21.2.3 三角形的中位线课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章 四边形 21.2.3 三角形的中位线 学习目标 1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理. 2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题. 重点：三角形中位线的概念 难点：中位线定理解决有关证明和计算问题 复习导入 问题：平行四边形的性质和判定有哪些？ 边： 角： 对角线： B O D A C AB∥CD, AD∥BC AB=CD, AD=BC AB∥CD, AB=DC ∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC AO=CO,DO=BO 判定 性质 探究新知 知识点1 三角形的中位线 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 如图：点 D、E分别是AB、AC边的中点，线段DE就是△ABC的中位线. A B C D E 思考1：一个三角形共有几条中位线？ 答：三条 F 思考2：三角形的中位线与三角形的中线有什么异同？ 异:中位线:中点--------中点；中线:顶点--------中点 同:都有三条,都在内部，都是线段. 探究新知 知识点1 三角形的中位线 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 如图：点 D、E分别是AB、AC边的中点，线段DE就是△ABC的中位线. A B C D E 思考3：中位线DE和边BC有什么关系？ 位置关系： 数量关系： DE//BC DE=BC 猜想 探究新知 知识点1 三角形的中位线 平行 角 平行四边形 或 线段相等 一条线段是另一条线段的一半 倍长短线 分析1： 思考：如何证明你的猜想？ A B C D E F 探究新知 知识点1 三角形的中位线 思考：如何证明你的猜想？ 分析2： D E 互相平分 构造 平行四边形 倍长DE 探究新知 知识点1 三角形的中位线 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 三角形的中位线定理： A B C D E ∵DE是△ABC的中位线 ∴DE∥BC且DE=BC 符号语言： ∵△ABC中，若D、E分别是边AB、AC的中点， ∴DE∥BC，DE= BC． 思考：已知，D为中点，DE//BC， 求证：E为AC中点 平行线分线段成比例 如果AD:BD=1:2，结论仍然成立吗？ 探究新知 知识点1 三角形的中位线 问题1：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？ A B C D E F 问题2：图中共有几个平行四边形？ 3个 问题3：△DEF与△ABC的周长有什么关系？ 面积呢？ 2.顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形 1.中位线DE、EF、DF把△ABC分成四个全等的三角形 3. 中点三角形的周长是原三角形的周长的一半; 面积等于原三角形面积的四分之一. 典例解析 题型1 利用中位线进行计算 例1.如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC中点． （1） 若DE=5，则BC= ． （2） 若∠B=65°，则∠ADE= °． （3） 若 DE + BC = 12，则 BC = ． 10 65 针对训练 1.如图， □ ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为 ． 15 8 针对训练 2. 如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的平分线交DE于点F，AB=6，BC=9，则EF的长为（　　） A.0.5　　 B.1　　 C.1.5　　 D.2 C 针对训练 3.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠EPF=140°，则∠EFP的度数是（　　） A.50°　　 B.40°　　 C.30°　　 D.20° D 针对训练 4.AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F， 交AB于点G，连接EF，线段EF的长为　 　． 典例解析 题型2 利用中位线进行推理 例2如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF= BC，连接CD和EF． （1）求证：DE=CF；（2）求EF的长． (1)证明：∵D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥ BC，DE= BC. ∵CF= BC， ∴DE=FC； (2)解：∵DE∥FC，DE=FC，∴四边形DEFC是平行四边形， ∴DC=EF， ∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2， ∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，∴EF=DC= ． 针对训练 5.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点，BE的延长线与AC边相交于点D， 求证：EF=（AC－AB） 证明：∵AE⊥BD，∴∠AED=∠AEB=90°． ∴∠BAE＋∠ABE=∠DAE＋∠ADE=90°． ∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠DAE． ∴∠ABE=∠ADE．∴AB=AD． ∵AE⊥BD，∴BE=DE．∴点E为BD的中点． 又∵点F是BC的中点，∴EF=DC=（AC－AD）=（AC－AB）． 典例解析 题型3 利用中位线作辅助线 例3 如图，在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 中点． 求证：四边形 EFGH 是平行四边形． 四边形问题 连接对角线 三角形问题 （三角形中位线定理） 分析： 针对训练 6.如图，E、F、G、H 分别为四边形 ABCD 四边之中点．求证：四边形 EFGH 为平行四边形. 证明：如图，连接 BD. ∵ E、F、G、H 分别为四边形 ABCD 四 边之中点， ∴EH 是△ABD 的中位线， FG 是△BCD 的中位线， ∴ EH∥BD 且 EH = BD， FG∥BD 且 FG = BD， ∴ EH∥FG 且 EH = FG， ∴ 四边形 EFGH 为平行四边形. 典例解析 题型4 构造中位线 例4.如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE. F 证明：取AC的中点F，连接BF. ∵BD＝AB， ∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF. ∵E为AB的中点，AB＝AC， ∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB. ∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB, ∴CE＝BF， ∴CD＝2CE. 【点睛】恰当地构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键． 针对训练 7.如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点． (1)求证：PM＝PN； (2)求∠MPN的度数． 类型一：连接两点构造三角形的中位线 针对训练 8.如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝12，AC＝18， 求DM的长． E M D C B A 类型二：利用角平分线+垂直构造中位线 针对训练 9.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点. 求证： . D 类型三：倍长法构造三角形的中位线 针对训练 10．如图，在四边形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，若AB＝10，CD＝8，求MN长度的取值范围． E ● 类型四：已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线 三角形的中位线的应用 类型一：连接两点构造三角形的中位线 类型二：利用角平分线＋垂直构造中位线 类型三：倍长法构造三角形的中位线 类型四：已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线 三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系，二是数量上的倍分关系．因此，当题目中给出三角形两边的中点时，可以直接连出中位线；当题目中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，作出三角形的中位线． 归纳总结 归纳总结 平行四边形 性质定理 判定定理 应用 中位线定理 中位线：连接三角形__________的线段叫作三角形的中位线 中位线定理： 三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半 两边中点 作业布置 课堂作业:P65习题21.2的勾选做在课堂作业本上;(写清页码和题号，不抄题目) 家庭作业:打印的习题，完成对应内容到课后作业本上； (写清日期和题号，不抄题目) O M N E F D C B A 拓展提升 1．如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点.求DE的长． 2. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于O，且AC=BD，E、F分别是AB、CD的中点，连接EF分别交AC、BD于M、N. 试判断△OMN的形状，并说明理由. $