6.3.1 二项式定理教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

学科

高中

数学

备课

时间

2026年3月28日

主备人

保亭中学数学组

教学内容

班级

高二（4、14）班

课时

第1课时

6.3.1 二项式定理

学情分析

学生已经熟练掌握了排列数公式和组合数公式，具备了基本的计数原理知识（分类加法与分步乘法原理）。对于多项式乘法，学生在初中阶段已有接触，但对于高次幂 的展开规律缺乏系统认识。学生具备一定的归纳推理能力，但在从具体数字实例抽象到一般字母公式的过程中，尤其是利用计数原理严谨推导二项式系数的来源时，可能会感到思维跨度较大。部分学生容易混淆“二项式系数”与“项的系数”，需要在教学中通过对比强化理解。此外，学生的逻辑推理素养和数学运算素养有待通过本节课的探究过程进一步提升。

教材分析

本节内容选自人教A版高中数学选修三第六章第三节。二项式定理是计数原理在多项式乘法中的直接应用，也是后续学习概率统计中二项分布的基础。教材首先通过 和 的展开式引导学生观察规律，然后利用计数原理严谨地推导出 的展开式，给出了二项式定理的定义、通项公式及二项式系数的概念。教材注重从特殊到一般的归纳过程，强调数学思想方法的渗透，如函数与方程思想、化归思想等。本节课不仅是公式的记忆，更是培养学生逻辑推理和数学建模核心素养的重要载体。

学习目标

识记与理解

是什么

1. 能准确复述二项式定理的内容，记住 的展开式结构。
2. 理解二项式系数 的含义，区分二项式系数与项的系数。
3. 掌握二项展开式的通项公式 ，明确 的取值范围及各项指数的特征。

理解与分析

为什么

1. 理解二项式定理推导过程中计数原理的应用逻辑，明白每一项系数为何是组合数。
2. 分析展开式中项数、指数变化规律（ 降 升，指数和为 ）的内在原因。
3. 剖析通项公式中 与项数 的关系，理解为何通项是第 项而非第 项。

应用与实践

怎么样

1. 能够利用二项式定理展开简单的二项式，如 。
2. 能熟练运用通项公式求指定项（如第4项）、指定项的系数或特定字母指数的项。
3. 通过小组合作探究，经历从 到 的推导过程，提升逻辑推理和数学表达能力。

迁移与创新

还能怎么样

1. 思考若将 推广到 或多項式幂的展开，该如何处理？
2. 探究赋值法在二项式定理中的应用，如令 或 能得出什么结论？
3. 尝试用二项式定理解决一些近似计算或整除性问题，体会数学工具的实际价值。

教学准备

多媒体课件（含二项式展开动态演示）、导学案、彩色粉笔、几何画板软件、实物投影仪。

教学流程

1

诱学（点燃学习兴趣）

一、情境导入，激发猜想

（1）、回顾旧知，引入新课
教师活动：教师在黑板上写出 和 。
提问引导：“同学们，我们初中学过完全平方公式和立方公式。请大家观察这两个展开式，项数有什么规律？各项的次数有什么特点？系数又有什么特征？”
学生活动：观察并回答：项数比指数多1； 的次数递减， 的次数递增，每项次数和等于指数；系数对称。
教师追问：“那么，如果是 ，甚至 ，我们还能通过多项式乘法硬算出来吗？显然不现实。今天我们就借助之前学习的计数原理，来寻找 展开的通用规律。”
（2）、提出挑战，点燃好奇
教师活动：出示挑战任务：“假设现在是公元2024年，我们要计算 的近似值，或者研究基因遗传中某种性状出现的概率分布，这些都涉及到高次二项式的展开。谁能大胆猜想一下， 的展开式会长什么样？它的每一项系数会和我们要学的哪个知识点有关？”
学生活动：学生基于观察进行猜想，有的可能提到杨辉三角，有的可能提到组合数。
教师总结：“大家的直觉很敏锐！今天我们就来揭开这个谜底，用计数原理这把‘钥匙’打开二项式定理的大门。”

2

导学（点亮学生困惑）

二、明确目标，指引方向

（1）、出示学习目标
教师活动：通过PPT展示本节课的学习目标：
1. 能用计数原理推导二项式定理。
2. 掌握二项展开式的通项公式并能简单应用。
3. 理解二项式系数与项的系数的区别。
引导语：“请同学们带着这三个目标开始今天的探索之旅，最终我们要能独立解决教材例1和例2类型的问题。”
（2）、布置自学任务
教师活动：分发导学案，布置自学要求：
1. 阅读教材P29-P30“探究”部分，尝试用计数原理解释 展开式中各项系数的来源。
2. 独立思考： 展开式中的通项 是如何得到的？ 代表什么含义？
3. 圈画出不懂的概念，如“二项式系数”、“通项”。
学生活动：学生自主阅读教材，在导学案上记录思考过程，尝试填写 和 的组合数解释。

3

自学

三、自主探究，初建模型

（1）、深入研读，尝试推导
教师活动：巡视课堂，观察学生阅读情况。对个别有困难的学生进行点拨：“想一想， 是两个 相乘，展开时的每一项是怎么选出来的？是从第一个括号选还是第二个括号选？”