第14讲 组合图形的面积-五年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第14讲 组合图形的面积 📋 核心方法论与知识体系构建 2 一、知识体系全景梳理 2 二、组合图形面积解题方法图表记忆法 2 三、奥数思维提升 2 📊 典型例题解构与解题策略精讲 3 📌 考点一：三角形与梯形面积 3 📌 考点二：补全法（减法） 5 📌 考点三：等积变换 6 ⚠️ 易错避坑指南 8 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 9 一、基础夯实篇（共8题） 9 二、能力进阶篇（共7题） 12 三、思维跃迁篇（共5题） 14 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 16 一、基础夯实篇（共8题） 16 二、能力进阶篇（共7题） 17 三、思维跃迁篇（共5题） 19 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 组合图形面积是平面几何的综合运用，将复杂图形分解为基本图形（三角形、平行四边形、梯形等）分别计算。核心是【加法原理】（分割求和）和【减法原理】（整体减去多余部分）。五年级新增三角形、梯形、平行四边形面积公式，需熟练掌握各基本图形的面积公式，再组合应用。 图形 面积公式 关键高度 注意点 三角形 S=底×高÷2 高垂直于底 高与底要对应 平行四边形 S=底×高 高垂直于底 任意底对应高 梯形 S=(上底+下底)×高÷2 高垂直两底 两底平行 长方形 S=长×宽 高=宽 基础公式 正方形 S=边长² 高=边长 特殊长方形 二、组合图形面积解题方法图表记忆法 方法 适用场景 核心步骤 典型例子 分割法（加法） 可以拆成几个基本图形 切割→各部分求和 L形=两矩形 补全法（减法） 难以直接分割 补成大图形→减去多余 缺角图=大矩形-小三角 等积变换 形状改变但面积不变 平移变换后求面积 三角形变平行四边形 公式直接套 标准梯形、三角形 识别图形→套公式 识别是第一步 三、奥数思维提升 1　 识别基本图形：看到组合图形，先识别出包含的三角形、梯形等基本图形，选择分割或补全策略。 2　 高的配对：三角形和梯形的面积公式中，高必须垂直于对应的底，不能随便取。 3　 等积转换：某些图形平移、翻转后面积不变，利用此性质简化计算。 4　 加减互换：分割法是加法，补全法是减法，两种方法选择简单的那种。 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：三角形与梯形面积 ✨ 典型例题 1（三角形——基本公式） 一个三角形底为12cm，高为8cm，面积是多少？ 解题步骤： ①　S=底×高÷2=12×8÷2=48平方厘米 【答案】48cm² 【知识点睛】三角形面积=底×高÷2，确认高垂直于底。 ✨ 典型例题 2（梯形——基本公式） 一个梯形上底6cm，下底10cm，高5cm，面积是多少？ 解题步骤： ①　S=(上底+下底)×高÷2=(6+10)×5÷2=16×5÷2=40平方厘米 【答案】40cm² 【知识点睛】梯形面积=(上底+下底)×高÷2，注意两底必须平行。 ✨ 典型例题 3（组合——加法原理） 一个由上方梯形（上底4cm，下底8cm，高3cm）和下方矩形（8cm×5cm）组成的图形，求总面积。 解题步骤： ①　梯形面积=(4+8)×3÷2=18cm² ②　矩形面积=8×5=40cm² ③　总面积=18+40=58cm² 【答案】58cm² 【知识点睛】加法原理：分割为梯形+矩形，各自计算后相加。 📌 考点二：补全法（减法） ✨ 典型例题 4（补全法——减法原理） 一个L形图案如下图所示，求面积。 解题步骤： ①　大矩形面积=10×8=80cm² ②　缺去的矩形=5×3=15cm² ③　L形面积=80-15=65cm² 【答案】65cm² 【知识点睛】补全法：L形=大矩形-缺角矩形=80-15=65。 ✨ 典型例题 5（补全法——三角形补全） 一个直角梯形，上底3cm，下底8cm，高6cm，求面积。并用两种方法验证。 解题步骤： ①　方法一（公式）：S=(3+8)×6÷2=33cm² ②　方法二（补全）：补成矩形8×6=48，减去多余三角形(8-3)×6÷2=15，S=48-15=33 ✓ 【答案】33cm² 【知识点睛】两种方法（公式法和补全法）结果一致，互为验证。 📌 考点三：等积变换 ✨ 典型例题 6（等积变换——三角形等积） 在平行四边形ABCD中，E是BC中点，求三角形ABE与三角形CDE面积之比。 解题步骤： ①　△ABE 和△CDE等高（高 = 平行四边形的高），底 BE=EC ②　等底等高，面积比 =1:1 【答案】1:1 【知识点睛】等底等高的三角形面积相等。 ✨ 典型例题 7（等积变换——复杂组合） 将平行四边形一条边上的三角形切下，平移到另一侧，证明面积不变。 解题步骤： ①　平移前：平行四边形面积S=底×高 ②　平移切下三角形后：剩余图形+三角形=原平行四边形 ③　重新拼合：得到一个矩形，底相同，高相同 ④　面积=底×高，与原平行四边形相同 【答案】面积不变 【知识点睛】等积变换：通过切割平移，平行四边形可变为面积相等的矩形。 ⚠️ 易错避坑指南 ❌ 三角形面积忘记除以2 错误示例：三角形面积=底×高=12×8=96，忘记÷2，结果翻倍。 正确分析：三角形面积=底×高÷2，必须除以2，因为三角形是平行四边形的一半。 ❌ 梯形面积中底相加后忘除以2 错误示例：梯形面积=(上底+下底)×高=(6+10)×5=80，没有÷2，结果翻倍。 正确分析：梯形面积=(上底+下底)×高÷2，先两底相加，再乘高，最后÷2。 ❌ 高的方向搞错 错误示例：计算斜三角形面积时，用斜边长度作为高，实际高应垂直于底。 正确分析：高必须垂直于底，不是斜边或底边的延长线，要找真正的垂线段。 ❌ 分割后重叠或漏算 错误示例：L形分成两个矩形时，切割线选择不当，导致两块有重叠或缺失部分。 正确分析：切割后验证：两块面积之和应等于原图形面积，如有偏差说明切割方式有问题。 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 一、基础夯实篇（共8题） 1．三角形底14cm，高10cm，面积是多少？ 2．梯形上底5cm，下底11cm，高8cm，面积是多少？ 3．平行四边形底12cm，高7cm，面积是多少？ 4．一个直角三角形两直角边分别为6cm和8cm，面积是多少？ 5．一个等腰梯形上底4cm，下底10cm，腰5cm，求面积（高=4cm）。 6．一个L形图案：大矩形长12cm宽8cm，缺去右上角4cm×5cm的矩形，求面积。 7．一个组合图形：下方矩形10cm×6cm，上方三角形底10cm高4cm，求总面积。 8．梯形面积48cm²，高8cm，两底之和是多少？ 二、能力进阶篇（共7题） 9．一个四边形，可分为两个三角形：△ABD底8cm高6cm，△CBD底8cm高10cm，求四边形ABCD面积。 10．一个复杂图形如下图所示，求总面积。 11．平行四边形ABCD，对角线AC将其分成两个等积三角形，若AB=10cm，高=6cm，每个三角形面积是多少？ 12．一个正方形边长8cm，求其面积的是多少？ 13．菱形对角线分别为8cm和10cm，求面积。 14．一个五边形图案，正方形边长10cm，右上角切去等腰直角三角形，直角边长5cm，求面积。 15．在10cm×10cm的正方形内，连接四边中点得到一个正方形，求内正方形面积。 三、思维跃迁篇（共5题） 16．在边长10cm正方形ABCD内，连接AC和BD对角线，求每个三角形面积。 17．一个梯形面积是平行四边形面积的，梯形上底3cm下底9cm高6cm，平行四边形底12cm，高是多少？ 18．三角形ABC，AB=12cm，BC=8cm，AC=14.4cm，∠B=90°。过B点作AC的垂线BD，D在AC上，BD=?，△ABD面积=?（利用面积相等原理） 19．平行四边形ABCD的面积是120cm²，E是AD的中点，F是BC的中点，连EF将平行四边形分成两部分，求每个梯形的面积。 20．一条河流旁有一块梯形土地，上底50m，下底80m，高40m，政府决定在河流和梯形之间修建一条5m宽的平行于上下底的路，修路后梯形土地的面积减少了多少？ 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 一、基础夯实篇（共8题） 1．【答案】70cm² 解题步骤： ①　S=14×10÷2=70 【知识点睛】三角形S=底×高÷2=14×10÷2=70。 2．【答案】64cm² 解题步骤： ①　S=(5+11)×8÷2=16×8÷2=64 【知识点睛】梯形S=(5+11)×8÷2=64。 3．【答案】84cm² 解题步骤： ①　S=12×7=84 【知识点睛】平行四边形S=底×高=84。 4．【答案】24cm² 解题步骤： ①　直角三角形S=两直角边之积÷2=6×8÷2=24 【知识点睛】直角三角形：两直角边之积÷2=24。 5．【答案】28cm² 解题步骤： ①　S=(4+10)×4÷2=14×4÷2=28 【知识点睛】梯形高4cm，S=(4+10)×4÷2=28。 6．【答案】76cm² 解题步骤： ①　大矩形=12×8=96，缺去=4×5=20，L形=96-20=76 【知识点睛】补全减法：96-20=76cm²。 7．【答案】80cm² 解题步骤： ①　矩形=10×6=60，三角形=10×4÷2=20，总=80 【知识点睛】加法：矩形60+三角形20=80cm²。 8．【答案】两底之和12cm 解题步骤： ①　(上底+下底)=2×48÷8=12 【知识点睛】(上+下)=2S÷h=96÷8=12。 二、能力进阶篇（共7题） 9．【答案】64cm² 解题步骤： ①　两三角形底相同=8，高分别为6和10 ②　S₁=8×6÷2=24，S₂=8×10÷2=40 ③　S四边形=24+40=64 【知识点睛】对角线分成两三角形，各算后相加=64cm²。 10．【答案】123cm² 解题步骤： ①　三角形=12×8÷2=48，梯形=(12+18)×5÷2=75 ②　总=48+75=123cm² 【知识点睛】上三角形+下梯形=48+75=123cm²。 11．【答案】30cm² 解题步骤： ①　平行四边形面积=AB×高=10×6=60cm² ②　对角线AC分成两个等积三角形，每个=60÷2=30cm² 【知识点睛】对角线将平行四边形分成2个等积三角形，各=60÷2=30cm²。 12．【答案】16cm² 解题步骤： 正方形面积=8×8=64cm² ② 其面积=64÷4=16cm² 【知识点睛】。 13．【答案】40cm² 解题步骤： ①　菱形面积=对角线积÷2=8×10÷2=40 【知识点睛】菱形面积=对角线之积÷2=40cm²。 14．【答案】87.5cm² 解题步骤： ①　正方形=10×10=100 ②　切去三角形=5×5÷2=12.5 ③　五边形=100-12.5=87.5 【知识点睛】正方形-直角三角形=100-12.5=87.5cm²。 15．【答案】50cm² 解题步骤： ①　内正方形顶点在各边中点（5,5,5,5） ②　内正方形面积=外正方形÷2=100÷2=50cm² 【知识点睛】连接四边中点，内正方形面积=外正方形的=50cm²。 三、思维跃迁篇（共5题） 16．【答案】每个三角形25cm² 解题步骤： ①　对角线将正方形分成4个等积三角形 ②　正方形面积=100cm²，每个=25cm² 【知识点睛】4等份=100÷4=25cm²。 17．【答案】梯形面积=36cm²，平行四边形高=4.5cm 解题步骤： ①　梯形=(3+9)×6÷2=36cm² ②　平行四边形=cm² ③　高=54÷12=4.5cm 【知识点睛】梯形36cm²，平行四边形=36×=54，高=54÷12=4.5cm。 18．【答案】BD≈6.67cm，△ABD面积=24cm² 解题步骤： ① △ABC 是直角三角形，面积 = AB×BC÷2=12×8÷2=48cm² ② 由面积法：AC×BD÷2=48 → 14.4×BD=96 → BD=96÷14.4=≈6.67cm ③ 由△ABD 与△CBD 同高，底之比 AB:BC=12:8=3:2，面积比 3:2，总面积 48，得△ABD 面积 =24cm² 【知识点睛】利用三角形面积相等原理，直接用已知AC长度计算高。 19．【答案】每个图形60cm² 解题步骤： ①　EF将平行四边形分成2个图形形，面积各=120÷2=60cm² 【知识点睛】EF连接两边中点，等分平行四边形，每个图形=60cm²。 20．【答案】减少400m² 解题步骤： ① 路的底=梯形下底80m，高=5m ② 减少的面积=80×5=400m² 【知识点睛】修路减少的面积为平行四边形，底对应梯形下底，高为路的宽度，直接用平行四边形面积公式计算。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案2 学科网（北京）股份有限公司 $