第29讲 最大最小问题-五年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第29讲 最大最小问题 📋 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、最大最小问题解题方法图表记忆法 2 三、奥数思维提升 3 📊 典型例题解构与解题策略精讲 4 📌 考点一：基础和定最值与积定最值 4 📌 考点二：整数拆分最值问题 5 📌 考点三：数字组数的最大最小问题 6 📌 考点四：统筹优化中的最大最小问题 7 📌 考点五：几何中的最大最小问题 8 ⚠️ 易错避坑指南 9 📚 分层专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 11 一、基础夯实篇（共8题） 11 二、能力进阶篇（共7题） 12 三、思维跃迁篇（共5题） 13 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 15 一、基础夯实篇（共8题） 15 二、能力进阶篇（共7题） 17 三、思维跃迁篇（共5题） 19 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 最大最小问题（也叫极值问题），是五年级奥数综合应用模块的核心题型，承接前序四则运算、和差倍、列举法、长方形周长面积等知识点，广泛应用于统筹规划、数字组合、几何计算、实际生活场景中。核心是在给定的约束条件下，通过规律分析、有序枚举、极端化思考，找到符合要求的最大值或最小值。 解题核心：抓住题干中的固定不变量（和、积、周长、总数等），结合核心规律，通过极端化分析、有序枚举、局部调优，锁定最优解，确保结果既符合约束条件，又达到极值要求。 类型 核心特征 解题策略 典型例子 和定最值基础型 两个/多个自然数的和固定，求乘积的最大值/最小值 核心规律：和一定，差越小，积越大；差越大，积越小。两数相等时乘积最大，其中一个数为1时乘积最小 两个数的和是18，求乘积最大是多少 积定最值基础型 两个自然数的乘积固定，求和的最大值/最小值 核心规律：积一定，差越小，和越小；差越大，和越大。两数相等时和最小，其中一个数为1时和最大 两个数的乘积是36，求和最小是多少 整数拆分最值型 把一个自然数拆成若干个自然数的和，求乘积的最大值 核心原则：不拆1，少拆2，多拆3。优先拆成尽可能多的3，剩余部分拆成2（最多2个2），不拆1 把20拆成若干个自然数的和，求乘积最大是多少 数字组数极值型 用给定数字组成多位数，求最大/最小数，或两数乘积的最值 组数最大：大数占高位，从大到小排列；组数最小：小数占高位（0不能在首位），从小到大排列；乘积最值：和定差小积大 用1、2、3、4组成两个两位数，乘积最大是多少 统筹优化极值型 租船、购票、用料、时间统筹等实际问题，求最省钱、最省时、最少数量的方案 先算单个成本/效率，优先选性价比高的方案，再通过局部调优减少浪费，结合列举法验证 40人租船，大船限坐6人租金30元，小船限坐4人租金24元，怎么租最省钱 几何极值型 周长固定求面积最值、面积固定求周长最值 核心规律：周长固定的长方形中，正方形的面积最大；面积固定的长方形中，正方形的周长最小 用长40厘米的铁丝围长方形，面积最大是多少 极端情形最值型 “保证”“至少”类抽屉原理问题，求最不利情况下的极值 从最不凑巧的极端情形入手，计算满足条件的最小/最大值 一把钥匙开一把锁，10把钥匙10把锁，最多试多少次能全部配对 二、最大最小问题解题方法图表记忆法 方法 适用场景 核心步骤 注意 公式规律法 和定最值、积定最值、几何极值等有明确核心规律的题型 1. 找到题干中的固定不变量（和/积/周长）；2. 匹配对应的核心规律；3. 结合规律计算极值；4. 验证结果符合约束条件 必须严格区分“和定”与“积定”的规律，不可混用 枚举比较法 数值范围小、可能性有限的基础题型 1. 按固定顺序列出所有符合条件的可能情况；2. 逐一计算对应结果；3. 比较得出最大值/最小值；4. 检查无遗漏、无重复 枚举必须有序，从小到大/从大到小，确保不重不漏 极端分析法 所有极值问题，尤其统筹优化、抽屉原理类题型 1. 求最大值：让其他相关变量尽可能取最小值；2. 求最小值：让其他相关变量尽可能取最大值；3. 从最极端的情形入手，锁定极值边界；4. 验证极端情形符合题干约束 极端分析必须在题干的约束条件内进行，不可突破限制 局部调优法 统筹优化、多变量拆分的复杂题型 1. 先给出一个基础可行方案；2. 小幅度调整方案，观察结果是否更优（更大/更小）；3. 持续调整直到无法再优化；4. 最终方案即为最优解 调整时每次只改变一个变量，避免多变量同时变化导致无法判断优化方向 分类讨论法 有多种约束条件、多类情形的复杂题型 1. 按核心约束条件把所有情况分成互不交叉的大类；2. 对每一类分别求极值；3. 汇总所有类别的结果，比较得出全局极值；4. 检查分类无遗漏、无交叉 分类标准必须统一，大类之间不能有重叠，确保所有情况都被覆盖 三、奥数思维提升 1　 核心规律牢记： 和定差小积大：两个自然数的和固定，差越小，乘积越大；当两个数相等时，乘积最大；差越大，乘积越小。 积定差小和小：两个自然数的乘积固定，差越小，和越小；当两个数相等时，和最小；差越大，和越大。 整数拆分黄金原则：把一个数拆成若干个自然数的和，要使乘积最大，不拆1，少拆2，多拆3。因为1+3=4，1×3=3＜2×2=4；3个2的和与2个3的和都是6，但3×3=9＞2×2×2=8，因此最多拆2个2，其余全拆3。 2　 极端化思考原则：极值问题的本质是极端化，求最大值就要让有利因素最大化、不利因素最小化；求最小值就要让不利因素最大化、有利因素最小化。这是解决所有极值问题的核心思维。 3　 边界验证原则：求出极值后，必须反向验证结果是否符合题干的所有约束条件（整数、非0、不重复、总数固定等），尤其要注意边界值（如0、1）是否符合要求。 4　 局部调优逻辑：当无法一步到位找到最优解时，先找一个可行方案，再通过微调优化。比如租船问题，先全租大船，再逐步调整为小船，减少空位，直到找到最省钱的方案。 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：基础和定最值与积定最值 ✨ 典型例题 1（和定求乘积最值） 两个自然数的和是20，这两个数分别是多少时，乘积最大？最大乘积是多少？乘积最小时，这两个数分别是多少？最小乘积是多少？ 解题步骤： ① 明确核心规律：两个数的和固定为20，差越小，乘积越大；差越大，乘积越小。 ② 求最大乘积：当两个数相等时，差最小为0，此时两个数都是20÷2=10。 最大乘积=10×10=100。 ③ 求最小乘积：自然数最小为1，当其中一个数为1，另一个数为19时，两个数的差最大。 最小乘积=1×19=19。 ④ 验证：列举所有组合，9×11=99，8×12=96，1×19=19，确实10×10=100最大，1×19=19最小。 【答案】乘积最大时，两个数都是10，最大乘积100；乘积最小时，两个数是1和19，最小乘积19。 【知识点睛】和定最值的基础题型，核心是“差小积大，差大积小”，相等时乘积最大，其中一个数为1时乘积最小（自然数范围内）。 ✨ 典型例题 2（积定求和最值） 两个自然数的乘积是48，这两个数的和最小是多少？最大是多少？ 解题步骤： ① 明确核心规律：两个数的乘积固定为48，差越小，和越小；差越大，和越大。 ② 列出乘积为48的所有自然数组合： 1×48=48，2×24=48，3×16=48，4×12=48，6×8=48。 ③ 求最小和：6和8的差最小，和=6+8=14。 ④ 求最大和：1和48的差最大，和=1+48=49。 ⑤ 验证：1+48=49，2+24=26，3+16=19，4+12=16，6+8=14，符合规律。 【答案】和最小是14，和最大是49。 【知识点睛】积定最值的基础题型，核心是“差小和小，差大和大”，两数越接近和越小，其中一个数为1时和最大。 📌 考点二：整数拆分最值问题 ✨ 典型例题 3（基础拆分求最大乘积） 把25拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积最大，应该怎么拆分？最大乘积是多少？ 解题步骤： ① 明确整数拆分黄金原则：不拆1，少拆2，多拆3，最多拆2个2。 ② 计算25除以3的结果：25÷3=8……1，即25=3×8+1。 ③ 调整拆分方式：因为拆1会让乘积变小，所以把1个3和1合并成4，拆成2个2，即25=3×7+2+2。 ④ 最终拆分：7个3和2个2，即25=3+3+3+3+3+3+3+2+2。 ⑤ 计算最大乘积：3⁷×2×2=2187×4=8748。 ⑥ 验证：若拆成8个3和1个1，乘积=3⁸×1=6561，小于8748，符合拆分原则。 【答案】拆成7个3和2个2，最大乘积是8748。 【知识点睛】整数拆分求最大乘积的核心是优先拆3，余数为1时，把1个3和1换成2个2；余数为2时，直接加1个2，绝对不拆1。 📌 考点三：数字组数的最大最小问题 ✨ 典型例题 4（基础组数最值） 用0、2、4、6、8这五个数字组成无重复数字的五位数，最大的五位数和最小的五位数分别是多少？ 解题步骤： ① 组成最大五位数：遵循“大数占高位”的原则，把数字从大到小依次排列在万位、千位、百位、十位、个位。 数字从大到小：8、6、4、2、0，因此最大五位数是86420。 ② 组成最小五位数：遵循“小数占高位”的原则，但首位（万位）不能为0，因此万位选除0外最小的数字2，剩下的数字从小到大依次排列。 万位选2，剩余数字0、4、6、8从小到大排列，因此最小五位数是20468。 ③ 验证：86420是能组成的最大数，20468是能组成的最小数，无重复数字，符合要求。 【答案】最大五位数是86420，最小五位数是20468。 【知识点睛】数字组数最值的核心是：最大数从大到小排，最小数从小到大排，但首位不能为0，必须优先保证首位是除0外最小的数字。 ✨ 典型例题 5（组数求乘积最值） 用1、2、3、4这四个数字组成两个两位数，每个数字只用一次，这两个两位数的乘积最大是多少？最小是多少？ 解题步骤： ① 求乘积最大值： 核心原则：和定差小积大。要让乘积最大，首先让两个两位数的十位放最大的两个数字4和3，个位放剩下的2和1；再让两个数的差尽可能小。 组合1：41和32，差=41-32=9，乘积=41×32=1312。 组合2：42和31，差=42-31=11，乘积=42×31=1302。 1312＞1302，因此最大乘积是1312。 ② 求乘积最小值： 核心原则：和定差大积小。要让乘积最小，十位放最小的两个数字1和2，个位放剩下的3和4；再让两个数的差尽可能大。 组合1：13和24，差=24-13=11，乘积=13×24=312。 组合2：14和23，差=23-14=9，乘积=14×23=322。 312＜322，因此最小乘积是312。 ③ 验证：所有组合中，41×32=1312最大，13×24=312最小，符合规律。 【答案】乘积最大是1312，最小是312。 【知识点睛】用固定数字组成两个数求乘积最值，核心是“高位放大数，差小积大；高位放小数，差大积小”，先确定高位数字，再通过调整个位让两数的差符合极值要求。 📌 考点四：统筹优化中的最大最小问题 ✨ 典型例题 6（租船最省钱问题） 五年级48名同学去公园划船，大船限坐6人，每条租金30元；小船限坐4人，每条租金24元。怎么租船最省钱？最少需要花多少钱？ 解题步骤： ① 先计算单人成本，优先选性价比高的船型： 大船单人租金：30÷6=5元/人，小船单人租金：24÷4=6元/人，大船性价比更高，优先租大船。 ② 全租大船的方案：48÷6=8条，刚好坐满，无空位，总租金=8×30=240元。 ③ 验证调整方案：若租7条大船，可坐42人，剩余6人，需租2条小船，总租金=7×30+2×24=210+48=258元，比240元贵。 若租6条大船，剩余12人，需租3条小船，总租金=6×30+3×24=180+72=252元，更贵。 ④ 结论：全租8条大船时，刚好坐满无空位，成本最低。 ⑤ 验证：8条大船可坐8×6=48人，正好坐满，总租金240元，是所有方案中最低的。 【答案】租8条大船最省钱，最少需要240元。 【知识点睛】租船购票类最值问题，核心是先算单人成本，优先选性价比高的方案，同时尽量减少空位，空位越少，浪费越少，成本越低。 📌 考点五：几何中的最大最小问题 ✨ 典型例题 7（周长固定求面积最值） 用一根长40厘米的铁丝围成一个长方形（长和宽都是整厘米数，含正方形），围成的图形面积最大是多少？最小是多少？ 解题步骤： ① 明确核心规律：长方形的周长固定，长和宽的差越小，面积越大；当长和宽相等（正方形）时，面积最大；差越大，面积越小。 ② 计算长+宽的和：周长=2×(长+宽)=40厘米，因此长+宽=20厘米。 ③ 求最大面积：长=宽=20÷2=10厘米，此时为正方形，最大面积=10×10=100平方厘米。 ④ 求最小面积：长和宽的差最大时，长=19厘米，宽=1厘米，最小面积=19×1=19平方厘米。 ⑤ 验证：列举所有组合，9×11=99，8×12=96，1×19=19，确实10×10=100最大，1×19=19最小。 【答案】面积最大是100平方厘米，最小是19平方厘米。 【知识点睛】几何最值的基础题型，核心是“周长固定的长方形，正方形面积最大”，本质还是和定差小积大的规律，长和宽的和固定，差越小，乘积（面积）越大。 ⚠️ 易错避坑指南 ❌ 混淆和定与积定的核心规律，公式用反 错误示例：两个数的和固定，错误认为“差越大，积越大”，导致乘积最值算反。 正确分析：必须严格区分场景：和固定，差小积大；积固定，差小和小，先判断题干中不变的量是和还是积，再匹配对应的规律，绝对不能混用。 ❌ 整数拆分时拆出1，导致乘积变小 错误示例：把25拆成8个3和1个1，错误认为乘积最大，忽略了拆1会让乘积大幅降低。 正确分析：整数拆分求最大乘积，绝对不能拆1，因为1和任何数相乘都不会让乘积变大，余数为1时，要把1个3和1合并成2个2，确保没有1。 ❌ 组成最小数时，忽略“0不能在首位”的规则 错误示例：用0、2、4、6组成最小四位数，错误写成0246，忽略了首位不能为0。 正确分析：组成多位数时，最小数的首位必须是除0外最小的数字，剩余数字再从小到大排列，必须优先保证首位不为0。 ❌ 统筹优化时，只看单价不看空位，导致方案不是最优 错误示例：租船问题中，只看大船单人成本低，全租大船但有大量空位，反而比大小船搭配更贵。 正确分析：统筹优化的核心是“性价比优先+空位最少”，优先选单价低的，再通过微调减少空位，空位越少，总成本越低，不能只看单价忽略空位浪费。 ❌ 忽略自然数的整数约束，用小数计算极值 错误示例：两个自然数的和是19，错误认为两个数都是9.5时乘积最大，忽略了自然数必须是整数。 正确分析：小学奥数的最值问题，若无特殊说明，均在自然数范围内求解，和为奇数时，两个数应取最接近的两个整数（如9和10），此时乘积最大。 ❌ 极端分析时，突破题干的约束条件 错误示例：把20拆成若干个自然数的和，错误拆成20个1，认为乘积最大，完全违背了拆分的核心原则。 正确分析：所有极端分析和拆分，都必须在题干的约束条件内进行，同时遵循核心规律，不能无限制地极端化。 📚 分层专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 一、基础夯实篇（共8题） 1．两个自然数的和是24，这两个数的乘积最大是多少？最小是多少？ 2．两个自然数的乘积是64，这两个数的和最小是多少？最大是多少？ 3．用0、1、3、5、7这五个数字组成无重复数字的五位数，最大的数和最小的数分别是多少？ 4．把18拆成若干个自然数的和，使这些数的乘积最大，最大乘积是多少？ 5．用一根长36厘米的铁丝围长方形，长和宽都是整厘米数，面积最大是多少平方厘米？ 6．用2、3、4、5四个数字组成两个两位数，每个数字只用一次，乘积最大是多少？ 7．35名同学去划船，大船限坐4人，租金20元；小船限坐3人，租金18元，怎么租船最省钱？ 8．两个自然数的和是15，这两个数的乘积最大是多少？ 二、能力进阶篇（共7题） 9．把30拆成若干个不同的质数之和，要使乘积最大，应该怎么拆？最大乘积是多少？ 10．用0、1、2、3、4、5这六个数字组成两个三位数，每个数字只用一次，这两个三位数的乘积最大是多少？ 11．用长24米的篱笆围一个长方形鸡舍，一面靠墙，长和宽都是整米数，鸡舍的面积最大是多少平方米？ 12．一把钥匙开一把锁，现在有8把钥匙和8把锁全部打乱，最多试多少次能保证把所有锁和钥匙配对？ 13．一个长方形的周长是60厘米，长和宽都是3的倍数，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？ 14．把100拆成两个自然数的和，其中一个数是7的倍数，另一个数是13的倍数，这两个数的乘积最大是多少？ 15．四年级同学去秋游，门票每人10元，50人以上（含50人）的团体票每人8元，45名同学怎么买票最省钱？ 三、思维跃迁篇（共5题） 16．三个自然数的和是20，这三个数的乘积最大是多少？ 17．用1-9这九个数字组成三个三位数，每个数字只用一次，使这三个三位数的乘积最大，这三个数分别是多少？ 18．有4个不同的自然数，它们的和是100，这四个数的最大公约数最大是多少？ 19．在多位数464748495051中划去6个数字，使剩下的数字（先后顺序不变）组成的六位数最大，这个最大的六位数是多少？ 20．一个布袋里有大小相同、颜色不同的小球，颜色有红、黄、蓝、绿四种，至少要摸出多少个小球，才能保证有3个颜色相同的小球？ 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 一、基础夯实篇（共8题） 1．【答案】最大144，最小23 解题步骤： ① 和固定24，差小积大，两数相等时乘积最大，24÷2=12，最大乘积=12×12=144。 ② 差大积小，一个数为1，另一个为23时，最小乘积=1×23=23。 【知识点睛】和定最值基础题，核心规律“差小积大，差大积小”。 2．【答案】最小16，最大65 解题步骤： ① 乘积固定64，列出所有自然数组合：1×64、2×32、4×16、8×8。 ② 差小和小，8和8的差最小，和=8+8=16。 ③ 差大和大，1和64的差最大，和=1+64=65。 【知识点睛】积定最值基础题，核心规律“差小和小，差大和大”。 3．【答案】最大75310，最小10357 解题步骤： ① 最大数：数字从大到小排列，7、5、3、1、0，组成75310。 ② 最小数：首位选除0外最小的1，剩余数字0、3、5、7从小到大排列，组成10357。 【知识点睛】数字组数最值，注意0不能在首位。 4．【答案】729 解题步骤： ① 18÷3=6，刚好整除，拆成6个3，即18=3+3+3+3+3+3。 ② 最大乘积=3⁶=729。 【知识点睛】整数拆分求最大乘积，刚好被3整除时，全拆成3即可。 5．【答案】81平方厘米 解题步骤： ① 周长36厘米，长+宽=18厘米。 ② 长=宽=9厘米时，面积最大，9×9=81平方厘米。 【知识点睛】周长固定的长方形，正方形面积最大，本质是和定差小积大。 6．【答案】2236 解题步骤： ① 十位放最大的两个数5和4，个位放3和2，让两数差最小。 ② 组合52和43，差=9，乘积=52×43=2236；53×42=2226，2236更大。 【知识点睛】组数求乘积最值，高位放大数，两数差越小，乘积越大。 7．【答案】租8条大船和1条小船最省钱，最少178元 解题步骤： ① 大船单人5元，小船单人6元，优先租大船。 ② 35÷4=8条……3人，8条大船坐32人，剩余3人租1条小船，刚好坐满。 ③ 总租金=8×20+1×18=178元。 【知识点睛】租船最值问题，优先选性价比高的，尽量减少空位。 8．【答案】56 解题步骤： ① 和固定15，是奇数，两数取最接近的7和8，差最小。 ② 最大乘积=7×8=56。 【知识点睛】和为奇数时，取最接近的两个整数，乘积最大。 二、能力进阶篇（共7题） 9．【答案】拆成 2+3+5+7+13，最大乘积 = 2730 解题步骤： ① 将 30 拆分为不同质数的和，根据和定差小积大原则，优先选择较小且互不相同的质数组合 ② 30=2+3+5+7+13，所有数均为不同质数，和为 30 ③ 最大乘积 = 2×3×5×7×13=2730 【知识点睛】质数拆分求最值，和固定，数越接近乘积越大，同时保证都是不同质数。 10．【答案】224124 解题步骤： ① 乘积最大，百位放最大的5和4，十位放3和2，个位放1和0，让两个三位数差最小。 ② 组合520和431，乘积=520×431=224120；521×430=224030，520×431更大。 【知识点睛】多位数乘积最值，高位优先放大数，同时让两个数的差尽可能小。 11．【答案】72平方米 解题步骤： ① 一面靠墙，篱笆只围3条边，设宽为x米，长为24-2x米，面积=x×(24-2x)。 ② 2x + (24-2x)=24，和固定，2x=24-2x时，乘积最大，即x=6，长=12米。 ③ 最大面积=6×12=72平方米。 【知识点睛】一面靠墙的几何最值，核心是让两条宽的和与长相等，即和定差小积大。 12．【答案】28次 解题步骤： ① 最不利原则，第一把锁最多试7次（最后一把不用试），第二把锁最多试6次，依次递减。 ② 总次数=7+6+5+4+3+2+1=28次。 【知识点睛】最不利原则的极值问题，从最糟糕的情况入手，计算保证完成的最大次数。 13．【答案】225平方厘米 解题步骤： ① 周长60厘米，长+宽=30厘米，长和宽都是3的倍数，且差越小面积越大。 ② 长=宽=15厘米（15是3的倍数），面积=15×15=225平方厘米。 【知识点睛】带约束条件的几何最值，在满足倍数要求的前提下，长和宽越接近，面积越大。 14．【答案】2275 解题步骤： ① 设一个数为 7x，另一个数为 13y，满足 7x+13y=100（x、y 为自然数） ② 枚举 y 的取值：y=5 时，13×5=65，7x=100-65=35，x=5，两个数分别为 35 和 65 ③ 乘积 = 35×65=2275，为符合条件的最大乘积 【知识点睛】带倍数约束的和定最值，先找到符合条件的自然数解，再根据差小积大确定最大乘积。 15．【答案】买50张团体票最省钱 解题步骤： ① 买45张单人票：45×10=450元。 ② 买50张团体票：50×8=400元。 ③ 400＜450，因此买50张团体票更省钱。 【知识点睛】购票最值问题，不能只看人数，要对比单人票和团体票的总成本，即使多买几张，总成本更低也更优。 三、思维跃迁篇（共5题） 16．【答案】294 解题步骤： ① 三个数的和固定20，差越小乘积越大，三个数越接近越好。 ② 20÷3≈6.67，取最接近的自然数6、7、7，和为20。 ③ 最大乘积=6×7×7=294。 【知识点睛】多个数的和定最值，数越接近，乘积越大，三个数尽量平均分配。 17．【答案】941、852、763 解题步骤： ① 要使三个三位数乘积最大，百位优先放最大数字 9、8、7，十位放 6、5、4，个位放 3、2、1。 ② 根据和定差小积大原则，让三个数的数值尽可能接近，最终组合为 941、852、763。 【知识点睛】多位数乘积最值，高位优先放大数，同时让所有数的大小尽可能平均，差越小，乘积越大。 18．【答案】10 解题步骤： ① 设四个数的最大公约数为d，四个数可表示为d×a、d×b、d×c、d×d，a、b、c、d互质。 ② 总和=d×(a+b+c+d)=100，要让d最大，就要让a+b+c+d最小，且四个数不同，互质。 ③ 最小的四个不同互质自然数和=1+2+3+4=10，100÷10=10，因此d最大为10。 ④ 验证：四个数为10、20、30、40，和为100，最大公约数10，符合要求。 【知识点睛】最大公约数的极值问题，核心是把和拆成最大公约数×最小互质和，互质和越小，最大公约数越大。 19．【答案】895051 解题步骤： ① 要让剩下的六位数最大，高位要尽可能放大数，先后顺序不变。 ② 原数：4 6 4 7 4 8 4 9 5 0 5 1，共12位，划去6位，剩6位。 ③ 从左到右，优先保留大数：第一位最大能留8，划去前面的4、6、4、7、4，共5位，再划去8后面的4，保留9、5、0、5、1，最终得到895051。 【知识点睛】划数求最大数，核心是高位优先放大数，在顺序不变的前提下，从左到右逐步保留最大的数字。 20．【答案】9个 解题步骤： ① 最不利原则，先摸出每种颜色各2个，共4×2=8个，此时再摸1个，无论是什么颜色，都能保证有3个颜色相同。 ② 至少摸出8+1=9个。 【知识点睛】抽屉原理的极值问题，从最不利的情况入手，计算保证满足条件的最小数量。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案1 学科网（北京）股份有限公司 $