精品解析：2026年中招学科第一次调研考试试卷 九年级数学

2026年中招学科第一次调研考试试卷 九年级数学 一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确选项的代号字母填入题后括号内． 1. 比小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度减小，在芯片上的某种电子元件大约只占，将用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 3. 如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个正方体，则需剪掉一个小正方形，剪掉的小正方形不可以是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将一个含角的三角尺和直尺按如图摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 用配方法解方程时，配方后得到的方程为（　　） A. B. C. D. 7. 为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示）．下列说法正确的是（ ） A. 班主任采用的是抽样调查 B. 喜爱动画节目的同学最多 C. 喜爱戏曲节目的同学有6名 D. “体育”对应扇形的圆心角为 8. 数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（ ）（精确到1m．参考数据：，，，） A. 28m B. 34m C. 37m D. 46m 9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的BC边的中点O在坐标原点上，，，轴，将菱形ABCD绕原点O逆时针旋转90°，点A的对应点为点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：___________． 12. 关于的一元二次方程有实数根，请写出一个符合题意的的值______． 13. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为______． 14. 甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则______． 15. 已知平面内有一角，一圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的边上截得的两条线恰好各是某正五边形的一边，那么这个角的度数为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程组和不等式组： （1）； （2）． 17. 为加强劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动．学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生．根据收集到的数据，将劳动时间（单位：）分为，四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表，部分信息如下． 学期初调查数据条形图 学期末调查数据扇形图 两次调查数据统计表 时间 平均数 中位数 众数 学期初 2.8 2.9 2.8 学期末 3.5 3.6 3.6 （1）在学期初调查数据条形图中，B组人数是______人，并补全条形图； （2）七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数； （3）该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有没有提高？结合统计数据说明理由． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）点A关于原点O的对称点为，在x轴上找一点P，使最小，求出点的坐标． 19. 开启作角平分线的智慧之窗． 问题：作的平分线． 作法：如图，甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线． 讨论：大家对甲同学的作法深信不疑，认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是______________； 大家对乙同学的作法半信半疑，通过讨论最终确定为角平分线．判断的理由是： ，，（依据______________）． 任务： （1）请你将上述讨论过程补充完整． （2）完成对丙同学作法的验证．已知，，求证：平分． 20. 随着“双减”政策的落实，中学生有了更多的课余时间进行户外运动，为此某校决定购买一批体育器材，已知足球的单价比排球的单价多30元，且用500元购得排球，排球的数量与用800元购得足球的数量相同． （1）排球，足球的单价各是多少元． （2）若该校准备购买排球和足球共11个，且足球不少于2个．设购买排球和足球所需费用为y元，排球有x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种费用最少的购买方案，写出最少费用． 21. 已知是的直径，是的弦． （1）如图①，若为的中点，，求和的大小； （2）如图②，过点作的切线交延长线于点，连接，若是的直径，，，求的长． 22. 已知抛物线（a为常数）经过点． （1）求a的值． （2）过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值． （3）设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最大值． 23. 如图，在中，，点D在射线上，连接，将绕点D逆时针旋转α，得到线段，连接． （1）当点D落在线段上时， ①如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是 ， °； ②如图2，当时，请判断线段与的数量关系，并给出证明； （2）当时，过点A作交于点N，若，猜想与的数量关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中招学科第一次调研考试试卷 九年级数学 一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确选项的代号字母填入题后括号内． 1. 比小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的减法，解决本题的关键是正确列出算式．根据题意，列出算式，利用有理数的减法法则计算即可． 【详解】解：由题意得， 故选：B． 2. 随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度减小，在芯片上的某种电子元件大约只占，将用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】是绝对值小于1的正数，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此可得． 【详解】0.00000065=6.5×10−7 故选：B 【点睛】本题考查的是绝对值小于1的正数如何用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个正方体，则需剪掉一个小正方形，剪掉的小正方形不可以是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方体展开图，熟记正方体的常见展开图是解题的关键．根据正方体的常见展开图解答即可． 【详解】解：根据题意可知，剪去①或②或③可以围成一个正方体，剪去④不能围成正方体． 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则、积的乘方、合并同类项法则、完全平方公式计算出各项即可判断出结果． 【详解】A．，故A错误，不符合题意； B．，故B错误，不符合题意； C．，故C错误，不符合题意； D．，故D正确，符合题意． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项法则，完全平方公式，熟练掌握运算法则和完全平方公式，是解答本题关键． 5. 将一个含角的三角尺和直尺按如图摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质和三角板的相关计算，熟练掌握平行线的性质是关键．根据平行线的性质得到，，进一步即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C 6. 用配方法解方程时，配方后得到的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】移项，配方，根据完全平方公式变形，即可得出选项． 【详解】解：∵， ∴， ∴. 故选：A. 【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键． 7. 为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示）．下列说法正确的是（ ） A. 班主任采用的是抽样调查 B. 喜爱动画节目的同学最多 C. 喜爱戏曲节目的同学有6名 D. “体育”对应扇形的圆心角为 【答案】D 【解析】 【分析】根据全班共50名学生，班主任制作了50份问卷调查，可知班主任采用的是普查，由此可判断A；根据喜爱娱乐节目的同学所占的百分比最多，可判断B；用50乘以喜爱戏曲节目的同学所占的百分比计算出喜爱戏曲节目的同学的人数，可判断C；用乘以“体育”所占的百分比求出“体育”对应扇形的圆心角的度数，即可判断D． 本题考查了扇形统计图，从扇形统计图中正确获取信息是解题关键． 【详解】全班共50名学生，班主任制作了50份问卷调查， 所以班主任采用的是全面调查， 故A选项错误； 喜爱娱乐节目的同学所占的百分比最多，因此喜爱娱乐节目的同学最多， 故B选项错误； 喜爱戏曲节目的同学有名， 故C选项错误； “体育”对应扇形的圆心角为， 故D选项正确． 故选：D． 8. 数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（ ）（精确到1m．参考数据：，，，） A. 28m B. 34m C. 37m D. 46m 【答案】C 【解析】 【分析】在Rt△ABD中，解直角三角形求出，在Rt△ABC中，解直角三角形可求出AB． 【详解】解：在Rt△ABD中，tan∠ADB＝， ∴， 在Rt△ABC中，tan∠ACB＝， ∴， 解得：m， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切函数的定义是解题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的BC边的中点O在坐标原点上，，，轴，将菱形ABCD绕原点O逆时针旋转90°，点A的对应点为点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据60°的菱形的性质得到OB长，再根据旋转的性质和解直角三角形得到OP，P，OP长，结合图形从而得到点的坐标； 【详解】如图1，连接OA，∵，点O为菱形ABCD中BC边的中点，∴，，∴，∴，由旋转的性质可知，，在中，，，∴，∴点的坐标为，故选D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，坐标由图形的性质，旋转的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键 10. 如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得，，进而由解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式. 12. 关于的一元二次方程有实数根，请写出一个符合题意的的值______． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 所以当取2时，方程有两个不相等的实数根． 故答案为：2（答案不唯一）． 13. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式．根据概率公式直接得出答案． 【详解】解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在夏季的有六个， 则抽到的节气在夏季的概率为， 故答案为：． 14. 甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则______． 【答案】99 【解析】 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为： ，设重叠部分的长度为k，则，，根据重叠后的总长度为81为等量关系列出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：重叠部分为： ， 设重叠部分的长度为k，则，， 重叠后的总长度为：，即， 代入，得：， 解得：， ∴，， ∴， 故答案为：99． 15. 已知平面内有一角，一圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的边上截得的两条线恰好各是某正五边形的一边，那么这个角的度数为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，如图，分两种情况，当角的顶点在圆上时，如，弦为时，此时恰好是正五边形的一个内角，进行求解即可，当角的顶点在圆外部时，即交的两边，截取的两条弦为时，进行求解即可． 【详解】如图，当角的顶点在圆上时，如交的两边，截取的两条弦为，此时恰好是正五边形的一个内角， ∴； 当角的顶点在圆外部，即交的两边，截取的两条弦为时， 则， ∴， ∴； 综上：这个角的大小是或； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程组和不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ，得，解得． 把代入①，得，解得． 方程组的解为． 【小问2详解】 解： 由①，得， 由②，得． 不等式组的解集为． 17. 为加强劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动．学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生．根据收集到的数据，将劳动时间（单位：）分为，四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表，部分信息如下． 学期初调查数据条形图 学期末调查数据扇形图 两次调查数据统计表 时间 平均数 中位数 众数 学期初 2.8 2.9 2.8 学期末 3.5 3.6 3.6 （1）在学期初调查数据条形图中，B组人数是______人，并补全条形图； （2）七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数； （3）该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有没有提高？结合统计数据说明理由． 【答案】（1），补全条形图如下： ； （2）人 （3）有提高，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，平均数，中位数，众数的含义； （1）先由总人数减去已知小组的人数可得B组人数，再补全图形即可； （2）由总人数乘以学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数的百分比即可得到答案； （3）根据平均数，中位数，众数的含义进行分析即可. 【小问1详解】 解：在学期初调查数据条形图中，B组人数是人， 【小问2详解】 解：七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数有： （人）. 答：学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数有340人； 【小问3详解】 解：由表格信息可得：学期末比学期初的一周参与劳动时间的平均数，中位数，众数都增加了， ∴该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有提高. 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）点A关于原点O的对称点为，在x轴上找一点P，使最小，求出点的坐标． 【答案】（1）m=3，n=-3，反比例函数的解析式为：； （2）； 【解析】 【分析】（1）将点，点分别代入之中，即可求出的值；然后再将点代入即可得到反比例函数的解析； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则为最小，故得点为所求作的点，根据对称性先求出点，点，再利用待定系数法求出直线的解析式为，由此可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：将点，点分别代入之中， 得：，， 解得：，， ∴点，点， 将点代入之中，得：， ∴反比例函数的解析式为：， 【小问2详解】 作点关于x轴的对称点，连接交轴于点，连接，如图： 则为最小， 故得点为所求作的点．理由如下： 在轴上任取一点，连接，，， ∵点关于轴的对称点， ∴轴为线段的垂直平分线， ∴， ∴，， 根据“两点之间线段最短”得：， 即：， ∴为最小． ∵点，点与点关于原点对称， ∴点的坐标为， 又∵点，点和点关于轴对称， ∴点点的坐标为， 设直线的解析式为：， 将点，代入， 得：，解得：， ∴直线A'B'的解析式为：， 对于，当时，， ∴点的坐标为． 【点睛】此题主要考查了一次函数与反比例函数的图象，利用轴对称求最短路线，熟练掌握待定系数法求函数的解析式，理解利用轴对称求最短路线的思路和方法是解答此题的关键． 19. 开启作角平分线的智慧之窗． 问题：作的平分线． 作法：如图，甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线． 讨论：大家对甲同学的作法深信不疑，认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是______________； 大家对乙同学的作法半信半疑，通过讨论最终确定为角平分线．判断的理由是： ，，（依据______________）． 任务： （1）请你将上述讨论过程补充完整． （2）完成对丙同学作法的验证．已知，，求证：平分． 【答案】（1）；等腰三角形的三线合一 （2） 证明：∵， ， ， ， ． ，即． 平分． 【解析】 【分析】（1）结合甲同学的作法和乙同学的作法，完善推理步骤即可； （2）根据已知得出，进而可得，根据等边对等角可得，等量代换可得，即可得证． 【小问1详解】 解：甲同学：如图， 由作图得，， 在与中， ， ， ， 其判定全等的方法是； 乙同学：，， （等腰三角形的三线合一）； 【小问2详解】 略 20. 随着“双减”政策的落实，中学生有了更多的课余时间进行户外运动，为此某校决定购买一批体育器材，已知足球的单价比排球的单价多30元，且用500元购得排球，排球的数量与用800元购得足球的数量相同． （1）排球，足球的单价各是多少元． （2）若该校准备购买排球和足球共11个，且足球不少于2个．设购买排球和足球所需费用为y元，排球有x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种费用最少的购买方案，写出最少费用． 【答案】（1）排球的单价为50元，足球的单价为80元 （2）费用最少的购买方案为：购买排球9个，足球2个，最少费用为610元 【解析】 【分析】（1）设排球的单价为a元，则足球的单价为（a+30）元，根据数量=总价÷单价结合花500元购买的排球的个数与花800元购买的足球的个数恰好相等，即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出答案； （2）设购买排球x个，足球（11-x）个，根据购买的总费用y等于购买排球的费用+购买足球的费用峛出函数关系式，再根据函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设排球的单价为a元，则足球的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验是分式方程的解且符合题意， ∴， 答：排球的单价为50元，足球的单价为80元． 【小问2详解】 解：根据题意，得， ∵，解得， 在中，， ∴y随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，， 此时， 即费用最少的购买方案为：购买排球9个，足球2个，最少费用为610元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一次函数解析式． 21. 已知是的直径，是的弦． （1）如图①，若为的中点，，求和的大小； （2）如图②，过点作的切线交延长线于点，连接，若是的直径，，，求的长． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据为的中点，得到，进而得到，即可求解； （2）根据切线的性质结合圆周角定理推出，求出，利用含30度角直角三角形的特征得到，利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：是的直径， ， ， ， 为的中点， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：是的切线，是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、切线的性质定理，含30度角的直角三角形的特征，勾股定理等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键． 22. 已知抛物线（a为常数）经过点． （1）求a的值． （2）过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值． （3）设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求出函数解析式即可解答； （2）先求出对称轴，由关于对称轴对称，易得的纵坐标均为，由中点得到，对称性得到，求出，再代入函数解析式求出的值即可； （3）根据题意，易得要使最大，则为一条直线与抛物线的交点的横坐标，和关于对称轴对称，根据直线之间的距离为16为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，令，求出的值，进而确定的值，进行求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得：，解得：； 【小问2详解】 解：由（1）知：抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于两点， ∴关于对称轴对称，的纵坐标均为， 又∵点B为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴代入，得：， ∴； 【小问3详解】 解：解：由题意（或前问结论）可知，则抛物线解析式为， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 设夹住抛物线一段的两条平行直线分别为和（）， 由题意知，该段抛物线上的点的纵坐标满足，且， 要使该段抛物线在轴上的投影长度最大，即要求抛物线的水平跨度最大， 抛物线开口向上，函数值越大，图象离对称轴越远，水平宽度越大， 当该段抛物线的最低点恰好为顶点时，其最高点能达到最大值，从而获得最大的水平跨度， 此时，下边界直线过顶点，即， 上边界直线的解析式为， 令，得， 如图： 解得， 的最大值为． ∵， ∴抛物线的顶点坐标， 当抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间时， 为直线与抛物线的交点的横坐标， ∴要使最大，则为一条直线与抛物线的交点的横坐标，和关于对称轴对称， 又∵直线之间的距离为16，为定值， ∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为， 23. 如图，在中，，点D在射线上，连接，将绕点D逆时针旋转α，得到线段，连接． （1）当点D落在线段上时， ①如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是 ， °； ②如图2，当时，请判断线段与的数量关系，并给出证明； （2）当时，过点A作交于点N，若，猜想与的数量关系并说明理由． 【答案】（1）①；120， ②， 证明：∵， ∴， ∵， ∴和是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ； （2）或， 证明：如图3，当点D在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点D在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 【解析】 【分析】（1）①首先根据题意证明和是等边三角形，然后证明出，最后利用全等三角形的性质求解即可； ②首先证明出和是等腰直角三角形，然后证明出，根据相似三角形的性质求解即可； （2）分两种情况：当点D在线段上时，设，则，然后根据勾股定理求出，然后利用等面积法求出，进而求解；同理当点D在线段的延长线上时求解即可． 【小问1详解】 解：①∵将绕点D逆时针旋转， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：，； ②略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了旋转的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $