21.2.1 平行四边形及其性质 同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级下册

平行四边形及其性质 一、单选题 1．下列图形中，一定是轴对称图形的是（   ） A．直角三角形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．梯形 2．如图，四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，，是的两条对角线，则图中的全等三角形共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 4．在平行四边形中，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，平分，，，则的周长是（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 6．有下列说法： ①平行四边形具有四边形的所有性质； ②平行四边形是轴对称图形； ③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． 其中正确说法的序号是(   ) A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 7．如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）    A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对 8．的周长是28，对角线、相交于点，且的周长比的周长小4，则的长为（   ） A．5 B．10 C．9 D．18 9．已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 10．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF交AB于点E，交CD于点F，且，若，则阴影部分面积是（    ） A． B． C．2 D．3 二、填空题 11．在中，已知的度数是的5倍，那么______度． 12．如图，已知直线，则__________．（填“”“”或“”） 13．如图，，、分别平分和，于E，且，则与之间的距离是___________． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，若平移点到点D．使四边形是平行四边形．则点的坐标是_____． 15．如图，将平行四边形纸片折叠，使得点D落在边上的处，折痕为．再将翻折，点A恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为_______． 16．如图，在中，，，点为直线上一动点，连接，，若，则的最小值为______． 三、解答题 17．如图的正方形方格纸中，点都在小正方形的顶点上，每个小正方形的边长都是1； (1)在图中画出平行四边形，且，点C、D均在小正方形的顶点上； (2)作出边上的中线（保留做题痕迹）； (3)直接写出（2）中所画线段的长_____． 18．如图，平行四边形的对角线、相交于点，过点且与、分别相交于点、，求证：． 19．如图，E、F是平行四边形对角线上的两点，若________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 20．在中，是的中点，的延长线交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)求证： 21．小渝学习角平分线的性质后，进行了拓展性探究．他发现在平行四边形中，过其中一内角的顶点作相邻内角角平分线的垂线，则这条垂线也是这个内角的角平分线，请根据他的思路完成以下作图与填空： (1)用尺规完成以下作图：作的平分线交于点，过点作的垂线交于点（只保留作图痕迹） (2)已知：在平行四边形中，平分，，求证：平分． 证明：四边形是平行四边形 ① 平分 ② ③ ④ 平分 22．如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为t秒． (1)当时，________； (2)请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请求出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平行四边形及其性质 一、单选题 1．下列图形中，一定是轴对称图形的是（   ） A．直角三角形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．梯形 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，平行四边形的性质，轴对称图形是指沿一条直线对折后两边能完全重合的图形，据此判断各选项是否一定满足条件即可求解． 【详解】解：A.直角三角形不一定是轴对称图形（如含30°的直角三角形），故A不符合； B.平行四边形不一定是轴对称图形（如一般平行四边形），故B不符合； C.等腰梯形一定是轴对称图形（有一条对称轴），故C符合； D.梯形不一定是轴对称图形（如直角梯形），故D不符合． 故选：C． 2．如图，四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 无法判断， 故选：D． 3．如图，，是的两条对角线，则图中的全等三角形共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定，掌握平行四边形对边相等，对角线互相平分的性质是解题的关键． 根据平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质，依次找出图中的全等三角形． 【详解】解：在中： ， 全等三角形有：   因此，图中的全等三角形共有对，对应选项C． 故选：C． 4．在平行四边形中，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行四边形对角相等、邻角互补的性质即可推理计算． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． 5．如图，在中，平分，，，则的周长是（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、角平分线的定义及等腰三角形的判定．根据平行四边形的性质可得，，结合角平分线的定义及平行线的性质证得，从而得到，求出的长即可求得周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的周长是， 故选：D． 6．有下列说法： ①平行四边形具有四边形的所有性质； ②平行四边形是轴对称图形； ③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． 其中正确说法的序号是(   ) A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 平行四边形具有四边形的所有性质，故①正确， 平行四边形不是轴对称图形，故②错误， 平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，故③正确， 平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形，故④正确， 故选：C． 7．如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）    A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对 【答案】C 【分析】如图，作于点M，则平行四边形的面积，可得，即平行四边形的高的最大值是8cm，进而可判断甲乙的说法. 【详解】解：如图，作于点M， 则平行四边形的面积， ∵，， ∴，即平行四边形的高的最大值是8cm， ∴在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，故乙的说法正确； 在逆时针转动过程中，先逐渐变大，到与相等时，取得最大值，然后又逐渐变小，所以平行四边形的面积先变大，后变小；故甲的说法正确； 所以甲乙的说法都是正确的， 故选：C.    【点睛】本题考查了平行四边形的面积，正确理解题意、得出平行四边形高的变化情况是解题的关键. 8．的周长是28，对角线、相交于点，且的周长比的周长小4，则的长为（   ） A．5 B．10 C．9 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，结合平行四边形的对角线互相平分的性质，得到邻边和与邻边差的两个等式，联立求解即可得到的长度． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵的周长是， ∴ ①， ∵的周长比的周长小， ∴的周长减去的周长等于4 ∴， 化简得②， 联立得， 解得， 9．已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】分两种情况讨论直线c的位置，结合平行线间距离的定义计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当直线c在直线a和直线b之间时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为； 当a与c分别在b的两侧时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为； 综上，a与c之间的距离为或． 10．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF交AB于点E，交CD于点F，且，若，则阴影部分面积是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】先证△BOE≌△DOF(AAS)，得S△BOE=S△DOF，所以S阴影=2S△BOE，又因为，所以S△BOE=S△AOB，再根据平行四边形性质得S△AOB=，所以S阴影=，把=16代入即可求解． 【详解】解：∵□ABCD， ∴OB=OD，ABCD， ∴∠EBO=∠FDO，∠BEO=∠DFO， ∴△BOE≌△DOF(AAS)， ∴S△BOE=S△DOF， ∴S阴影=2S△BOE， ∵， ∴S△BOE=S△AOB， ∵□ABCD， ∴S△AOB=， ∴S阴影=2×S△AOB=2××＝＝×16=， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，求得S△BOE=S△AOB，S△AOB=是解题的关键． 二、填空题 11．在中，已知的度数是的5倍，那么______度． 【答案】 【分析】由平行四边形得到，，则，结合已知条件得到,求出，即可求解和的度数． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵的度数是的5倍， ∴, 解得， ∴． 12．如图，已知直线，则__________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】由可推出与中边上的高相等，又有两个三角形有公共底，根据三角形面积公式即可确定关系． 【详解】解：∵直线， ∴与中边上的高相等， ∵， ∴． 13．如图，，、分别平分和，于E，且，则与之间的距离是___________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，两条平行线之间的距离等，熟练掌握相关知识点，作出适当的辅助线是解题的关键； 过点P作的垂线，交于点M，交于点N，先说明与之间的距离等于线段的长，再利用角平分线的性质定理求出的长． 【详解】解：如图，过点P作的垂线，交于点M，交于点N， 则，， ， ， ， 与之间的距离等于线段的长， ，，平分， ， 同理可得，， ， 与之间的距离等于． 故答案为：． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，若平移点到点D．使四边形是平行四边形．则点的坐标是_____． 【答案】/ 【分析】利用平移的性质和平行四边形的判定即可得到结论． 【详解】解：∵点， ∴， 由平移的性质得：， ∵使四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴点D的坐标为． 15．如图，将平行四边形纸片折叠，使得点D落在边上的处，折痕为．再将翻折，点A恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为_______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质，得出，而，进而得到四边形是平行四边形，由折叠可得，垂直平分，即可得出是直角三角形，再根据，得到，即，最后在中，运用勾股定理进行计算即可得到的长． 【详解】解：由折叠可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，而， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠可得，垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵是的中点，， ∴， ∴． 16．如图，在中，，，点为直线上一动点，连接，，若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，，设交于点，则即为的最小值，由轴对称的性质可得：，，在中，根据勾股定理可得，即，所以，则，然后通过勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，设交于点， 则即为的最小值， 由轴对称的性质可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理可得：，即， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， ∴的最小值为． 三、解答题 17．如图的正方形方格纸中，点都在小正方形的顶点上，每个小正方形的边长都是1； (1)在图中画出平行四边形，且，点C、D均在小正方形的顶点上； (2)作出边上的中线（保留做题痕迹）； (3)直接写出（2）中所画线段的长_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质，即可求解； （2）根据网格的特点找到的中点，连接，即可求解； （3）连接，根据勾股定理以及逆定理得出是等腰直角三角形，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，平行四边形即为所求 （2）解：如图所示，即为所求 （3）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵是的中点， ∴ ∵ ∴ 18．如图，平行四边形的对角线、相交于点，过点且与、分别相交于点、，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质，证明，即可得到． 【详解】证明：平行四边形的对角线、相交于点， ，， ． 在和中． ． 19．如图，E、F是平行四边形对角线上的两点，若________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】①② 【分析】根据平行四边形的性质，全等三角形的判定，选择①，可根据“”证明；选择②，根据“”证明；若选择③，“”无法判断． 【详解】解：若选择①，四边形为平行四边形， ， （两直线平行，内错角相等）， 在和中， ， ； 若选择②，四边形为平行四边形， ， （两直线平行，内错角相等）， 在和中， ， ； 若选择③，， “”无法判断； 故可选择①②． 20．在中，是的中点，的延长线交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行四边形的对边平行的性质推出，再利用已知条件得到，得到，进而得到，由此得到结论平分； （2）根据平行四边形的对边平行的性质推出，，结合，证明，得到，由（1）知，得到，由此，即可得到 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴ 21．小渝学习角平分线的性质后，进行了拓展性探究．他发现在平行四边形中，过其中一内角的顶点作相邻内角角平分线的垂线，则这条垂线也是这个内角的角平分线，请根据他的思路完成以下作图与填空： (1)用尺规完成以下作图：作的平分线交于点，过点作的垂线交于点（只保留作图痕迹） (2)已知：在平行四边形中，平分，，求证：平分． 证明：四边形是平行四边形 ① 平分 ② ③ ④ 平分 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作角平分线和垂线的方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质，直角三角形的性质，角的和差关系进行作答即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）证明：四边形是平行四边形， ， ； 平分， ； ， ， ， ，， ， ， 平分． 22．如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为t秒． (1)当时，________； (2)请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请求出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）求出，得到；由平行四边形的性质和平行线的性质可得，可证明，则可推出，根据建立方程求解即可； （2）可证明和是以A、B、P、Q为顶点的平行四边形的一组对边；当点Q在点B左侧时，则四边形是平行四边形，当点Q在点B右侧时，则四边形是平行四边形，据此根据平行四边形的性质讨论求解即可； （3）分两种情况：点Q在点B左侧和点Q在点B右侧，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 如图所示，设交于点O， 由题意得，， 同理可得， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 解得； （2）解：由题意得，， 由（1）得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴和是以A、B、P、Q为顶点的平行四边形的一组对边； 如图所示，当点Q在点B左侧时，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点Q在点B右侧时，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 如图所示，当点Q在点B左侧时，设点P的对应点为M， 由对称性可得， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点Q在点B右侧时，设点P的对应点为M，点H为直线上一点， ∵， ∴由轴对称的性质可得， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $