天津市部分区2026届高三下学期质量调查试卷（一）数学试题

天津市部分区2026年高三质量调查试卷（一） 数学参考答案 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分。 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 答案 D B D A C A B 二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的， 答对1个的给3分，全部答对的给5分。 (10)-1+2i (11)45 (12)25 (13) 别2 (14) (15)(5,7] 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤。 (16)（本小题满分14分) 3 解：（I)由题可知a2+2ab+b2=c2+2ab 2 可得a2+62-o2=- ab 2 …1分 由余弦定理c0sC=Q2+b2-c2 .2分 2ab 可得cosC=-1 .3分 (Ⅱ)由题√5 asin B=bsinC 由正弦定理得，√5 sin Asin B=sin BsinC …4分 因为油80所以5nA=油C,即A=5咖C…5分 由(I)cosC=-,所以sinC=V-eos2C=⑤ .6分 高三数学（一）参考答案第1页（共8页） 得sinA=5。 5sinc5x hs ..7分 5 54 4 )由(I)可知cwc=-片，所以ce(怎，则有A（,引 由(I)可得cosA=V-in2A=厘 .8分 sin24=2sin Acos9 ….10分 8 cos24=2cos2 A-1= 8 .12分 sin(2A+C)=sin2Ac0sC+c2inC55 ，...14分 32 (17)(本小题满分15分) D (I)证明：在平面BCD内，过点D作DE⊥BD,因为AD⊥底面BCD,以D为 坐标原点，分别以DB,DE,DA所在直线为x轴、y轴、轴建立空间直角坐标 系D-如图所示， .1分 P}9器=0 ……3分 因为AD⊥平面BCD,所以平面BCD法向量DA=(0,0,2).4分 .PO.DA=0 5分 PQ面BCD .PQII面BCD: ..6分 高三数学（一)参考答案第2页（共8页） (Ⅱ)设平面ABC的法向量为n=(x,y,z) B=2x-2z=0→n=(1,) .8分 n-BC=-x+y=0 设平面ABC与平面ABM夹角为B 又因为平面BM的法向量为p=(0,1,0) ..9分 所以cos0=kos<n,p> =pl1 5 IPxI3 .11分 则sn6=6 平面ABC与平面ABM夹角的正弦值为 ....12分 (Π)M0,0,1)MB=(2,0,-1) ....13分 设点M到平面ABC的距离为d d=M证刀_2+0--5 ..14分 Iml 53 “求点M到平面ABC的距离为5 ..15分 (18)（本小题满分15分) e=9=5 a 2 (I)由题意可得 4,1 a京+6京=1， a2=b2+c2 解得a=22,b=√，c=V6, .3分 :椭圆方程为亡+上-1： 8 ..4分 2 (Ⅱ)由(I)可得A22,0),B0,2, 由题可知直线1斜率为k,设直线/的方程为y=c+m 高三数学（一）参考答案第3页（共8页） 则(0，m),设P(xpyp) .5分 联立苔+子整理可得：4+股+8m+m-8=0,…7分 y=kx+m △=64km2-4x(4k2+1X4m-8)=0,得m2=8k2+2①，..8分 2x。=8m’即x,=42+) .9分 4k2+1 带入直线/的方程为y=松+加，得%，吸” 因为4k5,,0回，所以= :过Q与AB平行的直线方程为y=-之x+m, .11分 令y=0,得x=2m,则M(2m,0) 8k+2 2+0 线段PM的中点 m 4k 2—,2 +m, …12分 因为段PM的中点在直线x-2y=0上， 所以“+m=之， 今 m 化简得-4k+m2=2,即-4k+8k2+2=2 解得k=0(舍)，k=1则m=2 .14分 2 直线的方程为y=士2 .15分 (19)(本小题满分15分) 解：（I)由题(a,+2d)g=1 (5a+4d)-bg2=1 .2分 高三数学（一）参考答案第4页（共8页） 又a,=b=1,所以(1+2d0g=1,(5+4d)g2=1 解得d2=1 因为数列{an}是单调递增的等差数列，所以d=l a=n .3分 解得q= 所以：b,=月： ………4分 ()(i)S,=n+D 2 6=(←g2=←)9n, 5分 CAn-3+Cin-2+Cin-1+Cin= （r3X4r2 (in-2Y4n-1) (4n-IX4n) (4nX4n+l) =（-1)2(4n-32+(-1)2(4n-2}2+(-1)2(4n-10+(1)2(4n2 =(-1)(4n-3)2+(-1)(4n-2)2+(4n-102+(4m2 .6分 =(4n-1)2-(4n-3)2+(4m)2-(4n-2)2 =2[(4n-3)+(4n-2)+(4n-)+(4)] .7分 所以T=2.4m4n+D=4m4n+D: 2 9分 （i)G+4n-6w=a4a*+4a_i6r+8 3” 3n <Vi6m+8n+1_4n+1 3” 3 .10分 设4-会警 4=5周+r周+1⑥+…a-)+6a+0③ 4=5周+9周+…-周++周”…11分 高三数学（一）参考答案第5页（共8页） 两式相减得： 4=s+4周+4+4)-(m+0…2分 =号+4[周+)+a周) jc日r =子-a+n …13分 所以，4=子-2+3 ....14分 因为neN,所以n+孕(s0,所以A<号 即得证：名+4-6<子 ….15分 (20)(本小题满分16分) 解1)fe=e-r f"(x)=e*-ax, .1分 f"(0)=1,f(0)=1, .2分 所以切线方程为y-1=1×(x-0), 即曲线f(x)在点(0，f0)处的切线方程为x-y+1=0.3分 (II)f(x)-e'-1ax,xeR,f(x)-c-@x, 令g(x)=e*-ax g'(x)=e*-a,a>1 令g(x)=0,得x=lna 高三数学（一）参考答案第6页（共8页） 令g'(x)<0,得x<lna,所以g(x)在(-o,lna)上单调递减 令g'(x)>0,得x>lna,所以g(x)在(na,+oo)上单调递增 所以g(x)in=g(na)=ena-alna=a(1-lna) …5分 ①当1<a≤e时，1-lna≥0 所以g(x)≥g(lna)=a(1-lna)20,即f(x)≥0， 所以fx)在(-∞，+o)上单调递增 ….6分 ②当a>e时，1-lna<0 所以g(x)in=g(lna)=a(1-lna)<0,即f'(na)<0 当x→-o时，y=e→0，y=ax→-o,从而f(x)→0 当x→+oo时，y=e*→+oo,y=ax-→+oo,与y=ax相比，指数函数y=e* 呈爆炸性增长，从而f'(x)→∞ …..7分 所以f《x)=0有两根，记为x,(x<lna<x2) 当x变化时，f(x),fx)的变化情况如下表： (-∞，x) 古 (x,x2) X2 (32,+∞) f'(x) 0 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 fx)在(-，x)和(x2,+o)上单调递增，在(x,x2)上单调递减；…9分 综上所述：当1<a≤e时，f(x)在(-o,+o)上单调递增 当a>e时，f(x)在(-∞，x)和(，o∞)上单调递增，在(x,x2)上单调递 减： 10分 (Ⅲ)证明：由（Ⅱ)知h(x)=e*-ax 因为函数h(x)在(0，+∞)上有两个不同的空点x1,x2 高三数学（一）参考答案第7页（共8页） 所以e-a=0即e=a%① e-a%=0即e=ax2② 两式做除法得：e-=立 ③ ..11分 令立=1，因为x<x2≤2x所以1∈(1,2] X Int 代入③式得×=1一 1-1 .12分 +24+- t-I -3nx+2x-1-1 令a间-2x+hx,1<2,m)= x-1 （x-1)2 .13分 ◆m-*2x-,w)-号+2+--- F? 因为1<x≤2，所以m'(x)>0, 所以m(x)在区间(，2]上单调递增， …14分 所以m(x)>m()=-3n1+2-1-1=0, 所以n(x)在区间(L,2]上单调递增 ..15分 所以n(x)mx=n(2)=5ln2 得证：x1+2x2≤5ln2. ....16分 高三数学（一)参考答案第8页（共8页）天津市部分区2026年高三质量调查试卷（一) 数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分， 考试用时120分钟。祝各位考生考试顺利！ 第|卷 注意事项： 绿 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分。 拍 参考公式： ·如果事件A,B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B). ·如果事件A,B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B). 邮 ·球的体积公式”一，其中及表示球的平径 ·锥体的体积公式V=S%,其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高。 2 一、 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)设全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,23},B={2,4,则(GAUB= O A.4 B.1,3} C.0,1,3} D.{0,2,4} (2)设a,b∈R,则“a<b”是“a2(a-b)<0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 ·D,既不充分也不必要条件 3 (3) 函数f()=+2的部分图象大致为 糊 高三数学（一)第1页（共4页） (4)某学校为培养学生创新思维和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛 活动，抽取200名参赛学生，统计其成绩，将所得数据分为5组：[50,60)， [60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如下频率分布直方图， 则下列说法错误的是 个频率/组距 A.a=0.010 0.040 B.成绩在[50,70)的频数为50 0.020 C.成绩中位数在[80,90)内 0.01 a D.成绩平均数在[80,90)内 0 5060708090100成绩 （5)已知a=5%,b=bg,06,c=0 ,则a,b,c的大小关系为 A.b<a<c B.b<c<a C.c<b<a D.a<c<b 《6)若4=9,3=4，则a+ 3 B.log,2 C.21og23 D. 3 (7) 已知函数/()=血r+君0<0<可列在x=于处取得最小值，则/问 在区间 上的单调递减区间为 c[.[引 8)已知双曲线31Q>0,b>0的左、右焦点分别为，R,0是坐标 原点，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为P,若PF=2W2OP, PF=2,则双曲线的方程为 A.x-上=1B.￥=1 416 4 84 (9)已知球O是棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D的内切球，则球0与三棱 锥O-ABC的公共部分的体积为 A. B. C. D 6 高三数学（一）第2页（共4页） 第川卷 注意事项： 1,用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2.本卷共11小题，共105分。 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的， 答对1个的给3分，全部答对的给5分， (10)i是虚数单位，复数+31 1)在(2+)1-9的展开式中，Y的系数为 (结果用数字表示) (12) 已知圆C:(x-1)2+y2=r2,圆心为抛物线y2=2x(p>0)的焦点，圆C 与抛物线交于A,B两点，与其准线交于D,E两点，若AB=4W2,则 DE= (13)现有3名学生参加某高校的面试，面试要求用汉语或英语中的一种语言 回答问题，各学生用何种语言回答问题相互独立，每名学生被要求用英 语回答问题的概率均为？，则这3名学生中至少有2人用英语回答问题 的概率为 记用英语回答问题的学生人数为X,则X的数学期望 E(X)= (14)已知P是△4BC内一点，亚=丽+Pc.若40=24C,1e(0,1),且 B,P,2三点共线，则1的值为一；若A=3,AC=5,向量AB 在向量AC上的投影向量为；AC,则AP.BC= (15)函数f(x)= sinx+,0<x<a若f(似)恰有四个不同零点，则实数a x2-2ar+1,x2a. 的取值范围为 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤， (16)(本小题满分14分) 在△MBC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知(a+b}=c2+三b, √5 asin B=bsinC. (I)求cosC的值： (IⅡ)求sinA的值； (IⅢ)求sin(2A+C)的值 高三数学（一） 第3页（共4页） (17)(本小题满分15分) 如图，在三棱锥A-BCD中，AD⊥平面BCD, BC⊥CD,BC=CD=√2，AD=2,M是AD的中 点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且A2=32C. p (I)求证：P2∥平面BCD; B (IⅡ)求平面ABC与平面ABM夹角的正弦值； (IⅢ)求点M到平面ABC的距离. (18)(本小题满分15分) 的 已知椭题号茶-Ka>6>0过点2刘，且离心率为 ,右顶点为4， 2 些 上顶点为B. (I)求椭圆的方程： (Ⅱ)已知斜率为k(k≠0)的直线1与椭圆有唯一公共点P,.与y轴交于点 紫 ?,过点Q与直线AB平行的直线交x轴于点M,若线段PM的中点在直线 些 x-2少=0上，求直线1的方程. (19)(本小题满分15分) :型 已知{an}是单调递增的等差数列，其前n项和为S:,{bn}为等比数列， a=b=1,4b2=1,(S2+S3)b=1. 1 (I)求{a.}和{bn}的通项公式： (Ⅱ)若c=（-la2(neN),记数列{c,}的前4n项和为T., (i)求Tn; (ⅱ)求证： 会医+服如号 辨 0 (20)（本小题满分16分) 设函数f(x=e-ar(a>), (I)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (Ⅱ)讨论f(x)的单调性； (Ⅲ)设(x)为f(x)的导函数，若h(x)在(0，+∞)上有两个不同的零点 x,x2(:<2≤2x),求证：为+2x,≤5n2. 高三数学（一）：第4页（共4页）