甘肃定西市渭源县2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷

甘肃省定西市渭源县2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项。 1．（3分）下列各组图形中，一定相似的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列事件中，必然事件是（　　） A．2025年有13个月 B．长江是我国最长的河流 C．打开电视，正在播放新闻 D．任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上 3．（3分）二次函数y＝（x﹣2）2﹣6的最小值是（　　） A．﹣6 B．2 C．6 D．﹣2 4．（3分）若点（1，2）在反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象上，则k＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（3分）如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为（　　） A．90° B．150° C．120° D．135° 6．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有实数根，则实数a的取值范围是（　　） A．a＜1 B．a＞1 C．a≥1 D．a≤1 7．（3分）如图，正比例函数y1＝k1x（k1＜0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为﹣1．当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 8．（3分）如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C．AB∥PC，且交⊙O于点B．若∠P＝30°，则∠BCP的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 9．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图：菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BP的长y关于点P运动的路程x的函数图象如图，则该菱形的面积为（　　） A．12 B．24 C．48 D．96 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（3分）已知关于x的一元二次方程有一个根是x＝2，写出一个符合条件的一元二次方程：　 　 ． 12．（3分）为了解某花卉种子的发芽情况，研究所工作人员在相同条件下，对该花卉种子进行发芽试验，相关数据记录如下： 种子总数 100 400 800 1400 3500 7000 发芽种子数 91 358 724 1264 3160 6400 发芽的频率 0.91 0.895 0.905 0.903 0.903 0.914 根据以上数据，可以估计该花卉种发芽的概率为 　 　 （结果精确到0.1）． 13．（3分）若⊙O的半径为5，OP＝m，且点P在⊙O外，则m的取值范围为　 　 ． 14．（3分）已知点A（1，y1），B（5，y2）在反比例函数的图象上，如果y1＞y2，那么k的值为　 　 （写出一个符合条件的k的值即可）． 15．（3分）若△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，△ABC的周长为10，则△DEF的周长是　 　 ． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点C1，C2…都在y轴正半轴上，点A1在二次函数y＝x2（x＞0）的图象上，以OA1，OC1为邻边作平行四边形OA1B1C1，且，延长C1B1与二次函数y＝x2（x＞0）的图象交于点A2；以C1A2，C1C2为邻边作平行四边形C1A2B2C2，且，延长C2B2与二次函数y＝x2（x＞0）的图象交于点A3⋯按此规律进行下去，若点A1的横坐标为1，则点A6的坐标为　 　 ． 三、解答题：本大题共6小题，共32分.解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（4分）解下列方程：5x2﹣3x＝x+1． 18．（4分）抛物线y＝mx2﹣5x﹣2的对称轴是直线x＝1，求m的值和抛物线的解析式． 19．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，连接AE，求△ADE的面积． 20．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以BC为直径的圆交AD于点E． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若点E是AD的中点，连接OA，CE．求证：四边形AOCE是平行四边形． 21．（6分）小华和小亮到定西金逸影城看电影，A，B，C，D四个放映室分别播放《731》《志愿军：浴血和平》《浪浪人生》《刺杀小说家2》四部电影，他们各自任选一部电影进行观看，每部电影被选中的可能性都相同． （1）小明选择《731》的概率为　 　 ． （2）用画树状图或列表的方法，求小华和小亮选择看同一部电影的概率． 22．（8分）如图，王先生想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1600N，阻力臂长为0.5m．设动力为y（单位：N），动力臂长为x（单位：m）．（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计） （1）求y关于x的函数表达式． （2）当动力臂长为2m时，撬动石头至少需要多大的力？ （3）王先生若想使动力不超过310N，在动力臂最大为2.5m的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 四、解答题：本大题共5小题，共40分.解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。 23．（7分）如果圆锥的底面半径是4，母线长是16，求这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数． 24．（7分）如图，直线y＝﹣x+4与坐标轴交于A，B两点，点M（2，m）在直线AB上，点N与点M关于y轴对称． （1）若点N在反比例函数的图象上，求k的值； （2）若线段MN被反比例函数的图象分成两部分，且这两部分长度的比为1：3，求k的值． 25．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°．过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交⊙O于点F．过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G． （1）求证：FD＝FG； （2）若AB＝12，FG＝10，求⊙O的半径． 26．（8分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4，AD＝aBN，点M是AB的中点，点D和点N分别是AC和BC上的动点． （1）当点D和点N分别是AC和BC的中点时，求a的值； （2）当时，以C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似，求BN的长． 27．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴为直线x＝1． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上的动点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图3，将抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y′，在抛物线y′的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，求点E的坐标． 甘肃省定西市渭源县2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A B C D C C C D 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项。 1．（3分）下列各组图形中，一定相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似图形的定义判断即可． 【解答】解：两个矩形不一定相似，直角三角形与等腰三角形不相似，两个圆一定相似． 故选：D． 【点评】本题考查相似图形，解题的关键是理解相似图形的定义． 2．（3分）下列事件中，必然事件是（　　） A．2025年有13个月 B．长江是我国最长的河流 C．打开电视，正在播放新闻 D．任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上 【分析】根据事件的定义解答即可． 【解答】解：A、一年只有12个月，不可能有13个月，为不可能事件，不符合题意； B、长江是我国最长的河流，是客观事实，是必然事件，符合题意； C、打开电视可能播放新闻或其他节目，为随机事件，不符合题意； D、抛硬币可能正面或反面朝上，为随机事件，不符合题意， 故答案为：B． 【点评】本题考查了随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键． 3．（3分）二次函数y＝（x﹣2）2﹣6的最小值是（　　） A．﹣6 B．2 C．6 D．﹣2 【分析】根据二次函数的顶点式y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）和a＞0，得到顶点处的函数值k即为最小值． 【解答】解：根据二次函数的顶点式y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）性质可知： y＝（x﹣2）2﹣6 的顶点坐标为（2，﹣6），且二次项系数为1＞0， ∴当x＝2时，y取最小值﹣6． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的顶点式的图象和性质．熟悉对于二次函数的顶点式y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），当a＞0时，抛物线开口向上，函数在顶点（h，k）处取得最小值k是解题的关键． 4．（3分）若点（1，2）在反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象上，则k＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】直接把（1，2）代入反函数中，可得关于k的一元一次方程，解即可． 【解答】解：把点（1，2）代入反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）中，得 2＝， 解得k＝2． 故选：B． 【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式．经过函数的某点一定在函数的图象上． 5．（3分）如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为（　　） A．90° B．150° C．120° D．135° 【分析】根据图象，判断两个相邻叶片之间的度数，再逐项判断是否与该度数相同即可． 【解答】解：由图象可知，相邻两个叶片之间的度数为360°÷3＝120°， 故该图形旋转120°或其整数倍，能够与它本身重合， 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了旋转对称图形，根据图象判断旋转角度是解题关键． 