专题4.1&4.2因式分解的意义和提取公因式法六大题型（一课一讲）2025-2026学年浙教版数学七年级下册

专题4.1&4.2因式分解的意义和提取公因式法六大题型（一课一讲） （内容:因式分解的判定、提取公因式） 【浙教版】 题型一：判断是否为因式分解 【经典例题1】下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-1】下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-2】下列各式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-5】下列从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 题型二：提取公因式中找公因式 【经典例题2】多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】多项式分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】（1）多项式的公因式是 ； （2）多项式的公因式是 ； （3）多项式的公因式是 ； （4）多项式的公因式是 ． 【变式训练2-4】（1）多项式中，各项的公因式是 ； （2）多项式中，各项的公因式是 ． 【变式训练2-5】（多项式的公因式是 ． 题型三：添括号 【经典例题3】计算时，下列变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】下列各式左右两边相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】下列去括号或添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】下列式子变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】下列去括号或添括号的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-5】为了应用平方差公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 题型四：提取公因式因式分解 【经典例题4】因式分解： (1) (2) 【变式训练4-1】把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【变式训练4-2】把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【变式训练4-3】把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)， (4)． 【变式训练4-4】因式分解： (1)； (2)； (3)． 【变式训练4-5】将下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型五：利用提取公因式求代数式的值 【经典例题5】已知，则 ． 【变式训练5-1】若，，则代数式的值是 ． 【变式训练5-2】若，，则的值为 ． 【变式训练5-3】，，则 ． 【变式训练5-4】已知，则的值是 ． 【变式训练5-5】当时，代数式的值是11，则当时，代数式的值是 ． 题型六：提取公因式综合应用 【经典例题6】【新定义】如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”． 【验证】嘉嘉说：是“4倍数”，淇淇说：也是“4倍数”，通过简便计算判断他们说得对错？ 【证明】设三个连续偶数的中间数是（n是整数），通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4倍数”． 【变式训练6-1】（1）设是一个四位数（表示千位上的数字，表示百位上的数字，表示十位上的数字，表示个位上的数字），若可以被9整除，请你证明这个数也可以被9整除； （2）用问题（1）的结论，验证一下2025能否被9整除． 【变式训练6-2】阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：． (1)上述因式分解的方法是 ，共应用了 次． (2)因式分解需应用上述方法 次，结果是 ，请写出推理过程． (3)计算： ． 【变式训练6-3】阅读材料： 已知代数式，求的值． 解：由， 得， 即， 因此，所以． 根据以上材料，解答下列题目： 已知代数式，求的值． 【变式训练6-4】阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是 ，共用了 次． (2)若分解，则结果是 ． (3)依照上述方法分解因式：（n为正整数）． 【变式训练6-5】阅读材料： 我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并； （2）已知，求的值； 拓展应用： （3）已知，，，求的值． 【变式训练6-6】阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【尝试应用】 （1）把看成一个整体，合并的结果是__________； （2）已知，求的值； 【拓广探索】 （3）已知，，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1&4.2因式分解的意义和提取公因式法六大题型（一课一讲） （内容:因式分解的判定、提取公因式） 【浙教版】 题型一：判断是否为因式分解 【经典例题1】下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、符合因式分解的定义，符合题意； B、，不符合题意； C、中等号右边不是积的形式，不符合题意； D、中为分式，不符合题意； 故选：A． 【变式训练1-1】下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、是乘法运算，则A不符合题意； B、中等号右边不是积的形式，则B不符合题意； C、，则C不符合题意； D、符合因式分解的定义，则D符合题意； 故选：D． 【变式训练1-2】下列各式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意； C、，属于因式分解，故符合题意； D、，所以因式分解错误，故不符合题意； 故选：C． 【变式训练1-3】下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，是整式的乘法运算，不是因式分解，本选项不符合题意； B、，利用平方差公式因式分解，本选项符合题意； C、，结果不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，不是因式分解，本选项不符合题意； D、，不符合因式分解的定义，不是因式分解，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练1-4】下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、等号右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、整式的乘法运算，不是因式分解，不符合题意； C、整式的乘法运算，不是因式分解，不符合题意； D、满足因式分解的定义，符合题意； 故选：D． 【变式训练1-5】下列从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A． 是多项式相乘，故该选项不符合题意； B． 右边不是整式乘积的形式，故该选项不符合题意； C． 是因式分解，故该选项符合题意； D． 右边不是整式乘积的形式，故该选项不符合题意； 故选：C． 题型二：提取公因式中找公因式 【经典例题2】多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 故多项式的公因式是， 故选：D． 【变式训练2-1】多项式分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ， 故选B． 【变式训练2-2】多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得， 的公因式是：， 故选：B． 【变式训练2-3】（1）多项式的公因式是 ； （2）多项式的公因式是 ； （3）多项式的公因式是 ； （4）多项式的公因式是 ． 【答案】 ； ； ； ． 【详解】（）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； 故答案为：（）；（）；（）；（）． 【变式训练2-4】（1）多项式中，各项的公因式是 ； （2）多项式中，各项的公因式是 ． 【答案】 【解析】略 【变式训练2-5】（多项式的公因式是 ． 【答案】 【详解】解：∵多项式有三项， ∴，，中系数的公因数是，字母部分公因式为， ∴多项式的公因式是． 故答案为：． 题型三：添括号 【经典例题3】计算时，下列变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 故选：B． 【变式训练3-1】下列各式左右两边相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项正确，符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项错误，不符合题意； 故选B． 【变式训练3-2】下列去括号或添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、根据去括号法则，，而不是，该选项A错误； B、根据去括号法则，，而不是，该选项B错误； C、根据添括号法则，，而不是，该选项C错误； D、根据添括号法则，，选项D正确． 故选：D． 【变式训练3-3】下列式子变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，故A选项变形错误； ，故B选项变形错误； ，故C选项变形错误； ，故D选项变形正确； 故选D． 【变式训练3-4】下列去括号或添括号的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解∶ ．，原添括号错误，故该选项不符合题意； ．，原去括号正确，故该选项符合题意； ．，原添括号错误，故该选项不符合题意； ．，原去括号错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练3-5】为了应用平方差公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 故选：C． 题型四：提取公因式因式分解 【经典例题4】因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ； （2） 【变式训练4-1】把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式训练4-2】把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式训练4-3】把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)， (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： ． （4）解： ． 【变式训练4-4】因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． （3）原式 ． 【变式训练4-5】将下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1） ； （2） ； （3）） ； （4） ． 题型五：利用提取公因式求代数式的值 【经典例题5】已知，则 ． 【答案】6 【详解】解：， 将代入上式，， 故答案为：6． 【变式训练5-1】若，，则代数式的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式训练5-2】若，，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式训练5-3】，，则 ． 【答案】18 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案是：． 【变式训练5-4】已知，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 【变式训练5-5】当时，代数式的值是11，则当时，代数式的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵当时，代数式的值是11， ∴把代入，得， 则， ∴当时，代数式， 故答案为：． 题型六：提取公因式综合应用 【经典例题6】【新定义】如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”． 【验证】嘉嘉说：是“4倍数”，淇淇说：也是“4倍数”，通过简便计算判断他们说得对错？ 【证明】设三个连续偶数的中间数是（n是整数），通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4倍数”． 【答案】验证：嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误 证明：证明见解析 【详解】解：验证： ， 是“4倍数”，故嘉嘉的说法正确； ， 不是“4倍数”，故淇淇的说法错误； 证明： ， 是整数， 是整数， 这三个连续偶数的平方和是“4倍数”． 【变式训练6-1】（1）设是一个四位数（表示千位上的数字，表示百位上的数字，表示十位上的数字，表示个位上的数字），若可以被9整除，请你证明这个数也可以被9整除； （2）用问题（1）的结论，验证一下2025能否被9整除． 【答案】（1）见详解；（2）能，验证见详解 【详解】（1）证明： 能被9整除 能被9整除， 能被9整除， 这个数能被9整除； （2）能被9整除 能被9整除． 【变式训练6-2】阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：． (1)上述因式分解的方法是 ，共应用了 次． (2)因式分解需应用上述方法 次，结果是 ，请写出推理过程． (3)计算： ． 【答案】(1)提取公因式法，2 (2)10，，过程见解析 (3) 【详解】（1）解：由题意知，题中分解因式的方法是提取公因式法，共用了2次， 故答案为：提取公因式法，2； （2）解： …… ， 故答案为：10，； （3）解：由（1）和（2）知，最终分解因式的结果的次数是原式最高次数加1， ∴， 故答案为：． 【变式训练6-3】阅读材料： 已知代数式，求的值． 解：由， 得， 即， 因此，所以． 根据以上材料，解答下列题目： 已知代数式，求的值． 【答案】 【详解】解：由， 得：， 即：， 因此， 所以． 【变式训练6-4】阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是 ，共用了 次． (2)若分解，则结果是 ． (3)依照上述方法分解因式：（n为正整数）． 【答案】(1)提公因式法，2；(2)(3) 【详解】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法，共用了2次， 故答案为：提公因式法，2； （2）由所给因式分解的过程可知，分解的结果是， 故答案为：； （3） … ． 【变式训练6-5】阅读材料： 我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并； （2）已知，求的值； 拓展应用： （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴ ； （3）∵，，， ∴ ； 【变式训练6-6】阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【尝试应用】 （1）把看成一个整体，合并的结果是__________； （2）已知，求的值； 【拓广探索】 （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）2011；（3）7 【详解】解：（1）∵， （2）∵， ∴ ； （3）∵①，②，③， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $