第17讲 作图法解题-五年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第17讲 作图法解题 📋 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、作图法解题方法图表记忆法 2 三、奥数思维提升 2 📊 典型例题解构与解题策略精讲 3 📌 考点一：线段图法（和差倍、年龄问题） 3 📌 考点二：示意图法（行程、盈亏问题） 5 📌 考点三：韦恩图与面积图法（容斥、平均数问题） 6 ⚠️ 易错避坑指南 8 📚 分层专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 10 一、基础夯实篇（共8题） 10 二、能力进阶篇（共7题） 11 三、思维跃迁篇（共5题） 12 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 14 一、基础夯实篇（共8题） 14 二、能力进阶篇（共7题） 17 三、思维跃迁篇（共5题） 19 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 作图法解题是小学数学奥数的核心可视化解题工具，是破解和差倍、年龄、行程、盈亏、容斥等抽象应用题的通用方法。解题核心：将题目中抽象的文字数量关系，转化为直观、规范的图形，把隐藏的等量关系、差值关系可视化，通过图形快速找到量与份的对应关系，简化推理过程。 类型 特征 解题策略 典型例子 线段图类 存在明确的和、差、倍、占比关系，典型题型为和差倍、年龄、还原问题 以“1份量”为标准画等长线段，标注已知数值与份数，找量份对应关系 甲是乙的3倍，甲乙两数和为40，求甲乙两数 行程示意图类 有运动过程、方向、时间变化，典型题型为相遇、追及、火车过桥问题 标注起点、终点、运动方向、关键节点（相遇点/折返点），对应路程、速度、时间关系 甲乙两车从两地相向而行，求相遇时间 韦恩图类 两个/多个集合有重叠交叉，典型题型为容斥原理问题 用圆圈代表不同集合，标注重叠区域与独立区域，理清总数与部分数的关系 语文满分20人，数学满分18人，两科都满分5人，求至少一科满分的人数 面积图类 符合“单量×数量=总量”关系，典型题型为平均数、盈亏、工程问题 用长方形的长代表数量、宽代表单量、面积代表总量，通过面积差找对应关系 平均分提高2分，总分增加12分，求人数 还原流程图类 已知最终结果求初始值，典型题型为还原问题 按事件发展顺序画流程框图，标注每一步的变化，逆向倒推求解 一个数加8、乘8、减8、除以8，结果为8，求原数 二、作图法解题方法图表记忆法 方法 适用场景 核心步骤 注意 线段图法 和差倍、年龄、还原问题 1.确定“1份量”（标准量）； 2.按份数画等长线段，标注已知条件； 3.找数值与份数的对应关系；4.求1份量，再求其他量 线段长度必须与份数成正比，标注清晰每个对象的范围 行程示意图法 相遇、追及、火车过桥问题 1.画路线图，标注起点、终点、运动方向； 2.标记相遇点、折返点等关键节点； 3.对应标注路程、速度、时间； 4.找路程和/路程差的核心关系 相向/同向运动必须标注清楚，区分路程和与路程差 韦恩图法 容斥原理问题 1.画对应数量的圆圈代表不同集合； 2.标注重叠区域、独立区域的数值； 3.按“总数量=各集合和-重叠部分”计算 多层重叠时，避免重复计算或漏减重叠部分 面积图法 平均数、盈亏、工程问题 1.画长方形，长=数量，宽=单量，面积=总量； 2.对比不同方案的长方形面积差； 3.通过面积差与边长差求未知量 长方形的长和宽必须与题目中的量严格对应 还原流程图法 多步还原问题 1.按事件发展顺序画流程框图； 2.标注每一步的运算变化； 3.从结果出发，按逆运算倒推初始值 逆运算必须严格对应，除变乘、减变加、乘变除、加变减 三、奥数思维提升 1　 核心原则：先定标准量（1份量），和差倍问题中“比、是、占”后面的量为1份量，画线段时1份量画1段，多份量画对应等长的段数，确保比例准确。 2　 关键技巧：找“量份对应”，图形中线段的长度和、长度差，必须对应题目中数值的和、差，这是作图法解题的核心突破口。 3　 多对象处理：多个数量关系叠加时，统一1份量，分层画图，标注清楚每个对象的名称、范围和数值，避免不同对象的线段混淆。 4　 验证闭环：画完图后，必须把题目所有已知条件对应标注到图形上，确保无遗漏；求出答案后，回代图形和原题逐一验证，确保逻辑闭环。 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：线段图法（和差倍、年龄问题） ✨ 典型例题 1（线段图法——和倍基础） 甲、乙两个数的和是48，甲数是乙数的3倍，请问甲、乙两数分别是多少？ 解题步骤： ①　确定1份量：乙数是“1份量”，甲数是3份量，画线段：乙数画1段，甲数画3段等长线段 乙数： 甲数： ②　总份数：1+3=4份，对应总数值48 ③　1份量（乙数）：48÷4=12 ④　甲数：12×3=36 ⑤　验证：36+12=48，36是12的3倍，符合条件 【答案】甲数36，乙数12 【知识点睛】和倍问题线段图核心：以小数为1份量，总数量÷总份数=1份量，再通过倍数求大数，画图时必须保证线段长度与份数成正比。 ✨ 典型例题 2（线段图法——差倍进阶） 甲数比乙数大24，甲数是乙数的4倍少3，请问甲、乙两数分别是多少？ 解题步骤： ①　确定1份量：乙数是1份量，甲数是4份量少3，画线段：乙数1段，甲数画4段等长线段，再去掉一小段标注“少3” ②　若甲数增加3，此时甲数正好是乙数的4倍，两数的差变为：24+3=27 ③　份数差：4-1=3份，对应差值27 ④　1份量（乙数）：27÷3=9 ⑤　甲数：9×4-3=33，验证：33-9=24，符合条件 【答案】甲数33，乙数9 【知识点睛】非整倍差倍问题，通过补全差额转化为整倍关系，线段图中用虚线标注“少的部分”，清晰展示差值与份数的对应关系。 ✨ 典型例题 3（线段图法——年龄问题） 今年爸爸35岁，儿子5岁，请问几年后爸爸的年龄是儿子的4倍？ 解题步骤： ①　核心规律：年龄差永远不变，父子年龄差：35-5=30岁 ②　画线段：几年后儿子的年龄是1份量，爸爸是4份量，份数差4-1=3份，对应年龄差30岁 ③　1份量（几年后儿子的年龄）：30÷3=10岁 ④　经过的年数：10-5=5年 ⑤　验证：5年后爸爸40岁，儿子10岁，40是10的4倍，符合条件 【答案】5年 【知识点睛】年龄问题线段图核心：抓住“年龄差不变”，用差倍问题的思路画图求解，线段图中重点标注不变的年龄差。 📌 考点二：示意图法（行程、盈亏问题） ✨ 典型例题 4（行程示意图法——相遇问题） 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车每小时行60千米，乙车每小时行40千米，经过3小时两车相遇，请问A、B两地相距多少千米？ 解题步骤： ①　画行程示意图：标注A、B两个起点，相向而行的箭头，中间标注相遇点，分别标注甲、乙的行驶路程 ②　甲车3小时行驶的路程：60×3=180千米 ③　乙车3小时行驶的路程：40×3=120千米 ④　A、B两地总路程=甲路程+乙路程：180+120=300千米 ⑤　验证：速度和×相遇时间=总路程，(60+40)×3=300千米，符合条件 【答案】300千米 【知识点睛】相遇问题示意图核心：清晰标注运动方向、相遇点，总路程=速度和×相遇时间，通过示意图直观展示路程和的关系。 ✨ 典型例题 5（盈亏示意图法——分配问题） 老师把一堆苹果分给小朋友，若每人分4个，剩余9个；若每人分5个，还差6个。请问有多少个小朋友？多少个苹果？ 解题步骤： ①　画盈亏示意图：用小方块代表每人分的苹果，第一行画每人4个，标注多9个；第二行画每人5个，标注少6个 ②　两种分配方案的总差额：9+6=15个 ③　每人分配的差额：5-4=1个 ④　小朋友人数：15÷1=15人 ⑤　苹果总数：15×4+9=69个，验证：15×5-6=69个，符合条件 【答案】15个小朋友，69个苹果 【知识点睛】盈亏问题示意图核心：通过对比两种分配方案的图形，直观展示总差额的来源，一盈一亏总差额=盈+亏，总差额÷单份差额=份数。 📌 考点三：韦恩图与面积图法（容斥、平均数问题） ✨ 典型例题 6（韦恩图法——容斥基础） 五年级一班有40名学生，其中喜欢语文的有25人，喜欢数学的有30人，每人至少喜欢一科，请问两科都喜欢的有多少人？ 解题步骤： ①　画韦恩图：两个相交的圆圈，分别代表喜欢语文、喜欢数学的人，相交部分代表两科都喜欢的人 ②　喜欢语文和数学的总人次：25+30=55人 ③　班级总人数40人，多出来的人次就是两科都喜欢的重复计算人数 ④　两科都喜欢的人数：55-40=15人 ⑤　验证：只喜欢语文25-15=10人，只喜欢数学30-15=15人，总人数10+15+15=40人，符合条件 【答案】15人 【知识点睛】双集合容斥韦恩图核心：总人数=A集合+B集合-AB重叠部分，通过韦恩图清晰区分独立区域和重叠区域，避免重复计算。 ✨ 典型例题 7（面积图法——平均数问题） 某班数学考试，平均分是85分，后来发现把一名同学的96分错算成了69分，重新计算后，全班平均分变成了86分，请问这个班有多少名学生？ 解题步骤： ①　画面积图：长方形的长代表学生人数，宽代表平均分，面积代表全班总分 ②　分数差额：96-69=27分，对应总分增加27分 ③　平均分差额：86-85=1分，对应长方形的宽增加1分 ④　学生人数（长方形的长）=总分增加量÷平均分增加量：27÷1=27人 ⑤　验证：27×85=2295分，2295+27=2322分，2322÷27=86分，符合条件 【答案】27名 【知识点睛】平均数问题面积图核心：利用“总分=平均分×人数”的长方形面积关系，通过面积差和边长差，快速求出未知的人数或平均分。 ⚠️ 易错避坑指南 ❌ 线段图标准量选错 错误示例：甲数是乙数的2倍多3，把甲数当成1份量画线段，导致份数与数值对应错误。 正确分析：和差倍问题必须把“比、是、占”后面的量设为1份量，本题中乙数是1份量，甲数是2份多3，确保量份一一对应。 ❌ 行程示意图遗漏关键信息 错误示例：相遇问题只画了总路程，未标注运动方向、相遇点和各自行驶的路程，导致路程和与路程差混淆。 正确分析：行程示意图必须标注起点、终点、运动方向、相遇/折返点，以及对应路程、速度、时间，确保核心的路程和/差关系清晰可见。 ❌ 韦恩图重复计算重叠部分 错误示例：语文满分20人，数学满分18人，两科都满分5人，计算总人数时直接算成20+18=38人。 正确分析：韦恩图的核心是去重，重叠的5人被计算了两次，必须减去一次，正确总人数=20+18-5=33人，避免重复计数。 ❌ 画图比例失调导致逻辑错误 错误示例：甲数是乙数的4倍，画线段时甲数的长度只比乙数长一点，导致视觉上误判份数差为2倍，找错量份对应关系。 正确分析：线段长度必须与份数严格成正比，1份量画1段，4份量就画4段等长的线段，确保图形比例准确，不误导逻辑判断。 📚 分层专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 一、基础夯实篇（共8题） 1．甲、乙两数的和是60，甲数是乙数的2倍，用线段图法求甲、乙两数分别是多少？ 2．甲数比乙数大18，甲数是乙数的3倍，用线段图法求甲、乙两数分别是多少？ 3．今年妈妈32岁，女儿2岁，请问几年后妈妈的年龄是女儿的3倍？ 4．甲、乙两车从两地同时出发相向而行，甲车每小时行50千米，乙车每小时行40千米，4小时后相遇，两地相距多少千米？ 5．五年级一班有45人，喜欢跳绳的有28人，喜欢踢毽子的有30人，每人至少喜欢一项，两项都喜欢的有多少人？ 6．分糖果，每人分5颗多8颗，每人分6颗少2颗，有多少个小朋友？多少颗糖果？ 7．一个数加上5，乘以5，减去5，除以5，结果还是5，用流程图法求这个数是多少？ 8．全班平均分是80分，把一名同学的78分错算成87分，重新计算后平均分是80.3分，这个班有多少名学生？ 二、能力进阶篇（共7题） 9．甲、乙、丙三个数的和是90，甲数是乙数的2倍，丙数是乙数的3倍，用线段图法求三个数分别是多少？ 10．今年爷爷72岁，孙子12岁，请问几年前爷爷的年龄是孙子的7倍？ 11．甲、乙两车从相距480千米的两地同时出发，同向而行，甲车在后每小时行70千米，乙车在前每小时行50千米，请问甲车多久能追上乙车？ 12．给学生分宿舍，每间住4人，剩余20人；每间住6人，刚好住满，请问有多少间宿舍？多少名学生？ 13．五年级有100名学生，会骑自行车的有65人，会游泳的有48人，两项都不会的有15人，请问两项都会的有多少人？ 14．小明前几次数学测验的平均分是84分，这次考了100分，平均分提高到了86分，请问这是第几次测验？ 15．一列火车长200米，以每秒20米的速度通过一座长400米的大桥，请问火车完全通过大桥需要多长时间？ 三、思维跃迁篇（共5题） 16．证明：任意两个人的年龄差，永远不随时间变化。 17．甲、乙、丙三人，甲比乙大 6 岁，丙比乙大 2 岁，三人的年龄和是56岁，请问三人分别多少岁？ 18．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，甲车每小时行60千米，乙车每小时行45千米，两车在距离中点15千米处相遇，请问A、B两地相距多少千米？ 19．五年级有50名学生，参加美术小组的有25人，参加音乐小组的有22人，参加体育小组的有20人，同时参加美术和音乐的有8人，同时参加音乐和体育的有6人，同时参加美术和体育的有5人，三个小组都参加的有2人，请问三个小组都没参加的有多少人？ 20．一个书架有上、下两层，上层书的数量是下层的3倍，若从上层拿60本书放到下层，两层书的数量正好相等，请问原来上、下层各有多少本书？ 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 一、基础夯实篇（共8题） 1．【答案】甲数40，乙数20 解题步骤： ① 确定1份量：乙数是1份量，甲数是2份量，总份数1+2=3份 ② 总数值60对应3份，1份量（乙数）：60÷3=20 ③ 甲数：20×2=40 ④ 验证：40+20=60，40是20的2倍，符合条件 【知识点睛】基础和倍问题，以小数为1份量，总数量÷总份数=1份量，线段图清晰展示和与份数的对应关系。 2．【答案】甲数27，乙数9 解题步骤： ① 确定1份量：乙数是1份量，甲数是3份量，份数差3-1=2份 ② 差值18对应2份，1份量（乙数）：18÷2=9 ③ 甲数：9×3=27 ④ 验证：27-9=18，27是9的3倍，符合条件 【知识点睛】基础差倍问题，核心是找到差值对应的份数差，用差值÷份数差=1份量，线段图重点标注差值。 3．【答案】13年 解题步骤： ① 年龄差不变：32-2=30岁 ② 几年后女儿年龄是1份量，妈妈是3份量，份数差3-1=2份，对应年龄差30岁 ③ 1份量（几年后女儿年龄）：30÷2=15岁 ④ 经过年数：15-2=13年 ⑤ 验证：13年后妈妈45岁，女儿15岁，45是15的3倍，符合条件 【知识点睛】年龄问题核心是年龄差不变，用差倍线段图求解，重点标注不变的年龄差。 4．【答案】360千米 解题步骤： ① 画行程示意图，标注两地起点、相向方向、相遇点 ② 甲车行驶路程：50×4=200千米 ③ 乙车行驶路程：40×4=160千米 ④ 总路程：200+160=360千米 ⑤ 验证：速度和×时间=(50+40)×4=360千米，符合条件 【知识点睛】相遇问题核心：总路程=速度和×相遇时间，示意图直观展示路程和的关系。 5．【答案】13人 解题步骤： ① 画韦恩图，两个圆圈分别代表跳绳、踢毽子，相交部分为两项都喜欢的 ② 总人次：28+30=58人 ③ 两项都喜欢的人数=总人次-总人数：58-45=13人 ④ 验证：只喜欢跳绳28-13=15人，只喜欢踢毽子30-13=17人，总人数15+17+13=45人，符合条件 【知识点睛】双集合容斥问题，总人数=A+B-AB重叠，韦恩图清晰区分独立与重叠区域。 6．【答案】10个小朋友，58颗糖果 解题步骤： ① 画盈亏示意图，对比两种分配方案 ② 总差额：8+2=10颗 ③ 单份差额：6-5=1颗 ④ 小朋友人数：10÷1=10人 ⑤ 糖果总数：10×5+8=58颗，验证：10×6-2=58颗，符合条件 【知识点睛】一盈一亏型盈亏问题，总差额=盈+亏，总差额÷单份差额=份数。 7．【答案】1 解题步骤： ① 画还原流程图：原数→+5→×5→-5→÷5→5 ② 从结果逆向倒推，逆运算：5×5=25，25+5=30，30÷5=6，6-5=1 ③ 验证：[(1+5)×5-5]÷5=5，符合条件 【知识点睛】还原问题核心是逆运算，流程图清晰展示每一步的变化，逆向倒推时严格对应逆运算规则。 8．【答案】30名 解题步骤： ① 画面积图，长=人数，宽=平均分，面积=总分 ② 总分差额：87-78=9分，平均分差额：80.3-80=0.3分 ③ 人数=总分差额÷平均分差额：9÷0.3=30人 ④ 验证：30×80=2400分，2400+9=2409分，2409÷30=80.3分，符合条件 【知识点睛】平均数面积图核心：利用总分=平均分×人数的关系，通过差额快速求出人数。 二、能力进阶篇（共7题） 9．【答案】甲数30，乙数15，丙数45 解题步骤： ① 确定1份量：乙数是1份量，甲数是2份量，丙数是3份量，总份数1+2+3=6份 ② 总数值90对应6份，1份量（乙数）：90÷6=15 ③ 甲数：15×2=30，丙数：15×3=45 ④ 验证：30+15+45=90，符合条件 【知识点睛】多对象和倍问题，统一1份量，分层画线段，总数量÷总份数=1份量，再分别求各数。 10．【答案】2年前 解题步骤： ① 年龄差不变：72-12=60岁 ② 几年前孙子年龄是1份量，爷爷是7份量，份数差7-1=6份，对应年龄差60岁 ③ 1份量（几年前孙子年龄）：60÷6=10岁 ④ 经过年数：12-10=2年 ⑤ 验证：2年前爷爷70岁，孙子10岁，70是10的7倍，符合条件 【知识点睛】年龄差倍问题，重点是区分“几年后”和“几年前”，用当前年龄与1份量的差计算时间。 11．【答案】24小时 解题步骤： ① 画追及示意图，标注两地距离、同向运动方向、两车速度 ② 追及路程差=480千米，速度差=70-50=20千米/小时 ③ 追及时间=路程差÷速度差：480÷20=24小时 ④ 验证：24小时甲车行驶70×24=1680千米，乙车行驶50×24=1200千米，1680-1200=480千米，符合条件 【知识点睛】追及问题核心：追及时间=路程差÷速度差，示意图重点标注路程差和同向运动方向。 12．【答案】10间宿舍，60名学生 解题步骤： ① 画盈亏示意图，对比两种分配方案 ② 总差额=20人，单份差额=6-4=2人 ③ 宿舍数量=总差额÷单份差额：20÷2=10间 ④ 学生人数：10×6=60人，验证：10×4+20=60人，符合条件 【知识点睛】一盈一尽型盈亏问题，总差额=盈数，总差额÷单份差额=份数。 13．【答案】28人 解题步骤： ① 画韦恩图，先算至少会一项的人数：100-15=85人 ② 总人次：65+48=113人 ③ 两项都会的人数=总人次-至少会一项的人数：113-85=28人 ④ 验证：只会骑自行车65-28=37人，只会游泳48-28=20人，总人数37+20+28+15=100人，符合条件 【知识点睛】含“都不会”的容斥问题，先减去都不会的人数，得到至少会一项的人数，再用容斥公式计算重叠部分。 14．【答案】第8次 解题步骤： ① 画面积图，长=测验次数，宽=平均分，面积=总分 ② 这次考试比原平均分多的分数：100-84=16分 ③ 平均分提高了86-84=2分，说明这16分平均分给了所有测验 ④ 测验总次数：16÷2=8次 ⑤ 验证：前7次总分7×84=588分，8次总分588+100=688分，688÷8=86分，符合条件 【知识点睛】平均数进阶问题，用面积图清晰展示多出的分数如何拉高平均分，核心是差额平均分。 15．【答案】30秒 解题步骤： ① 画火车过桥示意图，标注火车长度、大桥长度，火车完全通过大桥的总路程=桥长+车长 ② 总路程：200+400=600米 ③ 时间=路程÷速度：600÷20=30秒 ④ 验证：30秒火车行驶20×30=600米，正好是桥长+车长，符合完全通过的要求 【知识点睛】火车过桥问题核心：总路程=桥长+车长，示意图必须清晰展示火车车头进桥到车尾离桥的完整过程。 三、思维跃迁篇（共5题） 16．【答案】证明：年龄差永远不随时间变化 解题步骤： ① 设今年甲的年龄为a岁，乙的年龄为b岁，两人的年龄差为a-b岁。 ② 经过x年后，甲的年龄为(a+x)岁，乙的年龄为(b+x)岁，此时年龄差为(a+x)-(b+x)=a-b岁。 ③ 经过x年前，甲的年龄为(a-x)岁，乙的年龄为(b-x)岁，此时年龄差为(a-x)-(b-x)=a-b岁。 ④ 无论时间向前还是向后推移，两人的年龄差始终等于初始的a-b岁，不会发生变化。 ⑤ 举例验证：今年爸爸35岁，儿子5岁，年龄差30岁；5年后爸爸40岁，儿子10岁，年龄差还是30岁。 【知识点睛】年龄问题的核心公理，用字母表示数的代数方法严谨证明，是所有年龄问题的解题基础。 17．【答案】甲 22 岁，乙 16 岁，丙 18 岁 解题步骤： ① 画线段图，确定乙的年龄为 1 份量，甲是 1 份多 6 岁，丙是 1 份多 2 岁 ② 三人年龄和减去多出来的部分，对应 3 份：56-6-2=48 岁 ③ 1 份量（乙的年龄）：48÷3=16 岁 ④ 甲的年龄：16+6=22 岁，丙的年龄：16+2=18 岁 ⑤ 验证：22+16+18=56 岁，符合所有条件 正确步骤： 【知识点睛】多对象年龄问题，统一以中间量为1份量画线段，把所有量转化为1份量加差额，先求1份量，再求其他量。 18．【答案】210千米 解题步骤： ① 画行程示意图，标注中点、相遇点，甲车速度比乙车快，相遇点在中点右侧15千米处 ② 甲车比乙车多行驶的路程：15×2=30千米 ③ 速度差：60-45=15千米/小时 ④ 相遇时间=路程差÷速度差：30÷15=2小时 ⑤ 总路程=速度和×相遇时间：(60+45)×2=210千米 ⑥ 验证：2小时甲车行驶120千米，乙车行驶90千米，中点为105千米，120-105=15千米，符合条件 【知识点睛】中点相遇问题核心：距离中点的距离×2=路程差，通过路程差和速度差求相遇时间，再求总路程，示意图重点标注中点和相遇点的距离。 19．【答案】10人 解题步骤： ① 画三集合韦恩图，标注三个圆圈、两两重叠部分、三个都重叠的部分 ② 三集合容斥公式：至少参加一项的人数=A+B+C-AB-BC-AC+ABC ③ 代入数值：25+22+20-8-6-5+2=50人 ④ 三个小组都没参加的人数=总人数-至少参加一项的人数：50-50=0？修正：重新计算：25+22=47+20=67；67-8=59-6=53-5=48；48+2=50，正好50人，都没参加的0人。 ⑤ 验证：符合三集合容斥原理，无重复计算 【答案】0人 【知识点睛】三集合容斥问题核心公式：总人数=A+B+C-两两重叠和+三个都重叠的人数，韦恩图清晰展示多层重叠的去重逻辑。 20．【答案】上层180本，下层60本 解题步骤： ① 画线段图，下层是1份量，上层是3份量，上层比下层多2份量 ② 从上层拿60本到下层，两层相等，说明上层比下层多60×2=120本 ③ 2份量对应120本，1份量（下层）：120÷2=60本 ④ 上层：60×3=180本 ⑤ 验证：180-60=120本，120-60=60本，两层相等，符合条件 【知识点睛】差倍问题进阶，核心是“拿多少相等，原来就差2倍的拿的数量”，线段图清晰展示上下层的份数差和数量差。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案1 学科网（北京）股份有限公司 $