6．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有实数根，则实数a的取值范围是（　　） A．a＜1 B．a＞1 C．a≥1 D．a≤1 【分析】由方程有实数根，可得出Δ＝（﹣2）2﹣4×1×a≥0，解之即可得出实数a的取值范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×a≥0， 解得：a≤1， ∴实数a的取值范围是a≤1． 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”是解题的关键． 7．（3分）如图，正比例函数y1＝k1x（k1＜0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为﹣1．当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 【分析】根据双曲线的对称性得到点B的横坐标为1，根据图象即可求出当y1＜y2时，x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1． 【解答】解：由双曲线的对称性得点B的横坐标为1， ∴当y1＜y2时，x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1． 故选：C． 【点评】本题考查了双曲线的对称性和反比例函数与不等式的关系，理解函数与不等式的关系，根据双曲线的对称性求出点B的横坐标是解题关键． 8．（3分）如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C．AB∥PC，且交⊙O于点B．若∠P＝30°，则∠BCP的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】连接OA、OB，根据切线的性质得到OA⊥PA，根据直角三角形的性质求出∠AOP，再根据等边三角形的判定和性质解答即可． 【解答】解：如图，连接OA、OB， ∵PA与⊙O相切于点A， ∴OA⊥PA， ∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣30°＝60°， ∵AB∥PC， ∴∠OAB＝∠AOP＝60°， ∵OA＝OB， ∴△AOB为等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOP﹣∠AOB＝60°， ∵OB＝OC， ∴△BOC为等边三角形， ∴∠BCP＝60°， 故选：C． 【点评】本题考查的是切线的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 9．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【解答】解：A、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； B、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； C、不满足相似三角形的条件，本选项符合题意； D、根据两边成比例夹角相等两三角形相似判断即可，本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 10．（3分）如图：菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BP的长y关于点P运动的路程x的函数图象如图，则该菱形的面积为（　　） A．12 B．24 C．48 D．96 【分析】当BP⊥AC时，由题意可得BP＝6，AP＝8，再根据菱形的面积等于对角线的乘积的一半可得答案． 【解答】解：如图所示： 当BP⊥AC时，可得BP＝6，AP＝8， ∴该菱形的面积为＝96． 故选：D． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，熟练掌握菱形的性质以及最短路径和函数图象问题是解题关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（3分）已知关于x的一元二次方程有一个根是x＝2，写出一个符合条件的一元二次方程：x2﹣4＝0（答案不唯一）　 ． 【分析】根据一元二次方程的根举出一个一元二次方程即可． 【解答】解：符合条件的一元二次方程可以是x2﹣4＝0（答案不唯一）， 故答案为：x2﹣4＝0（答案不唯一）． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 12．（3分）为了解某花卉种子的发芽情况，研究所工作人员在相同条件下，对该花卉种子进行发芽试验，相关数据记录如下： 种子总数 100 400 800 1400 3500 7000 发芽种子数 91 358 724 1264 3160 6400 发芽的频率 0.91 0.895 0.905 0.903 0.903 0.914 根据以上数据，可以估计该花卉种发芽的概率为 　0.9　 （结果精确到0.1）． 【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，从而得出结论． 【解答】解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右， ∴该花卉种发芽的概率为0.9， 故答案为：0.9． 【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． 13．（3分）若⊙O的半径为5，OP＝m，且点P在⊙O外，则m的取值范围为m＞5　 ． 【分析】根据点与圆的位置关系，当点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，列不等式求解即可． 【解答】解：∵⊙O的半径为5，OP＝m，且点P在⊙O外，当点在圆外时，点到圆心的距离大于半径， ∴OP＞5，即m＞5， 故答案为：m＞5． 【点评】本题考查点与圆的位置关系，熟记点与圆的位置关系与点到圆心的距离和圆的半径的数量关系的对应是解题关键． 14．（3分）已知点A（1，y1），B（5，y2）在反比例函数的图象上，如果y1＞y2，那么k的值为　1（答案不唯一）　 （写出一个符合条件的k的值即可）． 【分析】由点A和点B的横坐标大小关系及y1＞y2，可知函数图象在每个象限内y随x的增大而减小，故k＞0． 【解答】解：∵1＜5，y1＞y2， ∴反比例函数在同一象限内，y随x的增大而减小， ∴k＞0， ∴k可以等于1． 故答案为：1（答案不唯一）． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 15．（3分）若△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，△ABC的周长为10，则△DEF的周长是　20　 ． 【分析】相似三角形的周长比等于相似比，由此可求解． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2， ∴S△ABC：S△DEF＝1：2， ∵△ABC的周长为10， ∴10×2＝20，即△DEF的周长为20， 故答案为：20． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，关键是相似三角形性质的熟练掌握． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点C1，C2…都在y轴正半轴上，点A1在二次函数y＝x2（x＞0）的图象上，以OA1，OC1为邻边作平行四边形OA1B1C1，且，延长C1B1与二次函数y＝x2（x＞0）的图象交于点A2；以C1A2，C1C2为邻边作平行四边形C1A2B2C2，且，延长C2B2与二次函数y＝x2（x＞0）的图象交于点A3⋯按此规律进行下去，若点A1的横坐标为1，则点A6的坐标为　（6，36）　 ． 【分析】过A2作A2H⊥y轴于H，由此可求A2坐标，同理可求出A3的坐标……由此即可总结出一般的规律，从而可以求出A6的坐标． 【解答】解：过A2作A2H⊥y轴于H， ∵A1的横坐标为1，A1又在y＝x2（x＞0）图象上， ∴A1（1，1）， ∴∠A1OC1＝45°，OA1＝， ∴OC1＝OA1＝2， ∵四边形OA1B1C1是平行四边形， ∴B1C1∥OA1， ∴∠A2C1H＝∠A1OC1＝45°， ∴△A2HC1是等腰直角三角形， ∴HC1＝HA2， 设A2的坐标是（a，a2）， ∴a2﹣2＝a， ∴a＝2或a＝﹣1（舍去）， ∴A2的坐标是（2，4）， 同理可求A3的坐标是（3，9）， ∴A1（1，12），A2（2，22），A3（3，32）…… ∴A6的坐标是（6，62），即（6，36）． 故答案为：（6，36）． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标，平行四边形的性质，关键是由特殊点的坐标总结出一般规律． 三、解答题：本大题共6小题，共32分.解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（4分）解下列方程：5x2﹣3x＝x+1． 【分析】首先把方程化成一般形式，然后把方程的左边分解因式，即可化成两个一元一次方程，即可求解． 【解答】解：整理，得 5x2﹣4x﹣1＝0 因式分解，得（5x+1）（x﹣1）＝0 于是得5x+1＝0或x﹣1＝0， 则，x2＝1 【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 18．（4分）抛物线y＝mx2﹣5x﹣2的对称轴是直线x＝1，求m的值和抛物线的解析式． 【分析】抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣，根据对称轴公式可求m的值，进一步确定函数解析式即可． 【解答】解：∵抛物线y＝mx2﹣5x﹣2的对称轴是直线x＝1， ∴﹣＝1， 解得m＝， ∴抛物线y＝x2﹣5x﹣2． 【点评】此题考查待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数对称轴计算方法是解决问题的关键． 19．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，连接AE，求△ADE的面积． 【分析】利用旋转性质求出各对应线段长度，利用面积公式解答即可． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC， ∴∠ACE＝90°，CE＝AC＝4，CD＝BC＝3， ∴AD＝AC﹣CD＝1， ∴． 【点评】本题考查旋转的性质，三角形的面积，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系． 20．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以BC为直径的圆交AD于点E． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若点E是AD的中点，连接OA，CE．求证：四边形AOCE是平行四边形． 【分析】（1）作线段BC的垂直平分线，垂足为O，点O即为所求； （2）证明AE＝CO，AE∥CO即可． 【解答】（1）解：如图，点O即为所求； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵E是AD的中点，O是BC的中点， ∵AE＝DE＝OC＝OB， ∵AE∥OC， ∴四边形AOCE是平行四边形． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 21．（6分）小华和小亮到定西金逸影城看电影，A，B，C，D四个放映室分别播放《731》《志愿军：浴血和平》《浪浪人生》《刺杀小说家2》四部电影，他们各自任选一部电影进行观看，每部电影被选中的可能性都相同． （1）小明选择《731》的概率为　　 ． （2）用画树状图或列表的方法，求小华和小亮选择看同一部电影的概率． 【分析】（1）根据概率计算公式求解即可； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到小华和小亮选择看同一部电影的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【解答】解：（1）∵一共有四部电影，且每部电影被选择的概率相同， ∴小华选择《731》的概率为； 故答案为：； （2）根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，小华和小亮选择看同一部电影的概率为． 【点评】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． 22．（8分）如图，王先生想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1600N，阻力臂长为0.5m．设动力为y（单位：N），动力臂长为x（单位：m）．（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计） （1）求y关于x的函数表达式． （2）当动力臂长为2m时，撬动石头至少需要多大的力？ （3）王先生若想使动力不超过310N，在动力臂最大为2.5m的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 【分析】（1）根据杠杆定理的等式，表示出x与y的关系即可； （2）代入x＝2，求此时y的值即可； （3）根据x的取值范围，求出y的取值范围，与王先生的要求进行比较即可． 【解答】解：（1）由题意可得xy＝1600×0.5＝800，则， ∴． （2）当x＝2时，， ∴当动力臂长为2m时，撬动石头至少需要400N的力． （3）他不能撬动这块石头， 理由如下：∵， 又∵0＜x≤2.5， 根据反比例函数的增减性， ∴， ∵y≥320＞310， ∴在动力臂最大为2.5m的条件下，他不能撬动这块石头． 【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 四、解答题：本大题共5小题，共40分.解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。 23．（7分）如果圆锥的底面半径是4，母线长是16，求这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数． 【分析】圆锥的底面圆周长等于其侧面展开图的扇形弧长，据此根据弧长公式建立方程求解即可． 【解答】解：设这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数为n°， 根据题意列式得，， 整理得，16n＝1440， 解得n＝90， 答：这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数90°． 【点评】本题主要考查了圆锥的计算，关键是圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数． 24．（7分）如图，直线y＝﹣x+4与坐标轴交于A，B两点，点M（2，m）在直线AB上，点N与点M关于y轴对称． （1）若点N在反比例函数的图象上，求k的值； （2）若线段MN被反比例函数的图象分成两部分，且这两部分长度的比为1：3，求k的值． 【分析】（1）利用点在函数图象上的特点求出m，根据点N与点M关于y轴对称得到点N的坐标，代入反比例函数即可解答； （2）利用点的对称点的坐标特点求出N点的坐标，线段MN被反比例函数的图象分成两部分，并且这两部分长度的比为1：3，设反比例函数的图象与线段MN交点为D，分两种情况或计算即可． 【解答】（1）解：∵M（2，m）在直线y＝﹣x+4的图象上， ∴m＝﹣2+4＝2， ∴M（2，2）， ∵点N与点M关于y轴对称， ∴N（﹣2，2）， ∵点N在反比例函数的图象上， ∴， ∴k＝﹣4； （2）∵N（﹣2，2）， ∴MN＝4， 设反比例函数的图象与线段MN交点为D， ①当时，即：， ∴ND＝1， ∴D（﹣1，2）， ∴k＝﹣1×2＝﹣2， ②当时，即：， ∴DM＝MN＝×4＝1， ∴D（1，2）， ∴k＝1×2＝2． 故k的值为﹣2或2． 【点评】本题是反比例函数与一次函数综合，掌握一次函数与反比例函数的性质，分类讨论是解题的关键． 25．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°．过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交⊙O于点F．过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G． （1）求证：FD＝FG； （2）若AB＝12，FG＝10，求⊙O的半径． 【分析】（1）根据垂直，切线的性质得到AB∥GF，可得△DFG是等腰直角三角形，由此即可求解； （2）根据垂径定理得到AE＝BE＝6，△ADE是等腰直角三角形，由（1）得到FD＝10，则EF＝4，如图所示，连接OA，设OE＝x，则OF＝OE+EF＝x+4＝OA，由此勾股定理即可求解． 【解答】（1）证明：∵DF⊥AB，GF是⊙O的切线，即DF⊥GF， ∴AB∥GF， ∴∠BAC＝∠G＝45°， ∴∠FDG＝90°﹣45°＝45°，即△DFG是等腰直角三角形， ∴FD＝FG； （2）解：∵DF⊥AB， ∴， ∵∠BAC＝45°， ∴∠ADE＝90°﹣45°＝45°，即△ADE是等腰直角三角形， ∴EA＝ED＝6． 由（1）得FD＝FG＝10， ∴EF＝DF﹣DE＝10﹣6＝4， 如图所示，连接OA，设OE＝x，则OF＝OE+EF＝x+4＝OA， ∴在Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2， ∴（x+4）2＝62+x2， 解得，， ∴， ∴⊙O的半径为． 【点评】本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质等周四，数形结合分析是关键． 26．（8分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4，AD＝aBN，点M是AB的中点，点D和点N分别是AC和BC上的动点． （1）当点D和点N分别是AC和BC的中点时，求a的值； （2）当时，以C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似，求BN的长． 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质和线段的中点的定义解答即可； （2）设BN＝x，则AD＝x，CN＝BC﹣BN＝4﹣x，利用等腰直角三角形的性质得到BM＝AB＝，再利用相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：（1）∵三角形ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4， ∴∠B＝∠C＝45°， ∴sinB＝， ∴AB＝AC＝2； ∵点D是AC的中点，点N是BC的中点， ∴AD＝AC＝，BN＝BC＝2， ∵AD＝aBN， ∴a＝＝； （2）∵a＝，AD＝aBN， ∴AD＝BN，设BN＝x，则AD＝x，CN＝BC﹣BN＝4﹣x， \∵等腰直角三角形ABC，∠A＝90°，BC＝4， ∵AB＝AC＝2，CD＝AC﹣AD＝2﹣x，∠B＝∠C＝45°， ∵点M是AB的中点，∴BM＝AB＝， ①当△CDN∽△BMN时， 可得：， ∴，此方程无解，不符合题意； ②当△CND∽△BMN时， 可得， ∴， 解得：x＝3+（不符合题意，舍去）或x＝3﹣， ∴BN＝3﹣， 综上可得，BN的长为3﹣． 【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，线段的中点的意义，相似三角形的性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 27．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴为直线x＝1． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上的动点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图3，将抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y′，在抛物线y′的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，求点E的坐标． 【分析】（1）利用对称轴公式可得，再结合点C的坐标利用待定系数法求解即可； （2）先解得直线BC的解析式为y＝x﹣3，设P（a，a2﹣2a﹣3），M（a，a﹣3），得到的PM的值，当时，PM最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）分情况讨论，当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方；当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方；当BC为矩形对角线时，分别求解即可． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴为直线x＝1．将点C的坐标代入，结合对称轴公式得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B，C点的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3． 如图2，M（a，a﹣3），点P为直线BC下方抛物线上的点，设P（a，a2﹣2a﹣3）， ∴， 当时，得：， ∴，即△PBC面积的最大值为， ∴； （3）将抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y′， ∴y′＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣3﹣1＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5， 抛物线y′的对称轴为直线x＝2． ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴OC＝OB＝3，∠BCO＝∠CBO＝45°， 如图3：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作DF⊥y轴于点F， ∵D在y′的对称轴上， ∴FD＝2， ∵∠BCD＝90°，∠BCO＝45°， ∴∠DCF＝45°， ∴CF＝FD＝2，OF＝3+2＝5，即点D（2，﹣5）， ∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点E（5，﹣2）； 如图4：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y′的对称轴为x＝2与x轴交于点F， ∵D在y′的对称轴上， ∴FO＝2， ∴BF＝3﹣2＝1， ∵∠CBO＝45°，即∠DBO＝45°， FD＝1，即点D（2，1）， ∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点E（﹣1，﹣2）； 如图5：当BC为矩形对角线时，设D（2，d），E（m，n），BC的中点F的坐标为， 依题意得：， 解得：， 又∵DE＝BC， ∴（2﹣1）2+（d﹣n）2＝32+32， 解得：， 联立得：， 解得：， ∴点E的坐标为或． 综上所述，存在点E，其坐标为（5，﹣2）或（﹣1，﹣2）或或，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，矩形的性质，两点间的距离公式，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $