2026年中考数学二轮专题复习之解答题复习——10：《相似三角形及黄金分割》

2026 年中考第二轮复习 解答题专题 10 . 相似三角形及黄金分割   本课题是中考数学几何模块的核心枢纽考点，既是平面几何入门推理的进阶延伸，更是打通四边形、圆、解直角三角形、动态几何压轴题的核心工具，是二轮复习中 “低投入、高回报” 的关键提分课时，核心目标是实现基础题零失误、中档题稳拿分、压轴题能破题。 一、题型特点 命题梯度层级清晰，精准适配二轮分层复习题目严格遵循中考命题逻辑形成三级梯度，完全适配二轮分层复习需求：基础保分层，聚焦相似三角形判定、性质的直接证明，黄金分割定义的基础应用，无复杂综合，是全员必拿的保底分；中档提分层，深度融合矩形、正方形、圆、平行四边形、角平分线、折叠等场景，核心考查相似三角形四大经典模型，是二轮复习的核心突破重点；压轴拉分层，绑定旋转、动点、动态转角、最值、多结论判断考查，是中考解答题的核心拉分点，完全贴合全国中考 “重基础、强综合、考素养” 的命题趋势。 核心模型全覆盖，模型化命题特征极强超 90% 的题目围绕中考相似三角形 6 大必考模型命题，且均以解答题标准化步骤考查：平行线 A 字 / 8 字模型、子母型共边共角模型、一线三垂直 / 一线三等角模型）、旋转型相似模型、双垂型模型、角平分线相似模型；同时黄金分割考点 100% 绑定相似三角形，形成黄金三角形、黄金矩形两大专属命题模型，二轮复习可通过模型识别实现 “见题识型、固定辅助线、标准化破题”，大幅缩短解题时间。 跨模块融合性极强，是几何综合的核心纽带极少单独考查纯相似证明，超 80% 的题目与初中几何全模块深度融合：正方形 / 矩形 / 平行四边形、圆、勾股定理、锐角三角函数、图形折叠 / 平移 / 旋转变换，相似三角形是搭建边角等量关系、线段比例转化、面积计算、动态最值求解的核心桥梁，是中考几何综合题的必考解题环节，哪怕是压轴题，也必然包含 1-2 步相似三角形的证明与应用。 贴合新课标素养导向，实际应用场景高频命题高频结合生活实际场景命题：旗杆 / 雕塑高度测量、镜面反射、三角板实操探究、建筑黄金矩形设计等，摒弃纯理论证明，重点考查学生的数学建模能力，完全贴合新课标对 “数学抽象、数学建模、几何直观” 核心素养的考查要求，是近年中考的命题热点。 陷阱设置隐蔽，细节区分度极强解答题按步骤给分，命题人高频在细节处设置失分陷阱：相似对应顶点错位、判定定理前提遗漏、黄金分割长短段颠倒、动态题多解漏解、循环论证、面积比与相似比混淆，极易出现 “知识点掌握但步骤失分、结果算错” 的隐性失分，是二轮复习易错点复盘的核心重点。 二、答题要点 （一）基础证明类题目（必拿分）核心答题要点 固化相似判定优先级，精准锁定核心条件严格遵循 “先找角，再找边” 的判定优先级，90% 的基础证明题可通过 “两组对应角相等” 破题：优先锁定公共角、对顶角、平行线带来的内错角 / 同位角、同弧所对的圆周角、折叠 / 旋转带来的对应等角，两组等角即可完成相似判定；只有一组等角时，验证等角的两组夹边对应成比例；无等角时，验证三组对应边成比例，杜绝无逻辑的盲目推导。 规范比例式书写，精准对应相似关系证明相似后，必须严格按照对应顶点的顺序书写比例式，对应角的对边为对应边，杜绝比例式错位；求线段长时，优先用 “横比 = 横比、纵比 = 纵比” 的方式列方程，减少交叉计算错误；求面积比时，牢记核心结论相似三角形面积比 = 相似比的平方，严禁直接等同于相似比。 规范推理依据，确保踩点得分填写推理依据时，必须使用中考认可的规范定理全称：①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似；④平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，杜绝不规范简称导致的步骤失分。 （二）黄金分割专题题目核心答题要点 紧扣核心定义，固定推导逻辑所有黄金分割题的核心公式为：长线段 ²= 短线段 × 全线段，100% 的题目都围绕 “通过相似三角形推导出该比例式” 展开，无需复杂推导，紧扣核心公式即可完成证明与计算。 固化黄金比计算，规避基础错误牢记两个核心黄金比结论： =≈0.618， =​；计算时先列一元二次方程，再分母有理化，杜绝分子分母颠倒、根号计算错误；黄金三角形、黄金矩形题，先通过等角证等腰三角形，再通过相似推导黄金比例式，形成标准化解题流程。 （三）模型化中档题目核心答题要点 模型秒识别，固定辅助线做法 遇平行线：直接找 A 字 / 8 字相似，无平行线时，过关键点作平行线构造相似，是线段比例题的核心辅助线做法； 遇一线三垂直 / 一线三等角：直接锁定两个直角 / 等角，通过 “同角的余角相等” 推第二组等角证相似，是折叠、矩形综合题的核心破题点； 遇子母型相似：优先找公共角 + 一组等角，锁定共边共角型相似，直接套用 “公共边的平方 = 被分线段两段的乘积” 的固定结论，秒解线段长。 综合题分步拆解，化繁为简融合四边形、圆的综合题，先拆解基础模块：第一步从题干中提取平行线、等角、等线段条件，先完成相似三角形的证明；第二步用相似的比例式求线段长、角度；第三步结合其他图形性质完成最终求解，分步踩点得分，避免一步到位的复杂推导。 （四）动态几何压轴题核心答题要点 动态问题静态化，紧抓不变量旋转、折叠、动点题中，先锁定变换中的不变量：折叠 / 旋转的对应角相等、对应边相等，圆中的圆周角定理，平行线的等角关系，通过不变量找等角证相似，把动态问题转化为静态的相似三角形求解。 多解问题分类讨论，杜绝漏解旋转角动态变化、点在线段 / 延长线上的动点题，分 “点在图形内部 / 外部”“旋转方向顺时针 / 逆时针” 两类情况，分别画图、证相似、求解，每类情况单独写清推导过程，避免单解漏解。 最值问题用相似转化，简化计算求面积、线段最值时，通过相似三角形的比例式，把面积、未知线段转化为关于动点参数的二次函数，结合二次函数性质、两点之间线段最短、垂线段最短求解，规避复杂的几何推导。 （五）实际应用题核心答题要点 物高测量、镜面反射题，先通过物理原理（光的反射定律）、几何性质找等角，证相似三角形，再把现场测量数据代入比例式，列方程求解，核心是把实际场景 1:1 转化为相似三角形几何模型，确保单位统一、比例式对应准确。 三、避坑指南 （一）概念性避坑（杜绝基础零分） 严禁混淆相似三角形的判定与性质，杜绝循环论证最高频易错点：用平行线性质证得等角，推导出三角形相似后，又用相似的性质再证内错角相等，出现循环论证；填写推理依据时，把判定和性质写反，导致步骤全失分，二轮复习必须强化 “证平行用判定、求角 / 边用性质” 的因果逻辑。 杜绝忽略 “夹角” 核心前提的判定错误学生高频误用 “两边成比例 + 任意一组角相等” 证相似，完全忽略 “夹角必须是成比例两边的夹角” 的核心前提，导致证明逻辑完全断裂，是中档题最常见的失分点，必须通过专项训练强化前提意识。 黄金分割长短段颠倒，比例式完全错位忽略AP>PB的核心前提，把短线段当作长线段，列错BP2=AP⋅AB的错误比例式；记错黄金比的分子分母，把25​−1​写成25​+1​，导致基础计算全错，是黄金分割题的唯一核心易错点。 面积比与相似比的关系混淆高频出现 “相似三角形面积比 = 相似比” 的低级错误，忘记平方，尤其在圆、四边形的面积综合题中，一步错步步错，必须牢记 “线段比 = 相似比，面积比 = 相似比的平方” 的核心区别。 （二）逻辑推理避坑（杜绝步骤失分） 相似对应顶点不对应，比例式完全错误书写相似时，不按对应顶点顺序写，比如把错写成，导致对应边找错、比例式列错，最终线段求解完全错误，是学生最普遍的隐性失分点，必须强制要求 “对应顶点对齐写”。 无前提证相似，逻辑链条断裂在无平行、无等角的前提下，直接默认三角形相似，强行列比例式；比如无平行前提，直接套用 A 字相似结论，推理前提不成立，证明逻辑完全错误，必须要求 “先证相似，再用比例式”，严禁无依据跳步。 多步相似推导跳步，踩点不全综合题中需要两次及以上相似推导时，省略第一次相似的证明过程，直接用比例式，导致步骤分丢失；尤其在圆、黄金分割综合题中，必须写清每一次相似的判定条件，完整呈现逻辑链条，杜绝跳步。 （三）审题与计算避坑（杜绝结果失分） 无图题 / 动态题漏解，忽略多位置情况动态几何题、无图几何题中，只考虑点在线段上的情况，忽略点在线段延长线、旋转角超过 180° 的情况，导致漏解，解答题直接扣掉一半分值，必须养成 “无图题先分类、动态题先定边界” 的审题习惯。 计算细节错误，前功尽弃黄金分割比例式计算中，分母有理化错误；勾股定理计算时，平方、开方错误；比例式交叉相乘时，符号、数值算错，导致最终结果错误，二轮复习必须强化 “先列对式子，再分步计算” 的习惯，杜绝口算失误。 题干条件漏看，关键信息遗漏折叠题中漏看折叠前后的对应边、对应角相等；圆中漏看直径所对的圆周角是直角；动点题中漏看动点的取值范围，导致求解结果超出题干限定范围，全题失分，必须要求审题时圈画核心条件，避免遗漏。 （四）书写规范避坑（杜绝非知识性失分） 几何证明步骤不完整，踩点不全证明相似时，只写角相等，不写判定定理依据；只证相似，不写 “对应边成比例”，直接列方程，导致步骤分丢失，中考解答题必须写清 “条件→判定→结论→应用” 的完整步骤。 数学符号书写不规范，阅卷误判相似符号 “∽” 错写成全等符号 “≌”；角度、顶点字母书写颠倒，比如∠ABC写成∠ACB；根号、角度、上标下标格式错乱，导致阅卷误判失分，必须强化数学符号的规范书写。 四、真题练习 1.（23-24·达州模拟）如图，在每个边长为个单位长度的小正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将先向左平移个单位长度，再向下平移个单位得到，请画出． （2）请在给定网格中画一个格点，使，且相似比不为（画出一个即可）． （3）的度数是___ ______． 【答案】 见解析 见解析 【解析】 （1）根据平移的概念，画出图形即可； （2）根据相似三角形的性质，画图即可； （3）利用等腰直角三角形的性质，即可解答． 【解答】 （1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求；（答案不唯一） （3）解：如图，， ， ，由平移得到， ， 故答案为：． 2.（25-26·安徽模拟）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．（要求使用无刻度的直尺画图） （1）在图1中，将以点C为位似中心放大2倍得到，请画出； （2）在图2中，在线段上画一个点P，使． 【答案】 见解析 见解析 【解析】 （1）延长 至 ，使得 ，同理作出 ，连接 得到 ，即为所求； （2）取格点C，D使得 ，由 得 ，连接CD，交AB于点P，即可求解. 【解答】 （1）解：所作 如图所示： （2）解：所作点P如图所示： 3.（25-26·四川模拟）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】 见解析 【解析】 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【解答】 解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 4.（24-25·黑龙江模拟）如图，在正方形中，点是的中点，点在上，且，连接、.求证：. 【答案】 证明：四边形是正方形， ，. 点是的中点， ，即. ， ，即. ，. . ， . 【解析】 此题暂无解析 【解答】 证明：四边形是正方形， ，. 点是的中点， ，即. ， ，即. ，. . ， . 5.（23-24·甘肃模拟）已知点是矩形的边上一点，于点，求证：．    【答案】 见解析 【解析】 本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了矩形的性质：四个角都是直角．先利用等角的余角相等得到，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到结论． 【解答】 证明：∵ 四边形为矩形， ∴ ， ∴ ， ∵ 于点， ∴ ， ∴ ， ∴ ．   6.（24-25·浙江模拟）如图，已知点是线段的黄金分割点，，以点为圆心，以长为半径画弧；再以点为圆心，以一定长为半径画弧，两弧交于点，连结． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】 见解析 【解析】 （1）先由黄金分割的定义得到，，然后由作图可知，进行等量代换，再由两边成比例且夹角相等证明相似； （2）由得到，则，再代入数据求解． 【解答】 （1）解：证明：点是线段的黄金分割点，， ，， 由作图可知，， ，即， 又， ； （2）解：， ， ， ， ． 7.（25-26·江苏模拟）如图，中，点是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 【答案】 ②，见解析 【解析】 本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【解答】 证明：选择① ， ， ， ． 8.（24-25·山东模拟）已知：如图，在四边形中，，连接、，是等边三角形，，与交于点，． （1）请写出与之间的数量关系，并证明； （2）求证：点是线段的黄金分割点． 【答案】 ，见解析 见解析 【解析】 （1）根据，得出，根据，得出，即可证明． （2）根据，得出．证出．根据为等边三角形，得出，结合，得出，证出为等边三角形，即可得，结合和，得出，即可证明点是线段的黄金分割点． 【解答】 （1）解：， 证明：如图所示， ， ， ， ， ， ， 即． （2）解：， ． ，， ． 为等边三角形， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， ，即， 点是线段的黄金分割点． 9.（24-25·吉林模拟）如图，已知中，点是边上一点，点是外一点，,. （1）求证： ; （2）若 ，求的值． 【答案】 【解析】（）证明：∵ ，∴ , 又∵ ，∴  ; （2）∵ ，∴ ， ∴ . 【解析】 此题暂无解析 【解答】 【解析】（）证明：∵ ，∴ , 又∵ ，∴  ; （2）∵ ，∴ ， ∴ . 10.（25-26·云南模拟）如图，与有公共顶点，．请添加一个条件：__或（答案不唯一）____，使得，然后再加以证明． 【答案】 或（答案不唯一），证明见详解 【解析】 此题主要考查了相似三角形的判定，熟练应用相似三角形的性质是解题关键． 利用两角对应相等的三角形相似进而得出即可； 【解答】 解：使，则需添加的条件可以是：或， 理由：①添加的条件可以是：时， ， ， 即， 又， ； ②添加的条件可以是：时， ， ， 即， 又， ； 故答案为：或（答案不唯一）． 11.（24-25·宁夏模拟）在和中，点在上，已知，. （1）求证： ； （2）若，，求的度数． 【答案】 解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ . ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 的度数为  . 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1） 解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ . （2） ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 的度数为  . 12.（22-23·湖南中考）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星，如图，正五边形的边、的延长线相交于点，的平分线交于点． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）求的值． 【答案】见解答； 的长为； 的值为． 【解析】 （1）根据正五边形的性质可得，从而利用平角定义可得，进而利用三角形内角和定理可得，然后利用角平分线的定义可得，从而可得，进而可证，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答； （2）设，利用（1）的结论可得：，从而可得，利用（1）的结论可得：，从而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，再利用线段的和差关系可得，最后利用（1）的结论可得：，从而可得，进行计算即可解答； （3）连接，，根据正五边形的性质可得，，从而可得，再利用等腰三角形的性质可得，，从而可得，然后利用（1）的结论可得：，从而可证利用可证，再利用（2）的结论可得：，从而可得，进而可得，最后设的面积为，则的面积为，从而可得的面积的面积，的面积的面积，进而可求出五边形的面积，再进行计算即可解答． 【解答】 （1）证明：五边形是正五边形， ， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ； （2）解：设， 由（1）可得：， ， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， ， 由（1）可得：， ， 解得：或（舍去）， 的长为； （3）连接，， 五边形是正五边形， ，， ， ，，， ，， ，， 由（1）可得：， ，， ， 由（2）得：， ， ， 设的面积为，则的面积为， 的面积的面积，的面积的面积， 五边形的面积的面积的面积的面积， ， 的值为． 13.（22-23·西藏模拟）如图，点，分别在的边，上，且，，，. （1）求证：； （2）若的面积等于，求四边形的面积是多少？ 【答案】 见解答． ． 【解析】 （1）无 （2）无 【解答】 （1）证明：∵ ，，，， ∴ ，， ∴ ，， 即， 又， ∴ ． （2）解：∵ ，， ∴ ， 当时，， ∴ 四边形的面积是． 14.（22-23·湖北中考）如图，，交于点，，且平分. （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】 证明：∵ ， ∴ . ∵ 平分， ∴ ， ∴ . 又∵ ， ∴ . 解：∵ ， ∴ . 又∵ ，，， ∴ ， ∴ ． 【解析】 （1）  （2）  【解答】 （1）证明：∵ ， ∴ . ∵ 平分， ∴ ， ∴ . 又∵ ， ∴ . （2） 解：∵ ， ∴ . 又∵ ，，， ∴ ， ∴ ． 15.（24-25·西藏模拟）如图，在平行四边形中，过点作，垂足为点，连接，为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】 证明：∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，， ∴ ，． ∵ ，， ∴ ． 在与中， ∴ ． 解：∵ 四边形是平行四边形， ∴ ． 由知， ∴ ， ∴ ． 【解析】 （1）  （2）  【解答】 （1）证明：∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，， ∴ ，． ∵ ，， ∴ ． 在与中， ∴ ． （2）解：∵ 四边形是平行四边形， ∴ ． 由知， ∴ ， ∴ ． 16.（24-25·广东模拟）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段，若，则把这种分割叫做黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金比． （1）如图①，点是线段的黄金分割点，设，，求黄金比的值．（精确到，参考数据：，，，） （2）如图②，在中，，，是的角平分线．求证：点是线段的黄金分割点． （3）如图③，点是正方形的边的中点，以点为圆心以长为半径画弧，交射线于点，过点作交射线于点．若，请直接写出的长． 【答案】 见解析 【解析】 （1）根据黄金比的定义列方程，解方程即可； （2）先通过等角对等边证明，再证，根据相似三角形对应边成比例可得，等量代换后得，即可证明点是线段的黄金分割点； （3）设，则，，根据勾股定理求出，进而可得，再证四边形是矩形，根据列方程，求出的值即可． 【解答】 （1）解：根据题意得，． 解得，（舍），． （2）解：，， ． 是的角平分线， ． ，， ，， ， ，， ． ． ． 点是线段的黄金分割点． （3）解：四边形是正方形，点是边的中点， 设，则，， 在中，， ， ， 四边形是正方形，， ， 四边形是矩形， ， 解得， 的长为． 17.（24-25·青海模拟）【探究与证明】 【问题情境】宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 （1）图③中______（保留根号）； （2）如图③，判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图④，请证明矩形和矩形是黄金矩形． 【答案】 四边形是菱形，理由见解析 见解析 【解析】 （1）根据四边形是正方形得，由折叠的性质得，，在中，根据勾股定理得即可得； （2）四边形是菱形，由折叠的性质可知，，，证明四边形为平行四边形，由，即可证明； （3）根据黄金矩形的定义证明即可得． 【解答】 （1）解：由题知四边形为正方形，且， ，， 又矩形与矩形相等， ， ； （2）解：四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可知，，， 又四边形为矩形， ，则， ， ，， 四边形为平行四边形， 又， 四边形为菱形； （3）证明：，，， ， 则， 故四边形为黄金矩形， ，，， ， ， 故四边形为黄金矩形．   18.（23-24·广西中考）如图，中，，．的垂直平分线分别交，于点，，平分． （1）求证：； （2）如图，将绕点逆时针旋转得到，旋转角为．连接， ①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由； ②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 【答案】 见解析 ①，；②或 【解析】 （1）利用线段垂直平分线的性质得出，利用等边对等角得出，结合角平分线定义可得出，最后根据相似三角形的判定即可得证； （2）先求出，然后利用含的直角三角形性质求出，，，利用勾股定理求出，，取中点，连接，，作于，由旋转的性质知，为旋转所得线段，则，，，根据点到直线的距离，垂线段最短知，三角形三边关系得出，故当、、三点共线，且点在线段时，取最大值，最大值为，此时，最后根据三角形面积公式求解即可； ②先利用三角形三边关系判断出，，则当为直角三角形时，只有，然后分和重合，和重合，两种情况讨论即可． 【解答】 （1）解：证明：垂直平分， ， ， 平分 ， ， 又； ； （2）解：①， ， ， ， 又， ，， 垂直平分， ，， ， ， 取中点，连接，，作于， 由旋转的性质知，为旋转所得线段， ，，， 根据垂线段最短知， 又， 当、、三点共线，且点在线段时，取最大值，最大值为， 此时， 面积的最大值为； ②，， ， 同理 为直角三角形时，只有， 当和重合时，如图， ，， ， ， ， ， 、、三点共线， 为直角三角形， 此时旋转角； 当和重合时，如图， 同理，， ， ， ， ， 、、三点共线， 又 为直角三角形， 此时旋转角； 综上，旋转角的度数为或时，为直角三角形． 19.（24-25·广东模拟）如图一，矩形， ，点是的中点，联结．将沿着翻折，点落在点 处，连接并延长交于点处． （1）如图二联结，求证：； （2）如图三，联结，若， ①求证：； ②求的长. 【答案】 解：如图， ∵ ， ∴ ， 由翻折的性质可得， ， ， ∴  . 由①得，可得. ∵  ， ∴ ，  而， ∵  ， ∴ ， ∴  ，即. ②∵ ，且四边形为平行四边形， 设， 则，  ∵ ， ∴ ， 即， 则. 【解析】 （1）由翻折，得到，， ，即可求证 ； 【解答】 （1）解：如图， ∵ ， ∴ ， 由翻折的性质可得， ， ， ∴  . （2）由①得，可得. ∵  ， ∴ ，  而， ∵  ， ∴ ， ∴  ，即. ②∵ ，且四边形为平行四边形， 设， 则，  ∵ ， ∴ ， 即， 则. 20.（25-26·全国模拟）如图，是一个平行四边形纸片，是一条对角线，，． （1）如图，将平行四边形纸片沿折叠，点的对应点落在点处，交于点． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②求的面积； （2）如图，点，分别在平行四边形纸片的，边上，连接，且，将平行四边形纸片沿折叠，使点的对应点落在边上，求的长． 【答案】 ①，理由略；② 【解析】 （1）①由翻折得，，利用四边形是平行四边形，可证明，，再证明，即可求证； ②由，得，过点作于点，过点作于点，利用等腰三角形性质得，求出，可得，利用勾股定理求出，即可求解； （2）过点作于点，连接交于点，过点作于点，由翻折的性质得，同（2）可得，利用，求出，可得，证明，得出，求出，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【解答】 （1）解：①由翻折得，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 又， ， ； ②由， ， 如图，过点作于点，过点作于点， ， ，， ， ， ， ， ； （2）解：过点作于点，连接交于点，过点作于点， 由翻折的性质得， 同（2）可得， ， ， 即， 得， ， 平行四边形中，，， ， 又， ， ， ， ，， ， ， ， 即， 解得：． 21.（25-26·四川模拟）如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点． （1）求证：是的切线． （2）当，时，求线段的长． 【答案】 见解析 【解析】 （1）方法一：过点作于点，证明，则，由为的半径得到为的半径，由即可证明是的切线；由角平分线的性质定理得到，由为的半径得到为的半径，由即可证明是的切线； （2）证明，则，求出，则，在中，求出，得到，，证明，则，设，则，即可求出答案． 【解答】 （1）解：方法一： 证明：过点作于点， ， ， 与相切于点， ， ， ，， ， ， 为的半径， 为的半径， ， 是的切线； 方法二： 证明：过点作于点， 与相切于点， ， ， 是的平分线， ， 为的半径， 为的半径， ， 是的切线； （2），为半径， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，， ，， ， ， 设，则， ， 解得， ． 22.（25-26·浙江模拟）如图，四边形内接于，，的延长线相交于点，，相交于点．是上一点，交于点，且． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的周长． 【答案】 见解析 见解析 【解析】 （1）利用得，结合同弧所对圆周角，再根据三角形外角性质，完成证明 ． （2）先证得，再通过角的等量代换证，推出，从而得 ． （3）利用结论将周长转化为，通过相似三角形及三角函数、勾股定理求出的长，即周长为 ． 【解答】 （1）解：证明：， ． ， ， ． ， ． （2）证明：， ． ， ， 又， ， ， ． 由知，， 又， ， ． ， ． ， ， ， ， ． （3）解：由知，， 的周长为． 设，则． 由可知，． 又， ， ， ， ． 又， ， ． 过点作，垂足为，则． 四边形是圆内接四边形， ， 又， ， ． 在中，，即． ， ， ， ． 在中，， ， 解得，或（舍去）． ． 的周长为． 23.（25-26·河南模拟）在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． （1）观察猜想 如图，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________． （2）类比探究 如图，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 【答案】 图见解析；不成立，，证明见解析 或． 【解析】 （1）如图，过点作于点，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，过点作于点，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）分和分别利用的相关结论以及相似三角形的判定与性质、勾股定理解答即可． 【解答】 （1）解：如图，过点作于点， 平分，，， ， 在和中， ，， ， ， ，，， ， 四边形是矩形， ， ． 故答案为：． （2）解：不成立，，证明如下： 如图，过点作于点， 平分，，， ， 在和中， ，， ， ， ，，， ， 四边形是矩形， ， ． （3）解：①如图：当时， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ； ②如图：当时， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ． 综上，的值为 或． 24.（24-25·湖南模拟）为测量水平操场上旗杆的高度，九班各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为__11.3______； （2）如图，小李站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面，两点始终处于同一水平线上． 如图，在支架上端处，用细线系小重物，标高线始终垂直于水平地面． 如图，在江姐故里广场上点处，同学们用注水管确定与雕塑底部处于同一水平线的，两点，并标记观测视线与标高线交点，测得标高，．将观测点后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 【答案】 旗杆高度为； 雕塑高度为． 【解析】 （1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可； （2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案； （3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解． 【解答】 （1）解：由题意得，由题意得：， ， 故答案为：； （2）解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：， ，， ， ， ，即， ， 答：旗杆高度为； （3）解：设， 由题意得：，， ，， 即，， ， 整理得， 解得，经检验符合题意. ， 答：雕塑高度为．  25.（23-24·贵州模拟）如图，是的外接圆，，连接，延长交于点，交于点． （1）的度数为____90°___度，写出图中一对全等的三角形：_______； （2）求证：； （3）若，试求的度数． 【答案】 ， 证明见解析 【解析】 （1）根据直径所对的圆周角为直角即可得到的度数，再利用即可证明出； （2）运用同圆中相等的弧所对的圆周角相等证出和，即可得到； （3）根据推理出，利用含角的直角三角形边的比值关系可推理出，再利用圆周角与圆心角的数量关系转角即可求解． 【解答】 （1）解：由题意可得：为的直径， ， ， 在和中， ， ； （2）解：由可得：， ， ， 又， ， ； （3）连接如图所示： ，， 是的垂直平分线， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ． 26.（2026模拟）(10分) 已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． （1）将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； （2）如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 【答案】 ①证明见解析 ② 为定值，该定值为 【解析】 （1）①过点P作PG BC、PH CD，根据四边形ABCD是正方形得到 ，证四边形PGCH是矩形，又得到PH=CH，进而证明四边形PGCH是正方形，利用角度关系得到 ，证出 ，根据全等三角形的性质得到PE=PF即可； ②过点P作PG BC、PH CD，根据 ①可得到 ，根据PH AD，证得 并且 ，利用相似三角形的性质得到 ，最后进行面积转化得到定值即可； （2）过点P作PG BC、PH AB，连接EF，易证得 ，根据相似三角形的性质得到PF=ak，再证 ，根据相似三角形的性质 ，同理可得 ，进而得到BE=BF， 是等腰直角三角形，根据三角形面积公式进行求解即可. 【解答】 （1）①证明：过点P作PG BC、PH CD，如图所示： 四边形ABCD是正方形 四边形PGCH是矩形 ②过点P作PG BC、PH CD，如图所示： 由 ①可知四边形PGCH是正方形 （2）解：过点P作PG BC、PH AB，连接EF，如图所示： 射线PE绕点P顺时针旋转 ，交边AB于点F 是等腰直角三角形 答：四边形PEBF的面积为 . 27.（23-24·贵州模拟）如图，在矩形中，厘米，厘米．点沿边从开始向点以的速度移动；点沿边从点开始向点以速度移动．如果、同时出发，用（秒）表示移动的时间，那么： （1）当为何值时，． （2）计算四边形的面积，并提出一个与计算结果有关的结论． （3）当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似？ 【答案】 四边形的面积是，在、两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变（答案不唯一） 当经过秒或秒时，与相似 【解析】 （1）根据题意得出，由于，列方程并解出即可； （2）根据计算即可得出结论； （3）由于以点、、为顶点的三角形与的对应边不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【解答】 （1）解：厘米，厘米，点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动；点沿边从点向点以厘米/秒的速度移动， ， ， ， 解得：； （2）解：在中， ，边上的高， ， 在中，， ， ， 由计算结果发现：在、两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变； （3）解：在矩形中， ， 分两种情况： 当时，即， 解得：（秒）； 当时，即， 解得：（秒）． 故当经过秒或秒时，与相似． 28.（22-23·贵州模拟）如图：在中，弦，相交于的中点，连接并延长至点，使，连接，. （1）求证：； （2）当，求的值． 【答案】 证明：∵ 弧对的圆周角是和， ∴ . ∵ ，， ∴ 是的中位线， ∴ ， ∴ ， ∴ . 解：∵ ， ∴ . ∵ ， ∴ . 【解析】 （1）根据圆周角定理求出，根据平行线的性质得出，根据相似三角形的判定推出即可； （2）根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可． 【解答】 （1）证明：∵ 弧对的圆周角是和， ∴ . ∵ ，， ∴ 是的中位线， ∴ ， ∴ ， ∴ . （2）解：∵ ， ∴ . ∵ ， ∴ . 29.（22-23·四川中考） （1）如图①，在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点落在上处，若，，求的值； （2）如图②，在矩形的边上取一点，将四边形沿翻折，使点落在的延长线上处，若，，求的值； （3）如图③，在中，，，垂足为点，，，过点作交于点，连接，且满足，直接写出的值． 【答案】 解：四边形是矩形， ，，， 由翻折性质得，， 在中，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得 ， ，， ； 四边形是矩形， ，，， 由翻折性质得，，，， ， ， ， ，即， 又， ， ， 在中， ， ，则， ； ，， ， ， ，， ， ， 则， 设，， 过点作于，则， ， ， ， ， 又，， ， ， 在中，由勾股定理得 ， ，解得， ，， 在中，， 过作于， 则， ， ， ，， ，， ， ， 在中， ，， ， ， ， ． 【解析】 （1）由矩形性质和翻折性质、结合勾股定理求得，设，则，中利用勾股定理求得 ，则，，进而求解即可； （2）由矩形的性质和翻折性质得到，证明，利用相似三角形的性质求得，则，在中，利用勾股定理求得，进而求得，可求解； （3）证明得到，则；设，，过点作于，证明得到，在中，由勾股定理解得，进而可求得．过作于，证明，则，，再证明，在中利用锐角三角函数和，求得，即可求解． 【解答】 （1）解：四边形是矩形， ，，， 由翻折性质得，， 在中，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得 ， ，， ； （2）四边形是矩形， ，，， 由翻折性质得，，，， ， ， ， ，即， 又， ， ， 在中， ， ，则， ； （3），， ， ， ，， ， ， 则， 设，， 过点作于，则， ， ， ， ， 又，， ， ， 在中，由勾股定理得 ， ，解得， ，， 在中，， 过作于， 则， ， ， ，， ，， ， ， 在中， ，， ， ， ， ． 30.（22-23·江苏中考）【问题情境】 在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，，，设． 【操作探究】 如图，先将和的边、重合，再将绕着点按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接． （1）当时，  ；当时，  ； （2）当时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积； （3）如图，取的中点，将绕着点旋转一周，点的运动路径长为  ． 【答案】 ,或 如图： ，，， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形是正方形， ， ， ， 同理， 两块三角板重叠部分图形的面积为； 【解析】 （1）当时，，，共线，，，共线，可得是等边三角形，故；当时，过作于，分两种情况画出图形，可得答案； （2）画出图形，可得，，故，同理，从而两块三角板重叠部分图形的面积为； （3）连接，由，为中点，知，故的运动轨迹是以为直径的圆，用圆周长公式可得答案． 【解答】 （1）解：如图： ，， ， 当时，，，共线，，，共线， ， 是等边三角形， ； 当时，过作于， 如图： ， ， ， ， ， ； 如图： 同理可得， ， 当时，或； （2）如图： ，，， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形是正方形， ， ， ， 同理， 两块三角板重叠部分图形的面积为； （3）连接，如图： ，为中点， ， 的运动轨迹是以为直径的圆， 点的运动路径长为． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第二轮复习 解答题专题 10 . 相似三角形及黄金分割   本课题是中考数学几何模块的核心枢纽考点，既是平面几何入门推理的进阶延伸，更是打通四边形、圆、解直角三角形、动态几何压轴题的核心工具，是二轮复习中 “低投入、高回报” 的关键提分课时，核心目标是实现基础题零失误、中档题稳拿分、压轴题能破题。 一、题型特点 命题梯度层级清晰，精准适配二轮分层复习题目严格遵循中考命题逻辑形成三级梯度，完全适配二轮分层复习需求：基础保分层，聚焦相似三角形判定、性质的直接证明，黄金分割定义的基础应用，无复杂综合，是全员必拿的保底分；中档提分层，深度融合矩形、正方形、圆、平行四边形、角平分线、折叠等场景，核心考查相似三角形四大经典模型，是二轮复习的核心突破重点；压轴拉分层，绑定旋转、动点、动态转角、最值、多结论判断考查，是中考解答题的核心拉分点，完全贴合全国中考 “重基础、强综合、考素养” 的命题趋势。 核心模型全覆盖，模型化命题特征极强超 90% 的题目围绕中考相似三角形 6 大必考模型命题，且均以解答题标准化步骤考查：平行线 A 字 / 8 字模型、子母型共边共角模型、一线三垂直 / 一线三等角模型）、旋转型相似模型、双垂型模型、角平分线相似模型；同时黄金分割考点 100% 绑定相似三角形，形成黄金三角形、黄金矩形两大专属命题模型，二轮复习可通过模型识别实现 “见题识型、固定辅助线、标准化破题”，大幅缩短解题时间。 跨模块融合性极强，是几何综合的核心纽带极少单独考查纯相似证明，超 80% 的题目与初中几何全模块深度融合：正方形 / 矩形 / 平行四边形、圆、勾股定理、锐角三角函数、图形折叠 / 平移 / 旋转变换，相似三角形是搭建边角等量关系、线段比例转化、面积计算、动态最值求解的核心桥梁，是中考几何综合题的必考解题环节，哪怕是压轴题，也必然包含 1-2 步相似三角形的证明与应用。 贴合新课标素养导向，实际应用场景高频命题高频结合生活实际场景命题：旗杆 / 雕塑高度测量、镜面反射、三角板实操探究、建筑黄金矩形设计等，摒弃纯理论证明，重点考查学生的数学建模能力，完全贴合新课标对 “数学抽象、数学建模、几何直观” 核心素养的考查要求，是近年中考的命题热点。 陷阱设置隐蔽，细节区分度极强解答题按步骤给分，命题人高频在细节处设置失分陷阱：相似对应顶点错位、判定定理前提遗漏、黄金分割长短段颠倒、动态题多解漏解、循环论证、面积比与相似比混淆，极易出现 “知识点掌握但步骤失分、结果算错” 的隐性失分，是二轮复习易错点复盘的核心重点。 二、答题要点 （一）基础证明类题目（必拿分）核心答题要点 固化相似判定优先级，精准锁定核心条件严格遵循 “先找角，再找边” 的判定优先级，90% 的基础证明题可通过 “两组对应角相等” 破题：优先锁定公共角、对顶角、平行线带来的内错角 / 同位角、同弧所对的圆周角、折叠 / 旋转带来的对应等角，两组等角即可完成相似判定；只有一组等角时，验证等角的两组夹边对应成比例；无等角时，验证三组对应边成比例，杜绝无逻辑的盲目推导。 规范比例式书写，精准对应相似关系证明相似后，必须严格按照对应顶点的顺序书写比例式，对应角的对边为对应边，杜绝比例式错位；求线段长时，优先用 “横比 = 横比、纵比 = 纵比” 的方式列方程，减少交叉计算错误；求面积比时，牢记核心结论相似三角形面积比 = 相似比的平方，严禁直接等同于相似比。 规范推理依据，确保踩点得分填写推理依据时，必须使用中考认可的规范定理全称：①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似；④平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，杜绝不规范简称导致的步骤失分。 （二）黄金分割专题题目核心答题要点 紧扣核心定义，固定推导逻辑所有黄金分割题的核心公式为：长线段 ²= 短线段 × 全线段，100% 的题目都围绕 “通过相似三角形推导出该比例式” 展开，无需复杂推导，紧扣核心公式即可完成证明与计算。 固化黄金比计算，规避基础错误牢记两个核心黄金比结论： =≈0.618， =​；计算时先列一元二次方程，再分母有理化，杜绝分子分母颠倒、根号计算错误；黄金三角形、黄金矩形题，先通过等角证等腰三角形，再通过相似推导黄金比例式，形成标准化解题流程。 （三）模型化中档题目核心答题要点 模型秒识别，固定辅助线做法 遇平行线：直接找 A 字 / 8 字相似，无平行线时，过关键点作平行线构造相似，是线段比例题的核心辅助线做法； 遇一线三垂直 / 一线三等角：直接锁定两个直角 / 等角，通过 “同角的余角相等” 推第二组等角证相似，是折叠、矩形综合题的核心破题点； 遇子母型相似：优先找公共角 + 一组等角，锁定共边共角型相似，直接套用 “公共边的平方 = 被分线段两段的乘积” 的固定结论，秒解线段长。 综合题分步拆解，化繁为简融合四边形、圆的综合题，先拆解基础模块：第一步从题干中提取平行线、等角、等线段条件，先完成相似三角形的证明；第二步用相似的比例式求线段长、角度；第三步结合其他图形性质完成最终求解，分步踩点得分，避免一步到位的复杂推导。 （四）动态几何压轴题核心答题要点 动态问题静态化，紧抓不变量旋转、折叠、动点题中，先锁定变换中的不变量：折叠 / 旋转的对应角相等、对应边相等，圆中的圆周角定理，平行线的等角关系，通过不变量找等角证相似，把动态问题转化为静态的相似三角形求解。 多解问题分类讨论，杜绝漏解旋转角动态变化、点在线段 / 延长线上的动点题，分 “点在图形内部 / 外部”“旋转方向顺时针 / 逆时针” 两类情况，分别画图、证相似、求解，每类情况单独写清推导过程，避免单解漏解。 最值问题用相似转化，简化计算求面积、线段最值时，通过相似三角形的比例式，把面积、未知线段转化为关于动点参数的二次函数，结合二次函数性质、两点之间线段最短、垂线段最短求解，规避复杂的几何推导。 （五）实际应用题核心答题要点 物高测量、镜面反射题，先通过物理原理（光的反射定律）、几何性质找等角，证相似三角形，再把现场测量数据代入比例式，列方程求解，核心是把实际场景 1:1 转化为相似三角形几何模型，确保单位统一、比例式对应准确。 三、避坑指南 （一）概念性避坑（杜绝基础零分） 严禁混淆相似三角形的判定与性质，杜绝循环论证最高频易错点：用平行线性质证得等角，推导出三角形相似后，又用相似的性质再证内错角相等，出现循环论证；填写推理依据时，把判定和性质写反，导致步骤全失分，二轮复习必须强化 “证平行用判定、求角 / 边用性质” 的因果逻辑。 杜绝忽略 “夹角” 核心前提的判定错误学生高频误用 “两边成比例 + 任意一组角相等” 证相似，完全忽略 “夹角必须是成比例两边的夹角” 的核心前提，导致证明逻辑完全断裂，是中档题最常见的失分点，必须通过专项训练强化前提意识。 黄金分割长短段颠倒，比例式完全错位忽略AP>PB的核心前提，把短线段当作长线段，列错BP2=AP⋅AB的错误比例式；记错黄金比的分子分母，把25​−1​写成25​+1​，导致基础计算全错，是黄金分割题的唯一核心易错点。 面积比与相似比的关系混淆高频出现 “相似三角形面积比 = 相似比” 的低级错误，忘记平方，尤其在圆、四边形的面积综合题中，一步错步步错，必须牢记 “线段比 = 相似比，面积比 = 相似比的平方” 的核心区别。 （二）逻辑推理避坑（杜绝步骤失分） 相似对应顶点不对应，比例式完全错误书写相似时，不按对应顶点顺序写，比如把错写成，导致对应边找错、比例式列错，最终线段求解完全错误，是学生最普遍的隐性失分点，必须强制要求 “对应顶点对齐写”。 无前提证相似，逻辑链条断裂在无平行、无等角的前提下，直接默认三角形相似，强行列比例式；比如无平行前提，直接套用 A 字相似结论，推理前提不成立，证明逻辑完全错误，必须要求 “先证相似，再用比例式”，严禁无依据跳步。 多步相似推导跳步，踩点不全综合题中需要两次及以上相似推导时，省略第一次相似的证明过程，直接用比例式，导致步骤分丢失；尤其在圆、黄金分割综合题中，必须写清每一次相似的判定条件，完整呈现逻辑链条，杜绝跳步。 （三）审题与计算避坑（杜绝结果失分） 无图题 / 动态题漏解，忽略多位置情况动态几何题、无图几何题中，只考虑点在线段上的情况，忽略点在线段延长线、旋转角超过 180° 的情况，导致漏解，解答题直接扣掉一半分值，必须养成 “无图题先分类、动态题先定边界” 的审题习惯。 计算细节错误，前功尽弃黄金分割比例式计算中，分母有理化错误；勾股定理计算时，平方、开方错误；比例式交叉相乘时，符号、数值算错，导致最终结果错误，二轮复习必须强化 “先列对式子，再分步计算” 的习惯，杜绝口算失误。 题干条件漏看，关键信息遗漏折叠题中漏看折叠前后的对应边、对应角相等；圆中漏看直径所对的圆周角是直角；动点题中漏看动点的取值范围，导致求解结果超出题干限定范围，全题失分，必须要求审题时圈画核心条件，避免遗漏。 （四）书写规范避坑（杜绝非知识性失分） 几何证明步骤不完整，踩点不全证明相似时，只写角相等，不写判定定理依据；只证相似，不写 “对应边成比例”，直接列方程，导致步骤分丢失，中考解答题必须写清 “条件→判定→结论→应用” 的完整步骤。 数学符号书写不规范，阅卷误判相似符号 “∽” 错写成全等符号 “≌”；角度、顶点字母书写颠倒，比如∠ABC写成∠ACB；根号、角度、上标下标格式错乱，导致阅卷误判失分，必须强化数学符号的规范书写。 四、真题练习 1.（23-24·达州模拟）如图，在每个边长为个单位长度的小正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将先向左平移个单位长度，再向下平移个单位得到，请画出． （2）请在给定网格中画一个格点，使，且相似比不为（画出一个即可）． （3）的度数是________． 2.（25-26·安徽模拟）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．（要求使用无刻度的直尺画图） （1）在图1中，将以点C为位似中心放大2倍得到，请画出； （2）在图2中，在线段上画一个点P，使． 3.（25-26·四川模拟）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 4.（24-25·黑龙江模拟）如图，在正方形中，点是的中点，点在上，且，连接、.求证：. 5.（23-24·甘肃模拟）已知点是矩形的边上一点，于点，求证：．    6.（24-25·浙江模拟）如图，已知点是线段的黄金分割点，，以点为圆心，以长为半径画弧；再以点为圆心，以一定长为半径画弧，两弧交于点，连结． （1）求证：． （2）若，求的长． 7.（25-26·江苏模拟）如图，中，点是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 8.（24-25·山东模拟）已知：如图，在四边形中，，连接、，是等边三角形，，与交于点，． （1）请写出与之间的数量关系，并证明； （2）求证：点是线段的黄金分割点． 9.（24-25·吉林模拟）如图，已知中，点是边上一点，点是外一点，,. （1）求证： ; （2）若 ，求的值． 10.（25-26·云南模拟）如图，与有公共顶点，．请添加一个条件：______，使得，然后再加以证明． 11.（24-25·宁夏模拟）在和中，点在上，已知，. （1）求证： ； （2）若，，求的度数． 12.（22-23·湖南中考）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星，如图，正五边形的边、的延长线相交于点，的平分线交于点． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）求的值． 13.（22-23·西藏模拟）如图，点，分别在的边，上，且，，，. （1）求证：； （2）若的面积等于，求四边形的面积是多少？ 14.（22-23·湖北中考）如图，，交于点，，且平分. （1）求证：； （2）若，，，求的长． 15.（24-25·西藏模拟）如图，在平行四边形中，过点作，垂足为点，连接，为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 16.（24-25·广东模拟）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段，若，则把这种分割叫做黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金比． （1）如图①，点是线段的黄金分割点，设，，求黄金比的值．（精确到，参考数据：，，，） （2）如图②，在中，，，是的角平分线．求证：点是线段的黄金分割点． （3）如图③，点是正方形的边的中点，以点为圆心以长为半径画弧，交射线于点，过点作交射线于点．若，请直接写出的长． 17.（24-25·青海模拟）【探究与证明】 【问题情境】宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 （1）图③中_____（保留根号）； （2）如图③，判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图④，请证明矩形和矩形是黄金矩形． 18.（23-24·广西中考）如图，中，，．的垂直平分线分别交，于点，，平分． （1）求证：； （2）如图，将绕点逆时针旋转得到，旋转角为．连接， ①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由； ②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 19.（24-25·广东模拟）如图一，矩形， ，点是的中点，联结．将沿着翻折，点落在点 处，连接并延长交于点处． （1）如图二联结，求证：； （2）如图三，联结，若， ①求证：； ②求的长. 20.（25-26·全国模拟）如图，是一个平行四边形纸片，是一条对角线，，． （1）如图，将平行四边形纸片沿折叠，点的对应点落在点处，交于点． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②求的面积； （2）如图，点，分别在平行四边形纸片的，边上，连接，且，将平行四边形纸片沿折叠，使点的对应点落在边上，求的长． 21.（25-26·四川模拟）如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点． （1）求证：是的切线． （2）当，时，求线段的长． 22.（25-26·浙江模拟）如图，四边形内接于，，的延长线相交于点，，相交于点．是上一点，交于点，且． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的周长． 23.（25-26·河南模拟）在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． （1）观察猜想 如图，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：________． （2）类比探究 如图，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 24.（24-25·湖南模拟）为测量水平操场上旗杆的高度，九班各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为__11.3______； （2）如图，小李站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面，两点始终处于同一水平线上． 如图，在支架上端处，用细线系小重物，标高线始终垂直于水平地面． 如图，在江姐故里广场上点处，同学们用注水管确定与雕塑底部处于同一水平线的，两点，并标记观测视线与标高线交点，测得标高，．将观测点后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）．  25.（23-24·贵州模拟）如图，是的外接圆，，连接，延长交于点，交于点． （1）的度数为______度，写出图中一对全等的三角形：______； （2）求证：； （3）若，试求的度数． 26.（2026模拟）(10分) 已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． （1）将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； （2）如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 27.（23-24·贵州模拟）如图，在矩形中，厘米，厘米．点沿边从开始向点以的速度移动；点沿边从点开始向点以速度移动．如果、同时出发，用（秒）表示移动的时间，那么： （1）当为何值时，． （2）计算四边形的面积，并提出一个与计算结果有关的结论． （3）当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似？ 28.（22-23·贵州模拟）如图：在中，弦，相交于的中点，连接并延长至点，使，连接，. （1）求证：； （2）当，求的值． 29.（22-23·四川中考） （1）如图①，在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点落在上处，若，，求的值； （2）如图②，在矩形的边上取一点，将四边形沿翻折，使点落在的延长线上处，若，，求的值； （3）如图③，在中，，，垂足为点，，，过点作交于点，连接，且满足，直接写出的值． 30.（22-23·江苏中考）【问题情境】 在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，，，设． 【操作探究】 如图，先将和的边、重合，再将绕着点按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接． （1）当时，  ；当时，  ； （2）当时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积； （3）如图，取的中点，将绕着点旋转一周，点的运动路径长为  ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $