第20讲 最小公倍数-五年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第20讲 最小公倍数 📋 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、最小公倍数解题方法图表记忆法 2 三、奥数思维提升 2 📊 典型例题解构与解题策略精讲 3 📌 考点一：最小公倍数基础求法 3 📌 考点二：最小公倍数与最大公约数综合应用 4 📌 考点三：最小公倍数进阶实际场景应用 6 ⚠️ 易错避坑指南 8 📚 分层专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 10 一、基础夯实篇（共8题） 10 二、能力进阶篇（共7题） 11 三、思维跃迁篇（共5题） 12 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 13 一、基础夯实篇（共8题） 13 二、能力进阶篇（共7题） 15 三、思维跃迁篇（共5题） 18 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 最小公倍数（简称LCM），是五年级数论模块的核心知识点，与上一讲最大公约数（GCD）互为补充，是分数通分、周期问题、行程相遇、工程统筹、拼接铺砖等奥数应用题的核心解题工具。 核心定义：几个非0自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中除0以外最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。 解题核心：通过规范方法找到几个数的公有质因数与独有质因数，取公有质因数的最高次幂与所有独有质因数相乘得到最小公倍数，结合“再次相遇、同时发车、最少数量、下次重合”等题干约束，解决实际应用问题。 类型 特征 解题策略 典型例子 基础求法类 已知2-3个自然数，求最小公倍数 枚举法、分解质因数法、短除法，优先推荐短除法 求12和18的最小公倍数 通分计算类 分数通分、异分母分数加减运算 几个分母的最小公倍数为最简公分母，分子同步扩大 把1/12和5/18通分，计算和与差 周期重合类 循环事件、相遇发车、日期重合问题 两个/多个周期的最小公倍数=下次重合的最小间隔 甲每3天去一次图书馆，乙每4天去一次，求下次同去的间隔 拼接铺砖类 小长方形拼大正方形、地面铺砖无剩余 长和宽的最小公倍数=正方形最小边长 用长6cm、宽4cm的长方形拼最小正方形，求边长 分组分配类 物品平均分有剩余/缺少，求最少总数 总数减去剩余/加上缺少后，是几个数的公倍数，最小公倍数对应最少总数 苹果每人分6个剩4个，每人分8个剩4个，求最少有多少个苹果 二、最小公倍数解题方法图表记忆法 方法 适用场景 核心步骤 注意 枚举法 数值较小的2个数，入门基础 1.分别列出两个数的倍数（从小到大）；2.圈出公有的倍数；3.找到公有倍数中最小的非0数 按顺序枚举倍数，避免遗漏，仅适合100以内的小数 分解质因数法 2个及以上数，数值较大 1.分别分解每个数的质因数；2.提取所有出现过的质因数；3.公有质因数取最高次幂，与独有质因数相乘，结果为最小公倍数 所有出现过的质因数都要参与计算，不能遗漏独有质因数 短除法（核心推荐） 2个及以上数，全场景通用 1.把所有数写在短除号内；2.先用所有数的公有质因数试除，再用部分数的公有质因数试除；3.直到商两两互质为止；4.所有除数与最终的商相乘，结果为最小公倍数 多个数求最小公倍数，需除到商两两互质，而非仅所有数无公有质因数 公式法（黄金公式） 两个数的快速求解 1.先求两个数的最大公约数GCD；2.最小公倍数LCM=（a×b）÷GCD(a,b) 仅适用于两个数，多个数需先两两求最小公倍数，再和第三个数求 大数扩倍法 两个数相差较大，口算快速求解 1.把较大的数依次扩大2倍、3倍、4倍……；2.直到扩大后的数能被较小的数整除；3.第一个符合条件的数就是最小公倍数 适合两个数有倍数关系或公因数较少的场景，口算效率高 三、奥数思维提升 1　 核心性质1：如果自然数a是b的倍数，那么a和b的最小公倍数是a。例：24是6的倍数，二者最小公倍数为24。 2　 核心性质2：互质的两个非0自然数，最小公倍数是它们的乘积。例：7和9互质，二者最小公倍数为7×9=63。 3　 核心性质3：几个非0自然数的公倍数，一定是它们最小公倍数的倍数。例：12和18的最小公倍数是36，它们的公倍数有36、72、108……均为36的倍数。 4　 核心性质4：黄金公式——两个非0自然数的乘积=它们的最大公约数×最小公倍数，即a×b=GCD(a,b)×LCM(a,b)。 5　 审题技巧：题干出现“至少、最少、下次、同时、再次重合、最小正方形”等关键词，优先考虑用最小公倍数解题。 6　 验证闭环：求出最小公倍数后，必须代入原题验证，确保能被所有已知数整除，完全符合题干约束。 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：最小公倍数基础求法 ✨ 典型例题 1（分解质因数法） 用分解质因数法求12和18的最小公倍数。 解题步骤： ①　分别分解两个数的质因数：12=2²×3，18=2×3² ②　提取所有出现过的质因数：2和3 ③　公有质因数取最高次幂，相乘：2²×3²=4×9=36 ④　验证：36÷12=3，36÷18=2，均能整除，且是公倍数中最小的非0数 【答案】36 【知识点睛】分解质因数法求最小公倍数，核心是“取所有质因数的最高次幂相乘”，与最大公约数的“仅公有质因数最低次幂”严格区分，避免混淆。 ✨ 典型例题 2（短除法——三个数求最小公倍数） 用短除法求12、18和24的最小公倍数。 解题步骤： ①　把12、18、24写入短除号，先用三个数的公有质因数2试除，得到商6、9、12 ②　再用三个数的公有质因数3试除，得到商2、3、4 ③　此时三个商无公有质因数，继续用部分数的公有质因数2试除2和4，得到商1、3、2，3直接落下 ④　观察最终商1、3、2，两两互质，停止试除 ⑤　所有除数与最终的商相乘：2×3×2×1×3×2=72，即为三个数的最小公倍数 ⑥　验证：72÷12=6，72÷18=4，72÷24=3，均能整除，符合要求 【答案】72 【知识点睛】多个数用短除法求最小公倍数，先除所有数的公有质因数，再除部分数的公有质因数，必须除到商两两互质为止，所有除数和商的乘积就是最小公倍数。 ✨ 典型例题 3（公式法——黄金公式应用） 已知两个数的最大公约数是6，两数乘积是432，求这两个数的最小公倍数。 解题步骤： ①　根据黄金公式：a×b=GCD(a,b)×LCM(a,b) ②　代入已知条件：432=6×LCM ③　计算得：LCM=432÷6=72 ④　验证：两个数的最大公约数6，最小公倍数72，乘积6×72=432，与题干一致 【答案】72 【知识点睛】黄金公式是连接最大公约数和最小公倍数的核心桥梁，已知其中三个量，可快速求出第四个量，无需分解质因数，是奥数解题的高效工具。 📌 考点二：最小公倍数与最大公约数综合应用 ✨ 典型例题 4（已知最大公约数和最小公倍数求原数） 已知两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72，求这两个数。 解题步骤： ①　根据最大公约数的性质，设这两个数分别为6a和6b，其中a和b互质（公因数只有1） ②　根据黄金公式：6a×6b=6×72，化简得36ab=432，即ab=12 ③　找出乘积为12且互质的正整数组合： 组合1：a=1，b=12，1和12互质，对应数为6×1=6，6×12=72 组合2：a=3，b=4，3和4互质，对应数为6×3=18，6×4=24 排除：a=2，b=6（不互质，最大公约数会变成12，不符合题干） ④　验证：6和72的最大公约数6，最小公倍数72；18和24的最大公约数6，最小公倍数72，均符合要求 【答案】6和72，或18和24 【知识点睛】已知最大公约数和最小公倍数求原数，核心方法是设数为“最大公约数×互质数”，把问题转化为求互质的因数组合，确保a和b互质是解题关键。 ✨ 典型例题 5（分数通分应用） 把5/12、7/18和3/8通分，并计算三个分数的和。 解题步骤： ①　通分的核心是找到几个分母的最小公倍数作为最简公分母，先求12、18、8的最小公倍数 ②　分解质因数：12=2²×3，18=2×3²，8=2³，最小公倍数=2³×3²=72 ③　把三个分数化为分母是72的同分母分数： 5/12=(5×6)/(12×6)=30/72 7/18=(7×4)/(18×4)=28/72 3/8=(3×9)/(8×9)=27/72 ④　计算和：30/72+28/72+27/72=85/72 【答案】最简公分母72，通分后分别为30/72、28/72、27/72，和为85/72 【知识点睛】异分母分数通分，最简公分母就是几个分母的最小公倍数，可避免分母过大导致计算复杂，是分数四则运算的基础。 📌 考点三：最小公倍数进阶实际场景应用 ✨ 典型例题 6（周期重合——相遇问题） 甲、乙两人在环形跑道上跑步，跑一圈甲需要4分钟，乙需要6分钟。两人同时从起点同向出发，至少经过多少分钟，两人再次在起点相遇？ 解题步骤： ①　两人再次在起点相遇时，经过的时间必须同时是4和6的倍数，即公倍数；“至少经过多久”，就是求4和6的最小公倍数 ②　求4和6的最小公倍数：分解质因数4=2²，6=2×3，最小公倍数=2²×3=12 ③　验证：12分钟时，甲跑了12÷4=3圈，乙跑了12÷6=2圈，两人都回到起点，符合要求 【答案】12分钟 【知识点睛】环形跑道起点相遇问题，再次在起点相遇的时间，就是两人跑一圈时间的最小公倍数，核心是找到同时满足两人回到起点的最小时间。 ✨ 典型例题 7（拼接铺砖应用） 用长6厘米、宽4厘米的长方形小瓷砖拼一个正方形，正方形的边长最小是多少厘米？至少需要多少块这样的瓷砖？ 解题步骤： ①　拼出的正方形边长必须同时是6和4的倍数，即公倍数；“边长最小”，就是求6和4的最小公倍数 ②　求6和4的最小公倍数：12，即正方形的最小边长是12厘米 ③　长需要的瓷砖数：12÷6=2块，宽需要的瓷砖数：12÷4=3块 ④　总瓷砖数：2×3=6块 ⑤　验证：6 块瓷砖总面积 6×(6×4)=144 平方厘米，正方形面积 12×12=144 平方厘米，无剩余，符合要求 【答案】边长最小12厘米，至少需要6块瓷砖 【知识点睛】小长方形拼大正方形无剩余的题型，正方形的最小边长就是长方形长和宽的最小公倍数，总块数=（边长÷长）×（边长÷宽）。 ✨ 典型例题 8（发车问题——周期应用） 三路公交车，1路车每6分钟发一班，2路车每8分钟发一班，3路车每12分钟发一班。早上6:00三路车同时发车，请问下一次三路车同时发车是几时几分？ 解题步骤： ①　下一次同时发车的间隔时间，必须同时是6、8、12的倍数，即求三个数的最小公倍数 ②　用短除法求6、8、12的最小公倍数：24，即间隔24分钟 ③　发车时间：6:00+24分钟=6:24 ④　验证：6:24时，1路车发了24÷6=4班，2路车发了24÷8=3班，3路车发了24÷12=2班，正好同时发车，符合要求 【答案】早上6时24分 【知识点睛】公交车同时发车问题，两次同时发车的最小间隔，就是各路车发车间隔的最小公倍数，是奥数中周期问题的高频考点。 ⚠️ 易错避坑指南 ❌ 短除法求多个数最小公倍数时，未除到两两互质 错误示例：求12、18、24的最小公倍数，短除到商2、3、4时停止，直接算2×3×2×3×4=144，错误得到最小公倍数144。 正确分析：多个数求最小公倍数，必须除到商两两互质，商2和4还有公有质因数2，需继续试除，最终正确最小公倍数为72。 ❌ 混淆最小公倍数与最大公约数的质因数取法 错误示例：求12和18的最小公倍数，分解质因数后取2×3=6，误用了公有质因数最低次幂。 正确分析：最小公倍数取所有质因数的最高次幂，即2²×3²=36；最大公约数才取公有质因数最低次幂，二者规则不可混淆。 ❌ 黄金公式误用在多个数上 错误示例：求12、18、24的最小公倍数，直接用(12×18×24)÷最大公约数6，得到错误结果864。 正确分析：黄金公式仅适用于两个数，多个数需先两两求最小公倍数，再和第三个数求，正确步骤：先求12和18的最小公倍数36，再求36和24的最小公倍数72。 ❌ 互质的两个数最小公倍数算错 错误示例：求7和9的最小公倍数，错误算成1，与最大公约数混淆。 正确分析：互质的两个数，最大公约数是1，最小公倍数是它们的乘积，7和9的最小公倍数是7×9=63。 ❌ 周期问题中重复计算起点时间 错误示例：甲乙6:00同时出发，甲4分钟一圈，乙6分钟一圈，再次相遇时间算成12分钟后，错误写成6:12（把起点0分钟算成第一圈）。 正确分析：最小公倍数12分钟是间隔时间，6:00+12分钟=6:12是正确时间，但需验证：12分钟甲跑3圈，乙跑2圈，确实回到起点，核心是间隔时间=最小公倍数，起点时间+间隔时间=下次重合时间。 ❌ 拼接问题中搞反边长和块数的计算 错误示例：长6cm、宽4cm拼正方形，最小边长12cm，错误算成总块数12÷6 + 12÷4=5块。 正确分析：总块数是长的块数×宽的块数，即2×3=6块，而非相加，需结合面积验证结果。 📚 分层专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 一、基础夯实篇（共8题） 1．用枚举法求8和12的最小公倍数。 2．用分解质因数法求15和20的最小公倍数。 3．用短除法求16、24和32的最小公倍数。 4．把通分，写出最简公分母。 5．判断：如果自然数a＞b，且a是b的倍数，那么a和b的最小公倍数是a，这个说法是否正确？ 6．互质的两个自然数5和7，它们的最小公倍数是多少？ 7．甲每2天去一次公园，乙每3天去一次公园，若两人周一同时去了公园，下次同时去公园是周几？ 8．已知两个数的最大公约数是5，乘积是300，求这两个数的最小公倍数。 二、能力进阶篇（共7题） 9．用公式法求48和72的最小公倍数。 10．求12、15和20的最小公倍数。 11．用长8厘米、宽6厘米的长方形拼正方形，正方形的边长最小是多少厘米？至少需要多少块长方形？ 12．三路公交车分别每10分钟、15分钟、20分钟发一班，早上7:30同时发车，下一次同时发车是几时几分？ 13．已知两个自然数的最大公约数是8，最小公倍数是96，其中一个数是24，求另一个数。 14．一堆苹果，平均分给6个小朋友剩3个，平均分给8个小朋友也剩3个，这堆苹果最少有多少个？ 15．一个环形跑道，甲跑一圈5分钟，乙跑一圈8分钟，两人同时从起点同向出发，至少经过多少分钟，两人再次在起点相遇？ 三、思维跃迁篇（共5题） 16．证明：两个自然数的任意公倍数，都是它们最小公倍数的倍数。 17．已知两个自然数的和是60，它们的最大公约数是12，求这两个数的最小公倍数。 18．两个数的最大公约数是14，最小公倍数是210，求这两个数的差。 19．学校组织学生排队，每行12人多5人，每行15人也多5人，学生总人数在100-150之间，求学生总人数。 20．求2024、2025、2026三个连续自然数的最小公倍数。 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 一、基础夯实篇（共8题） 1．【答案】24 解题步骤： ① 列出8的倍数（从小到大）：8、16、24、32、40…… ② 列出12的倍数（从小到大）：12、24、36、48…… ③ 圈出公有倍数：24、48……，其中最小的非0数是24 【知识点睛】枚举法是理解最小公倍数概念的基础，核心是按顺序枚举倍数，找到第一个公有倍数。 2．【答案】60 解题步骤： ① 分解质因数：15=3×5，20=2²×5 ② 提取所有出现过的质因数：2、3、5 ③ 取最高次幂相乘：2²×3×5=4×3×5=60 ④ 验证：60÷15=4，60÷20=3，均能整除 【知识点睛】分解质因数法求最小公倍数，所有出现过的质因数都要参与计算，取最高次幂相乘。 3．【答案】96 解题步骤： ① 短除法，先用公有质因数2试除16、24、32，商为8、12、16 ② 再用公有质因数2试除，商为4、6、8 ③ 再用公有质因数2试除，商为2、3、4 ④ 用部分数的公有质因数2试除2和4，商为1、3、2，两两互质，停止试除 ⑤ 所有除数和商相乘：2×2×2×2×1×3×2=96 【知识点睛】多个数短除求最小公倍数，需除到商两两互质，所有除数和最终商的乘积就是结果。 4．【答案】最简公分母12 解题步骤： ① 通分的最简公分母是分母3、4、6的最小公倍数 ② 求3、4、6的最小公倍数：12 ③ 通分结果：2/3=8/12，3/4=9/12，5/6=10/12 【知识点睛】异分母分数通分，最简公分母就是几个分母的最小公倍数，可简化计算。 5．【答案】正确 解题步骤： ① 根据最小公倍数的性质，若a是b的倍数，那么a的所有倍数都是a和b的公倍数 ② 因此a是a和b的最小公倍数，例如24是6的倍数，二者最小公倍数是24 【知识点睛】这是最小公倍数的核心性质，可快速判断倍数关系的两个数的最小公倍数。 6．【答案】35 解题步骤： ① 互质的两个数，公因数只有1，没有公有质因数 ② 因此最小公倍数是两个数的乘积：5×7=35 【知识点睛】互质的两个非0自然数，最小公倍数是它们的乘积，最大公约数是1，二者不可混淆。 7．【答案】周日 解题步骤： ① 下次同时去公园的间隔天数是 2 和 3 的最小公倍数，2 和 3 互质，最小公倍数为 2×3=6 天。 ② 周一经过 6 天为周日，即两人下次同时去公园是周日。 【知识点睛】日期周期问题，间隔天数是两个周期的最小公倍数，需注意“每n天”的周期计算，避免算错星期。 8．【答案】60 解题步骤： ① 根据黄金公式：两数乘积=最大公约数×最小公倍数 ② 代入数值：300=5×LCM，解得LCM=300÷5=60 【知识点睛】黄金公式是快速求解最小公倍数的核心工具，已知乘积和最大公约数，可直接计算。 二、能力进阶篇（共7题） 9．【答案】144 解题步骤： ① 先求48和72的最大公约数：分解质因数48=2⁴×3，72=2³×3²，最大公约数=2³×3=24 ② 根据黄金公式：LCM=(48×72)÷24=3456÷24=144 ③ 验证：144÷48=3，144÷72=2，符合要求 【知识点睛】公式法求两个数的最小公倍数，先求最大公约数，再用乘积除以最大公约数，高效准确。 10．【答案】60 解题步骤： ① 分解质因数：12=2²×3，15=3×5，20=2²×5 ② 所有质因数最高次幂相乘：2²×3×5=60 ③ 短除法验证：公有质因数先除，最终除到两两互质，除数和商乘积为60 【知识点睛】三个数求最小公倍数，核心是覆盖所有质因数的最高次幂，确保结果能被所有数整除。 11．【答案】边长最小24厘米，至少需要12块 解题步骤： ① 正方形最小边长是8和6的最小公倍数，求得最小公倍数为24 ② 长需要的块数：24÷8=3块，宽需要的块数：24÷6=4块 ③ 总块数：3×4=12块 ④ 验证：12块长方形总面积12×8×6=576平方厘米，正方形面积24×24=576平方厘米，无剩余 【知识点睛】长方形拼正方形问题，最小边长是长和宽的最小公倍数，总块数是长、宽方向块数的乘积。 12．【答案】早上8时30分 解题步骤： ① 下一次同时发车的间隔时间，是10、15、20的最小公倍数 ② 求三个数的最小公倍数：60，即间隔60分钟（1小时） ③ 发车时间：7:30+1小时=8:30 【知识点睛】多线路发车问题，最小间隔时间就是所有发车间隔的最小公倍数，注意时间单位的换算。 13．【答案】32 解题步骤： ① 根据黄金公式：两数乘积=最大公约数×最小公倍数 ② 设另一个数为x，則24x=8×96 ③ 计算得：x=(8×96)÷24=32 ④ 验证：24和32的最大公约数是8，最小公倍数是96，符合要求 【知识点睛】已知最大公约数、最小公倍数和其中一个数，用黄金公式可快速求出另一个数。 14．【答案】27个 解题步骤： ① 苹果总数减去3个后，正好是6和8的公倍数 ② 求6和8的最小公倍数：24 ③ 苹果最少数量=24+3=27个 ④ 验证：27÷6=4余3，27÷8=3余3，符合要求 【知识点睛】同余问题，余数相同时，总数=最小公倍数+余数，“最少数量”就是最小公倍数加余数。 15．【答案】40分钟 解题步骤： ① 再次在起点相遇的时间，是5和8的最小公倍数 ② 5和8互质，最小公倍数=5×8=40 ③ 验证：40分钟甲跑了40÷5=8圈，乙跑了40÷8=5圈，都回到起点，符合要求 【知识点睛】环形跑道起点相遇问题，核心是求跑一圈时间的最小公倍数，确保两人同时回到起点。 三、思维跃迁篇（共5题） 16．【答案】证明成立 解题步骤： ① 设两个非0自然数为a和b，它们的最小公倍数为L，任意一个公倍数为M ② 根据定义，a能整除L，b能整除L，即L=a×m，L=b×n，m和n互质 ③ 因为M是a和b的公倍数，所以a能整除M，b能整除M ④ 用M除以L，得到M=L×k + r，其中0≤r＜L ⑤ 因为a和b都能整除M和L，所以a和b都能整除r，若r≠0，则r是比L更小的公倍数，与L是最小公倍数矛盾 ⑥ 因此r=0，即M=L×k，说明M是L的倍数 ⑦ 因此，两个数的任意公倍数，都是它们最小公倍数的倍数 【知识点睛】这是最小公倍数的核心性质，是所有周期问题的理论基础，公倍数的无限性正是源于此。 17．【答案】48或72 解题步骤： ① 设两个数为 12a 和 12b，a 和 b 互质，且 12a+12b=60，化简得 a+b=5。 ② 找出和为 5 且互质的正整数组合：(1,4)、(2,3)。 ③ 组合 1：a=1，b=4，对应数 12 和 48，最小公倍数为 48。 ④ 组合 2：a=2，b=3，对应数 24 和 36，最小公倍数为 72。 【知识点睛】已知两数和与最大公约数，先设数为“最大公约数×互质数”，求出互质组合，再计算最小公倍数。 18．【答案】28 或 196 解题步骤： ① 设两个数为 14a 和 14b，a 和 b 互质，根据黄金公式：14a×14b=14×210，化简得 ab=15。 ② 找出乘积为 15 且互质的正整数组合：(1,15)、(3,5)。 ③ 组合 1：a=1，b=15，对应数 14 和 210，两数差为 210-14=196。 ④ 组合 2：a=3，b=5，对应数 42 和 70，两数差为 70-42=28。 【知识点睛】已知最大公约数和最小公倍数，先求出互质的因数组合，再计算两数的差，注意有多种可能值。 19．【答案】125人 解题步骤： ① 学生总人数减去5人后，是12和15的公倍数 ② 求12和15的最小公倍数：60 ③ 公倍数有60、120、180……，总人数在100-150之间，因此取120 ④ 总人数=120+5=125人 ⑤ 验证：125÷12=10余5，125÷15=8余5，且100＜125＜150，符合要求 【知识点睛】同余问题进阶，需结合人数范围，选择符合条件的公倍数，再加上余数得到总数。 20．【答案】4120900200 解题步骤： ① 三个连续自然数2024、2025、2026，相邻两个数互质 ② 分解质因数： 2024=8×11×23=2³×11×23 2025=45²=3⁴×5² 2026=2×1013（1013是质数） ③ 三个数的公有质因数只有2，最小公倍数=所有质因数最高次幂相乘：2³×3⁴×5²×11×23×1013 ④ 计算：8×81×25×11×23×1013=4120900200 ⑤ 验证：结果能同时被2024、2025、2026整除，且是最小的公倍数 【知识点睛】三个连续自然数，只有首尾两个数可能有公有质因数，中间数和首尾均互质，分解质因数后取最高次幂相乘即可得到最小公倍数。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案1 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