10.2.1一代入消元法精析精练 2025-2026学年人教版七年级数学下册

2025-2026人教版七年级数学下精析精练 10.2.1一代入消元法（解析版） 1. 代入消元法解二元一次方程组 1．解方程组时，把①代入②，得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：①代入②，得，即. 二、填空题 2．将方程变形为用含x的式子表示y，那么____． 【答案】/ 【分析】通过移项、系数化为1，即可将方程变形为用含的式子表示的形式． 【详解】解：， 移项得：， 等式两边同时除以，得： ， 即． 3．若关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则a的值是__________． 【答案】 【分析】根据x与y互为相反数得到，结合方程组中第二个方程求出的值，再代入第一个方程计算得到的值． 【详解】解：由x与y互为相反数，得，即， 将代入方程，得， 移项并合并同类项，得， 系数化为1，得，则， 将代入，得， 整理得， 解得． 4．解方程组： (1) ​ (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法计算，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，正确计算即可得到结果； （2）利用代入消元法计算，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，正确计算即可得到结果． 【详解】（1）解：， 由得， 把代入得， 整理得， 解得， 把代入得， 原方程组的解为； （2）解：， 由得， 把代入得， 整理得， 解得 把代入得， 原方程组的解为． 5．解方程组：． 【答案】 【分析】本题可采用代入消元法或加减消元法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，这里选择代入消元法：先由一个方程变形得到用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，再代入另一个方程消去一个未知数，求出一个未知数的值后，回代求出另一个未知数的值． 【详解】解：， 由①得， 将③代入②得， 解得， 将 代入③得 ， 所以方程组的解为． 2. 二元一次方程组的同解问题 6． 已知二元一次方程组 的解也是关于x，y的方程的解，求a的值． 【答案】1 【分析】求出二元一次方程组的解，然后代入中即可求出a的值． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴， 把，代入得：， 解得：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解，熟练掌握加减消元法与代入消元法是解题的关键． 7．已知关于x，y的方程组，其中a是实数． (1)若，求a的值； (2)若方程组的解也是方程的一个解，求的值； (3)若点在第四象限，并且到x轴，y轴的距离相等，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入方程求解即可； （2）解方程组，得，再代入解方程即可； （3）由第四象限内点的坐标特点及到x轴，y轴的距离相等，得到，把代入，解方程即可． 【详解】（1）解：若，则， 解得； （2）解方程组， 解得， ∵方程组的解也是方程的一个解， ∴， 解得：， ∴ （3）∵点在第四象限，并且到x轴，y轴的距离相等， ∴， ∴， 解得． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，平面直角坐标系各象限内点的坐标特点，正确掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 8．（1）若方程与方程的解相同，求m的值． （2）在（1）的条件下，求关于x、y的方程组的解． （3）善于研究的小明同学发现，无论m取何值，（2）中方程组的解x与y之间都满足一个关系式是______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先解方程，得出x的值，然后将方程的解代入，再解关于m的方程即可； （2）把m的值代入方程组，然后再解方程组即可； （3）由①得：，把③代入②消去m即可得出答案． 【详解】解：（1）方程得：， ∵方程与方程的解相同， ∴把代入得：， 解得：． （2）把代入方程组得：， 即， 得：， 解得：， 把代入②得：，解得：， ∴原方程组的解为． （3）， 由①得：， 把③代入②得：， 整理得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程和二元一次方程组的一般步骤，准确计算． 9．已知和方程组的解相同，求的值． 【答案】． 【分析】两个方程组有相同的解，这个解是和的解，由于这两个方程的系数都已知，故可联立在一起，求出x、y的值，再将x、y的值代入方程和中建立关于a、b的方程组即可求出a、b的值，然后代入所求式子进行计算即可得． 【详解】由题意，联立方程组 由③得： 将代入①得： 解得 将代入得： 解得 则此方程组的解为 又联立方程组 则有，即 由⑥得： 将代入⑤得： 解得 将代入得： 则此方程组的解为 所以． 【点睛】本题考查了利用代入消元法解二元一次方程组等知识点，利用解相同，将方程组重新组合换位联立是解题关键． 3. 二元一次方程组的错解问题 10．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则ab的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．10 D．﹣10 【答案】A 【分析】把甲的解代入方程②求出b的值，把乙的解代入方程①求出a的值，即可求出所求． 【详解】解：将代入②得：-12=b-2 解得：b=10 将代入①得：5a+20=15 解得：a=-1 则ab=(-1)10=1 故选：A． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想；解题的关键是选择合适的方法解二元一次方程组． 11．王海和郭伟抄题“原方程组”，王海把方程①中的a抄错了，郭伟把方程②中的b抄错了，王海求得方程组的解为，郭伟求得方程组的解为 ，你能不能不去看老师抄的原题，把正确的a，b求出来？ 【答案】， 【分析】抄错的将其解代入方程②，可以求出，得；抄错的将其解代入方程①，可以求出即可．此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 【详解】解：依题意，将，代入方程②， 得到， 即； 将，代入方程①， 得， 即． 12．解方程组时，甲看错了，结果解得，乙看错了，解得，求方程组的正确解． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组的方法，需要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．首先根据甲看错了，求出的值是多少，然后根据乙看错了，求出的值是多少；最后应用加减消元法，求出方程组的正确解即可． 【详解】解：根据题意，可得 ， 解得：， ， 解得：； ，可得： ， 把代入，解得：， ∴方程组的正确解是． 13．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，根据上面的信息解答： (1)甲把a看成了什么数，乙把b看成了什么数？ (2)求出正确的a，b的值； (3)求出原方程组的正确解，并代入代数式求值． 【答案】(1)甲把a看成了1，乙把b看成了3 (2)5 (3)-64 【分析】（1）根据题意把代入①求出a，然后把代入②求出b，进而问题得解； （2）根据题意把代入②求出b，然后把代入①求出a，进而问题得解； （3）由（2）可求出方程组的解，然后代值求解即可． 【详解】（1）解：把代入①，得，解得； 把代入②，得，解得． ∴甲把a看成了1，乙把b看成了3． （2）解：把代入①，得，解得：； 把代入②，得，解得：． （3）解：由（2）可得原方程组为， 解得原方程组的正确解为：． ∴． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的解法及代数式的值，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 14．小明和小红同解同一个方程组时，小红不慎将一滴墨水滴在了题目上使得方程组的系数看不清了，显示如下，同桌的小明说：“我正确的求出这个方程组的解为”，而小红说：“我求出的解是，于是小红检查后发现，这是她看错了方程组中第二个方程中x的系数所致”，请你根据他们的对话，把原方程组还原出来． 【答案】 【分析】设原方程组为 ，把 代入②，求出c，把和 代入①，得出方程组，求出a、b的值，即可得出答案． 【详解】设原方程组为 ， 把代入②得：3c+14=8， 解得：c=-2， 把和代入①得：， 解得：a=4，b=5， 即原方程组为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能够根据题意得出方程或方程组是解此题的关键． 4. 整体代入法解二元一次方程组的应用 15．解二元一次方程组时，可把①代入②得：，求得，再把代入①得：，所以二元一次方程组的解为，这种解法称为“整体代入法”．请用这样的方法解下列方程组． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法（整体代入法），解题的关键是识别方程组中可整体代入的部分，将其代入另一方程简化计算． 观察方程组，把看作整体，代入第二个方程求出，再将代入第一个方程求． 【详解】解：方程组为 将①代入②得：， ，， 解得， 把代入①得：， ，， 解得． 所以方程组的解为． 16．阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：将方程②变形为，即③．把方程①代入③，得，解得．把代入方程①，得，所以原方程组的解为． 请你解决以下问题： (1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组； (2)已知满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是理解题意，掌握整体思想． （1）根据题干提供的信息，解二元一次方程组即可； （2）将变形为，整体代入求解即可． 【详解】（1）解： 将方程②变形为， 即③ 将方程①代入③，得， 解得， 把代入方程①，解得：， 所以原方程组的解为； （2）将原方程组化为 由①，得③ 将③代入②，得， 解得：． 17．先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组：， 由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． ∴原方程组的解为． 这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组． ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组．根据材料的方法，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． 原方程组的解为． 18．阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形，即③，把①代入③得：． 解得，把代入①得，所以原方程组的解为 请你运用以上方法解决下列问题： 模仿小红的方法解方程组：． 【答案】方程组的解为. 【分析】本题考查了整体代换法解二元一次方程组的解法，解题的关键是读懂题意，明确整体思想． 由②得出即③，把①代入③求出y，把代入①求出x即可； 【详解】解： ， 将方程②变形：，即③， 把方程①代入③得：， 解得 把代入方程①，得， 所以方程组的解为. 19．小明在解方程组时发现，可将①变形为，然后把②中的换成5，这样便可轻松地得到这个方程组的解，这种方法叫“整体代入法”，是初中阶段常用的一种数学方法． (1)请按照小明的解题思路，求出这个方程组的解． (2)用“整体代入法”解方程组 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）根据小明的解题思路计算求解即可； （2）由①得，．③，再把②变形得到．④，把③代入④求出y的值，再把y的值代入③求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解； 由①得，．③ 把③代入②，得．解得． 把代入③，得． ∴这个方程组的解为； （2）解： 由①得，．③ ②变形可得，．④ 把③代入④，得．解得． 把代入③，得，解得． ∴这个方程组的解为． 1．解方程组：． 【答案】 【分析】利用代入消元法求解． 【详解】解： 由得，， 将代入得，， 解得， 将代入，得， 因此该方程组的解为． 2．在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k． (1)求点的“倾斜系数”k的值； (2)①若点的“倾斜系数”，请写出a和b的数量关系，并说明理由； ②若点的“倾斜系数”，且，求点P的坐标． 【答案】(1)3 (2)①或，理由见解析；②或 【分析】本题主要考查点的坐标的特征，本题是新定义型题目，正确理解“倾斜系数”的定义是解题的关键． （1）根据“倾斜系数”k的定义直接计算即可； （2）①根据“倾斜系数”k的定义得或，进而得出结论即可； ②由①知，或，根据，分别求出a、b的值，即可求出P点坐标． 【详解】（1）解：由题意知，，或， 而， ∴点的“倾斜系数”k的值为3； （2）解：①或，理由如下： ∵点的“倾斜系数”， ∴或， 即或， ∴a和b的数量关系为：或； ②由①知，或， ∵， ∴或， ∴或， ∴或． 3．按一定规律排列方程组和它的解的对应关系如下： 第1个方程组：的解为． 第2个方程组：的解为． 第3个方程组：的解为． …… (1)依据方程组和它的解的变化规律，可得第6个方程组为______，它的解为______． (2)猜想第个方程组和它的解并验证． 【答案】(1) (2)，，证明见解析 【分析】本题考查了观察规律、归纳猜想及二元一次方程组求解的能力；解题的关键是识别方程组中系数与常数的变化规律，特别是第二个方程中的系数和常数项与序号的关系 （1）观察已知方程组及解：注意第一个方程始终为；第二个方程中的系数和常数项随序号变化，解中和的值也呈规律性；总结规律：从第1、2、3个方程组可发现：第二个方程为（为序号），解为，，第6个方程组即时的方程组和它的解． （2）根据总结的规律，写出方程组，验证解即可． 【详解】（1）解：根据规律   解得 （2）猜想第个方程组为，它的解为 验证：把代入中，得， ， ∴方程组中的等号成立， ∴猜想正确 4．下面是小林同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：由①得，        第一步 把③代入②，得．      第二步 整理，得．      第三步 解得．          第四步 把代入③，得．所以该方程组的解为      第五步 任务一： ①以上求解过程中，小林用了___________消元法．（填“代入”或“加减”） ②第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________． 任务二： 请你用合适的方法求出该方程组的解． 【答案】任务一：①代入；②三；应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2；任务二：． 【分析】本题考查了二元一次方程组． 任务一：①由解析过程可知为代入消元法； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 任务二：根据代入消元法计算即可． 【详解】解：任务一：①由解析过程可知为代入消元法； 故答案为：代入； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 故答案为：三，应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 任务二：③， 把③代入②，得． 整理，得． 解得． 把代入③，得． 所以该方程组的解为． 5．已知关于x，y的二元一次方程（a，b均为常数，且）． (1)当，时，用含x的式子表示y，则__________； (2)若是该二元一次方程的一组解． ①探索a与b的数量关系； ②小明发现无论a，b取何值，方程都有一组公共解，请求出这组解． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． （1）把，代入关于x、y的二元一次方程得关于x,y的方程，把y用x表示出来即可； （2）①把代入关于x、y的二元一次方程得关于a,b的方程，进行整理即可得到答案； ②把代入原方程变形，根据无论a,b取何值，这些方程都有一个公共的解，求出所求结果即可． 【详解】（1）解：当，时，得 （2）解：①把代入，得，整理得； ②由①可知， ∴原方程化为，即． 当时，无论a取任意值，都有，此时， ∴这组公共解为． 6．定义：二元一次方程与互为“对称方程”，例如，二元一次方程与二元一次方程互为“对称方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称方程”； (2)若二元一次方程的解，也是它的“对称方程”的解，求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】此题考查了解二元一次方程组、二元一次方程的定义，读懂“对称方程”的定义是关键． （1）根据对称方程”的定义写出答案即可； （2）先根据对称方程”的定义写出二元一次方程的“对称方程”，联立构成方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：由题意可得，的“对称方程”是， （2）由（1）可知，的“对称方程”是， 将这两个方程组成方程组得， 将①代入②得，解得， 将代入①得，， ， 7．先阅读材料： 解方程组 解：由①得③， 把③代入②中得，解得． 把代入③中得，即． 故方程组的解为， 这种方法称为“整体代入法”． 请用上述方法解方程组． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先由第一个方程得到，再把③代入②求出x的值，进而求出y的值即可． 【详解】解： 由①得：， 把③代入②得：，解得， 把代入③得：，解得， ∴方程组的解为． 8．阅读与思考： 【阅读材料】： 把（其中a，b是常数，x，y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为． 【任务】： (1)求“雅系二元一次方程”的“完美值”； (2)是“雅系二元一次方程的“完美值”，求m的值； (3)是否存在n，使得“雅系二元一次方程与“雅系二元一次方程”（n是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8 (2) (3)不存在，见解析 【分析】本题考查了新定义二元一次方程，一元一次方程的解法，正确理解新定义，熟练转化为一元一次方程求解是解题的关键． （1）根据定义，得到，解方程即可； （2）根据定义，得到，再把代入，解方程即可； （3）根据定义，得到，假设存在，则，方程无解，进而可判断结果； 【详解】（1）解：根据定义，得， 解得， ∴“雅系二元一次方程”的“完美值”为8； （2）解：根据定义，得到， 是“雅系二元一次方程”的“完美值”， ， 解得； （3）解：不存在，理由如下： 根据定义，得， 解得， 假设存在n，使得“雅系二元一次方程”与“雅系二元一次方程”（n是常数）的“完美值”相同， 则，无解， ∴不存在n，使得“雅系二元一次方程”与“雅系二元一次方程”（n是常数）的“完美值”相同． 9．关于x，y的二元一次方程组的解为，求a，b的值． 【答案】， 【分析】把代入二元一次方程组，解出关于a、b的二元一次方程组即可求解. 【详解】把代入二元一次方程组， 得，解得， 因此，． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解的定义及二元一次方程组的解法，是基础知识，需熟练掌握． 10．阅读理解： 已知，为有理数，且，若关于的一元一次方程的解为，我们就定义该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，因为，所以方程是“和解方程”．请根据上述定义解答下列问题： (1)方程______“和解方程”；（填“是”或“不是”） (2)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值； (3)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，且它的解是x=b，求，的值． 【答案】(1)不是 (2)m= (3) 【分析】（1）根据定义计算判断即可； （2）根据定义列方程求出m即可； （3）根据定义列方程组求解即可． 【详解】（1）解：方程3x=-6的解为x=-2， ∵-2≠-6+3， ∴方程3x=-6不是“和解方程”， 故答案为：不是； （2）由题意得， 解得m=； （3）由题意得， 解得， ∴． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，正确理解题意中的定义列得方程或方程组解决问题是解题的关键． 1．规定：形如关于x，y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中，由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)若关于x，y的方程组为共轭方程组，则______，______． (2)若方程中x，y的值满足表： x 0 y 0 2 求方程的共轭二元一次方程． (3)若共轭方程组的解是，请直接写出m与n的数量关系． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题考查解二元一次方程组，新定义方程及方程组，正确理解题中新定义的特点，根据新定义确定共轭方程及方程组是解题的关键． （1）由题意得，，解方程即可得到答案； （2）将x与y的对应值代入中求出原方程，即可得到此方程的共轭二元一次方程； （3）将代入，得出，解关于的二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：∵关于x，y的方程组为共轭方程组， ∴，， ∴解得，； （2）解：由题意得， 解得， ∴原方程为：， ∴这个方程的共轭二元一次方程是； （3）解：； 理由：将代入， 得， ∴， ∴， ， ∵， ∴． 2．阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于一些二元二次方程组解法的研究报告 善思小组 研究对象：二元二次方程组 研究思路：先明晰定义，然后探索其解法．类比之前解二元一次方程组、一元二次方程的思路探究，尝试将其通过消元、降次转化为已学过的方程（或方程组）． 研究内容： 【明晰定义】满足以下四个条件的方程组叫做二元二次方程组：①共有两个方程：②含有两个未知数；③含有未知数的项的最高次数为2；④方程组中各方程都是整式方程． 如或等． 【解法探究】尝试求解一些特殊的二元二次方程组． 例如：解方程组： 解：由②，得．③           运用了___▲___消元法，实现将二元方程转化为一元方程． 将③代入①，得， 解这个方程，得，． 将它们分别代入③，得，． 所以原方程组的解是 …… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容； (2)请尝试解二元二次方程组： 【答案】(1)代入 (2)或． 【分析】本题考查解二元二次方程组，解一元二次方程． （1）根据题意观察题干解法即可得到本题答案； （2）先将②代入①中得到关于的一元二次方程，解出即可． 【详解】（1）解：∵变形得到③，再将其代入①求解， ∴利用代入消元法求解方程， ∴研究报告中“▲”处空缺的内容为：代入； （2）解： 由②得， ③， 将③代入①中，得， 解得，． 将它们分别代入③，得，． 所以，原方程组的解是或． 3．【阅读材料】：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程（2）变形：，即，把方程（1）代入（3）得：，所以，将代入（1）得，所以原方程组的解为． 【解决问题】：已知，满足方程组，模仿小明的“整体代换”法求的值． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的“整体代入”的解法．根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案． 【详解】解：， 把方程变形，得到， 然后把代入，得， ∴， ∴． 4．有A、B、C、D、E5位同学依次站在某圆周上，每人手上分别拿有小旗16、8、12、4、15面，现要使每人手中的小旗数相等．要求相邻的同学之间相互调整（不相邻的不作相互调整），设A给B有面（时即为A给B有面；时即为B给A有面．以下同），B给C有面，C给D有面，D给E有面，E给A有面，问、、、、分别为多少时才能使调动的小旗总数最小？ 【答案】当，，，，时有最小值12 【分析】本题考查了五元一次方程组及绝对值的相关知识，解答此类题目的关键是画出数轴，根据数形结合解题． 根据题意列出方程组，把一个未知数当作已知，表示出其余的未知数，根据题意取其绝对值，画出数轴，找出各对应点，求出其最小值． 【详解】解：由于共有小旗面数为面，要使每人手中的小旗面数相等，每人均为11面． 由题意：， 变形得：， ∴， 设实数在数轴上的对应点为， 实数，，0，2，6在数轴上的对应点分别为，，，，， ， 当且仅当在线段上时有最小值9， 当且仅当在线段上时有最小值3， 当且仅当与点重合时有最小值0， 即当且仅当与点重合时， 有最小值12． 当，，，，时有最小值12． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版七年级数学下精析精练 10.2.1一代入消元法 1. 代入消元法解二元一次方程组 1．解方程组时，把①代入②，得（   ） A． B． C． D． 2．将方程变形为用含x的式子表示y，那么____． 3．若关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则a的值是__________． 4．解方程组： (1) ​ (2) 5．解方程组：． 2. 二元一次方程组的同解问题 6． 已知二元一次方程组 的解也是关于x，y的方程的解，求a的值． 7．已知关于x，y的方程组，其中a是实数． (1)若，求a的值； (2)若方程组的解也是方程的一个解，求的值； (3)若点在第四象限，并且到x轴，y轴的距离相等，求a的值． 8．（1）若方程与方程的解相同，求m的值． （2）在（1）的条件下，求关于x、y的方程组的解． （3）善于研究的小明同学发现，无论m取何值，（2）中方程组的解x与y之间都满足一个关系式是______． 9．已知和方程组的解相同，求的值． 3. 二元一次方程组的错解问题 10．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则ab的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．10 D．﹣10 11．王海和郭伟抄题“原方程组”，王海把方程①中的a抄错了，郭伟把方程②中的b抄错了，王海求得方程组的解为，郭伟求得方程组的解为 ，你能不能不去看老师抄的原题，把正确的a，b求出来？ 12．解方程组时，甲看错了，结果解得，乙看错了，解得，求方程组的正确解． 13．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，根据上面的信息解答： (1)甲把a看成了什么数，乙把b看成了什么数？ (2)求出正确的a，b的值； (3)求出原方程组的正确解，并代入代数式求值． 14．小明和小红同解同一个方程组时，小红不慎将一滴墨水滴在了题目上使得方程组的系数看不清了，显示如下，同桌的小明说：“我正确的求出这个方程组的解为”，而小红说：“我求出的解是，于是小红检查后发现，这是她看错了方程组中第二个方程中x的系数所致”，请你根据他们的对话，把原方程组还原出来． 4. 整体代入法解二元一次方程组的应用 15．解二元一次方程组时，可把①代入②得：，求得，再把代入①得：，所以二元一次方程组的解为，这种解法称为“整体代入法”．请用这样的方法解下列方程组． 16．阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：将方程②变形为，即③．把方程①代入③，得，解得．把代入方程①，得，所以原方程组的解为． 请你解决以下问题： (1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组； (2)已知满足方程组，求的值． 17．先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组：， 由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． ∴原方程组的解为． 这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组． ． 18．阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形，即③，把①代入③得：． 解得，把代入①得，所以原方程组的解为 请你运用以上方法解决下列问题： 模仿小红的方法解方程组：． 19．小明在解方程组时发现，可将①变形为，然后把②中的换成5，这样便可轻松地得到这个方程组的解，这种方法叫“整体代入法”，是初中阶段常用的一种数学方法． (1)请按照小明的解题思路，求出这个方程组的解． (2)用“整体代入法”解方程组 1．解方程组：． 2．在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k． (1)求点的“倾斜系数”k的值； (2)①若点的“倾斜系数”，请写出a和b的数量关系，并说明理由； ②若点的“倾斜系数”，且，求点P的坐标． 3．按一定规律排列方程组和它的解的对应关系如下： 第1个方程组：的解为． 第2个方程组：的解为． 第3个方程组：的解为． …… (1)依据方程组和它的解的变化规律，可得第6个方程组为______，它的解为______． (2)猜想第个方程组和它的解并验证． 4．下面是小林同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：由①得，        第一步 把③代入②，得．      第二步 整理，得．      第三步 解得．          第四步 把代入③，得．所以该方程组的解为      第五步 任务一： ①以上求解过程中，小林用了___________消元法．（填“代入”或“加减”） ②第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________． 任务二： 请你用合适的方法求出该方程组的解． 5．已知关于x，y的二元一次方程（a，b均为常数，且）． (1)当，时，用含x的式子表示y，则__________； (2)若是该二元一次方程的一组解． ①探索a与b的数量关系； ②小明发现无论a，b取何值，方程都有一组公共解，请求出这组解． 6．定义：二元一次方程与互为“对称方程”，例如，二元一次方程与二元一次方程互为“对称方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称方程”； (2)若二元一次方程的解，也是它的“对称方程”的解，求，的值． 7．先阅读材料： 解方程组 解：由①得③， 把③代入②中得，解得． 把代入③中得，即． 故方程组的解为， 这种方法称为“整体代入法”． 请用上述方法解方程组． 8．阅读与思考： 【阅读材料】： 把（其中a，b是常数，x，y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为． 【任务】： (1)求“雅系二元一次方程”的“完美值”； (2)是“雅系二元一次方程的“完美值”，求m的值； (3)是否存在n，使得“雅系二元一次方程与“雅系二元一次方程”（n是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 9．关于x，y的二元一次方程组的解为，求a，b的值． 10．阅读理解： 已知，为有理数，且，若关于的一元一次方程的解为，我们就定义该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，因为，所以方程是“和解方程”．请根据上述定义解答下列问题： (1)方程______“和解方程”；（填“是”或“不是”） (2)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值； (3)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，且它的解是x=b，求，的值． 1．规定：形如关于x，y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中，由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)若关于x，y的方程组为共轭方程组，则______，______． (2)若方程中x，y的值满足表： x 0 y 0 2 求方程的共轭二元一次方程． (3)若共轭方程组的解是，请直接写出m与n的数量关系． 2．阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于一些二元二次方程组解法的研究报告 善思小组 研究对象：二元二次方程组 研究思路：先明晰定义，然后探索其解法．类比之前解二元一次方程组、一元二次方程的思路探究，尝试将其通过消元、降次转化为已学过的方程（或方程组）． 研究内容： 【明晰定义】满足以下四个条件的方程组叫做二元二次方程组：①共有两个方程：②含有两个未知数；③含有未知数的项的最高次数为2；④方程组中各方程都是整式方程． 如或等． 【解法探究】尝试求解一些特殊的二元二次方程组． 例如：解方程组： 解：由②，得．③           运用了___▲___消元法，实现将二元方程转化为一元方程． 将③代入①，得， 解这个方程，得，． 将它们分别代入③，得，． 所以原方程组的解是 …… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容； (2)请尝试解二元二次方程组： 3．【阅读材料】：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程（2）变形：，即，把方程（1）代入（3）得：，所以，将代入（1）得，所以原方程组的解为． 【解决问题】：已知，满足方程组，模仿小明的“整体代换”法求的值． 4．有A、B、C、D、E5位同学依次站在某圆周上，每人手上分别拿有小旗16、8、12、4、15面，现要使每人手中的小旗数相等．要求相邻的同学之间相互调整（不相邻的不作相互调整），设A给B有面（时即为A给B有面；时即为B给A有面．以下同），B给C有面，C给D有面，D给E有面，E给A有面，问、、、、分别为多少时才能使调动的小旗总数最小？ 学科网（北京）股份有限公司 $