专题01平行线中的拐点模型 铅笔头模型 同步培优讲义2025-2026学年七年级数学下册（人教版）

专题01平行线中的拐点模型 铅笔头模型 模型概述 已知AB∥CD,点P在AB, CD之间 已知点P在AB, CD之间, 且∠B+ ∠BPC+∠C=360° 图示 模型结论 ∠B+∠BPC+∠C=360° AB∥CD 证明 如图, 过点P作直线PQ∥AB. ∴∠1+∠B=180°, ∵AB∥CD, ∴PQ∥CD, ∴ ∠2+∠C=180°, ∴∠1+∠2+∠B+∠C=360°, 即∠B+∠BPC+∠C=360° 如图, 过点P作直线PQ∥AB. ∴∠1+∠B=180°, ∵∠B+∠BPC+∠C=360°, ∠BPC=∠1+∠2, ∴∠2+∠C=180°, ∴PQ∥CD, ∴AB∥ CD 模型拓展：1.如图, 已知AB∥CD, 点P在AB, CD之间,若BQ平分∠ABP, CQ平分∠DCP,则 2.“异形”铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1） 拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n 1．已知如图，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（   ）      A． B． C． D． 3．如图，如果，那么___． 1．如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是______． 2．如图，若直线，，，则的度数为____． 3．如图，一大门的栏杆如右图所示，BA⊥AE，若CDAE，则∠ABC+∠BCD＝_____度； 4．如图，已知AB∥CD． （1）如图1所示，∠1+∠2＝　 　； （2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝　 　；并写出求解过程． （3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　； （4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝　 　． 5．请在横线上填上合适的内容． （1）如图（1）已知//，则． 解：过点作直线//． ∴（   ）．（    ） ∵//，//， ∴（  ）//（   ）．（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行） ∴（   ）．（    ）． ∴． ∴． （2）如图②，如果//，则（ ） 6．（1）问题发现 如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现：，请你写出证明过程； （2）拓展探究 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：． （3）解决问题 如图③，，，，则________．（直接写出结论，不用写计算过程） 7．（1）如图1，AM∥CN，求证：      ①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°； ②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°； （2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明． 8．已知． （1）如图1，当时，则的度数为________； （2）如图2，判断，，之间的数量关系为________； （3）如图3，设，，．请直接写出的大小________（用含α、β、γ的式子表示）． 9．探究题： (1)如图1，若，则，你能说明理由吗？ (2)若将点E移至图2的位置，此时、、之间有什么关系？并证明 10．如图1，四边形为一张长方形纸片．    (1)如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则__________°． (2)如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则__________°． (3)如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则___________°． (4)根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°． 11．（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现，请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作． ，， ． __________． ， __________． __________． 即； （2）拓展探究： 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：； （3）解决问题： 如图③，，，，求的度数． 12．如图，已知直线，和分别交于点A、B、C、D，点P 在直线或上且不与点A、B、C、D重合，记．    (1)若点P在图（1）位置时，求证：； (2)若点P在图（2）位置时，写出之间的关系并给予证明． 13．【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 14．如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则_________（度）；    （1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则_________（度）； （2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则_________（度）； （3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是_________（度）． 15．问题情境：如图1，，，，求的度数． 思路点拨： 小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数； 小丽的思路是：如图3，连接，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出的度数； 小芳的思路是：如图4，延长交的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出的度数． 问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的的度数为　 　°； 问题迁移： （1）如图5，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由； （2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系． 16．综合与探究： （1）问题情境：如图1，．求的度数． 小明想到一种方法，但是没有解答完： 如图2，过P作，∴． ∴． ∵．∴． ………… 请你帮助小明完成剩余的解答． （2）问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题： 如图3，，点P在射线上运动，．当点P在A，B两点之间时，之间有何数量关系？请说明理由． 17．问题情境：如图1，已知∥，．求的度数．       经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得． 问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动， ，． (1)当点P在A、B两点之间运动时， 、、之间有何数量关系？请说明理由． (2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系． (3)问题拓展：如图4，∥，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01平行线中的拐点模型 铅笔头模型 模型概述 已知AB∥CD,点P在AB, CD之间 已知点P在AB, CD之间, 且∠B+ ∠BPC+∠C=360° 图示 模型结论 ∠B+∠BPC+∠C=360° AB∥CD 证明 如图, 过点P作直线PQ∥AB. ∴∠1+∠B=180°, ∵AB∥CD, ∴PQ∥CD, ∴ ∠2+∠C=180°, ∴∠1+∠2+∠B+∠C=360°, 即∠B+∠BPC+∠C=360° 如图, 过点P作直线PQ∥AB. ∴∠1+∠B=180°, ∵∠B+∠BPC+∠C=360°, ∠BPC=∠1+∠2, ∴∠2+∠C=180°, ∴PQ∥CD, ∴AB∥ CD 模型拓展：1.如图, 已知AB∥CD, 点P在AB, CD之间,若BQ平分∠ABP, CQ平分∠DCP,则 2.“异形”铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1） 拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n 1．已知如图，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键．过点作平行线，根据平行的性质计算即可． 【详解】解：过点作平行线， ， ． 故选C． 2．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过顶点作，利用平行线的性质得到，利用角的和差得到，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过顶点作， ， ， ， ，， ， ， ． 故选：D． 3．如图，如果，那么___． 【答案】540 【分析】本题主要考查了平行线的性质等知识点，过点E作，过点F作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答，构造辅助线，是解答本题的关键． 【详解】过点E作，过点F作，如图， ∵，，， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， 故答案为：540． 1．如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是______． 【答案】/80度 【分析】过点F作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：如图，过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 2．如图，若直线，，，则的度数为____． 【答案】/150度 【分析】如图，先根据直线，得出，然后根据，得出，再根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出的度数． 【详解】如图所示，点在直线上，点、在直线上，点在、之间，为， 直线， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质与判定定理是解本题的关键． 3．如图，一大门的栏杆如右图所示，BA⊥AE，若CDAE，则∠ABC+∠BCD＝_____度； 【答案】270 【详解】解：过点B作BFAE， ∵CDAE， ∴CDBFAE， ∴∠BCD+∠CBF=180°，∠ABF+∠BAE=180°， ∴∠BAE+∠ABF+∠CBF+∠BCD=360°， 即∠BAE+∠ABC+∠BCD=360°， ∵BA⊥AE， ∴∠BAE=90°， ∴∠ABC+∠BCD=270°． 故答案为：270． 【点睛】本题考查了平行线的性质．作出辅助线是解此题的关键． 4．如图，已知AB∥CD． （1）如图1所示，∠1+∠2＝　 　； （2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝　 　；并写出求解过程． （3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　； （4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝　 　． 【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180° 【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案； （2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案； （3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案； （4）由（2）（3）类比可得答案． 【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD， ∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：180°； （2）如图2，过点E作AB的平行线EF， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF，CD∥EF， ∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°， ∴∠1+∠2+∠3=360°； （3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线， 类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°， 故答案为：540°； （4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°， 故答案为：（n-1）×180°． 【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键． 5．请在横线上填上合适的内容． （1）如图（1）已知//，则． 解：过点作直线//． ∴（   ）．（    ） ∵//，//， ∴（  ）//（   ）．（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行） ∴（   ）．（    ）． ∴． ∴． （2）如图②，如果//，则（ ） 【答案】（1）∠B，两直线平行，内错角相等，EF，CD，∠D，两直线平行，内错角相等； （2）360° 【分析】（1）过点E作直线EF∥AB，则∠FEB=∠B，继而由EF∥CD可得∠FED=∠D．所以∠B+∠D=∠BEF+∠FED，即∠B+∠D=∠BED； （2）过点E作直线EF∥AB，则∠FEB+∠B=180°，继而由EF∥CD可得∠FED+∠D=180°．所以∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°，即∠B+∠BED+∠D=360°． 【详解】解：（1）解：过点E作直线EF∥AB． ∴∠FEB=∠B．（ 两直线平行，内错角相等） ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴ EF∥CD（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）． ∴∠FED=∠D（ 两直线平行，内错角相等）． ∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED． ∴∠B+∠D=∠BED． 故答案为：∠B，两直线平行，内错角相等，EF，CD，∠D，两直线平行，内错角相等； （2）解：过点E作直线EF∥AB，如图． ∴∠FEB+∠B=180°．两直线平行，内错角相等）． ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴ EF∥CD（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）． ∴∠FED+∠D=180° （ 两直线平行，内错角相等）． ∴∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°． ∴∠B+∠BED+∠D=360°． 故答案为：360°． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理及其推论，熟练掌握平行线判定、性质说理是关键． 6．（1）问题发现 如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现：，请你写出证明过程； （2）拓展探究 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：． （3）解决问题 如图③，，，，则________．（直接写出结论，不用写计算过程） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据平行判定得到，利用平行线的性质得，，得到，即可求证出答案； （2）类比（1），过点E作EF∥AB，然后根据平行线的判定和性质即可求证出答案； （3）类比，过点作，根据平行判定得到，再根据平行的性质得：，，根据角与角的关系求得：，则可求出答案． 【详解】（1）证明：如图①，过点作， ∵（已知），（辅助线的作法）. ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）. ∵， ∴， ∴（等量代换） 即. （2）证明：如图②，过点作， ∵（已知），（辅助线的作法）. ∴（平行于同一直线的两直线平行）. ∴，， ∴， ∴. （3）解：如图③，过点作， ∵（已知），（辅助线的作法）， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，灵活运用平行判断以及平行线的性质找到角与角之间的关系． 7．（1）如图1，AM∥CN，求证：      ①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°； ②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°； （2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明． 【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°，证明详见解析 【分析】（1）①过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG，依据平行线的性质，即可得到∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°，即可得到结论；②过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN，依据平行线的性质，即可得到∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°，即可得到结论；（2）过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，即可得出所有角的和为（n+1）•180°． 【详解】解：（1）①证明：如图1，过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG ∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180° ∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360° ∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360° ②如图，过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN， ∵AM∥CN，∴EP∥FQ， ∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180° ∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°； （2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°． 证明：如图2，过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行， ∴结合（1）问得： 所有角的和为（n+1）•180°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线，利用两直线平行，同旁内角互补得出结论． 8．已知． （1）如图1，当时，则的度数为________； （2）如图2，判断，，之间的数量关系为________； （3）如图3，设，，．请直接写出的大小________（用含α、β、γ的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质、垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质和判定、垂直的定义即可求解； （2）过点作，利用平行线的性质和判定即可求解； （3）过点作，过点作，根据平行线的性质和判定得到，，，推出，，，再根据即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）如图，过点作， ， ， ，， ， ， ， ； 故答案为：． （3）如图，过点作，过点作， ，，， ， ，，， ，，， ，，， ； 故答案为：． 9．探究题： (1)如图1，若，则，你能说明理由吗？ (2)若将点E移至图2的位置，此时、、之间有什么关系？并证明 【答案】(1)理由见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，由平行线的性质可得和，再利用角的和差即可解答； （2）过点作，由平行线的性质可得和，再利用角的和差即可解答． 【详解】（1）解：能，理由如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， ， ． （2）解：，证明如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， ， ， 又， ． 10．如图1，四边形为一张长方形纸片．    (1)如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则__________°． (2)如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则__________°． (3)如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则___________°． (4)根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点． （1）过点过作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于的倍； （2）分别过、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的三倍； （3）分别过、、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的四倍； （4）根据前三问个的剪法，剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 【详解】（1）解：过作（如图②）． 原四边形是长方形， ， 又， （平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ， （两直线平行，同旁内角互补）． ， （两直线平行，同旁内角互补）． ， 又， ， 故答案为：；    （2）分别过、分别作、，如图③所示，     原四边形是长方形， ， 又， ． ，，， ， ，， ， 故答案为：； （3）分别过、、分别作、、，如图④所示，     原四边形是长方形， ， 又，，， ． ，，，， ， ，，， ， 故答案为：； （4）由此可得一般规律：剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度， 故答案为：． 11．（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现，请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作． ，， ． __________． ， __________． __________． 即； （2）拓展探究： 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：； （3）解决问题： 如图③，，，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确过拐点作出辅助线是解此题的关键，注意：①两直线平行，内错角相等；②两直线平行，同位角相等；③两直线平行，同旁内角互补；④平行于同一直线的两直线平行． （1）过点E作，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可； （2）过点E作，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可； （3）过点E作，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可． 【详解】（1）证明：如图①， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：； （2）证明：如图②，过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图③，过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．如图，已知直线，和分别交于点A、B、C、D，点P 在直线或上且不与点A、B、C、D重合，记．    (1)若点P在图（1）位置时，求证：； (2)若点P在图（2）位置时，写出之间的关系并给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与平行公理； （1）过点P作，则，从而有，根据即可求证； （2）过点P作，则，，由即可得之间的关系． 【详解】（1）证明：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴；    （2）解：； 证明如下： 如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴．   + 13．【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 【答案】【感知探究】证明见解析；【类比迁移】；【结论应用】20 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可求解； （2）如图②，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （3）如图③，过作，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图①，过点作， 则， 又∵， ∴， ， ， 即； （2）解：． 证明：如图②，过作， ， ∵， ∴， ， ， 即：． 故答案为：； （3）如图③，过作， ， ∵， ∴， ， ， 故答案为：20． 14．如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则_________（度）；    （1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则_________（度）； （2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则_________（度）； （3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是_________（度）． 【答案】 360 540 720 180n 【分析】过点作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于的倍； （1）分别过、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的三倍； （2）分别过、、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的四倍； （3）根据前三问个的剪法，剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 【详解】过作（如图②）． ∵原四边形是长方形， ∴， 又∵， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴， 又∵， ∴；    （）分别过、分别作的平行线，如图③所示，    用上面的方法可得； （）分别过、、分别作的平行线，如图④所示，    用上面的方法可得； （）由此可得一般规律：剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 故答案为：；；；． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点． 15．问题情境：如图1，，，，求的度数． 思路点拨： 小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数； 小丽的思路是：如图3，连接，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出的度数； 小芳的思路是：如图4，延长交的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出的度数． 问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的的度数为　 　°； 问题迁移： （1）如图5，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由； （2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系． 【答案】110；（1），理由见解析；（2）或，理由见解析 【分析】小明的思路是：过P作，构造同旁内角，利用平行线性质，可得． （1）过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （2）画出图形（分两种情况：①点P在的延长线上，②点P在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】解：小明的思路：如图2，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：110； （1），理由如下： 如图5，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）当P在延长线时，； 理由：如图6，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； 当P在之间时，． 理由：如图7，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定和性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角． 16．综合与探究： （1）问题情境：如图1，．求的度数． 小明想到一种方法，但是没有解答完： 如图2，过P作，∴． ∴． ∵．∴． ………… 请你帮助小明完成剩余的解答． （2）问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题： 如图3，，点P在射线上运动，．当点P在A，B两点之间时，之间有何数量关系？请说明理由． 【答案】（1）110°；（2），理由见解析 【分析】（1）过P作PE//AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°． （2）过P作PE//AD交CD于E，推出AD//PE//BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案． 【详解】解：（1）过P作， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． （2）， 如图3，过P作PE//AD交CD于E， ∵AD//BC， ∴AD//PE//BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β； 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角． 17．问题情境：如图1，已知∥，．求的度数．       经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得． 问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动， ，． (1)当点P在A、B两点之间运动时， 、、之间有何数量关系？请说明理由． (2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系． (3)问题拓展：如图4，∥，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ． 【答案】(1)∠CPD=∠α+∠β，理由见解析 (2)∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β (3)∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+ 【分析】（1）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解； （2）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解； （3）问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，根据平行线的判定和性质即可求解． 【详解】（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下： 如图，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β； （2）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；理由： 如图，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α； 当P在BO之间时，∠CPD=∠α-∠β．理由： 如图，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β． （3）问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M， 由平行线的性质和角的和差关系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+． 故答案为：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力，第（2）问在解题时注意分类思想的运用． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $