第22讲 列方程解行程问题-五年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第22讲 列方程解行程问题 📋 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、列方程解行程问题方法图表记忆法 2 三、奥数思维提升 2 📊 典型例题解构与解题策略精讲 3 📌 考点一：列方程解基础相遇与追及问题 3 📌 考点二：列方程解环形跑道行程问题 5 📌 考点三：列方程解往返、变速进阶行程问题 7 ⚠️ 易错避坑指南 9 📚 分层专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 10 一、基础夯实篇（共8题） 10 二、能力进阶篇（共7题） 11 三、思维跃迁篇（共5题） 13 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 15 一、基础夯实篇（共8题） 15 二、能力进阶篇（共7题） 18 三、思维跃迁篇（共5题） 21 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 列方程解行程问题，是五年级奥数行程模块的核心解题工具，核心是通过设未知数，将行程问题中抽象的等量关系转化为顺向的一元一次方程，把算术法的逆向复杂推理，转化为简单的方程求解，是解决相遇、追及、环形、往返变速、火车过桥等复杂行程问题的通用方法。 解题核心：精准找到行程问题中的不变量/等量关系，围绕「路程=速度×时间」的核心公式，设出合理的未知数，列出方程并求解，最终验证结果是否符合题干条件。 类型 特征 核心等量关系 典型例子 基础相遇问题 两个主体相向/反向而行，已知部分条件求路程、速度、时间 路程和=速度和×相遇时间 甲乙两车从A、B两地相向而行，3小时相遇，甲速60km/h，乙速50km/h，求两地距离 基础追及问题 两个主体同向而行，有路程差，已知部分条件求追及时间、速度、路程差 路程差=速度差×追及时间 甲在乙前方100米，甲速4m/s，乙速6m/s，求乙追上甲的时间 环形跑道问题 两个/三个主体在环形路线运动，分同向追及、反向相遇 反向相遇：路程和=跑道周长；同向追及：路程差=跑道周长 环形跑道周长400米，甲乙同向出发，甲速200m/分，乙速150m/分，求再次相遇时间 往返变速问题 主体在两地间往返，或中途速度变化，求总路程、总时间 往返路程相等；变速前后的路程/时间差为固定值 一辆车从A到B，每小时60km会迟到1小时，每小时80km会提前1小时，求AB距离 火车过桥/流水行船问题 有固定长度/水流速度影响，求车长、船速、时间 火车过桥：总路程=桥长+车长；流水行船：顺流速度=船速+水速，逆流速度=船速-水速 火车过200米桥用20秒，过300米桥用25秒，求火车速度和车长 二、列方程解行程问题方法图表记忆法 方法 适用场景 核心步骤 注意 直接设元法 题干问什么设什么，等量关系清晰的基础题型 1. 审题，明确行程类型，找到核心等量关系；2. 直接设问题所求的量（路程/时间/速度）为x；3. 围绕核心公式列出方程；4. 解方程，验证结果 设未知数必须带单位，方程左右两边单位必须统一 间接设元法 直接设元难以列方程，等量关系与中间量关联紧密的复杂题型 1. 审题，找到连接所有条件的中间量（如时间、速度）；2. 设中间量为x，用x表示出其他未知量；3. 根据等量关系列方程；4. 解方程后，回代求出题干所求的量 间接设元后，必须回代计算最终问题，不可只解出x就结束 线段图辅助法 所有行程问题，尤其多主体、多阶段的复杂题型 1. 画线段图，标注起点、终点、相遇/追及点、运动方向；2. 在线段上标注已知的速度、时间、路程；3. 从图中直观找到路程和/差的等量关系；4. 结合等量关系设元列方程 线段长度必须与路程成正比，不同主体用不同标注区分，避免混淆 分阶段列方程法 变速、往返、多段运动的进阶题型 1. 按运动阶段拆分行程（如变速前、变速后）；2. 分别表示出每个阶段的路程、速度、时间；3. 找到阶段间的不变量（如总路程不变、总时间固定）；4. 围绕不变量列方程 必须明确每个阶段的对应关系，不可跨阶段混用速度、时间 三、奥数思维提升 1　 核心公式牢记：所有行程问题都围绕「路程=速度×时间」展开，相遇看路程和，追及看路程差，这是列方程的核心等量关系来源。 2　 设元技巧：问路程优先设时间为x，问时间优先设速度为x，问速度优先设路程为x，可大幅简化方程；多个主体运动时，优先设时间为公共未知数，利用时间同步性列方程。 3　 等量关系优先级：优先找总路程不变、总时间固定、路程和/差固定的等量关系，这是列方程最稳定的突破口，避免用复杂的比例关系列方程。 4　 验证闭环：解出方程后，必须把结果代入原题的所有条件中验证，确保路程、速度、时间的关系完全符合题干，避免出现方程成立但不符合实际行程的情况。 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：列方程解基础相遇与追及问题 ✨ 典型例题 1（列方程解相遇问题） A、B两地相距540千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车的速度是乙车的1.25倍，3小时后两车相遇，求甲、乙两车的速度分别是多少？ 解题步骤： ① 找等量关系：两车相向而行，相遇时路程和=总路程，即甲车路程+乙车路程=540千米 ② 设未知数：设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为1.25x千米/小时 ③ 列方程：根据路程=速度×时间，3小时的路程和为：3×1.25x + 3×x = 540 ④ 解方程： 3.75x + 3x = 540 6.75x = 540 x = 80 ⑤ 求甲车速度：1.25×80=100千米/小时 ⑥ 验证：3小时甲车走300千米，乙车走240千米，300+240=540千米，符合总路程 【答案】甲车速度100千米/小时，乙车速度80千米/小时 【知识点睛】相遇问题列方程的核心是「路程和=总路程」，当两个速度有倍数关系时，设较小的速度为x，可避免出现分数，简化方程计算。 ✨ 典型例题 2（列方程解追及问题） 甲、乙两人相距800米，甲每分钟走60米，乙每分钟走80米，两人同时同向出发，乙在甲后方，请问多久后乙能追上甲？ 解题步骤： ① 找等量关系：同向追及，追上时乙的路程 - 甲的路程 = 初始路程差 ② 设未知数：设x分钟后乙能追上甲 ③ 列方程：80x - 60x = 800 ④ 解方程： 20x = 800 x = 40 ⑤ 验证：40分钟乙走了3200米，甲走了2400米，3200-2400=800米，正好等于初始路程差 【答案】40分钟 【知识点睛】追及问题列方程的核心是「路程差=速度差×追及时间」，直接设追及时间为x，利用路程差的等量关系列方程，是最直接的解法。 ✨ 典型例题 3（相遇与追及综合） 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，如果相向而行，4小时相遇；如果同向而行，20小时甲车追上乙车。已知A、B两地相距480千米，求甲、乙两车的速度。 解题步骤： ① 找两组等量关系： 相向而行：4×(甲速+乙速)=480 同向而行：20×(甲速-乙速)=480 ② 设未知数：设甲车速度为x千米/小时，乙车速度为y千米/小时（五年级适配一元一次方程，简化为设甲速x，乙速=120-x） ③ 简化列方程：由相遇得速度和=480÷4=120千米/小时，设甲速x，乙速120-x 同向追及：20×[x - (120-x)] = 480 ④ 解方程： 20×(2x - 120) = 480 2x - 120 = 24 2x = 144 x = 72 ⑤ 乙速：120-72=48千米/小时 ⑥ 验证：相向4小时(72+48)×4=480，同向20小时(72-48)×20=480，符合条件 【答案】甲车速度72千米/小时，乙车速度48千米/小时 【知识点睛】相遇追及综合题，先通过相遇条件得到速度和，再用一元一次方程设未知数，避免二元方程，贴合五年级知识水平，核心是抓住速度和与速度差的关系。 📌 考点二：列方程解环形跑道行程问题 ✨ 典型例题 4（环形反向相遇问题） 环形跑道的周长是600米，甲、乙两人同时从同一地点出发，反向而行，甲每分钟走70米，乙每分钟走80米，请问两人多久后第一次相遇？多久后第三次相遇？ 解题步骤： ① 找等量关系：反向而行，第一次相遇时两人路程和=跑道周长；第三次相遇时，路程和=3个跑道周长 ② 设未知数：设x分钟后第一次相遇 ③ 列方程：70x + 80x = 600 ④ 解方程： 150x = 600 x = 4 ⑤ 第三次相遇：每次相遇路程和都增加1个周长，第三次相遇时间=4×3=12分钟 ⑥ 验证：4分钟两人共走600米，12分钟共走1800米=3个周长，符合条件 【答案】第一次相遇4分钟，第三次相遇12分钟 【知识点睛】环形反向相遇，每相遇一次，路程和就增加1个跑道周长，列方程核心是「路程和=相遇次数×跑道周长」。 ✨ 典型例题 5（环形同向追及问题） 环形跑道周长800米，甲、乙两人同时从同一点出发，同向跑步，甲的速度是每分钟240米，乙的速度是每分钟160米，请问多久后甲第一次追上乙？此时甲跑了多少圈？ 解题步骤： ① 找等量关系：同向追及，第一次追上时甲的路程 - 乙的路程 = 1个跑道周长 ② 设未知数：设x分钟后甲第一次追上乙 ③ 列方程：240x - 160x = 800 ④ 解方程： 80x = 800 x = 10 ⑤ 甲跑的路程：240×10=2400米，圈数=2400÷800=3圈 ⑥ 验证：10分钟乙跑了1600米，2400-1600=800米=1个周长，符合条件 【答案】10分钟后甲第一次追上乙，此时甲跑了3圈 【知识点睛】环形同向追及，每追上一次，快者比慢者多跑1个跑道周长，列方程核心是「路程差=追及次数×跑道周长」。 📌 考点三：列方程解往返、变速进阶行程问题 ✨ 典型例题 6（变速行程问题） 一辆汽车从甲地开往乙地，如果每小时行驶45千米，就会比预定时间晚到1小时；如果每小时行驶60千米，就会比预定时间早到1小时。求甲、乙两地的距离。 解题步骤： ① 找等量关系：两种速度行驶的总路程相等，预定时间是固定值 ② 设未知数：设预定时间为x小时，间接设元比直接设路程更简单 ③ 列方程：晚到1小时用时x+1，早到1小时用时x-1，路程相等： 45×(x+1) = 60×(x-1) ④ 解方程： 45x + 45 = 60x - 60 15x = 105 x = 7 ⑤ 求两地距离：45×(7+1)=360千米 ⑥ 验证：60×(7-1)=360千米，路程相等，符合条件 【答案】360千米 【知识点睛】变速行程问题，核心是总路程不变，优先间接设预定时间为x，列方程更简单，避免出现分数除法，计算更便捷。 ✨ 典型例题 7（往返相遇问题） 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，在距离A地600米处第一次相遇，相遇后两人继续前进，到达对方起点后立即原路返回，在距离B地400米处第二次相遇。求A、B两地的距离。 解题步骤： ① 找等量关系：第一次相遇，两人路程和=1个全程；第二次相遇，两人路程和=3个全程；速度不变，路程和扩大3倍，时间也扩大3倍，甲走的总路程是第一次的3倍 ② 设未知数：设A、B两地的距离为x米 ③ 列方程：第一次相遇甲走了600米，第二次相遇甲走了x+400米（1个全程+400米），总路程是第一次的3倍： x + 400 = 3×600 ④ 解方程： x + 400 = 1800 x = 1400 ⑤ 验证：第一次相遇路程和1400米，甲走600米，乙走800米；第二次相遇路程和4200米，甲走1800米=1400+400，符合条件 【答案】1400米 【知识点睛】多次往返相遇问题，核心规律是「第n次迎面相遇，路程和为(2n-1)个全程」，利用速度不变时，路程与时间成正比的关系列方程，是解决此类题的关键。 ⚠️ 易错避坑指南 ❌ 等量关系找反，路程和与路程差混淆 错误示例：同向追及问题，列方程时写成「甲的路程+乙的路程=路程差」，反向相遇写成「甲的路程-乙的路程=总路程」。 正确分析：相向/反向相遇看路程和，同向追及看路程差，列方程前先判断运动方向，再对应选择路程和/差的等量关系，不可混用。 ❌ 单位不统一，方程左右两边量纲不一致 错误示例：速度用千米/小时，时间用分钟，直接代入方程，不进行单位换算，导致结果错误。 正确分析：列方程前必须统一单位，速度是千米/小时，时间必须用小时；速度是米/分钟，时间必须用分钟，确保方程左右两边的路程单位一致。 ❌ 间接设元后，忘记回代求最终结果 错误示例：变速行程问题，设预定时间为x，解出x=7后，直接把7当成答案，忘记计算总路程。 正确分析：间接设元的核心是通过中间量求最终问题，解出未知数后，必须回代到题干中，计算出题目所求的量，不可把中间量当成最终答案。 ❌ 环形跑道问题，路程和/差的圈数算错 错误示例：环形同向追及，第一次追上时，错误认为路程差是半圈，列方程时用周长的一半计算，导致追及时间算错。 正确分析：环形跑道同时同地同向出发，第一次追上的路程差是1个完整的跑道周长，第n次追上的路程差是n个周长；反向相遇同理，第一次相遇路程和是1个周长，不可用半圈计算。 ❌ 多次相遇问题，全程倍数算错 错误示例：第二次迎面相遇，错误认为路程和是2个全程，列方程时用2倍的全程计算，导致结果错误。 正确分析：两地出发往返行驶，第n次迎面相遇，路程和为(2n-1)个全程，第二次相遇路程和是3个全程，不是2个，必须牢记规律，避免倍数算错。 📚 分层专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 一、基础夯实篇（共8题） 1．A、B两地相距360千米，甲、乙两车相向而行，4小时相遇，甲车每小时行50千米，用方程求乙车的速度。 2．甲、乙两人相距300米，同向而行，甲在前方，速度是每分钟50米，乙的速度是每分钟60米，用方程求乙追上甲需要的时间。 3．环形跑道周长400米，甲、乙反向而行，甲每分钟走45米，乙每分钟走55米，用方程求两人第一次相遇的时间。 4．一辆汽车从A地到B地，每小时行60千米，5小时到达，若要4小时到达，用方程求每小时需要行驶多少千米。 5．甲、乙两车从相距480千米的两地相向而行，甲车每小时行60千米，乙车每小时行40千米，甲车先出发1小时，乙车再出发，用方程求乙车出发后多久两车相遇。 6．环形跑道周长500米，甲、乙同向出发，甲每分钟跑150米，乙每分钟跑100米，两人同时出发，用方程求甲第一次追上乙的时间。 7．小明从家到学校，每分钟走60米，会迟到5分钟；每分钟走80米，会提前3分钟到校，用方程求家到学校的距离。 8．甲、乙两人的速度比是3:2，相向而行4小时相遇，总路程是200千米，用方程求甲、乙的速度。 二、能力进阶篇（共7题） 9．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，在距离中点20千米处相遇，已知甲车速度是乙车的1.5倍，A、B两地相距200千米，用方程求两车的速度。 10．环形跑道周长600米，甲、乙两人同时同地出发，同向而行，甲每分钟跑200米，20分钟后甲第一次追上乙，用方程求乙的速度。 11．火车通过一座长400米的大桥需要20秒，通过一座长600米的大桥需要25秒，用方程求火车的速度和车身长度。 12．一艘船在两个码头之间航行，顺流而下需要4小时，逆流而上需要6小时，水流速度是每小时2千米，用方程求船在静水中的速度和两个码头的距离。 13．甲、乙两人从A地到B地，甲每分钟走80米，乙每分钟走60米，乙先出发5分钟，甲再出发，两人同时到达B地，用方程求A、B两地的距离。 14．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，第一次相遇在距离A地80千米处，相遇后继续前进，到达对方起点后立即返回，第二次相遇在距离A地20千米处，用方程求A、B两地的距离。 15．甲、乙两人在环形跑道上跑步，同时同地出发，反向而行，每2分钟相遇一次；同向而行，每6分钟相遇一次，已知甲比乙跑得快，用方程求甲、乙每分钟跑的圈数。 三、思维跃迁篇（共5题） 16．甲、乙、丙三人的速度分别是每分钟60米、80米、100米，甲、乙从A地，丙从B地同时出发相向而行，丙遇到乙后2分钟遇到甲，用方程求A、B两地的距离。 17．一辆汽车从甲地到乙地，前一半路程每小时行60千米，后一半路程每小时行40千米，总时间为5小时，用方程求甲、乙两地的距离。 18．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车速度是每小时40千米，乙车速度是每小时60千米，两车相遇后继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后立即返回，已知两车第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点80千米，用方程求A、B两地的距离。 19．甲、乙两人在周长1200米的环形跑道上，同时同地出发，同向而行，甲的速度是乙的2倍，15分钟后甲第一次追上乙，用方程求两人的速度。 20．一辆快车和一辆慢车同时从甲、乙两地相对开出，快车每小时行90千米，慢车每小时行60千米，两车分别到达乙地和甲地后立即返回，在距离中点45千米处第二次相遇，用方程求甲、乙两地的距离。 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 一、基础夯实篇（共8题） 1．【答案】40千米/小时 解题步骤： ① 等量关系：甲车路程+乙车路程=总路程 ② 设乙车速度为x千米/小时，列方程：4×50 + 4x = 360 ③ 解方程：200 + 4x = 360，4x=160，x=40 ④ 验证：4小时乙车走160千米，甲车走200千米，合计360千米，符合条件 【知识点睛】基础相遇问题，核心是路程和=总路程，直接设所求速度为x，列方程求解。 2．【答案】30分钟 解题步骤： ① 等量关系：乙的路程-甲的路程=初始路程差 ② 设x分钟后乙追上甲，列方程：60x - 50x = 300 ③ 解方程：10x=300，x=30 ④ 验证：30分钟乙走1800米，甲走1500米，差300米，符合条件 【知识点睛】基础追及问题，核心是路程差=速度差×追及时间，直接设时间为x求解。 3．【答案】4分钟 解题步骤： ① 等量关系：甲的路程+乙的路程=跑道周长 ② 设x分钟后第一次相遇，列方程：45x + 55x = 400 ③ 解方程：100x=400，x=4 ④ 验证：4分钟两人共走400米，正好1圈，符合条件 【知识点睛】环形反向相遇，路程和=跑道周长，列方程求解。 4．【答案】75千米/小时 解题步骤： ① 等量关系：往返总路程不变 ② 设每小时需要行驶x千米，列方程：4x = 60×5 ③ 解方程：4x=300，x=75 ④ 验证：4小时行驶300千米，与原路程一致，符合条件 【知识点睛】路程不变的基础题，利用速度×时间=路程的等量关系列方程。 5．【答案】4.2小时 解题步骤： ① 等量关系：甲车先行驶的路程+甲乙共同行驶的路程=总路程 ② 设乙车出发后x小时相遇，列方程：60×1 + (60+40)x = 480 ③ 解方程：60 + 100x = 480，100x=420，x=4.2 ④ 验证：甲车共走5.2小时，行驶312千米，乙车走4.2小时，行驶168千米，合计480千米，符合条件 【知识点睛】有先后出发的相遇问题，要先算先出发的路程，再算共同行驶的路程和。 6．【答案】10分钟 解题步骤： ① 等量关系：甲的路程-乙的路程=跑道周长 ② 设x分钟后甲第一次追上乙，列方程：150x - 100x = 500 ③ 解方程：50x=500，x=10 ④ 验证：10分钟甲走1500米，乙走1000米，差500米，正好1圈，符合条件 【知识点睛】环形同向追及，路程差=1个跑道周长，列方程求解。 7．【答案】1920米 解题步骤： ① 等量关系：两种速度的总路程相等，间接设预定时间为x分钟 ② 列方程：60×(x+5) = 80×(x-3) ③ 解方程：60x+300=80x-240，20x=540，x=27 ④ 家到学校的距离：60×(27+5)=1920米 ⑤ 验证：80×(27-3)=1920米，路程一致，符合条件 【知识点睛】变速行程问题，间接设预定时间为x，列方程更简单，再回代求路程。 8．【答案】甲30千米/小时，乙20千米/小时 解题步骤： ① 等量关系：甲乙路程和=总路程，设甲速度3x，乙速度2x ② 列方程：4×(3x+2x)=200 ③ 解方程：20x=200，x=10 ④ 甲速度：3×10=30千米/小时，乙速度：2×10=20千米/小时 ⑤ 验证：4小时甲走120千米，乙走80千米，合计200千米，符合条件 【知识点睛】有速度比的问题，设每份速度为x，避免出现分数，简化方程。 二、能力进阶篇（共7题） 9．【答案】甲车60千米/小时，乙车40千米/小时 解题步骤： ① 等量关系：相遇时甲车路程-乙车路程=20×2=40千米（距离中点20千米，快者多走2个20千米），总路程200千米，相遇时间=200÷(1.5x+x) ② 设乙车速度为x千米/小时，甲车1.5x千米/小时，相遇时间=200÷2.5x=80/x ③ 列方程：1.5x×(80/x) - x×(80/x)=40，简化为120-80=40，直接用路程和列方程：(1.5x+x)×t=200，1.5xt - xt=40，解得xt=80，2.5xt=200，xt=80，x=40，1.5x=60 ④ 验证：相遇时间200÷100=2小时，甲走120千米，乙走80千米，距离中点20千米，符合条件 【知识点睛】中点相遇问题，核心是快者比慢者多走2倍的距离中点的路程，这是列方程的关键等量关系。 10．【答案】170米/分钟 解题步骤： ① 等量关系：甲的路程-乙的路程=跑道周长 ② 设乙的速度为x米/分钟，列方程：20×200 - 20x = 600 ③ 解方程：4000-20x=600，20x=3400，x=170 ④ 验证：20分钟甲走4000米，乙走3400米，差600米=1圈，符合条件 【知识点睛】已知追及时间和跑道周长，求速度，核心还是路程差=速度差×时间。 11．【答案】速度40米/秒，车身长400米 解题步骤： ① 等量关系：火车过桥总路程=桥长+车身长，车身长和速度不变 ② 设火车速度为x米/秒，车身长为y米，五年级适配一元一次方程，利用车身长相等列方程：20x - 400 = 25x - 600 ③ 解方程：5x=200，x=40 ④ 车身长：20×40-400=400米 ⑤ 验证：25×40-600=400米，车身长一致，符合条件 【知识点睛】火车过桥问题，核心是总路程=桥长+车长，利用车长不变列方程，是最便捷的解法。 12．【答案】船速10千米/小时，码头距离48千米 解题步骤： ① 等量关系：顺流路程=逆流路程=码头距离，顺流速度=船速+水速，逆流速度=船速-水速 ② 设船在静水中的速度为x千米/小时，列方程：4×(x+2) = 6×(x-2) ③ 解方程：4x+8=6x-12，2x=20，x=10 ④ 码头距离：4×(10+2)=48千米 ⑤ 验证：6×(10-2)=48千米，路程一致，符合条件 【知识点睛】流水行船问题，核心是顺流和逆流的路程相等，利用船速和水速的关系列方程。 13．【答案】1200米 解题步骤： ① 等量关系：甲乙走的总路程相等，乙比甲多走5分钟 ② 设甲走了x分钟，乙走了x+5分钟，列方程：80x = 60×(x+5) ③ 解方程：80x=60x+300，20x=300，x=15 ④ 总路程：80×15=1200米 ⑤ 验证：乙走了20分钟，60×20=1200米，路程一致，符合条件 【知识点睛】先后出发同时到达的问题，核心是总路程相等，时间差为5分钟，间接设时间为x更简单。 14．【答案】130千米 解题步骤： ① 等量关系：第二次相遇时，两人路程和=3个全程，甲走的总路程=2个全程-20千米，第一次相遇甲走80千米，第二次相遇甲走3×80=240千米 ② 设A、B两地距离为x千米，列方程：2x - 20 = 3×80 ③ 解方程：2x-20=240，2x=260，x=130 ④ 验证：第一次相遇甲走80千米，乙走50千米；第二次相遇路程和390千米，甲走240千米=2×130-20，符合条件 【知识点睛】二次往返相遇问题，核心是第二次相遇路程和为3个全程，甲走的路程是第一次的3倍，结合往返的路程关系列方程。 15．【答案】甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈 解题步骤： ① 等量关系：反向相遇，速度和×2=1圈；同向追及，速度差×6=1圈 ② 设甲每分钟跑圈，速度和=圈/分，乙速度为 ③ 列方程： ④ 解方程：，，， ⑤ 乙的速度：圈/分钟 ⑥ 验证：反向2分钟共跑圈，同向6分钟差圈，符合条件 【知识点睛】环形相遇追及综合题，把速度用圈/分钟表示，列方程更简单，避免设跑道周长为未知数。 三、思维跃迁篇（共5题） 16．【答案】2880米 解题步骤： ① 等量关系：丙和乙相遇的路程和=丙和甲相遇的路程和=总路程，丙乙相遇时间比丙甲相遇时间少2分钟 ② 设丙和乙相遇的时间为x分钟，丙和甲相遇时间为x+2分钟 ③ 列方程：(100+80)x = (100+60)×(x+2) ④ 解方程：180x=160x+320，20x=320，x=16 ⑤ 总路程：180×16=2880米 ⑥ 验证：160×18=2880米，路程一致，符合条件 【知识点睛】三人相遇问题，核心是总路程不变，利用两次相遇的时间差列方程，是解决此类题的关键。 17．【答案】240千米 解题步骤： ① 等量关系：前一半路程的时间+后一半路程的时间=总时间5小时 ② 设甲乙两地距离为2x千米（一半路程为x，避免分数），列方程：x/60 + x/40 =5 ③ 解方程：通分后2x/120 + 3x/120=5，5x=600，x=120 ④ 总路程：2×120=240千米 ⑤ 验证：120÷60=2小时，120÷40=3小时，总时间5小时，符合条件 【知识点睛】半程变速问题，设半程为x，避免出现1/2的分数，简化方程计算。 18．【答案】200千米 解题步骤： ① 等量关系：第一次相遇路程和=1个全程，第二次相遇路程和=3个全程，速度比40:60=2:3，路程比也为2:3 ② 设A、B两地距离为千米，第一次相遇甲走了，乙走了；第二次相遇甲走了，距离B地处 ③ 两次相遇点的距离：，列方程： ④ 解方程： ⑤ 验证：第一次相遇点距离A地80千米，第二次相遇点距离A地160千米，差80千米，符合条件 【知识点睛】两次相遇点距离问题，核心是利用速度比等于路程比，找到两次相遇点的距离与全程的比例关系，列方程求解。 19．【答案】甲160米/分钟，乙80米/分钟 解题步骤： ① 等量关系：甲的路程-乙的路程=跑道周长，甲速度是乙的2倍 ② 设乙的速度为x米/分钟，甲为2x米/分钟，列方程：15×2x -15x=1200 ③ 解方程：15x=1200，x=80 ④ 甲的速度：2×80=160米/分钟 ⑤ 验证：15分钟甲走2400米，乙走1200米，差1200米=1圈，符合条件 【知识点睛】环形追及问题，结合速度倍数关系，设较小速度为x，列方程求解。 20．【答案】150千米 解题步骤： ① 等量关系：第二次相遇时，两车路程和=3个全程，快车比慢车多走了45×2=90千米 ② 设甲乙两地距离为千米，第二次相遇时间=小时 ③ 列方程： ④ 解方程：，， ⑤ 验证：第二次相遇路程和450千米，时间3小时，快车走270千米，慢车走180千米，差90千米，距离中点45千米，符合条件 【知识点睛】二次相遇中点问题，核心是第二次相遇路程和为3个全程，快车比慢车多走2倍的距离中点的路程，利用路程差列方程求解。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案1 学科网（北京）股份有限公司 $