精品解析：广东深圳市南山区深圳湾学校2025-2026学年度第二学期第一次模拟测试九年级数学学科试题

深圳湾学校2025-2026学年度第二学期第一次模拟测试 九年级数学学科试题 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和座位号用黑色字迷的锅笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上． 2．全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定区城内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分（选择题，共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的．） 1. 下列人工智能大模型图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 小明家的冰箱冷藏室温度是4℃，冷冻室的温度是℃，则他家的冰箱冷藏室比冷冻室温度高（ ） A. 8℃ B. 16℃ C. ℃ D. ℃ 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 广东省从2021年开始全面推行新高考制度，新高考“”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门学科中选两科．若从政治、化学、生物、地理四门学科中随机选择两科，则选中政治和地理学科的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线交于主光轴上一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. “阅读与人文滋养内心”，某校开展阅读经典活动，小明天里阅读的总页数比小颖天里阅读的总页数少页，小颖平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读的页数的倍少页，若小明、小颖平均每天分别阅读页、页，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2为其示意图，摄像头的仰角、俯角均为，高度为．某人笔直站在离摄像头水平距离的点处，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过（ ）（参考数据：，，） A. B. C. D. 8. 如图，正方形纸片的边长为12，E、G分别是、边上的点，连接、把正方形纸片沿折叠，使点C落在上的一点F，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题，共76分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共计15分） 9. 如果是关于的方程的解，那么的值是______． 10. 如图，由内到外依次为正方形，若的面积为3，的面积为，则的边长可以是整数______．（写出一个答案即可） 11. 如图，在矩形中，，以为圆心，长为半径画弧交边于点，连接，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上．若，则的值为___________． 13. 如图，垂直于外角的角平分线于点，过作的垂线，交延长线于点，连接交于点，，，那么的长为______． 三、解答题（共7小题，共61分，其中第14小题5分，第15小题7分，第16小题8分，第17小题9分，第18题10分，第19题10分，第20题12分） 14. 计算：． 15. 先化简再求值：，其中． 16. 为进一步提升学生的安全意识，某校举办了安全知识竞赛，现从全校八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制），对竞赛成绩进行统计和分析如下： 八年级：80，80，100，90，80，70，70，80，70，90，70，80，100，90，60，80，90，80，90，90 九年级：90，90，100，80，80，60，70，80，60，100，60，70，90，80，90，90，90，70，100，90 年级/统计量 平均数 中位数 众数 八年级 82 80 80 九年级 82 n 90 请根据所给信息，回答下列问题： （1）“扇形统计图”中80分所在扇形圆心角的度数为______，九年级学生成绩的中位数______，并补全条形统计图； （2）该校九年级学生共400人，请估计成绩不低于80分的人数； （3）根据上述统计数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由． 17. 某学校初三学生计划种植向日葵，寓意一举夺魁．学校采购组先购买向日葵花苗，第一次用200元购进某品种向日葵花苗后，发现数量不足，又用660元购进第二批该品种花苗，所购数量是第一批数量的3倍，单株进价贵了0.2元． （1）求该学校购进的第二批向日葵花苗的单株进价； （2）学校计划再购进该品种向日葵和月季幼苗共200株，且月季幼苗的进货数量不超过向日葵花苗数量的3倍．向日葵花苗的进价与第二批价格相同，月季幼苗单株进价为1.5元，学校应该如何安排进货，才能使购买这批幼苗的总费用最少？最少总费用是多少？ 18. 如图，在中，． （1）尺规作图：作出的外接圆，并标注圆心．（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图，是的外接圆，延长至点，使．连接并延长交于点，过点作，垂足为． 求证：为的切线； 若，，求线段的长． 19. 【生活情境】 为美化校园环境，学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的矩形水池进行加长改造（如图1，改造后的水池仍为矩形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图2，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池1的边加长长度为（）（），加长后水池1的总面积为（），设水池2的边的长为（）（），面积为（）． 【问题解决】 （1）当时，则关于的函数关系式为______，关于的函数关系式为______； （2）在（1）的条件下，函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图3，与相交于、两点，在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； （3）当水池1与水池2的面积相差2时，有唯一值，求的值． 20. 综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形．请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 【定义】如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等四边形．如图1中，，此时四边形是双等四边形． （1）【初步探究】 如图2，在正方形中，、是边上的两点，连接、交于点．若，求证：四边形为双等四边形； （2）【问题解决】 如图3，在（1）的条件下，连接，若正方形的边长为，，求的长； （3）【拓展应用】 如图4，点是矩形内一点，点是边上一点，四边形是双等四边形，且，延长交于点，连接．若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳湾学校2025-2026学年度第二学期第一次模拟测试 九年级数学学科试题 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和座位号用黑色字迷的锅笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上． 2．全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定区城内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分（选择题，共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的．） 1. 下列人工智能大模型图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，根据定义求解即可． 【详解】解：A 、B、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形． C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 2. 小明家的冰箱冷藏室温度是4℃，冷冻室的温度是℃，则他家的冰箱冷藏室比冷冻室温度高（ ） A. 8℃ B. 16℃ C. ℃ D. ℃ 【答案】B 【解析】 【分析】利用有理数减法即可完成． 【详解】(℃)， 即冰箱冷藏室比冷冻室温度高16℃ 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数减法的实际应用，理解题意并正确计算是关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，平方差公式的运算即可求解． 【详解】选项，，错误，不符合题意； 选项，与不是同类项，不能合并，错误，不符合题意； 选项，，正确，符合题意； 选项，，错误，不符合题意． 故选． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，合并同类项的运算，积的乘方的运算，平方差公式的运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 4. 广东省从2021年开始全面推行新高考制度，新高考“”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门学科中选两科．若从政治、化学、生物、地理四门学科中随机选择两科，则选中政治和地理学科的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画树状图列举出所有可能的情况和选中政治和地理的情况，然后利用概率公式求解． 【详解】解：将政治、化学、生物、地理分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： ∴共有12种等可能的情况，其中选中政治和地理的情况有2种， ∴选中政治和地理学科的概率为． 5. 如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线交于主光轴上一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知：，再根据平行线的性质求出和，从而求出． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6. “阅读与人文滋养内心”，某校开展阅读经典活动，小明天里阅读的总页数比小颖天里阅读的总页数少页，小颖平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读的页数的倍少页，若小明、小颖平均每天分别阅读页、页，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“小明天里阅读的总页数比小颖天里阅读的总页数少页，小颖平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读的页数的倍少页”，即可列出关于、的二元一次方程组，此题得解．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设小明、小颖平均每天分别阅读页、页， ∵小明天里阅读的总页数比小颖天里阅读的总页数少页， ∴， ∵小颖平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读的页数的倍少页， ∴， ∴根据题意可列方程组． 故选：A． 7. 图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2为其示意图，摄像头的仰角、俯角均为，高度为．某人笔直站在离摄像头水平距离的点处，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过（ ）（参考数据：，，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得，，在中，利用解直角三角形得，则利用进而可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点，如图： ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ， ， 若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过． 8. 如图，正方形纸片的边长为12，E、G分别是、边上的点，连接、把正方形纸片沿折叠，使点C落在上的一点F，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由折叠及性质可知，垂直平分，先证，推出的长，再利用勾股定理求出的长，最后再中利用面积法可求出的长，可进一步求出的长，即可求出的长． 【详解】解：设与交于H， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能灵活运用正方形的性质和折叠的性质． 第二部分（非选择题，共76分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共计15分） 9. 如果是关于的方程的解，那么的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键．将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， 解得， 故答案为：． 10. 如图，由内到外依次为正方形，若的面积为3，的面积为，则的边长可以是整数______．（写出一个答案即可） 【答案】2或3或4 【解析】 【分析】理解题意得出的边长的取值范围是解题关键．根据题意得出的边长，即可求解． 【详解】解：∵的面积为3，的面积为， ∴的边长为，的边长为， ∴的边长， ∵的边长可以是整数， ∴的边长可以是整数，，． 11. 如图，在矩形中，，以为圆心，长为半径画弧交边于点，连接，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】先推导出，得到，则，然后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：在矩形中，， ，， 由题意，得， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 则图中阴影部分的面积为． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上．若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过A作于D，设与y轴交于点E，设，根据正切的定义可得，根据勾股定理可得，根据菱形的性质可得，进而可得，代入反比例函数解析式即可求出，再求出矩形的面积，根据k的几何意义即可得解． 【详解】解：过A作于D，设与y轴交于点E，则， 设， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 顶点在反比例函数的图象上， ， 解得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数的图象和性质，三角函数，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 13. 如图，垂直于外角的角平分线于点，过作的垂线，交延长线于点，连接交于点，，，那么的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，延长，相交于点，证明，则，，证明，求出，证明，求出，则，证明，得到，则，得到，则，在中，，则，即可求出． 【详解】解：延长交于点，延长，相交于点， ∵垂直于外角的角平分线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得（负值已舍去）． 三、解答题（共7小题，共61分，其中第14小题5分，第15小题7分，第16小题8分，第17小题9分，第18题10分，第19题10分，第20题12分） 14. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】首先计算负整数指数幂，有理数的乘方，零指数幂，特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算即可． 【详解】解： 15. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算进行化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题关键是掌握分式的混合运算法则． 16. 为进一步提升学生的安全意识，某校举办了安全知识竞赛，现从全校八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制），对竞赛成绩进行统计和分析如下： 八年级：80，80，100，90，80，70，70，80，70，90，70，80，100，90，60，80，90，80，90，90 九年级：90，90，100，80，80，60，70，80，60，100，60，70，90，80，90，90，90，70，100，90 年级/统计量 平均数 中位数 众数 八年级 82 80 80 九年级 82 n 90 请根据所给信息，回答下列问题： （1）“扇形统计图”中80分所在扇形圆心角的度数为______，九年级学生成绩的中位数______，并补全条形统计图； （2）该校九年级学生共400人，请估计成绩不低于80分的人数； （3）根据上述统计数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由． 【答案】（1）；；图见解析 （2）280人 （3）我认为九年级成绩更好．理由见解析 【解析】 【分析】（1）“80 分”所在扇形的圆心角的度数为乘以占比即可；根据中位数定义即可求；由数据收集得到八年级 80 分的有 7 人即可补全条形统计图； （2）用样本估计总体即可； （3）比较中位线，众数，平均数进行分析即可． 【小问1详解】 解：； “80 分”所在扇形的圆心角的度数为； 将九年级学生成绩从小到大进行排序，排在中间位置的两个数为 80，90， 则中位数为； 由数据收集得到八年级 80 分的有7人， 故补全条形统计图，如图所示： 【小问2详解】 解：九年级学生成绩不低于 80 分的人数为： （人）； 【小问3详解】 解：我认为九年级成绩更好．理由如下： 由分析表可知两个年级的平均数相同，九年级的中位数和众数高于八年级，所以九年级的成绩更好． 17. 某学校初三学生计划种植向日葵，寓意一举夺魁．学校采购组先购买向日葵花苗，第一次用200元购进某品种向日葵花苗后，发现数量不足，又用660元购进第二批该品种花苗，所购数量是第一批数量的3倍，单株进价贵了0.2元． （1）求该学校购进的第二批向日葵花苗的单株进价； （2）学校计划再购进该品种向日葵和月季幼苗共200株，且月季幼苗的进货数量不超过向日葵花苗数量的3倍．向日葵花苗的进价与第二批价格相同，月季幼苗单株进价为1.5元，学校应该如何安排进货，才能使购买这批幼苗的总费用最少？最少总费用是多少？ 【答案】（1） 2.2元 （2） 购进向日葵花苗50株，月季幼苗150株时总费用最少，最少总费用为335元 【解析】 【分析】（1）设第一批向日葵花苗的单株进价为元，则第二批向日葵花苗的单株进价为元 ，根据用660元购进第二批该品种花苗，所购数量是第一批数量的3倍，列出分式方程进行求解即可； （2）设购进向日葵花苗株，购买总费用为元，则购进月季幼苗株 ，根据月季幼苗的进货数量不超过向日葵花苗数量的3倍，列出不等式，求出的范围，根据总费用是两种幼苗的费用之和列出一次函数解析式，利用性质求最值即可. 【小问1详解】 解：设第一批向日葵花苗的单株进价为元，则第二批向日葵花苗的单株进价为元 ，由题意，得：  ， 解得 ， 经检验是原分式方程的解，符合题意； 则第二批单株进价为（元）； 答：该学校购进的第二批向日葵花苗单株进价为2.2元； 【小问2详解】 解：设购进向日葵花苗株，购买总费用为元，则购进月季幼苗株 ，由题意，得：，解得 ； ∵ ， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值 ，  （株） 答：购进向日葵花苗50株，月季幼苗150株时，购买总费用最少，最少总费用是335元. 18. 如图，在中，． （1）尺规作图：作出的外接圆，并标注圆心．（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图，是的外接圆，延长至点，使．连接并延长交于点，过点作，垂足为． 求证：为的切线； 若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由知是的直径，先作线段的垂直平分线，垂直平分线与的交点即为圆心，再以为圆心，长为半径作圆即可； （2）连接，由已知可得垂直平分，由垂直平分线的性质可知，由等边对等角可得，，等量代换结合平行线的判定定理可得，即可证得，进而得证；连接，通过同弧所对的圆周角相等结合，可证得，再根据同角的余角相等，等量代换可证得，从而证得，根据相似三角形的性质可解得的长，最后根据即可得解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的的外接圆； 【小问2详解】 证明：如图，连接， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径； 为的切线； 解：如图，连接， 由知，， ， ， ，， ， ， ， ， ，即， 解得， ． 19. 【生活情境】 为美化校园环境，学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的矩形水池进行加长改造（如图1，改造后的水池仍为矩形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图2，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池1的边加长长度为（）（），加长后水池1的总面积为（），设水池2的边的长为（）（），面积为（）． 【问题解决】 （1）当时，则关于的函数关系式为______，关于的函数关系式为______； （2）在（1）的条件下，函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图3，与相交于、两点，在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； （3）当水池1与水池2的面积相差2时，有唯一值，求的值． 【答案】（1）， （2）当时，面积差的最大值为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意表示出，，然后利用矩形面积公式分别求解即可； （2）根据二次函数性质，求出最值即可； （3）根据面积相差2列出方程，由都有唯一值，求解即可． 【小问1详解】 解：当时， ∴； ∵ ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：由图象得，在范围内，， 两个水池面积差， ，抛物线开口向下， 函数有最大值， ， 当时，函数有最大值， 答：当时，面积差的最大值为； 【小问3详解】 解：水池1与水池2的面积相差为2，， 或， 整理得，或， 有唯一值， 上述两个方程中，必有一个方程方程有两个相等的实数根，另一个方程无实数根， 若有两个相等的实数根， 则， 解得， 此时方程的判别式为，无实数根，符合题意； 若有两个相等的实数根， 则， 解得， 此时方程的判别式为，有两个实数根，此时共有三个值，不符合题意，舍去， 综上，． 20. 综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形．请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 【定义】如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等四边形．如图1中，，此时四边形是双等四边形． （1）【初步探究】 如图2，在正方形中，、是边上的两点，连接、交于点．若，求证：四边形为双等四边形； （2）【问题解决】 如图3，在（1）的条件下，连接，若正方形的边长为，，求的长； （3）【拓展应用】 如图4，点是矩形内一点，点是边上一点，四边形是双等四边形，且，延长交于点，连接．若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，根据平行线的性质得出，根据等边对等角得出，即可证明，得出，根据双等四边形的定义即可得出结论； （2）过点作于，设，在中，利用勾股定理求出，根据得出，，根据相似三角形的性质得出，，利用勾股定理即可求出的长； （3）分和两种情况，根据，利用相似三角形的性质，结合勾股定理分别求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴四边形为双等四边形． 【小问2详解】 解：如图，过点作于， ∵正方形的边长为，， ∴， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，当时，过点作于，延长交于， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴，，，， 设，则， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴； 如图，当时，于，延长交于，过点作于， 同理可知，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴； 综上所述：的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $