6.3.1二项式定理教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.3.1二项式定理（第一课时） 一、内容和内容解析 （一）内容 二项式定理（第一课时）． （二）内容解析 本节内容选自《普通高中数学选择性必修第三册》人教A版（2019）第六章《计数原理》的第三节《二项式定理》，本节课主要学习二项式定理的展开式，用二项式定理的展开式解决一些简单的问题. 二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备． 由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值。有助于培养学生的数学建模、数学运算等核心素养。 二、学情分析 授课对象是高二中等程度班级的学生。学生具有一般的归纳推理能力，学生思维较活跃，但创新思维能力较弱。在学习过程中，大部分学生只重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程。发现、探索、归纳还是有一定的难度，需要充分发挥小组合作的力量。 三、目标和目标解析 （一）目标 (1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型说明二项式定理． (2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用． (3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养． （二）目标解析 达成上述目标的标志是： (1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律，但归纳概括的结论，如果不加以严格的说明不符合数学的基本要求，因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为说明二项式定理提供方法。 (2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识，因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列的联系，是达成教学目标的一个重要途径． (3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实，在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会：同时利用组合计数模型说明二项式定理，以及利用二项式定理这个模型解决问题，也是进行数学建模教学的好机会． 根据上述分析，确定本节课的教学重点定为：二项式定理的内容及其的应用。 四、教法、学法分析 数学是一门培养人的思维发展的重要学科。因此，在教学中让学生自己发现规律是最好的途径。正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之，深固之。”本节课的教法贯穿启发式教学原则以启发学生主动学习，积极探求为主，创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学的情境，采用引导发现法，由学生熟悉的多项式乘法入手，进行分析，又可利用组合的有关知识加以分析、归纳，通过对二项展开式规律的探索过程，培养学生由特殊到一般，经过观察分析、猜想、归纳来解决问题的数学思想方法，培养了学生观察、联想、归纳能力。不仅重视知识的结果，而且注重了知识的发生、发现和解决的过程，贯彻了新课程标准的教学理念，培育了本节课内容最佳的“知识生长点”，这对于学生建立完整的认知结构是有积极意义的。 五、教学手段 制作多媒体课件，以增加课堂容量，提高学生的兴趣，使学生加深对定理、概念的理解。 六、教学过程设计 （一）创设情境 设问导学 问题：今天是星期三，那么 （1）从明天起的第8天是星期几？ （2） 第64天是星期几？ （3）第 天是星期几？ 设计意图：提出问题，引出研究问题的必要性，体现数学与日常生活的密切联系，激发学生的研究兴趣. （二）探寻特例 提出猜想 探究一：推导 的展开式 追问1： (1)合并同类项前的展开式中，共有几项？能利用分步乘法计数原理解释一下吗？ (2)每项中a与b的次数和为几次？为什么？ (3)如果每项用表示，则k有几种不同情况？ 师生活动：分析的展开过程，根据多项式乘法法则， 可以看到，是2个(a+b)相乘，只要从一个(a+b)中选一项（选a或b ），再从另一个(a+b)中选一项（选a或b ），相乘就得到展开式的一项，于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，的展开式共有4项，而且每一项都是（ k =0,1,2）的形式. 当k=0时:都不取b有1种，即 ,则前的系数为； 当k=1时:恰有1个取b有种，则ab前的系数为; 当k=2时:恰有2个取b有种，则前的系数为。 探究二：推导 (a＋b)3的展开式 追问2：(1)合并同类项后各项的形式是什么？ （2）每项中a与b的次数和为几次？ (3) 每项前的系数是怎么确定的？ 探究三：推导 的展开式 追问3： (1)展开式合并同类项后共有多少项？合并同类项后各项的形式是什么？ (2)每项中a与b的次数和为几次？ (3)每项前的系数是怎么确定的？ (4)能否归纳出展开式中的通项公式？ 仿照上述过程,归纳猜想. 设计意图：由特殊的二项式来分析猜想一般的 展开式，培养学生由特殊到一般的思维方式，培养学生大胆探索的精神。 （三）知识建构 认知定理 探究四：分析的展开过程 设计意图：培养学生自主、独立学习的精神。 （四）形成定理 理解赏析 二项式定理 </m> 注意： 设计意图：对定理的特点加以说明，可使学生能熟练掌握定理的特点，以便今后在应用定理解决问题时能得心应手。 （5） 定理应用 解决问题 1、判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a＋b)n展开式中共有n项．（ ） (　　) (2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．（ ） (　　) (3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项． (　) (4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．（） 2、问题：今天是星期三，那么从明天起的第 天是星期几？ 设计意图：通过解决问题，达到前后呼应，同时也是二项式定理的一种应用。引例： 例1.求的展开式. 解：根据二项式定理 例2.（1）求的展开式的第4项的系数； （2）求的展开式中的系数. 解：（1）的展开式的第4项是 因此,展开式第4项的系数是280. （2） 的展开式的通项是 ，根据题意，得，因此，的系数是 设计意图：例1是对二项式定理的简单应用，目的在于对定理字母a、b所表示的数或式的领会及运用定理的能力，例2主要是要学生区分二项式系数和系数的区别。 （六）课堂小结 回顾小结 引导语：今天你收获什么？ 师生活动：教师引导学生从知识、思想方法两个方面今天所学所获，学生起来分享。 设计意图:总结回顾,帮助学生构建知识体系，提高学生类比、归纳的能力。 （七）课后作业 巩固提升 1、必做作业：课本P31练习2、3 2、选做题： 活动作业：（1）查阅二项式定理发展简史 （2）探究二项式系数有何性质. 设计意图:采用分层作业，满足不同层次学生的需求，在巩固了知识的基础上，同时为第二课时做铺垫。 七、教学反思 本节课是二项式定理的第一节课，在教学中注意以下几点： 1、本节课以“二项式定理”的形成过程为主线，让学生思维由特殊到一般，演绎、归纳，得出定理。培养学生猜想、归纳，整节课以学生为主体，师生互动，体现了新课标的教学理念。 2、在例题、练习、作业的配备上，我认为高中学习的特点是跨度大，思维能力要求高。因此，我认为习题的搭配应力求让学生处理每一个问题都必须有所思考，使学生体会到：数学不能生搬硬套，应该用数学的思想方法去学习数学、认识数学。 3、以学生为主体，让学生自己去探索、发现、再创造，最能调动学生的积极性，最有利于培养数学能力，特别是创造性能力，从数学教育对人的发展的意义看，有效理解、主动探索的认识过程必然伴随着学生心理意志、情感、品质的成长与完善，数学教学的最终目标并非唯一地指向数学具体知识本身，其潜在的也是最重要的恰是指向学生的人性品质、生命成长。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $