精品解析：湖南省岳阳市汨罗市多校2026年初中学业水平考试适应性监测（一）九年级 数学科

2026年初中学业水平考试适应性监测（一）九年级数学科 温馨提示： 1．本试卷共三道大题，24道小题，满分120分，考试时量120分钟； 2．本试卷分为试题卷和答题卡两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区内； 3、考试结束后，考生不得将答题卡、草稿纸带出考场． 一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分．在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 不能确定 2. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下列四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 截至2026年1月，我国某景区接待游客人数约为人，这个数的原数是（ ） A. 32000 B. 320000 C. 3200000 D. 32000000 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若与是同类项，则的值是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 6. 某校为了解七年级300名学生的每周课外阅读情况，随机抽取了100名学生的每周课外阅读时间（单位：分钟）进行统计，下列说法正确的是（ ） A. 上述调查是普查 B. 300名学生是总体 C. 每名学生是个体 D. 100名学生的每周课外阅读时间是样本 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 9的算术平方根是 B. 同位角相等 C. 点和点关于轴对称，则的值为5 D. 在一个直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5 8. 如图，是的直径，点，在上，点是的中点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 函数中自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下图是函数的图象，直线轴且过点，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于9，则下列m中符合要求的是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题（本大题共6道小题，每小题3分，满分18分） 11. 因式分解________． 12. 两组数据3，m，5，与m，6，n的平均数都是7，若将这两组数据合并成一组数据，则这组新数据的中位数为___________． 13. 化简：_____． 14. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是___________． 15. 如图，△ABC中，∠B=75°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为______． 16. 如图，扇形中，，，用该扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面周长为________cm． 三、解答题（本大题共8道小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求菱形的面积． 19. 如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的交点，且一次函数的图象与坐标轴分别交于点和点． （1）求点和点的坐标； （2）求反比例函数的解析式； （3）连接，直接写出的面积． 20. 学校计划在科技节举办模型展示活动，准备采购两种科技模型：“智能小车”模型和“简易飞机”模型．“智能小车”模型每套99元，“简易飞机”模型每套29元，这两种模型均需购买，用于学生分组实践与展示． （1）若学校计划购买这两种模型共200套，采购总费用恰好为9300元．请问“智能小车”模型和“简易飞机”模型各购买了多少套？ （2）若学校采购这两种模型的总预算资金只有8000元，且仍需购买200套模型．那么，在预算范围内，最多可以购买“智能小车”模型多少套？ 21. 体重管理年是国家卫生健康委会同教育部、体育总局等16个部门于2025年启动的健康促进活动，旨在应对居民超重肥胖引发的慢性病问题，实施为期三年的全民体重管理专项行动．某中学响应号召，每天组织全校学生开展系列体育活动．为了解学生对各项球类运动的喜好程度，学校从喜欢乒乓球、排球、羽毛球、足球、篮球五种球类运动的500名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查，了解学生最喜爱的一种球类运动，每人只能在这五种球类运动中选择一种．调查结果统计如下： 球类名称 乒乓球 排球 羽毛球 足球 篮球 人数 结合调查信息，回答下列问题： （1）统计表中，_____，_____；统计图中，足球所对应扇形的圆心角的度数为_____； （2）试估计上述500名学生中最喜欢羽毛球运动的人数； （3）该学校将组织趣味运动会，九（1）班决定从3名喜欢乒乓球，1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的5名学生中随机抽取2人作为班级代表参加活动．请用列表法或画树状图的方法，求被抽到的2名同学都喜欢乒乓球的概率． 22. 跳皮筋是学生时代的课间游戏，由两个人拉皮筋分别固定皮筋的两端，跳皮筋的人需要按照特定的节奏和动作，用脚勾、踩、跨过皮筋来完成跳跃，边跳还会边唱着童谣“小皮球，香蕉梨，马兰开花二十一……”．如图，拉皮筋的两人位置为、，跳皮筋孩子脚踩位置为点，点、、在地面同一直线上，此时橡皮筋离地面的高度米．（，垂直地面）若，．，最后结果保留到） （1）求拉皮筋的两个孩子之间的距离； （2）当脚把橡皮筋踩在地面上的点时，橡皮筋比原来拉长了多少米． 23. 如图，抛物线经过点、，交轴于点，点是抛物线上一动点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）当点的坐标为时，求四边形的面积； （3）若，求点的坐标． 24. 如图，过上的动点作的切线，在上取点（异于点），使得，弦，连接交于点，连接并延长，交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）记，；的面积分别为，，，当时，求的值； （3）设的半径为，当时，求四边形的面积．（用含的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试适应性监测（一）九年级数学科 温馨提示： 1．本试卷共三道大题，24道小题，满分120分，考试时量120分钟； 2．本试卷分为试题卷和答题卡两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区内； 3、考试结束后，考生不得将答题卡、草稿纸带出考场． 一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分．在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 2. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下列四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义(在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形)，逐一进行判断即可． 【详解】解：根据中心对称图形的定义可知，只有D选项是中心对称图形． 3. 截至2026年1月，我国某景区接待游客人数约为人，这个数的原数是（ ） A. 32000 B. 320000 C. 3200000 D. 32000000 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了将科学记数法表示的数化成原数，将科学记数法 转换为原数，需将小数点向右移动6位． 【详解】解：∵， ∴ 原数为3200000， 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法法则逐一判断选项． 【详解】选项A，∵与不是同类项，不能合并，∴A错误. 选项B，∵根据幂的乘方法则，，∴B错误. 选项C，∵根据同底数幂乘法法则，，运算结果正确，∴C正确. 选项D，∵根据同底数幂除法法则，，∴D错误． 故选：C． 5. 若与是同类项，则的值是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同类项，根据同类项的定义，相同字母的指数必须相等，因此可列出方程求解m和n的值代入计算即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴． 故选：D． 6. 某校为了解七年级300名学生的每周课外阅读情况，随机抽取了100名学生的每周课外阅读时间（单位：分钟）进行统计，下列说法正确的是（ ） A. 上述调查是普查 B. 300名学生是总体 C. 每名学生是个体 D. 100名学生的每周课外阅读时间是样本 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查普查与抽样调查，总体、个体、样本的概念，根据各统计概念的定义逐一判断选项正误即可． 【详解】解：A、上述调查是抽样调查，故原说法错误，不符合题意； B、300名学生的每周课外阅读时间是总体，故原说法错误，不符合题意； C、每名学生的每周课外阅读时间是个体，故原说法错误，不符合题意； D、100名学生的每周课外阅读时间是样本，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 9的算术平方根是 B. 同位角相等 C. 点和点关于轴对称，则的值为5 D. 在一个直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根，平行线的性质，轴对称的性质，勾股定理逐一判断即可． 【详解】解：A．9的算术平方根是，原命题是假命题； B．两直线平行，同位角相等，原命题是假命题； C．点和点关于轴对称，则，，即，原命题是真命题； D．在一个直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为或，原命题是假命题； 故选：C． 【点睛】本题考查了判断命题的真假，求算术平方根，平行线的性质，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 8. 如图，是的直径，点，在上，点是的中点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理；连接，利用弧中点得到等弧，进而得到对应圆心角相等，再根据圆周角定理求解圆周角的度数． 【详解】解：如图，连接． ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：A． 9. 函数中自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可解答． 【详解】解：由题意得，， 解得， 即自变量x的取值范围在数轴上表示为：由表示2的点向左，且表示2的点为实心点， 故B选项符合题意． 10. 下图是函数的图象，直线轴且过点，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于9，则下列m中符合要求的是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】先将函数配方为，得到顶点，再计算端点值：时，时．翻折后按的范围分类：当时，差值得；当时，差值得；时无解．综上，对照选项选D即可． 【详解】解：如下图所示， 由题意可得， 顶点坐标为， 当时，， ， 当时，， ， ∵， ∴当m的范围为时，此时新图象的函数最大值为m，最小值为， 此时差为， 由题意得， 解得， ∴， 当m的范围为时，此时新图象的函数最大值为m，最小值为， 此时差为 ， 由题意得， 解得， ∴， 当m的范围为时，此时新图象的函数最大值为，最小值为， 此时差为 ， 由题意得， 解得， 又∵， ∴此情况不存在， 综上所述，m的范围为， 由选项可得，符合题意的只有D选项． 【点睛】翻折的核心是利用对称点，将翻折问题转化为分段函数最值分析，以与原函数关键点（顶点、端点）的位置关系为分类依据，通过列不等式求解范围，体现了数形结合与分类讨论的思想，能有效理清复杂图像变换的逻辑． 二、填空题（本大题共6道小题，每小题3分，满分18分） 11. 因式分解________． 【答案】 【解析】 【分析】利用提公因式分解因式即可． 【详解】解：， ． 12. 两组数据3，m，5，与m，6，n的平均数都是7，若将这两组数据合并成一组数据，则这组新数据的中位数为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据平均数的计算公式先求出m、n的值，再根据中位数的定义即可得出答案． 【详解】解：∵两组数据3，m，5，与m，6，n的平均数都是7， ∴， 解得：， 故将这两组数据合并成一组数据为：3，10，5，10，10，6，5， 重新排序后为：3，5，5，6，10，10，10 ∴这组新数据的中位数为6． 故答案为6． 【点睛】本题考查了中位数、算术平均数，解答本题的关键是明确题意，求出m、n的值． 13. 化简：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 14. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，再列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，△ABC中，∠B=75°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为______． 【答案】45°##45度 【解析】 【分析】根据内角和定理求得∠BAC=75°，由中垂线性质知DA=DC，即∠DAC=∠C=30°，从而得出答案． 【详解】解：在△ABC中， ∵∠B=75°，∠C=30°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=75°， 由作图可知MN为AC的中垂线， ∴DA=DC， ∴∠DAC=∠C=30°， ∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=45°， 故答案为：45°． 【点睛】本题主要考查作图-基本作图，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 16. 如图，扇形中，，，用该扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面周长为________cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形弧长公式与圆锥侧面展开图的关系，解题思路是利用扇形弧长等于圆锥底面周长，通过扇形弧长公式计算；考查的知识点是扇形弧长公式、圆锥侧面展开图的性质，用到的思想是转化思想，方法是公式法，技巧是明确扇形弧长与圆锥底面周长的等量关系，解题关键是正确运用扇形弧长公式，易错点是混淆扇形半径与圆锥底面半径的关系． 【详解】解：∵扇形中，，， ∴ 故答案为． 三、解答题（本大题共8道小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先去括号，进行零指数幂，负整数指数幂，开方运算，特殊角的三角函数值计算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 18. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵矩形中，， ∴平行四边形是菱形； （2）6 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质求得，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理； （2）根据矩形的性质求得的面积，然后结合菱形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵矩形中，，， ∴， 由菱形和矩形的中心对称性可知：， 又∵， ∴， ∴菱形的面积是． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、菱形的判定和性质，属于中考基础题，掌握矩形的性质和菱形的判定方法，正确推理论证是解题关键． 19. 如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的交点，且一次函数的图象与坐标轴分别交于点和点． （1）求点和点的坐标； （2）求反比例函数的解析式； （3）连接，直接写出的面积． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为 （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）将点和点的坐标代入直线解析式即可求出m、n； （2）将点的坐标代入反比例函数解析式即可求出； （3）利用直线解析式求出点C坐标，根据，代入数据计算即可． 【小问1详解】 解：∵点和点在一次函数的图象上， ∴把点代入，得； 把点代入，得，解得； ∴，． 【小问2详解】 解：把代入，得， 解得， ∴反比例函数的解析式为． 【小问3详解】 解：∵点为一次函数的图象与轴的交点， ∴当时，， ∴， ∴， ∴． ∴的面积为8． 20. 学校计划在科技节举办模型展示活动，准备采购两种科技模型：“智能小车”模型和“简易飞机”模型．“智能小车”模型每套99元，“简易飞机”模型每套29元，这两种模型均需购买，用于学生分组实践与展示． （1）若学校计划购买这两种模型共200套，采购总费用恰好为9300元．请问“智能小车”模型和“简易飞机”模型各购买了多少套？ （2）若学校采购这两种模型的总预算资金只有8000元，且仍需购买200套模型．那么，在预算范围内，最多可以购买“智能小车”模型多少套？ 【答案】（1）“智能小车”模型50套，“简易飞机”模型150套 （2）31套 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和不等式的实际应用，审清题意找到等量关系是解题的关键． （1）根据等量关系“两种模型共200套，总费用恰好为9300元”，列出方程组求解即可； （2）根据不等量关系“总预算资金只有8000元”，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设购买“智能小车”模型x套，“简易飞机”模型y套， 由题意可得，，解得， 答：购买“智能小车”模型50套，“简易飞机”模型150套； 【小问2详解】 解：设在预算范围内，可以购买“智能小车”模型m套，则购买“简易飞机”模型套， 由题意可得，，解得， 又∵m为正整数， ∴m的最大值为31， 答：在预算范围内，最多可以购买“智能小车”模型31套． 21. 体重管理年是国家卫生健康委会同教育部、体育总局等16个部门于2025年启动的健康促进活动，旨在应对居民超重肥胖引发的慢性病问题，实施为期三年的全民体重管理专项行动．某中学响应号召，每天组织全校学生开展系列体育活动．为了解学生对各项球类运动的喜好程度，学校从喜欢乒乓球、排球、羽毛球、足球、篮球五种球类运动的500名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查，了解学生最喜爱的一种球类运动，每人只能在这五种球类运动中选择一种．调查结果统计如下： 球类名称 乒乓球 排球 羽毛球 足球 篮球 人数 结合调查信息，回答下列问题： （1）统计表中，_____，_____；统计图中，足球所对应扇形的圆心角的度数为_____； （2）试估计上述500名学生中最喜欢羽毛球运动的人数； （3）该学校将组织趣味运动会，九（1）班决定从3名喜欢乒乓球，1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的5名学生中随机抽取2人作为班级代表参加活动．请用列表法或画树状图的方法，求被抽到的2名同学都喜欢乒乓球的概率． 【答案】（1）；； （2）人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了树状图法与列表法求概率以及条形统计图与扇形统计图． （1）首先用喜欢排球的人数除以其所占的百分比即可求得样本容量；再用样本容量乘以乒乓球所占的百分比即可求得a，用样本容量减去其他求得b值，根据足球的占比乘以得到足球所对应扇形的圆心角的度数； （2）用总人数乘以喜欢羽毛球的人所占的百分比即可； （3）设3名喜欢乒乓球、1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的分别为红1，红2，红3，绿1，绿2，通过列表即可求出被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的概率． 【小问1详解】 解：∵喜欢排球的有12人，占样本的10%， ∴样本容量为； ∴（人）， （人）； 足球所对应扇形的圆心角的度数为 故答案为：，； 【小问2详解】 解：（人）； 【小问3详解】 解：设3名喜欢乒乓球、1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的分别为红1，红2，红3，绿1，绿2，列表如下： 红1 红2 红3 绿1 绿2 红1 （红1，红2） （红1，红3） （红1，绿1） （红1，绿2） 红2 （红2，红1） （红2，红3） （红2，绿1） （红2，绿2） 红3 （红3，红1） （红3，红2） （红3，绿1） （红3，绿2） 绿1 （绿1，红1） （绿1，红2） （绿1，红3） （绿1，绿2） 绿2 （绿2，红1） （绿2，红2） （绿2，红3） （绿2，绿1） ∵共20种等可能的结果，其中被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的有6种等可能情况， ∴被抽到的2名同学都喜欢乒乓球的概率为． 22. 跳皮筋是学生时代的课间游戏，由两个人拉皮筋分别固定皮筋的两端，跳皮筋的人需要按照特定的节奏和动作，用脚勾、踩、跨过皮筋来完成跳跃，边跳还会边唱着童谣“小皮球，香蕉梨，马兰开花二十一……”．如图，拉皮筋的两人位置为、，跳皮筋孩子脚踩位置为点，点、、在地面同一直线上，此时橡皮筋离地面的高度米．（，垂直地面）若，．，最后结果保留到） （1）求拉皮筋的两个孩子之间的距离； （2）当脚把橡皮筋踩在地面上的点时，橡皮筋比原来拉长了多少米． 【答案】（1）拉皮筋的两个孩子之间的距离为米 （2）当脚把橡皮筋踩在地面上的点时，橡皮筋比原来拉长了米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）根据正切的定义，分别求得的长，进而根据，即可求解； （2）解，求得 的长，结合题意，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 答：拉皮筋的两个孩子之间的距离为米； 【小问2详解】 解：在中，， 在中， ∴， 答：当脚把橡皮筋踩在地面上的点时，橡皮筋比原来拉长了米 23. 如图，抛物线经过点、，交轴于点，点是抛物线上一动点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）当点的坐标为时，求四边形的面积； （3）若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）16 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作于T，根据列式求解即可； （3）取，连接，，证明，则线段与抛物线的交点即为所求；求出直线的解析式为，联立，解得或（舍去），则；如图所示，取，连接，同理可得，则直线与抛物线的交点即为所求；同理可得；则符合题意的点P的坐标为或． 【小问1详解】 解：将点代入， 得 解得 ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解∶如图所示，过点P作于T， ∵，，， ∴ ， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：如图所示，取，连接，， ∵、，， ∴，，， ∴， ∴线段与抛物线的交点即为所求； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴； 如图所示，取，连接，， 同理可得， ∴直线与抛物线的交点即为所求； 同理可知直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴； 综上所述，符合题意的点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理等知识，解题的关键在于正确作出辅助线并利用数形结合的思想求解． 24. 如图，过上的动点作的切线，在上取点（异于点），使得，弦，连接交于点，连接并延长，交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）记，；的面积分别为，，，当时，求的值； （3）设的半径为，当时，求四边形的面积．（用含的式子表示） 【答案】（1） 解：如图，连接、，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）如图，连接、，，由切线的性质得，由，，得，，从而得，进而根据切线的性质定理即可证明结论成立； （2）证明，得，进而得，又，得，求解一元二次方程得，或（舍去），从而得，于是即可得解； （3）连接并延长交于，交于，连接，，，，证明，得，进而得，再证，得，，得，，得，从而，得，进而证明，，，在和中，利用勾股定理求解得，，，从而即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∵和等高， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，或（舍去） ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 【小问3详解】 解：连接并延长交于，交于，连接，，，， ∵，， ∴点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， 由得， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∴，， ∵， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∵即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∵在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴平行四边形的面积． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定及性质，切线的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，线段垂直平分线的判定，熟练掌握切线的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $