21.2.2 平行四边形的判定 同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级下册

平行四边形的判定 一、单选题 1．下列能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边平行，一组邻角互补 C．一组对边相等，一组邻角互补 D．一组对边平行，另一组对边也平行 2．如图，下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 3．在四边形中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，点分别在边，上，，，，则图中的平行四边形共有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 5．如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．珍珍发现答案中是根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明的，则被墨迹覆盖住的条件可能是（    ） A． B． C． D． 6．下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D．， 7．用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．在中，，平分且交于点E，点F在边上，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，四边形中，，，且、的角平分线、分别交于点E、F，与交于点G．若，，则的长为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 10．已知一个四边形的四边长顺次为a，b，c，d，且满足，则此四边形是（    ） A．长方形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形 二、填空题 11．一组对边相等，一组对角相等的四边形______（填“一定”或“不一定”）是平行四边形． 12．如图是一个已标有部分数据的四边形，若添加一个条件，能使四边形是平行四边形，则这个条件可以是：_____（写出一个即可）． 13．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是____________（填序号）． ①，； ②，； ③，； ④，． 14．如图，在四边形中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，．连接，则的周长为____________． 15．如图，和都可以由平移得到，则图中共有____________个平行四边形． 16．已知平面直角坐标系中、、，若以A、B、C、D点为顶点作平行四边形，则点D的坐标为______． 17．如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 三、解答题 18．如图，在中，点、分别在、上，且．求证：四边形是平行四边形． 19．如图，在四边形中，，，的平分线交于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，求的度数． 20．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，于，连接． (1)用圆规和无刻度的直尺，过点作的垂线，交于（不写作法和结论；只保留作图痕迹）并连接 (2)求证：四边形为平行四边形． 证明：四边形是平行四边形．对角线、交于点 （①____________） ， 在和中 ③____________ 四边形是平行四边形．（④____________） 21．如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点E和点F，，求证：四边形是平行四边形． 22．在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移，使点与点对应，点与点对应． (1)写出点的坐标：________； (2)连接、、，在坐标轴上是否存在点，使得？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平行四边形的判定 一、单选题 1．下列能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边平行，一组邻角互补 C．一组对边相等，一组邻角互补 D．一组对边平行，另一组对边也平行 【答案】D 【分析】根据平行四边形的定义和判定定理，对各选项逐一判断即可得到结果． 【详解】解：A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不能判定是平行四边形，故A不符合题意． B. 一组对边平行，一组邻角互补的四边形可能是直角梯形，不能判定是平行四边形，故B不符合题意． C. 一组对边相等，一组邻角互补，无法推出两组对边平行或相等，不能判定是平行四边形，故C不符合题意． D. 四边形一组对边平行，另一组对边也平行，即两组对边分别平行，根据平行四边形的定义，可知该四边形是平行四边形，故D符合题意． 故选D． 2．如图，下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，一组对边平行另一组对边相等的四边形，可能是等腰梯形，不可以判定，不符合题意； B、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可判断，可以判定，符合题意； C、两组邻角相等的四边形可能是等腰梯形，不可以判定，不符合题意； D、一组邻边相等，一组对角相等的四边形可能是筝形，不可以判定，不符合题意． 3．在四边形中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对角相等，由此即可得到答案． 【详解】∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 4．如图，点分别在边，上，，，，则图中的平行四边形共有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明四边形，四边形，四边形是平行四边形． 【详解】解：∵，， ∴， ， 四边形，四边形，四边形是平行四边形， ∴图中一共有平行四边形个． 5．如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．珍珍发现答案中是根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明的，则被墨迹覆盖住的条件可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知条件中有，因此被覆盖住的条件应为，或者能够推导出． 【详解】解：A．添加后，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，不合题意； B．由可得，仅有一组对边平行，不能证明四边形是平行四边形，不合题意； C．添加后，一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形，不合题意； D．由可得，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，符合题意． 6．下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可． 【详解】解：A.，则，， ，， ，但， 与不平行，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； B.，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； C.，，两组对边分别相等，可以判定四边形为平行四边形，故本项符合题意； D.，，且，可得， ，只有一组对边平行，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意． 故选：C． 7．用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．以三角尺的三边为对角线，分别拼成不同的平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：如图所示， 用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有3个． 故选：C． 8．在中，，平分且交于点E，点F在边上，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的性质，得到，角平分线得到，，证明四边形为平行四边形，得到，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴； 故选B． 9．如图，四边形中，，，且、的角平分线、分别交于点E、F，与交于点G．若，，则的长为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定．先证明四边形是平行四边形，，可得，再结合角平分线的定义可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵、的角平分线分别为、， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：C 10．已知一个四边形的四边长顺次为a，b，c，d，且满足，则此四边形是（    ） A．长方形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据题意，得到，从而有，，结合两组对边分别相等的四边形是平行四边形，得到结果． 【详解】解：， ∴ ， 即 ， ∵ ，， 且 ， 即 ，， ∴ 四边形两组对边分别相等， ∴ 此四边形为平行四边形. 故选：D． 二、填空题 11．一组对边相等，一组对角相等的四边形______（填“一定”或“不一定”）是平行四边形． 【答案】不一定 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 在平行四边形的边上取一点，连接，使，将绕点顺时针旋转至与重合，则四边形中，，，但四边形不是平行四边形． 【详解】解：如图，四边形中，，，但不是平行四边形． 故答案为：不一定． 12．如图是一个已标有部分数据的四边形，若添加一个条件，能使四边形是平行四边形，则这个条件可以是：_____（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题先通过已知的和，计算得出，依据“同旁内角互补，两直线平行”得到，再结合平行四边形的判定定理，得出添加，或、等条件，都能判定四边形是平行四边形． 【详解】解：已知  ， ，则， 根据同旁内角互补，两直线平行，可得， 根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，或两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 因此添加，或、都可判定四边形是平行四边形． 故这个条件可以是：，答案不唯一，也可填、等． 13．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是____________（填序号）． ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了平行四边形的判定方法、熟练掌握平行四边形的判定方法是解决问题的关键． 根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等可以判定平行四边形． 【详解】解：对于①，，，不能保证另一组对边平行或相等，故不能判定； 对于②，，，满足一组对边平行且相等，故能判定； 对于③，，，满足一组对边平行且相等，故能判定； 对于④，， 又 ∴四边形是平行四边形，故能判定． 故答案为：②③④． 14．如图，在四边形中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，．连接，则的周长为____________． 【答案】10 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、垂直平分线的性质，掌握平行四边形的对边相等，及垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 先根据且判定四边形是平行四边形，得到对边相等；再利用垂直平分线的性质得出；最后将的周长转化为，代入对应边长计算． 【详解】解：∵且， ∴ 四边形是平行四边形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴ 则的周长 ． 故答案为：10． 15．如图，和都可以由平移得到，则图中共有____________个平行四边形． 【答案】3 【详解】解：∵和都可以由平移得到， ∴，，， ∴图中的平行四边形有，共三个， 故答案为：． 16．已知平面直角坐标系中、、，若以A、B、C、D点为顶点作平行四边形，则点D的坐标为______． 【答案】或或 【分析】分情况讨论：设点D的坐标为，当、为平行四边形对角线或当、为对角线或、为对角线时，根据两条对角线的中点坐标相同，据此列方程求解即可． 【详解】解：设点D的坐标为， 当、为平行四边形对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 当、为对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 当、为对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 17．如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】2或3 【分析】分两种情况讨论：①设t秒后四边形是平行四边形；根据题意得：厘米，厘米，由得出方程，解方程即可；②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米，由得出方程，解方程即可． 【详解】解：①设经过t秒四边形是平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 即经过2秒四边形为平行四边形； ②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴ 解得． 综上，经过2秒或3秒直线将四边形截出一个平行四边形． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．注意要分情况讨论，不要漏解． 三、解答题 18．如图，在中，点、分别在、上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】先根据平行四边形的性质得，再结合已知条件证明，然后根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”得出答案． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 19．如图，在四边形中，，，的平分线交于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线可得，进而得到，从而得出结论； （2）根据平行四边形的性质得到，根据角平分线的性质得到，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得：四边形是平行四边形， ， 的平分线交于点E， ， ， ． 20．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，于，连接． (1)用圆规和无刻度的直尺，过点作的垂线，交于（不写作法和结论；只保留作图痕迹）并连接 (2)求证：四边形为平行四边形． 证明：四边形是平行四边形．对角线、交于点 （①____________） ， 在和中 ③____________ 四边形是平行四边形．（④____________） 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作垂线的方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质，对顶角相等，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定方法进行作答即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）证明：四边形是平行四边形．对角线、交于点， （平行四边形的对角线互相平分）， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 21．如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点E和点F，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．运用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定即可． 【详解】证明：连接交于点， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 22．在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移，使点与点对应，点与点对应． (1)写出点的坐标：________； (2)连接、、，在坐标轴上是否存在点，使得？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）根据平移的规律解答即可； （2）根据平移的性质可得四边形为平行四边形，从而得到，可得，进而得到，分两种情况求点：①若在轴上：以为底、的纵坐标为高，列方程求的横坐标；②若在轴上：以为底、的横坐标绝对值为高，列方程求的纵坐标；最后综合两种情况，即可得到所有满足条件的点坐标． 【详解】（1）解：∵平移后点与点对应，，， ∴点B先向右平移1个单位，再向下平移4个单位到达点B， ∵， ∴点的坐标为； （2）解：存在， 如图， 由平移的性质得：， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 分两种情况讨论： ①当点在轴上时，设点的坐标为， ， 解得， ∴点的坐标为或； ②当点在轴上时，设点的坐标为， ， 解得， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】点在坐标轴上，坐标轴包含轴和轴，必须分两种情况讨论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $