第18讲 分解质因数-五年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第18讲 分解质因数 📋 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、分解质因数方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 📊 典型例题解构与解题策略精讲 2 📌 考点一：分解质因数基础（短除法、树状图法） 2 📌 考点二：分解质因数求最大公因数与最小公倍数 4 📌 考点三：分解质因数的实际应用（因数个数、分组、最值） 5 ⚠️ 易错避坑指南 8 📚 分层专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 9 一、基础夯实篇（共8题） 9 二、能力进阶篇（共7题） 9 三、思维跃迁篇（共5题） 10 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 11 一、基础夯实篇（共8题） 11 二、能力进阶篇（共7题） 13 三、思维跃迁篇（共5题） 16 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 分解质因数是五年级奥数的核心基础题型，是解决最大公因数、最小公倍数、因数个数、分组问题、最值问题的关键工具。解题核心：将一个合数拆分成若干个质数相乘的形式（质因数仅为质数，且不能重复遗漏），通过质因数的组合与分析，破解各类相关应用题，核心前提是熟练掌握100以内的质数（2、3、5、7、11、13等）。 类型 特征 解题策略 典型例子 分解质因数基础类 已知一个合数，将其拆分为质数相乘的形式 用短除法或树状图法，从最小质数开始试除，直到商为质数 将84分解质因数 最大公因数/最小公倍数类 已知两个/多个数，求它们的最大公因数或最小公倍数 分解各数质因数，最大公因数取公有质因数最低次幂相乘，最小公倍数取公有质因数最高次幂与独有质因数相乘 求18和24的最大公因数与最小公倍数 因数个数类 已知一个数，求它的所有因数个数（不重复） 分解质因数后，各质因数指数加1的乘积，即为因数个数 求36的因数个数 实际应用类 含分组、最值、数字组合、实际场景（购物、植树）等，隐含合数特征 先分解质因数，再根据题意对质因数进行合理组合、分配 将462名学生分组，每组12-20人，求分组方式 二、分解质因数方法图表记忆法 方法 适用场景 核心步骤 注意 短除法（推荐） 所有合数的分解，尤其适合较大合数 1. 用最小的质数（2、3、5等）试除这个合数；2. 把商写在合数下方，继续用质数试除商；3. 重复步骤，直到商为质数；4. 把所有除数和最终的商相乘，即为质因数分解结果 除数必须是质数，不能用合数试除；分解要彻底，直到商为质数 树状图法 较小合数的分解，直观易懂 1. 把合数写成两个因数相乘的形式；2. 若因数是合数，继续拆分，直到所有因数都是质数；3. 收集所有质数，即为质因数 拆分时尽量从最小质数开始，避免重复拆分 特殊技巧法 特殊特征的合数（偶数、末位为5、平方数等） 1. 偶数必含质因数2；2. 末位为0或5的数必含质因数5；3. 各位数字和是3的倍数，必含质因数3；4. 平方数的质因数指数均为偶数 特殊技巧仅为辅助，最终需用短除法验证分解彻底 三、奥数思维提升 1　 核心前提：牢记100以内的质数，明确“1既不是质数也不是合数”，分解质因数的结果中，不能出现1和合数，只能是质数相乘。 2　 分解原则：分解必须彻底，即所有因数均为质数，且按从小到大的顺序排列，可用幂次形式简化（如84=2²×3×7），方便后续计算。 3　 应用技巧：求最大公因数看“公有最低次幂”，求最小公倍数看“公有最高次幂+独有质因数”；求因数个数用“指数加1相乘”；分组问题需保证每组质因数种类和个数完全相同。 4　 验证闭环：分解完成后，将质因数相乘，结果需等于原合数；解决应用题后，需将结果回代题干，验证是否符合所有条件。 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：分解质因数基础（短除法、树状图法） ✨ 典型例题 1（短除法分解质因数） 用短除法将84分解质因数。 解题步骤： ①用最小质数2试除84，84÷2=42，商42是合数，继续试除； ②用2试除42，42÷2=21，商21是合数，继续试除； ③用质数3试除21，21÷3=7，商7是质数，停止试除； ④收集所有除数和最终的商，按从小到大排列：84=2×2×3×7，简化为84=2²×3×7。 【答案】84=2²×3×7 【知识点睛】短除法是分解质因数的核心方法，除数必须是质数，直到商为质数为止，分解结果可按幂次形式书写，更简洁规范。 ✨ 典型例题 2（树状图法分解质因数） 用树状图法将60分解质因数。 解题步骤： ①把60拆分为2×30，2是质数，保留；30是合数，继续拆分； ②把30拆分为2×15，2是质数，保留；15是合数，继续拆分； ③把15拆分为3×5，3和5都是质数，停止拆分； ④收集所有质数：2、2、3、5，即60=2×2×3×5=2²×3×5。 【答案】60=2²×3×5 【知识点睛】树状图法直观易懂，适合初学者，拆分时优先选择最小质数作为因数，避免拆分出合数，确保分解彻底。 ✨ 典型例题 3（特殊技巧辅助分解） 快速分解105和144的质因数。 解题步骤： ①分解105：末位为5，必含质因数5，105÷5=21；21各位数字和为3，必含质因数3，21÷3=7（质数），因此105=3×5×7； ②分解144：144是平方数（12²），平方数的质因数指数均为偶数，用短除法试除，144÷2=72，72÷2=36，36÷2=18，18÷2=9，9÷3=3，3是质数，因此144=2⁴×3²。 【答案】105=3×5×7，144=2⁴×3² 【知识点睛】利用合数的特殊特征（末位5、平方数、偶数），可快速找到质因数，提高分解效率，但最终需验证分解彻底。 📌 考点二：分解质因数求最大公因数与最小公倍数 ✨ 典型例题 4（求两个数的最大公因数与最小公倍数） 用分解质因数法求18和24的最大公因数（GCD）和最小公倍数（LCM）。 解题步骤： ①分别分解两个数的质因数：18=2×3²，24=2³×3； ②求最大公因数：取两个数公有质因数的最低次幂相乘，公有质因数为2和3，最低次幂分别为2¹和3¹，因此最大公因数=2×3=6； ③求最小公倍数：取两个数公有质因数的最高次幂，加上各自独有的质因数，公有质因数最高次幂为2³和3²，无独有质因数，因此最小公倍数=2³×3²=8×9=72； ④验证：18和24的公因数有1、2、3、6，最大为6；公倍数有72、144等，最小为72，符合条件。 【答案】最大公因数是6，最小公倍数是72 【知识点睛】分解质因数求最大公因数和最小公倍数的核心：“公有最低次幂求最大公因，公有最高次幂+独有求最小公倍”，无需枚举所有因数和倍数，高效快捷。 ✨ 典型例题 5（求三个数的最大公因数与最小公倍数） 用分解质因数法求12、18和24的最大公因数和最小公倍数。 解题步骤： ①分解质因数：12=2²×3，18=2×3²，24=2³×3； ②求最大公因数：取三个数共有的质因数的最低次幂，公有质因数为2和3，最低次幂为2¹和3¹，因此最大公因数=2×3=6； ③求最小公倍数：取三个数公有质因数的最高次幂，加上各自独有的质因数，公有质因数最高次幂为2³和3²，无独有质因数，因此最小公倍数=2³×3²=72； ④验证：三个数的公因数中最大为6，公倍数中最小为72，符合条件。 【答案】最大公因数是6，最小公倍数是72 【知识点睛】求三个数的最大公因数，需找“所有数共有的质因数”；求最小公倍数，需找“所有数的公有质因数最高次幂+各自独有质因数”，避免遗漏。 📌 考点三：分解质因数的实际应用（因数个数、分组、最值） ✨ 典型例题 6（求因数个数） 求36的所有因数个数。 解题步骤： ①先将36分解质因数：36=2²×3²； ②因数个数公式：各质因数的指数加1后相乘（若质因数为pⁿ，其贡献的因数个数为n+1）； ③质因数2的指数为2，贡献个数为2+1=3；质因数3的指数为2，贡献个数为2+1=3； ④总因数个数=3×3=9个（分别为1、2、3、4、6、9、12、18、36）。 【答案】9个 【知识点睛】求因数个数的核心的是分解质因数，利用“指数加1相乘”的公式，无需一一枚举，快速准确，注意指数为0时（质因数不出现），贡献个数为1。 ✨ 典型例题 7（分组问题） 将5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等，求分组方式。 解题步骤： ①先将每个数分解质因数：5=5，6=2×3，7=7，14=2×7，15=3×5； ②统计所有质因数的总个数：2有2个、3有2个、5有2个、7有2个； ③分组要求：每组质因数种类和个数完全相同，即每组各有1个2、1个3、1个5、1个7； ④组合质因数：14（2×7）和15（3×5）为一组，5（5）、6（2×3）和7（7）为一组； ⑤验证：14×15=210，5×6×7=210，乘积相等，符合条件。 【答案】一组是14、15，另一组是5、6、7（答案唯一） 【知识点睛】分组使乘积相等的核心：先分解所有数的质因数，确保每组质因数的种类和个数完全一致，再根据质因数组合出每组的数。 ✨ 典型例题 8（最值与实际应用） 张明参加数学竞赛，他的成绩、名次和年龄三者的积是2910，已知他是初中生（年龄12-15岁），求他的年龄、成绩和名次。 解题步骤： ①分解2910的质因数：2910=2×3×5×97； ②根据题意组合质因数：成绩通常为100以内的整数，97是质数，符合成绩特征（97分）； ③初中生年龄在12-15岁，质因数中2、3、5组合，3×5=15岁，符合年龄范围； ④剩余质因数2，即为名次（第2名）； ⑤验证：15×97×2=2910，符合所有条件。 【答案】年龄15岁，成绩97分，名次第2名 【知识点睛】此类实际应用题，需先分解质因数，再结合题干中的约束条件（如年龄范围、成绩范围），对质因数进行合理组合，找到符合题意的答案。 ⚠️ 易错避坑指南 ❌ 分解不彻底，包含合数因数 错误示例：将12分解质因数，写成12=2×6，或12=3×4。 正确分析：分解质因数的结果必须全是质数，6和4都是合数，还需继续分解，正确结果为12=2×2×3=2²×3，分解时需直到所有因数都是质数为止。 ❌ 分解结果包含1或书写形式错误 错误示例：将15分解质因数，写成15=1×3×5，或3×5×1=15。 正确分析：1既不是质数也不是合数，不能作为质因数；分解结果的书写格式应为“合数=质数相乘”，左边是原合数，右边是质因数连乘，正确结果为15=3×5。 ❌ 求最大公因数/最小公倍数时，混淆“最低次幂”和“最高次幂” 错误示例：求18（2×3²）和24（2³×3）的最大公因数，写成2³×3²=72；求最小公倍数，写成2×3=6。 正确分析：最大公因数取“公有最低次幂”，最小公倍数取“公有最高次幂+独有质因数”，正确最大公因数是2×3=6，最小公倍数是2³×3²=72。 ❌ 求因数个数时，指数计算错误 错误示例：求36（2²×3²）的因数个数，写成2×2=4个。 正确分析：因数个数公式是“各质因数指数加1后相乘”，不是指数直接相乘，正确计算为（2+1）×（2+1）=9个。 ❌ 分组问题中，质因数分配不均 错误示例：将5、6、7、14、15分组，分成（5、14）和（6、7、15），认为乘积相等。 正确分析：分组需保证每组质因数种类和个数完全相同，（5、14）含质因数2、5、7，（6、7、15）含质因数2、3、5、7，质因数3分配不均，乘积不相等，正确分组应为（14、15）和（5、6、7）。 📚 分层专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 一、基础夯实篇（共8题） 1． 用短除法将48分解质因数。 2． 用树状图法将75分解质因数。 3． 判断：把24分解质因数是24=1×2×2×2×3，说法正确吗？ 4． 分解质因数：100、120、135。 5． 求12和18的最大公因数和最小公倍数。 6． 求30的所有因数个数。 7． 填空：一个合数的质因数是2、3、5，这个合数最小是（　　）。 8． 判断：所有偶数的质因数都包含2，说法正确吗？ 二、能力进阶篇（共7题） 9． 求15、20和25的最大公因数和最小公倍数。 10． 求48和64的因数个数，比较它们的因数个数多少。 11．将 8、9、10、15、24、18 这六个数分成两组，使每组数的乘积相等。 12． 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值。 13． 三个连续自然数的乘积是210，求这三个自然数。 14． 把462名学生分成人数相等的若干组，每组人数在12到20人之间，求每组人数和分组组数。 15． 已知两个数的最大公因数是6，最小公倍数是36，其中一个数是12，求另一个数。 三、思维跃迁篇（共5题） 16． 证明：一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均为偶数。 17． 一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数，求a的最小值和这个完全平方数。 18． 有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560，求这三个自然数。 19． 把12、18、20、21、30、35这六个数分成两组，每组三个数，使两组数的乘积相等。 20． 已知a×b=6，b×c=15，a×c=10，求a×b×c的值。 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 一、基础夯实篇（共8题） 1．【答案】48=2⁴×3 解题步骤： ① 用2试除48，48÷2=24，商为合数，继续试除； ② 24÷2=12，12÷2=6，6÷2=3，商3是质数，停止试除； ③ 收集除数和商：2、2、2、2、3，即48=2×2×2×2×3=2⁴×3。 【知识点睛】短除法分解时，相同质因数可合并为幂次形式，简化书写。 2．【答案】75=3×5² 解题步骤： ① 树状图拆分：75→3×25，3是质数，保留； ② 25→5×5，5是质数，停止拆分； ③ 收集质数：3、5、5，即75=3×5×5=3×5²。 【知识点睛】树状图拆分时，优先拆分出最小质数，确保分解彻底。 3．【答案】不正确 解题步骤： ① 分解质因数的结果中，不能包含1（1既不是质数也不是合数）； ② 正确分解结果：24=2×2×2×3=2³×3，去掉1即可。 【知识点睛】牢记1的特殊性，分解质因数仅包含质数，不含1和合数。 4．【答案】100=2²×5²，120=2³×3×5，135=3³×5 解题步骤： ① 100：用2试除，100÷2=50，50÷2=25，25÷5=5，即100=2²×5²； ② 120：用2试除，120÷2=60，60÷2=30，30÷2=15，15÷3=5，即120=2³×3×5； ③ 135：末位为5，先除5，135÷5=27，27÷3=9，9÷3=3，即135=3³×5。 【知识点睛】利用特殊特征（偶数、末位5）快速找到质因数，提高分解效率。 5．【答案】最大公因数6，最小公倍数36 解题步骤： ① 分解质因数：12=2²×3，18=2×3²； ② 最大公因数=公有质因数最低次幂相乘：2×3=6； ③ 最小公倍数=公有质因数最高次幂相乘：2²×3²=4×9=36。 【知识点睛】核心区分“最低次幂”和“最高次幂”，避免混淆最大公因数和最小公倍数的求法。 6．【答案】8个 解题步骤： ① 分解质因数：30=2×3×5； ② 各质因数指数均为1，指数加1后相乘：(1+1)×(1+1)×(1+1)=8； ③ 验证：30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30，共8个。 【知识点睛】质因数指数为1时，贡献的因数个数为2，牢记“指数加1相乘”的公式。 7．【答案】30 解题步骤： ① 一个合数的质因数是2、3、5，要使这个合数最小，需每个质因数只出现1次； ② 最小合数=2×3×5=30。 【知识点睛】由质因数求最小合数，直接将所有质因数相乘（每个质因数取1次）。 8．【答案】正确 解题步骤： ① 偶数是能被2整除的数，即2是所有偶数的因数； ② 2是质数，因此所有偶数的质因数都包含2（2本身是偶数，质因数只有2）。 【知识点睛】2是唯一的偶质数，所有偶数（除2外）都是合数，质因数均包含2。 二、能力进阶篇（共7题） 9．【答案】最大公因数5，最小公倍数300 解题步骤： ① 分解质因数：15=3×5，20=2²×5，25=5²； ② 最大公因数=三个数公有质因数最低次幂：5（只有5是三个数共有的质因数）； ③ 最小公倍数=公有质因数最高次幂+各自独有质因数：2²×3×5²=4×3×25=300。 【知识点睛】求三个数的最大公因数，仅取所有数共有的质因数；求最小公倍数，需包含所有数的质因数。 10．【答案】48有10个因数，64有7个因数，48的因数个数多 解题步骤： ① 分解质因数：48=2⁴×3，64=2⁶； ② 48的因数个数：(4+1)×(1+1)=5×2=10个； ③ 64的因数个数：6+1=7个； ④ 比较：10＞7，因此48的因数个数多。 【知识点睛】单个质因数组成的合数，因数个数=指数+1；多个质因数组成的合数，因数个数=各指数+1相乘。 11．【答案】一组是 8、15、24，另一组是 9、10、18 解题步骤： ① 先将每个数分解质因数：8=2³，9=3²，10=2×5，15=3×5，24=2³×3，18=2×3²。 ② 统计所有质因数的总个数：质因数2共有 8 个，质因数3共有 6 个，质因数5共有 2 个，总个数均为偶数，可平均分配。 ③ 分组要求：每组各含4 个 2、3 个 3、1 个 5，据此组合数字。 ④ 组合结果：第一组 8（2³）、15（3×5）、24（2³×3）；第二组 9（3²）、10（2×5）、18（2×3²）。 ⑤ 验证：8×15×24=2880，9×10×18=2880，乘积相等，符合条件。 【知识点睛】分组使乘积相等的核心：先分解所有数的质因数，确保每组质因数的种类和个数完全相同，再根据质因数组合出每组的数。 12．【答案】391 解题步骤： ① 质数中除2外都是奇数，两个奇数的和是偶数，40是偶数，因此两个质数中必有一个是2； ② 另一个质数=40-2=38（合数），错误，重新找：40可拆分为17+23、11+29、3+37； ③ 计算乘积：17×23=391，11×29=319，3×37=111； ④ 比较乘积大小，最大值为391。 【知识点睛】利用质数的奇偶性特征，快速缩小范围，再计算乘积找最大值。 13．【答案】5、6、7 解题步骤： ① 分解210的质因数：210=2×3×5×7； ② 组合质因数为三个连续自然数：5、6（2×3）、7，符合连续自然数特征； ③ 验证：5×6×7=210，符合条件。 【知识点睛】连续自然数的乘积分解质因数后，可通过组合质因数，找到符合连续特征的数。 14．【答案】每组14人，分33组 解题步骤： ① 分解462的质因数：462=2×3×7×11； ② 组合质因数，使每组人数在12-20人之间： 2×7=14（12-20之间），组数=462÷14=33组； 3×7=21（超出20，舍去）；2×11=22（超出，舍去）；3×11=33（超出，舍去）； ③ 验证：14×33=462，符合条件。 【知识点睛】实际分组问题，先分解总人数的质因数，再根据每组人数的范围，组合质因数得到每组人数，进而求出组数。 15．【答案】18 解题步骤： ① 核心公式：两个数的乘积=最大公因数×最小公倍数； ② 设另一个数为x，则12×x=6×36； ③ 计算：x=(6×36)÷12=18； ④ 验证：12和18的最大公因数是6，最小公倍数是36，符合条件。 【知识点睛】利用“两数乘积=最大公因数×最小公倍数”的公式，可快速求出未知的数，无需重复分解质因数。 三、思维跃迁篇（共5题） 16．【答案】证明见解析 解题步骤： ① 设完全平方数为 N，存在整数 k，使 N=k² ② 将 k 分解质因数： ③ 则 ④ 2a、2b…2z 均为偶数，即完全平方数的质因数指数均为偶数 【知识点睛】完全平方数的质因数指数必为偶数，此为平方数核心特征。 17．【答案】a 最小为 30，完全平方数为 32400 解题步骤： ① 分解 1080 质因数：1080=2³×3³×5 ② 完全平方数质因数指数为偶数，需补 2¹×3¹×5¹=30 ③ a 最小 = 30，乘积 = 1080×30=32400=180² 【知识点睛】补全质因数指数为偶数，即可得到最小的 a 与对应平方数。 18．【答案】32、38、44 解题步骤： ① 设最小数为 x，最大数 x+6，中间数 x+3 ② 乘积 x (x+3)(x+6)=42560，分解 42560=2⁶×5×7×19 ③ 组合得 32、38、44，验证 32×38×44=42560 【知识点睛】设未知数转化为连续差 3 的数，分解质因数后组合求解。 19．【答案】一组 12、30、35，另一组 18、20、21 解题步骤： ① 分解质因数后均等分配质因数，两组乘积均为 12600 ② 验证：12×30×35=12600，18×20×21=12600 【知识点睛】多数字分组乘积相等，核心是质因数平均分配。 20．【答案】30 解题步骤： ① a×b=6，b×c=15，a×c=10，三式相乘：(a×b×c)²=6×15×10=900 ② a×b×c=30 【知识点睛】三式相乘开平方，快速求三数乘积。 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