢的人数为0，至少满足一个的数量=40人 ② 代入二元容斥公式：至少满足一个的数量 = A + B - 两科都喜欢的数量 ③ 变形公式求重叠部分：两科都喜欢的数量 = A + B - 至少满足一个的数量 ④ 计算：25+30-40=15人 ⑤ 验证：只喜欢语文的25-15=10人，只喜欢数学的30-15=15人，总人数10+15+15=40人，符合条件 【答案】15人 【知识点睛】基础二元容斥问题，核心是理解“两科都喜欢的人数，在相加时被重复计算了一次，因此需要减去重复的部分，得到总人数”。 ✨ 典型例题 2（二元容斥进阶——求总数量） 学校组织运动会，参加跑步的有28人，参加跳远的有32人，两项都参加的有12人，两项都没参加的有5人，请问这个班一共有多少人？ 解题步骤： ① 先求至少参加一项的人数，代入二元容斥公式：至少参加一项的人数=28+32-12=48人 ② 总人数=至少参加一项的人数+两项都没参加的人数 ③ 计算：48+5=53人 ④ 验证：只参加跑步的28-12=16人，只参加跳远的32-12=20人，两项都参加的12人，都没参加的5人，总人数16+20+12+5=53人，符合条件 【答案】53人 【知识点睛】二元容斥的逆向应用，先求出至少满足一个条件的数量，再加上都不满足的数量，得到总人数，这是容斥原理的高频考法。 ✨ 典型例题 3（二元容斥数论应用） 在1-100的自然数中，能被2整除或能被3整除的数一共有多少个？ 解题步骤： ① 先分别计算两个集合的数量： 能被2整除的数（A集合）：100÷2=50个 能被3整除的数（B集合）：100÷3=33个……1，即33个 ② 计算重复计数的部分：既能被2整除又能被3整除的数，即能被6整除的数（A∩B）：100÷6=16个……4，即16个 ③ 代入二元容斥公式：总数=50+33-16=67个 ④ 验证：只被2整除的50-16=34个，只被3整除的33-16=17个，同时被2和3整除的16个，总计34+17+16=67个，符合条件 【答案】67个 【知识点睛】数论中的容斥应用，核心是找到重复计数的公倍数部分，用容斥原理排除重复，避免多算。 📌 考点二：三元容斥原理进阶 ✨ 典型例题 4（三元容斥基础——求三者都满足的数量） 五年级有100名学生，其中会骑自行车的有65人，会游泳的有48人，会打乒乓球的有52人，既会骑自行车又会游泳的有28人，既会骑自行车又会打乒乓球的有26人，既会游泳又会打乒乓球的有24人，每人至少会一项，请问三项都会的有多少人？ 解题步骤： ① 明确三元容斥模型：总人数100人，都不会的人数为0，至少会一项的数量=100人 ② 代入三元容斥核心公式： 至少会一项的数量 = A+B+C - AB-AC-BC + 三项都会的数量 ③ 变形公式求三项都会的数量： 三项都会的数量 = 至少会一项的数量 - (A+B+C) + (AB+AC+BC) ④ 代入数值计算：100 - (65+48+52) + (28+26+24) = 100 - 165 + 78 = 13人 ⑤ 验证：代入公式，65+48+52-28-26-24+13=100，符合总人数，条件成立 【答案】13人 【知识点睛】三元容斥基础题型，核心公式中，两两重叠的部分被多减了一次三者都满足的数量，因此最后需要加回来，这是三元容斥的关键易错点。 ✨ 典型例题 5（三元容斥进阶——求都不满足的数量） 一个班有 45 名学生，参加美术小组的有 22 人，参加音乐小组的有 20 人，参加体育小组的有 18 人，既参加美术又参加音乐的有 8 人，既参加美术又参加体育的有 6 人，既参加音乐又参加体育的有 4 人，三个小组都参加的有 2 人，请问三个小组都没参加的有多少人？ 解题步骤： ① 至少参加一个小组的人数 = 22+20+18−8−6−4+2=44 人 ② 三个小组都没参加的人数 = 45−44=1 人 ③ 验证：44+1=45 人，符合总人数 【答案】1 人 【知识点睛】三元容斥的逆向应用，先通过公式求出至少满足一个条件的数量，再用总人数减去该数量，得到都不满足的数量，必须严格遵循三元公式的加减规则。 📌 考点三：包含与排除综合实际应用 ✨ 典型例题 6（几何面积应用） 桌面上放着两个长方形，大长方形的面积是120平方厘米，小长方形的面积是80平方厘米，两个长方形重叠部分的面积是30平方厘米，请问这两个长方形覆盖桌面的总面积是多少平方厘米？ 解题步骤： ① 覆盖桌面的总面积=两个长方形的面积和-重叠部分的面积（重叠部分被重复计算了一次） ② 代入数值计算：120+80-30=170平方厘米 ③ 验证：不重叠的大长方形面积120-30=90平方厘米，不重叠的小长方形面积80-30=50平方厘米，重叠部分30平方厘米，总面积90+50+30=170平方厘米，符合条件 【答案】170平方厘米 【知识点睛】几何中的容斥应用，核心是重叠部分被两个图形各计算了一次，因此需要减去一次重复的面积，得到实际覆盖的总面积。 ✨ 典型例题 7（文氏图解复杂应用题） 学校举办语文、数学、英语三科竞赛，五年级有120人参赛，其中参加语文竞赛的有50人，参加数学竞赛的有60人，参加英语竞赛的有55人，既参加语文又参加数学的有20人，既参加数学又参加英语的有18人，三科都参加的有8人，每人至少参加一科，请问既参加语文又参加英语的有多少人？ 解题步骤： ① 画三元文氏图，明确已知量：总人数120人，A=语文50，B=数学60，C=英语55，AB=20，BC=18，ABC=8，求AC=？ ② 代入三元容斥公式： 120 = 50+60+55 -20-AC-18 +8 ③ 化简计算：120 = 165 -38 -AC +8 → 120 = 135 - AC ④ 解得：AC=15人 ⑤ 验证：50+60+55-20-15-18+8=120，符合总人数，条件成立 【答案】15人 【知识点睛】三元容斥的灵活应用，通过文氏图明确各部分的对应关系，代入公式变形求解未知的重叠部分，是奥数中高频的综合考法。 ⚠️ 易错避坑指南 ❌ 二元容斥中，忘记减去重复的重叠部分 错误示例：喜欢语文的25人，喜欢数学的30人，总人数40人，错误计算两科都喜欢的人数为25+30=55人，完全忽略重叠。 正确分析：两个集合相加时，重叠部分被计算了两次，必须减去一次重叠部分，才能得到实际的总人数，正确计算为25+30-40=15人。 ❌ 三元容斥中，漏加三者都满足的数量 错误示例：三元容斥计算时，只算了A+B+C-AB-AC-BC，忘记加回ABC三者都满足的数量，导致结果偏小。 正确分析：在减去两两重叠的部分时，三者都满足的部分被多减了一次，因此必须在最后加回来，这是三元容斥公式的核心，不可遗漏。 ❌ 混淆“只满足一个条件”和“满足一个条件” 错误示例：既参加语文又参加数学的有15人，参加语文的有25人，错误认为“只参加语文的有25人”，忽略了重叠部分。 正确分析：“参加语文的人数”=“只参加语文的人数”+“语文和数学都参加的人数”+“语文和英语都参加的人数”+“三科都参加的人数”，解题时必须严格区分“只满足”和“满足”的概念。 ❌ 忘记加上“都不满足的数量”，导致总人数算错 错误示例：参加跑步的28人，跳远的32人，两项都参加的12人，都没参加的5人，错误计算总人数为28+32-12=48人，漏加都没参加的5人。 正确分析：总人数=至少参加一项的人数+两项都没参加的人数，必须明确公式的边界，“至少满足一个”和“都不满足”共同组成总数量，不可遗漏。 ❌ 数论应用中，重复计数的公倍数找错 错误示例：1-100中能被2或3整除的数，错误认为重复部分是能被2×3=6整除的数，却算成了能被2+3=5整除的数，导致结果错误。 正确分析：既能被A整除又能被B整除的数，是A和B的公倍数，最小公倍数为A×B（互质时），必须用最小公倍数计算重复部分，而非和或差。 📚 分层专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 一、基础夯实篇（共8题） 1．五年级二班有45名学生，喜欢唱歌的有24人，喜欢跳舞的有28人，每人至少喜欢一项，请问两项都喜欢的有多少人？ 2．一个班有50人，参加跳绳比赛的有26人，参加踢毽子比赛的有23人，两项都参加的有10人，请问两项都没参加的有多少人？ 3．在1-50的自然数中，能被3整除或能被5整除的数一共有多少个？ 4．两个圆形纸片放在桌面上，大圆面积80平方厘米，小圆面积50平方厘米，重叠部分面积20平方厘米，请问两个圆覆盖桌面的总面积是多少平方厘米？ 5．判断：二元容斥中，总人数=A集合+B集合+都不满足的数量，这个说法是否正确？ 6．一个社区有60户居民，订日报的有32户，订晚报的有34户，两种都订的有15户，请问只订日报不订晚报的有多少户？ 7．学校组织春游，带面包的有35人，带水果的有38人，两样都带的有20人，每人至少带一样，请问参加春游的一共有多少人？ 8．在1-100的自然数中，既不能被4整除也不能被6整除的数一共有多少个？ 二、能力进阶篇（共7题） 9．五年级有80名学生，参加书法比赛的有36人，参加绘画比赛的有40人，参加手工比赛的有28人，既参加书法又参加绘画的有12人，既参加书法又参加手工的有10人，既参加绘画又参加手工的有8人，三项都参加的有4人，每人至少参加一项，请问这个说法是否成立？若不成立，问题出在哪里？ 10．一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《语文报》的有29人，订阅《英语报》的有25人，其中订阅了两种报纸的有18人，三种报纸都订阅的有5人，请问三种报纸都没订阅的有多少人？ 11．在1-200的自然数中，能被2整除、或能被3整除、或能被5整除的数一共有多少个？ 12．三个长方形重叠放置，总面积为200平方厘米，三个长方形的面积分别是100、80、60平方厘米，已知第一个和第二个重叠25平方厘米，第二个和第三个重叠20平方厘米，第一个和第三个重叠15平方厘米，请问三个长方形都重叠的面积是多少平方厘米？ 13．100名游客中，75人懂英语，83人懂汉语，10人既不懂英语也不懂汉语，请问既懂英语又懂汉语的有多少人？ 14．学校运动会，参加田赛的有40人，参加径赛的有60人，两项都参加的有20人，两项都没参加的有10人，请问学校一共有多少人参加运动会？ 15．一个班的学生，每人至少参加一个兴趣小组，参加美术组的有30人，参加音乐组的有28人，两个小组都参加的有12人，请问这个班一共有多少人？ 三、思维跃迁篇（共5题） 16．证明：三元容斥原理公式 |A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C| 成立。 17．五年级有200名学生，其中120人喜欢数学，80人喜欢语文，75人喜欢英语，45人既喜欢数学又喜欢语文，35人既喜欢数学又喜欢英语，25人既喜欢语文又喜欢英语，每人至少喜欢一科，请问三科都喜欢的有多少人？ 18．在1-1000的自然数中，既不能被2整除，也不能被3整除，还不能被5整除的数一共有多少个？ 19．一次数学测验，满分100分，全班40名学生中，答对第一题的有30人，答对第二题的有28人，答对第三题的有25人，答对第一、二题的有18人，答对第二、三题的有15人，答对第一、三题的有13人，三题都答对的有8人，请问三题都答错的有多少人？ 20．有100盏灯，编号1-100，初始全是关闭的。第一次把编号是2的倍数的灯拉一下，第二次把编号是3的倍数的灯拉一下，第三次把编号是5的倍数的灯拉一下，请问拉完三次后，有多少盏灯是亮着的？ 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 一、基础夯实篇（共8题） 1．【答案】7人 解题步骤： ① 二元容斥公式：两科都喜欢的人数=喜欢唱歌的+喜欢跳舞的-总人数 ② 代入计算：24+28-45=7人 ③ 验证：只喜欢唱歌的24-7=17人，只喜欢跳舞的28-7=21人，总人数17+21+7=45人，符合条件 【知识点睛】基础二元容斥问题，核心是减去重复计算的重叠部分。 2．【答案】11人 解题步骤： ① 至少参加一项的人数=26+23-10=39人 ② 两项都没参加的人数=总人数-至少参加一项的人数=50-39=11人 【知识点睛】二元容斥逆向应用，先求至少满足一个的数量，再用总数减去该数量得到都不满足的数量。 3．【答案】23个 解题步骤： ① 能被3整除的数：50÷3=16个……2，共16个 ② 能被5整除的数：50÷5=10个 ③ 既能被3又能被5整除的数（15的倍数）：50÷15=3个……5，共3个 ④ 总数=16+10-3=23个 【知识点睛】数论二元容斥应用，重复部分是两个数的公倍数，需减去重复计数的部分。 4．【答案】110平方厘米 解题步骤： ① 覆盖总面积=大圆面积+小圆面积-重叠部分面积 ② 计算：80+50-20=110平方厘米 【知识点睛】几何容斥应用，重叠部分被重复计算一次，需减去一次得到实际覆盖面积。 5．【答案】不正确 解题步骤： ① 二元容斥核心公式：总人数=A集合+B集合-重叠部分+都不满足的数量 ② 原说法忘记减去重复计算的重叠部分，会导致总人数计算偏大，因此不正确 【知识点睛】牢记二元容斥的完整公式，不可遗漏减去重叠部分的步骤。 6．【答案】17户 解题步骤： ① 只订日报的户数=订日报的户数-两种都订的户数 ② 计算：32-15=17户 【知识点睛】区分“只订日报”和“订日报”的区别，前者需要减去重叠的部分。 7．【答案】53人 解题步骤： ① 总人数=带面包的+带水果的-两样都带的 ② 计算：35+38-20=53人 【知识点睛】基础二元容斥，每人至少带一样，因此总人数就是至少带一样的数量。 8．【答案】67个 解题步骤： ① 先求能被4或6整除的数的个数： 能被4整除的：100÷4=25个，能被6整除的：100÷6=16个……4，共16个 既能被4又能被6整除的（12的倍数）：100÷12=8个……4，共8个 能被4或6整除的总数=25+16-8=33个 ② 既不能被4也不能被6整除的数量=100-33=67个 【知识点睛】逆向容斥应用，先算正面满足的数量，再用总数减去得到反面的数量。 二、能力进阶篇（共7题） 9．【答案】不成立，至少参加一项的人数计算为36+40+28-12-10-8+4=78人，小于总人数80人，说明有2人三项都没参加，与“每人至少参加一项”矛盾。 解题步骤： ① 代入三元容斥公式，计算至少参加一项的人数：36+40+28-12-10-8+4=78人 ② 总人数80人，说明有80-78=2人三项都没参加，与题干“每人至少参加一项”矛盾，因此说法不成立 【知识点睛】三元容斥的验证应用，通过公式计算结果，反推题干条件是否成立。 10．【答案】7人 解题步骤： ① 至少订阅一种报纸的人数 = 32+29+25−18−5×2=48 人 ② 三种都没订阅的人数 = 55−48=7 人 【知识点睛】三元容斥进阶，订阅两种的多算 1 次，订阅三种的多算 2 次，需分别减去对应重复次数。 11．【答案】146个 解题步骤： ① 能被2整除的：200÷2=100个，能被3整除的：200÷3=66个，能被5整除的：200÷5=40个 ② 两两重叠：能被2和3整除的（6的倍数）：200÷6=33个，能被2和5整除的（10的倍数）：200÷10=20个，能被3和5整除的（15的倍数）：200÷15=13个 ③ 三者重叠：能被2、3、5整除的（30的倍数）：200÷30=6个 ④ 代入三元容斥公式：总数=100+66+40-33-20-13+6=146个 【知识点睛】三元容斥数论综合应用，严格遵循公式计算，先算单个集合，再算两两重叠，最后算三者重叠。 12．【答案】20平方厘米 解题步骤： ① 代入三元容斥公式：总面积=A+B+C-AB-AC-BC+ABC ② 变形求ABC：ABC=总面积-(A+B+C)+(AB+AC+BC) ③ 代入计算：200-(100+80+60)+(25+20+15)=200-240+60=20平方厘米 【知识点睛】三元容斥几何应用，通过公式变形求三者重叠的面积。 13．【答案】68人 解题步骤： ① 至少懂一门语言的人数=100-10=90人 ② 既懂英语又懂汉语的人数=懂英语的+懂汉语的-至少懂一门的人数 ③ 计算：75+83-90=68人 【知识点睛】二元容斥逆向应用，先通过总人数和都不懂的数量，求出至少懂一门的数量，再求重叠部分。 14．【答案】90人 解题步骤： ① 至少参加一项的人数=40+60-20=80人 ② 总参加人数=至少参加一项的+两项都没参加的=80+10=90人 【知识点睛】二元容斥综合应用，注意总人数包含参加和没参加的两部分。 15．【答案】46人 解题步骤： ① 总人数=参加美术组的+参加音乐组的-两个都参加的 ② 计算：30+28-12=46人 【知识点睛】基础二元容斥，每人至少参加一个小组，总人数就是至少参加一个的数量。 三、思维跃迁篇（共5题） 16．【答案】证明成立 解题步骤： ① |A∪B∪C|=|(A∪B)∪C|，先把A∪B看成一个整体，代入二元容斥公式： |(A∪B)∪C|=|A∪B|+|C|-|(A∪B)∩C| ② 展开|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，同时|(A∪B)∩C|=|(A∩C)∪(B∩C)|=|A∩C|+|B∩C|-|A∩B∩C| ③ 代入原式： |A∪B∪C|=|A|+|B|-|A∩B|+|C| - (|A∩C|+|B∩C|-|A∩B∩C|) ④ 化简后得到：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|，公式成立 【知识点睛】通过二元容斥公式逐步推导三元容斥公式，理解公式中加减的逻辑来源。 17．【答案】30人 解题步骤： ① 代入三元容斥公式，总人数200人，每人至少喜欢一科，因此至少喜欢一科的数量=200人 ② 变形求三科都喜欢的数量=200-(120+80+75)+(45+35+25) ③ 计算：200-275+105=30人 ④ 验证：120+80+75-45-35-25+30=200，符合总人数 【知识点睛】三元容斥公式的灵活变形，通过已知量求解三者都满足的数量。 18．【答案】266个 解题步骤： ① 先求能被2、3、5中至少一个整除的数的个数： 能被2整除的：1000÷2=500个，能被3整除的：1000÷3=333个，能被5整除的：1000÷5=200个 两两重叠：6的倍数166个，10的倍数100个，15的倍数66个 三者重叠：30的倍数33个 至少整除一个的总数=500+333+200-166-100-66+33=734个 ② 既不能被2、3、5整除的数量=1000-734=266个 【知识点睛】三元容斥逆向应用，大数范围的数论计数，严格遵循公式计算，避免重复遗漏。 19．【答案】5人 解题步骤： ① 至少答对一题的人数=30+28+25−18−15−13+8=35 人 ② 三题都答错的人数=40−35=5 人 【知识点睛】三元容斥的综合应用，先求至少答对一题的人数，再用总人数减去得到都答错的人数。 20．【答案】51盏 解题步骤： ① 亮灯规则：拉奇数次亮，偶数次灭 ② 2 的倍数：50 盏，3 的倍数：33 盏，5 的倍数：20 盏 ③ 两两重叠：6 的倍数 16 盏，10 的倍数 10 盏，15 的倍数 6 盏 ④ 三者重叠：30 的倍数 3 盏 ⑤ 只拉 1 次：(50−16−10+3)+(33−16−6+3)+(20−10−6+3)=27+14+7=48 盏 ⑥ 拉 3 次：3 盏 ⑦ 亮灯总数 = 48+3=51 盏 【知识点睛】容斥原理的经典开关问题，核心是区分只拉1次、拉2次、拉3次的灯，只有拉奇数次的灯是亮着的，结合文氏图计算各区域数量。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 1 学科网（北京）股份有限公司 $