专题03 向量的数量积（期中复习专项训练，九大题型）高一数学下学期人教B版

专题03 向量的数量积 题型一 平面向量的数量积 题型六 四心问题（难点） 题型二 平面向量数量积的坐标运算（重点） 题型七 最值取值范围问题（难点） 题型三 向量的模长问题（重点） 题型八 向量的综合问题 题型四 向量夹角问题（重点） 题型九 向量的新定义问题（难点） 题型五 投影向量问题 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 平面向量的数量积 1．已知，，且与的夹角为，则________． 2．下面给出的关系式中，正确的有（   ） A． B． C． D． 3．在中，，则的值为（    ） A．18 B．9 C． D． 4．已知菱形的边长为分别是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是__________. 6．在中，，则（   ） A． B． C．1 D． 题型二 平面向量数量积的坐标运算 7．已知向量，其中，若，则（    ） A．40 B．48 C．51 D．62 8．在平行四边形中，，，则（   ） A．1 B．4 C．6 D．11 9．在边长为1的正方形中，点、点分别为边，的中点，则（   ） A． B． C． D． 10．已知函数的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点分别为A和B，O为坐标原点，则_________． 11．已知向量与同向，，． (1)求向量的坐标； (2)若，求． 题型三 向量的模长问题 12．已知向量，，若向量，则实数的值为（   ） A． B．3 C． D． 13．已知向量的夹角为，，则（    ） A． B． C．48 D．75 14．已知非零向量满足，则（   ） A． B． C． D． 15．若平面向量，，，两两的夹角相等，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 16．（多选）已知向量，且，则实数的值可以为（    ） A． B． C．1 D．2 17．在中，点为上一点且满足，设，，，. (1)用、表示向量； (2)若，求边的长度. 题型四 向量夹角问题 18．已知向量满足，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 19．设非零向量和的夹角为，则“”是“为锐角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．正方形的边长为1，点D，E分别为，的中点，则（　　） A． B． C． D． 21．已知非零向量，满足，且在向量方向上的投影向量为，则，的夹角为_____. 22．已知向量，，，若，则与的夹角的大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 23．已知非零向量，满足，且，则与的夹角大小为（    ） A． B． C． D． 题型五 投影向量问题 24．在中，已知，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 25．在中，，为边上的中线，为的中点，在方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 26．已知向量满足，，则在上的投影向量的坐标为_____. 27．已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 28．已知，是单位向量，且，若向量在上的投影向量为，则（    ） A．2 B． C． D． 29．已知平面向量和满足，在方向上的投影向量为，则在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 题型六 四心问题 30．已知在所在平面内，满足，，则点依次是的（    ） A．重心，内心，外心 B．重心，外心，垂心 C．垂心，内心，重心 D．外心，重心，内心 31．已知是外接圆半径为1的的外心，且满足，则______． 32．已知的外心为，内角的对边分别为，且.若，则__________. 33．在中，边长为4，为的中点，长为，点、分别为的重心和外心，则______. 34．（多选）在中，，，为边上及内部的一动点，设，则下列说法正确的是（ ） A．若为的重心，则 B．若为的外心，则 C．若为的内心，，则 D．若为的垂心，为锐角三角形，则与共线 题型七 最值取值范围问题 35．已知圆的半径为4.内接于此圆，且，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 36．如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为（    ）      A． B． C． D． 37．在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为2，点满足，则________；若点是正六边形边上的动点（包括端点），则的最大值为________________． 38．在梯形中，，，，，，点在线段上，且.若，其中、为实数，则_________；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 39．（多选）如图，圆内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则下列正确的是（    ） A．，则的最大值为2 B．的最大值为 C．的最大值为1 D．点为正方形ABCD内一点，则最小值为 40．在平行四边形ABCD中，，，若M，N分别是边BC，CD所在直线上的点，且满足，，.    (1)当，时，求向量和夹角的余弦值； (2)当时，求的取值范围. 41．如图，在平行四边形中，，，，为中点，且，.设，. (1)当时，用，表示，； (2)若，求实数的值； (3)求的取值范围. 题型八 向量的综合问题 42．已知平面向量，，若且，则______. 43．设非零向量的夹角为，且，则函数的最小值是__________. 44．在△ABC中，已知与的夹角是90°，，，M是BC上的一点，且，且，则的值为________． 45．如图，中，是中点，，设. (1)用表示； (2)若与夹角为，且，是否存在使得，若存在求出值，不存在说明理由. 46．如图，在中，，，分别是边上的点，与交于点，且，. (1)若，. （i）求的值； （ii）求的值； (2)若存在实数，使得，求的取值范围. 47．如图，已知菱形中，点为线段上一点，且． (1)若，，求x，y的值； (2)若，且，求实数的取值范围． 题型九 向量的新定义问题 48．已知平面内的非零向量，，定义运算：.对平面内任意非零向量，，，则（   ） A． B．若与不垂直，则 C． D．若，则 49．在平面直角坐标系中，向量，若不共线，记以OA，OB为邻边的平行四边形的面积．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 50．对于任意两个非零向量，，定义新运算：，其中为与的夹角. (1)若向量，，求的值； (2)若向量，满足，且，求的取值范围； (3)若，，且，，求的值. 51．在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)在中，若，求． 52．在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为. (1)已知向量，求； (2)（i）设向量的夹角为，证明：； （ii）在中，为的中点，且，若，求. 53．在平面向量中，我们已经学习了两个向量，的一种乘积运算——内积（记作）运算，即我们平时所说的数量积运算，它的运算结果是一个数量．在神经网络的激活函数计算中，还会经常用到一种向量的乘积运算——哈达玛积（记作）运算，它是将两个向量的对应元素相乘的运算方法，它的运算结果是一个向量．对于任意的向量，，我们规定，的哈达玛积． (1)若，，，求和； (2)①若，，，证明：不等式，并指出取“＝”的条件； ②利用①的结论，解答以下问题：已知实数满足，，，求的最小值． $高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03向量的数量积 题型归纳·内容导航 题型一平面向量的数量积 题型六四心问题（难点） 题型二平面向量数量积的坐标运算（重点） 题型七最值取值范围问题（难点） 题型三向量的模长问题（重点） 题型八向量的综合问题 题型四向量夹角问题（重点） 题型九向量的新定义问题（难点） 题型五投影向量问题 题型通关·靶向提分 题型一平面向量的数量积 1.已知-1，月=2，且a与销夹角为，则a6 【答案】-1 【详解】由题设a6=eas号-1x2x(》- 2.下面给出的关系式中，正确的有() A.0a=0 B.a.b=b.a c.-d" D.(a.B)c=a(B.c) 【答案】BC 【详解】对于A选项，0a=0,A错； 对于B选项，a.b=b.a,B对； 对于C选项，a=日，C对， 对于D选项，设ab=m,bc=n,则(a.b)c=mc,这个向量与c共线， a6c)=na,这个向量与a共线， 因为a、c不一定共线，故(ab)c与a(6.c)不一定相等，D错 故选：BC 3.在ABC中，BC=3V3,AC=4,C=30°，则CBCA的值为() 1/34 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.18 B.9 C.63 D.3√5 【答案】A 【f】张忘.西d=网Ca-wx49- 4.已知菱形4BCD的边长为LE,F分别是8C.CD的中点，∠A8C-胥则正BF=（） 3 c.3 5 B. 8 【答案】B 【详解】如图： D 以派为整账，则丽-0-1，西0-1ms径。号 又死=0+c=孤+号0，所=c+号而=孤+而， 所以AE·BF= (西+0j西0西西而+西-对片 故选：B 5.如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠DAB=60°，E为CD上靠近于C的三等分点，则AD.AE的值是 D 【答案】9 【详解】因为E为CD上家近于C的三等分点，所以DE-DC-号， 3 所以G=D+-=而+号， 又AB=AD=2,∠DAB=60°，所以AB.AD=2×2×c0s60°=2， 所以而征=而D+号)-0+号0酒-2+号2-9 3 2/34 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为： 16 3 6.在ABC中，ACB=3B=4AC,则an4=（) 4 A.2-V5 B.3 C.1 D.5 3 【答案】B 【详解】在ABC中，设角A,B,C对边分别为a,b,c, 因为丽=4C,可将西=，即=6,6=5。 C, 2 又由AC.AB=Ccos4=becos=5ce -c2 cos 4, 又因为4C丽-子6，所以5cs4-,即cos4 2 4 2 因为A∈(Q,,所以A-石，所以aM=tan三=5 6 63 故选：B 题型二平面向量数量积的坐标运算 7.已知向量ā=(1,5孔+4)，万=(2+元，8)，其中220，若a/b,则a:(a+b)=() A.40 B.48 C.51 D.62 【答案】C 【详解】若ab,则8=52+4到(2+2)，解得元=0，元=-14舍去， 5 所以a=(1,4,b=(2,8),a+b=(3,12, 则a:ā+b]=1×3+4×12=51 故选：C 8.在平行四边形ABCD中，AB=(1,3),AD=(-2,1),则AC.AD=(） A.1 B.4 C.6 D.11 【答案】C 【详解】AB=(L,3),AD=(-2,1),则在平行四边形ABCD中，AC=AB+AD=(-1,4), AC.AD=-1×-2)+4×1=6 3/34 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9.在边长为1的正方形ABCD中，点E、点F分别为边CD,AD的中点，则AE.EF=() A.-10 B. 5 4 8 C.3 4 D 【答案】C 【详解】以B为原点，建立如图所示平面直角坐标系， 则840,0.40.c1.o1,D1,EFr}月 则亚F〔》 所以AEEF=-1_13 24 Γ4 故选：C B C 10.已知函数f(x)=sin 3 的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点分别为A和B,O为坐 6 标原点，则OAOB= 【答案】3 【详解】由函数f(x)=sin 6令元x+及=号，解得x=1·所以ALD，即OA=L,), 3 再骨+A ,解得x=4,所以B(4,-),即0B=(4,-1) 62 所以0A.0B=4-1=3。 11.已知向量a与同向，b=(1,2),a.b=20. (1)求向量的坐标； (2)若c=(2,1),求(6c)a. 【答案】(1)a=(4,8) (2)(16,32) 【分析】 【详解】(1)a与同向，且b=(1,2), 4/34 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .可设a=元b=1(1,2)=(2,22),且2>0. 又由a.b=20,可得1×1+2×22=20， 解得1=4>0， .a=(4,8) (2):bc=(L,2)(2,1)=1×2+2×1=4, 由(1)知=(4,8)， (6.c)a=4(4,8)=16,32). 题型三向量的模长问题 12.已知向量ā=(1,3)，万=(m,-1,若向量a+=a-,则实数m的值为() A.-3 B.3 【答案】B 【详解】因为向量a=(1,3,b=(m,-1,所以a+b=(1+m,2),a-b=1-m,4, 由a+6=a-b得1+m)2+2=1-m)2+4，即m2+2m+5=m2-2m+17, 解得m=3 故选：B 13.已知向量a,6的夹角为号=2.a1(a-),则2a+=（) A.45 B.5V5 C.48 D.75 【答案】A 【详解】因为a⊥(a-b),所以a(a-b)=0,即a-a.6=0,则a.b=4, 所以2×cos=4,解得=4， 所以2ā+=2a+=V4a+4a.i+62=V4×22+4x4+42=4V5 14.已知非零向量ā6满足-2=26-26，则a-6 a+6() 7 A.20 B吉 c D. 5 10 5/34 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】A 【详解】设==26-26=m,则=后-2= 日-2=a-4a-6+46=m2-4a-6+4xT=2mr2-4a5-m 刘6-2=年，故2m-46万- 4 ,解得a6=7m2 16, 7m2 7 以方2n2o 4 15.若平面向量a,石，c,两两的夹角相等，且a上2,6上2，c4,则a+6+d=() A.2 B.8或2 C.8 D.2或10 【答案】B 【详解】因为a,,c两两的夹角相等，所以夹角为0或 3, 如果夹角为0， 因为1ā=2，b=2,c=4, 所以得到a+b+c=a+b+c=8, 如界夹角为径a6=2x2x(=-2a8=66=2x4(号-4， 所以ā+6+c=Va2+b2+2+2ā，b+2ā，c+26,c=√4+4+16-4-8-8=2， 综上，a+b+c=8或2 故选：B. l6.(多选)已知向量0A=(a,a+),且OA=5,则实数a的值可以为() A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】AC 【详解】由OA=5,OA=(a,a+1), 则a2+(a+1)2=5,解得a=1或-2 17.在ABC中，点D为BC上一点且满足BD=号Dc,设-a,AC=方，-3，=6 (1)用a、b表示向量AD; 6/34 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若AD.BC=8,求边BC的长度 【管案1⑩0-+5 (2)BC=√33 【分析】 【详解】（①D=孤+D=6+兮ac=孤+aC-例-a+6-a-号a+8 @国为c-c-66-,而风-(+6-a=号8+女5 =-6+6c0s/BAC+12=6c0s/BAC+6; 由题意得6 cos/BAC+6=8,解得cos∠BAC=。 3 所以Bc-6-a=V6-a}=V后-2a-6+不--2dcos∠BAc+f =9-2x3x6x写+6=5 题型四向量夹角问题 18.已知向量a,6满足a=2,=3,a-=v万，则a与的夹角为() A君 B. c D.5 6 【答案】B 【详解】因为ā-=7，所以a-=-2a万+2=22-223cos(a,b)+32-7, 所以cosa,5）-=7所以(a,)-于 19.设非零向量a和的夹角为0，则a+>a-”是“0为锐角”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若a+>la-,则(a+>(a-,整理得a-b>0,即5cos0>0, 所以c0s0>0, en小所以0e0引 O不一定是锐角，充分性不成立； a和b为非零向量，若0为锐角，则a.b>0,则a2+2ab+2>a2-2a.b+b2, 7/34 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即la+研>a-,即a+>la-,必要性成立 所以，对非零向量a和五，则ā+>a-”是“日为锐角的必要不充分条件 20.正方形OABC的边长为1，点D,E分别为AB,BC的中点，则cos∠DOE=() A吉 B. c.5 3 4 D: 【答案】D 【详解】以OA,0C分别为x,y轴建立平面直角坐标系，如图所示： B 由题意可知： …-o呢-2 所以os∠D0E=c0s(OD,oE)- 0D.0E 4 0D0E555. 22 21.已知非零向量a,云满足(a+b)上a,且a在向量方向上的投影向量为-五，则a,的夹角为 【答案1贺 【详解】因为a+)1a,所以a+a=a+a:6=0,即a万=-la, a.b 1 因为在6方向上的投影向量为5，所以行一年，联立a6=-可， 明所6列的部 又因为(a,6)e0,,所以(a,6=2 73 所以ā，6的夹角为号 22.已知向量a=(-1,l),i=(2,-2),=22,若(a+列c=-2,则a与c的夹角的大小为() A.30° B.60° C.120° D.150° 【答案】B 8/34 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】设c=(x,y),因为a=(-1,1),万=(2，-2)，所以a+b=(1,-1), 因为a+bc=-2,所以x-y=-2,又=2W2,所以√x2+y2=22, x=-1+5[x=-1-5 解得 或=1-5，所以=1+5，l+)成c=1-5,1-5. y=1+√5 a.c1-V3+1+51 当c=(-1+V3,1+V3)时，可得cosa,c= a日V2x22=21 又因为0°≤a,c≤180°，所以a,c=60°， 当c=(1-V5,1-V5时，可得cosa,c=a-c=1+5+l-5_1 a-G2x2W2-2' 又因为0°≤a,≤180°，所以a,c=60°， 综上所述：a与C的夹角的大小为60° 故选：B 23.已知非零向量a,五满足2a-b)1b,且a-2b1a,则a与的夹角大小为() A.π 6 B D. 【答案】B 【详解】因为(2ā-)1万，所以(2-)万=0→2ā.万=6P①， 因为a-2b)1a,所以a-2ba=0→aP=2a.b②， 联立①②可得引āP=bP,又向量a,五为非零向量，所以ā=b, 设向量a,五的夹角为0,0≤0≤π， 1 则cos0= 所以0= 2 3 故选：B 题型五投影向量问题 24.在ABC中，已知AB+AC=AB-AC=2AB,则向量AC在BC上的投影向量为() A.g B. 3BC D. 4 4 4 9/34 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】D 【详解】AB+AC=AB-AC两边平方得4AB.AC=0,即AB1AC, 又AB-AC=2AB两边平方得AB2-2AB.AC+AC2=4AB2, 即AC2=3AB2,即AC=V5AB, 刻图，4C10,向量C与6C的关角为30，C-月C B 所以向量4C在BC上的投影向量为ACc0s30.BC-3BC 25.在ABC中，AB=2,AC=3,AD为BC边上的中线，E为AD的中点，AC在AB方向上的投影向量为 孤，则丽=（ A.3 3 B. 4 C.5 D.3V5 4 4 【答案】D 【详解】 如图，在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点， 则压=亚-亚=亚-0=酒-亚+和列-西-c…, 由AC在AB方向上的投影向量为AB,得 AC.AB AB=3AB,则ACAB=3, AB 4 10/34