8 单元培优卷(五)(第五章)-【单元金卷】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

8单元培优卷（五） 单元金卷 (第五章) 数学8年级-下册 时间：100分钟满分：120分) 题号 三 总分 得分 状 遇难心不慌，遇易心更细。 选择题（每小题3分，共30分）》 有意义的x的取值范围为 1.使分式 x-3 ! A.x≠-3 B.x≠3 C.x≠-3或x≠3 D.x为任意数 2.下列分式中，属于最简分式的是 A 3a B.a+b "6bc a2+ab 栽 c 订 3.下列计算正确的是 ! 1.11 A. B.11-1 a b a+b 'a b ab C.6 =a-b D.a b =1 a-b a-b a-b 世 4.解分式方程1 1 5时，去分母变形正确的是 ( 3x-12-6x A.2-6x+2=-5 B.6x-2-2=-5 C.2-6x-1=5 D.6x-2+1=5 5.一辆货车送货上山，并按原路下山.上山平均速度为akm/h,下l 平均速度为bkm/h,则货车上、下山的平均速度为 km/h ab 摇 c km/h P a+b km/h 62 6.当a=2-b(a≠0)时，计算(a-6)a-b的值为 a 1 A.2 B.-2 D.- -43 7.对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号min{a,b}表示a,b中 较小的值，如mim2,4=2,按照这个规定，方程min,3}=4-1 13, 的解为 () A.x=1或x=3 B.x=1或x=-3 C.x=1 D.x=3 8.(郑州模拟)中国高铁目前是世界高铁的领跑者，无论里程和速 度都是世界最高的.郑州、北京两地相距约700km,乘高铁列车从 郑州到北京比乘特快列车少用3.6h,已知高铁列车的平均行驶 速度是特快列车的2.8倍.设特快列车的平均行驶速度为 xkm/h,则下面所列方程中正确的是 A.700700 =3.6 B.700700 =3.6 x2.8x “2.8xx c.700x2.8700 3.6 70 D 0=3.6700 2.8 9学完分式运算后，老师出了一道题：化简+32= x+2x2-4 小明的做法是：原式=（x+3)(x-2)_-2-(x+3)(x-2)-x-2」 x2-4x2-4 x2-4 x2-8 x2-4 小亮的做法是：原式=(x+3)(x-2)+(2-x)=x2+x-6+2-x=x2-4; 小芳的做法是：原式=+3 x-2 =x+31x+3-1 =1. x+2(x+2)(x-2)x+2x+2x+2 对于这三名同学的做法，你的判断是 ( A.小明的做法正确 B.小亮的做法正确 C.小芳的做法正确 D.三名同学的做法都不正确 [x+5.,.x+2 -+1> 10.若整数a使关于x的不等式组{3 2’有解，且使关于y x≥a 的分式方程a-54 =3有非负整数解，则满足条件的所有整数 y-11-y a之和是 A.9 B.10 C.11 D.12 二、填空题（每小题3分，共15分）》 11.当x= 时，分式3的值为0， x-3 一44 12.(巴中中考)若关于x的分式方程x,+2m=2m有增根，则m的 x-22-x 值为 13.如图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方 形，如图2是一个边长为(a-1)的正方形，记图1、图2中阴影部 分的面积分别为S1,S2,则。可化简为 .(用含a的式 子表示) 图1 图2 14.郑州市某中学为优化课间时长，开展了丰富多彩的体育活动，增 强学生体质.小悦同学参加了课间跳绳挑战练，训练后每分钟跳 绳的次数是训练前的2倍，训练前跳300次比训练后跳550次 还多用30秒，则小悦同学训练后每分钟跳绳 次 15.已知实数a,b,c满足a+b=ab=c,有下列结论：①若c≠0，则 后。子2洁0则1-1-=+方3若=5。 则a2+b2=15.其中正确的是 .(填序号) 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16.(8分)解下列分式方程： (1)3=2 ,+1; x-1x-1 531 (2)27-42- -45- 17.(9分)有这样一道题：“求+n-+1,-的值，其中a a2-1a2+2a+1a+1 2025”.“小马虎”不小心把a=2025错抄成a=2005,但他的计 算结果却是正确的，请说明原因. 18.(9分)先化简(1+2)：2-1 (-2x<4, 再从不等式组 x-3x2-6x+9 的整 3x<2x+4 数解中选一个合适的x的值代入求值. 19.(9分)已知A=+。2-1 ,B=x2-2m x-4x2-8x+16’1-x (1)化简分式A; (2)若关于x的分式方程：A+B=1的解是非负数，求m的取值 范围 20.(9分)【阅读与思考】倒数法是一种数学解题方法，通常用于解 决涉及分式或分数的问题.其基本思路是：对于一个分数或分 式，先求出它的倒数，通过对倒数进行运算和处理，得出倒数的 结果，然后再求该结果的倒数，从而得到原分数或分式的值 的如分本 的值. x4+1 解：向2名1物0中 +1=2,即x+=2, —46 ，x4+1 1=2+=(x+2-2=2-2=2, x2 x x21 x4+12 请你仿照上述方法，解决下面问题： (1)若1 g+2024=2024,求t2025值 (2)已知，x=1 x2二+15求的值 x4+x2+1 21.(10分)某商店计划购进A,B两种纪念品若干件.若花费480元 购进A种纪念品的数量是花费480元购进B种纪念品的数量的 ,已知每件A种纪念品比每件B种纪念品多花费4元 (1)购买一件A种纪念品、一件B种纪念品各需多少元？ (2)若商店一次性购买A,B纪念品共200件，要使总费用不超 过3000元，最少要购买多少件B种纪念品？ 210分)现察下列等式风132马2日4日4将 1=1- 以上三个等式的时边分别相加，得之女这4=1宁分片 11,13 =1- 3444 —47— (直接写计算结兴a☆a 1 ※※※※ ※※ ※ ，11_111-11的形式，猜想并写 (2)仿照21-22323'34了4 ※※※※ ※※※※ ※米※※ 1 ※※※※ n(n+3)— ※※※ 兴※ 1 1 3 ※※ (3)解方程：xx+3)(x+3)(x+6)(x+6)(x+9)2x+18 ※ 米 装米 ※ 为 23.（11分)(1)探索问题： 如果2x+3 则m 2+n 7则m 如果3x-1=3+m x-1 x+1 (2)总结规律： 如果ax+b m(其中a,b,c为常数，且a≠0)，求m的值.（用 ※※※ ※※※ x+c x+ 含a,b,c的式子表示) ※※※ (3)问题解决： 若代数式4-3 的值为整数，求满足条件的整数x的值 &-1 米 ※※ ※ 米 兴兴※※ ※※※※ ※※※※ 48组x<3m的相伴方程， (x-2≤m m<2,m+2≥3，.1≤m<2. 21.解：(1)如图所示，△AB101即为所求，点A的坐 标为(6,0). (2)如图所示，△A,B202即为所求，点A2的坐标为 (2,4). (3)如图所示，点Q的坐标为(6,4). 4 0 0 0. 22.(1)证明：.∠BAE=∠CAF,.∠BAE+∠EAC= ∠CAF+∠EAC,即∠BAC=∠EAF :线段AC绕点A旋转到AF的位置，∴.AC=AF .·AB=AE,∴.△ABC≌△AEF,∴.EF=BC. (2)解：AB=AE,∠ABC=65° .∠BAE=180°-65×2=50°， .∠CAF=∠BAE=50. .△ABC≌△AEF,∴.∠F=∠C=28° ·.∠FGC=∠CAF+∠F=50°+28°=78 23.解：(1)如图1，.∠1=∠2+∠D=∠B+∠E+∠D, ∠1+∠A+∠C=180° .∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180° (2)如图2，：∠1=∠2+∠F=∠B+∠E+∠F,∠1+ ∠A+∠C+∠D=360° .∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360° c 图2 (3)∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+ ∠M+∠N=1080°. 解法提示：以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°为基 础，每截去一个角则会增加180° ,.当截去5个角时，度数增加了180°×5=900° 则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+ ∠W=180°×5+180°=1080°. 7单元培优卷（四） 0⊙000⊙0⊙00000⊙00⊙0000e000% 0 快速对答案： 1~5 ABDBA 6~10 DCDDB 11.2(x-y)(a+3b)121413.-314.415.68 辩新前策意可孩歌的 00 4r2=5,∴.（R+2r)(R-2r)=5.R,r都是正整数， 心2顶：解得=：Rr4 r=1, 15.6【解析】小：a=2025x+2025,b=2025x+2024, c=2025x+2026,.a-b=2025x+2025-2025x- 2024=1,b-c=2025x+2024-2025x-2026=-2 a-c=2025x+2025-2025x-2026=-1,.2a2+2b2+ 2c2-2ab-2bc-2ac=(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+ (a2-2ac+c2)=(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=12+ （-2)2+(-1)2=6. 16.)解：(1)12a3b4c2-18a2b=6a2b(2ac2-3b). (2)15x(x-y)-12(y-x)2 =3(x-y)[5x-4(x-y) =3(x-y)(x+4y). 17.解：原式=ab(a2-2ab+b2)=ab(a-b)2. a-b=5,ab=3,∴.原式=3×52=75. 18.解：2(x-1)(x-9)=2(x2-9x-x+9)=2(x2- 10x+9)=2x2-20x+18, ∴.m=2,b=18. .2(x-2)(x-4)=2(x2-4x-2x+8)=2(x2-6x+8)= 2x2-12x+16, .a=-12, ∴.mx2+ax+b=2x2-12x+18=2(x2-6x+9)=2(x-3)2. 19.(1)解：32,40是和谐数.（答案不唯一） (2)证明：(2n+1)2-(2n-1)2 =4n2+4n+1-(4n2-4n+1) =4n2+4n+1-4n2+4n-1 =8n, .“和谐数是8的倍数”这个结论是正确的. 20.解：(1)原式=(x2-2xy+y2)-9=(x-y)2-32=(x y+3)(x-y-3). (2)原式=(4a2b+4ab2)-(4a+4b)=4ab(a+b)- 4(a+b)=4(ab-1)(a+b). .a+b=-4,ab=2, ..原式=4×(2-1)×(-4)=4×1×(-4)=-16. 21.解：(1)原式=a2-2a+1-1-3 =(a-1)2-4 =(a-1+2)(a-1-2) =(a+1)(a-3). (2)原方程可化为(a2-8a+16)+(b2-106+25)=0,即 (a-4)2+(b-5)2=0, (a-4)2≥0，(b-5)2≥0， ∴.a=4,b=5. .5-4<c<4+5 ∴.边c的取值范围为1<c<9. 22.解：(1)设另一个因式为x+n. 由题意，得x2+5x-p=(x-1)(x+n), 则x2+5x-p=x2+(n-1)x-n, {1=5,解得n=6, (p=n, 八p=6, .p的值为6. (2)设另一个因式为2x+m. 由题意，得2x2+3x-k=(x-5)(2x+m), 则2x2+3x-k=2x2+(m-10)x-5m, .{m10=3,解得m3, .k=5m年 1k=65 .另一个因式为2x+13,k的值为65. 23.解：(1)(a+b)2=a2+2ab+b2 (2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac (3).:a+b+c=8,ab+ac+bc=25 ..a2+b2+c2=(a+b+c)2-2ab-26c-2ac =82-2×25 =14. ∴.a2+b2+c2的值为14. (4)m=5或7. 解法提示：由题意，得所拼成的长方形或正方形的 面积为2a2+3b2+mab, 从因式分解的角度看，可分解为(2a+b)(a+3b)或 (2a+3b)(a+b), ∴.(2a+b)(a+3b)=2a2+3b2+7ab或(2a+3b)(a+ b)=2a2+3b2+5ab, ∴.m=5或7. 8单元培优卷（五） 8°0⊙0⊙0⊙00⊙0⊙00⊙0⊙000⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙08 快速对答案： 1~5 BDDAD 6~10 ADACA 0 11.-312.1 13.0*1 14.10015.①②③ a-1 800⊙0⊙0⊙0⊙00⊙0⊙0⊙0⊙00⊙0o0⊙0⊙00⊙0⊙0 10A【解析】解不等式x+5+ 3+1≥x2,得x<10.·整数} x+ a使关于x的不等式组3 +1小+2 2’有解，∴.a≤ x≥a x<10,∴.a<10.分式方程两边都乘以y-1,得a-5+ a+2 4=3y-3,解得y=3:分式方程有非负整数解， a<10,且y≠1，.a只能取-2,4,7，.满足条件的 所有整数a之和是-2+4+7=9.故选A. 15.①②③【解析】，实数a,b,c满足a+b=ab=c, 若c≠0，则a-3ab+6-(a+b)-3abab-3h, 2a+7ab+2b 2(a+b)+7ab 2ab+7ab 96号，故①正确；若c≠0，则+=+=1， -2ab2 b a ab 1 故(1-a)(1-b)=1-(a+b)+ab=1-ab+ab=1=- ,故②正确；若c=ab=5,则(a+b)2=c2=25,即 1 a2+2ab+b2=25,故a2+b2=25-2ab=25-2×5=15, 故③正确.故正确的结论是①②③. 16.解：(1)去分母，得3=2+x-1,解得x=2, 经检验，x=2是分式方程的解. (2)去分母，得5(x+2)-3=-(x+2), 解得x=-1.5, 经检验，x=-1.5是分式方程的解. 17.解：原式=，a(a+1) a+1 atl=a (a+1)(a-1)）(a+1)2‘a-ia-i 1 a~1s1. 原式的值与a无关 .“小马虎”不小心把a=2025错抄成a=2005, 他的计算结果却是正确的. 18解：原式=-3+2. (x-3)2 x-3（x+1)(x-1) x-1 （x-3)2 x-3 (x+1)(x-1) x-3 x+1 解不等式组644.得-2x<4, .其整数解为-1,0,1,2,3. 要使原分式有意义，.x可取值0,2， “当x=0时，原式=-3（或当x=2时，原式= 3 19.解：(1)原式=(+1) ，(x-4)2 x-4（x+1）(x-1) x(x-4) = x-1 =x2-4x x-1 （2)-4-2m=1, 十 x-11-x x2-4x-x2+2m=x-1, -4x-x=-1-2m, -5x=-1-2m, 1+2m x=- 5, 分式方程的解是非负数， ..x≥0，且x≠1，x≠4， ≥0月1+2 1+2m. 1+2m 5 51,5 ≠4， 第得a≥且a≠2，a 2, m的取值范围m≥二之且m产2，m≤9 2 1 1 20解：(1)）由2+20242024，可知a+2024-2024 则a+2025=a+2024+1 2024*1s2025 1 20241 1 2024 a+20252025 (2)曲4 =1可知x0, 2-xt1=5, -1+=5,即x+1=6, 1 1 t+1=2++1正(x+)-2+1=6-2+1日 x2 36-2+1=35. x2 1 0+2+135 21解：(1)设购买一件B种纪念品需x元，则购买一 件A种纪念品需(x+4)元. 依题意，得4s02x480,解得x=12 x+44 经检验，x=12是原方程的解，且符合题意， 则x+4=16. 答：购买一件A种纪念品需要16元，购买一件B 种纪念品需要12元. (2)设购买m件B种纪念品，则购买(200-m)件 A种纪念品， 依题意，得16(200-m)+12m≤3000，解得m≥50. 答：最少要购买50件B种纪念品. 22.解：(1) n+1 (2)111 3、nn+3 (3)原方程可变为 1411 ,111、1111 3〈宝x3+3x*36 + 3x+6x+9厂2x+181 111 3xx+9=2+1。】 即i 9 xx+92(x+9)’ 两边都乘2x(x+9),得 2(x+9）-2x=9x, 解得x=2, 经检验，x=2是原方程的解， 所以原方程的解为x=2. 23.解：(1)5-4 解法提示 2x+32(x-1)+5_2(x-1)+5,=2+ x-1 x-1 x-1x-1 则m=5 5 x+1 3tx+1则m=4 =33+-4 (2).atb_a(xte)+b-ac_b-ac -=a+ =at m x+c x+c x+c x+c .'.m=b-ac. (3)43 代数式的值为整数。 4 1 1为整数，x-1=1或-1=-1， x-11 ∴x=2或x=0. 9月考提升卷（二） 80⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙08 0 快速对答案： 0 1~5 DDCAC 6~10 DCDCA 0 11.(x-y)(2-3x+3y）12.913.2023 14.315.155763 060⊙0o0⊙0⊙220⊙0⊙060o0o0o0⊙06 6.D【解析小L =3,.y=3,x-y=-3xy.则 x y 原式2故速n 7.C【解析】原式=ab(a2-2ab+b2)=ab(a-b)2, 又：a-b=3,ab=2,∴.原式=2×32=2×9=18. 10A【解折1：M-N（G中-计 11 6-==（a-1)(6+1)+6-10(a+1D=,2(ab-1） b+1 (a+1)(b+1) (a+1)(b+1) ∴.当ab=1时，2(ab-1)=0,.M-N=0,∴.M=N,故① 正确；MW=(a+6 a+1t6+)·( (om)y 1 (a+0(6+)(6+1,若a+6=0,则Mw=, atb (a+1)2 b-a(b+1)2+b(a+1)2 4ab (6+1)，,(a+1)2(6+1)2(a+1)2(6+1)2,a≠ -1,b≠-1，.(a+1)2(b+1)2>0.又.a+b=0,.ab≤0， 则MW≤0，故②正确.综上所述，结论①②都正确.故 选A. 15.155763【解析】原式=x(16x2-9)=x(4x+3)(4x-3),当 x=15时，4+3=63,4x-3=57∴.多项式16x3-9x分解因 式后形成的加密数据是155763. 16.解：(1)原式=a-a+b.(a+b)(a-b)。b a-b b a-b (a+b)(a-b) -=a+b. b (2)方程两边都乘(x-1)得，3-x+1=-1, 解得x=5, 经检验，x=5是分式方程的解 17.解：(1)原式=(x+y)2-1 =(x+y+1)(x+y-1) (2)原式=[2(a-b)]2-(a+b)2 =[2(a-b)+(a+b)][2(a-b)-(a+b)] =(3a-b)(a-3b). 18.解：(1)根据题意，得所捂部分为 x,xx+1x2-1 x+1xx2+2x+1 =x.2-x+1(x+1)(x-1) x+1 x (x+1)2 =父-+1- +1x+1 t x+1 (2)x2-x-1=0,x2=x+1, 故x t+121. 19.解：(1)+31 x+1x-3 (2)小强说的有道理. -1-+3=(x-1)(+1-（x+3)(x-3) x-3x+1(x-3)(x+1)(x+1)(x-3) (x+1)(x-3x是大于3的正整数， 8 8 (x+1)(x-3)>0,（xt1)x-3>0,即 x3≥ x+1心小强说的有道理 x+3 20.解：(1)D (2)①4 ②原式=(1- 2)(1+2x1- 1 3)x1+写)x1 子x1+子x(1- 5)×(1+5)×…x(1- 1 2×2×3×3 ×…X 4 5 5 20212023 20222022 12023 =2×2022 2023 4044 21.解：(1)设m+n=x, 则原式=x2-18x+81=(x-9)2=(m+n-9)2. (2)设x2-4x+2=y 则原式=y(y+4)+4 =y+4y+4 =(y+2)2 =(x2-4x+2+2)2 =[(x-2)2]2 =(x-2)4 22.解：(1)设乙种农机具一件需x万元，则甲种农机 具一件需(x+1)万元， 根据题意，得15-10 x+1 x 解得x=2, 经检验，x=2是原方程的解，且符合题意； .一台甲种农机具需2+1=3（万元）： 答：购买1件甲种农机具和1件乙种农机具分别 需要3万元、2万元. (2)设甲种农机具购买m件，则乙种农机具购买 (20-m)件， 由题意，得3m+2(20-m)≤48， 解得m≤8， 答：甲种农机具最多能购买8件 23.解：(1)33 (2)1大-2 (3)-x2+3x+y+5=0,.y=x2-3x-5, .x+y=x+x2-3x-5=x2-2x-5=(x-1)2-6. (x-1)2≥0， .(x-1)2-6≥-6， ∴.当x=1时，x+y的值最小，最小值为-6. 10单元培优卷（六） }00090000e0o0o0o0oo0oo00oo8 快速对答案： 1~5 DBBCD 6~10 CADCA 11.1012.513.114°14.215.1238 8s0O0⊙030e20⊙0⊙0⊙0⊙0o0⊙0O0g0⊙0⊙0⊙0⊙oeg 7.A【解析】.·四边形ABCD是平行四边形，BC=5 .AD∥BC,AD=BC=5,DC=AB,∴.∠AFB=∠CBF ∠DEC=∠BCE.:BF平分∠ABC,CE平分∠BCD,