4 单元培优卷(三)(第三章)-【单元金卷】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

4单元培优卷（三） 单元金卷 (第三章) 数学8年级-下册 (时间：100分钟满分：120分 题号 二 三 总分 得分 r 勤奋是生命的密码，能译出一部壮丽的史诗 、选择题（每小题3分，共30分）》 1.下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是 装 航天神舟 中国星星探测 中国火箭 中国探月 A B C D 2.下列图形中，能由图形a通过平移得到的是 ( ) 投 订 图形 D 紧 3.下列说法中错误的是 ( ) A.中心对称图形的对称中心只有1个，而轴对称图形的对称轴可 能不止一条 线B.等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形 C图形在平移过程中，图形上的每一点都移动了相同的距离 D.图形在旋转过程中，图形上的每一点都绕旋转中心转过了同样 长的路程 4.如图，△OAB绕点0逆时针旋转90°到△OCD的位置，点A对应 点C,已知∠A0B=45°，则∠A0D等于 D 探 用 A.55° B.45 C.40° D.35° 19— 5.如图，在方格纸上，△ABC经过变换得到△DEF,下列对变换过程 的叙述正确的是 A.△ABC绕着点A顺时针旋转90°，再向右平移7格 B.△ABC向右平移4格，再向上平移7格 C.△ABC绕着点A逆时针旋转90°，再向右平移7格 D.△ABC向右平移4格，再绕着点B逆时针旋转90° 6.(虞城期中)如图，平移线段AB,得到线段A'B,则平移过程中AB 扫过的面积为 () A.13 B.14 C.15 D.16 7.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4与坐标轴交于A,B两 点，OC⊥AB于点C,P是线段OC上的一个动点，连接AP,将线 段AP绕点A逆时针旋转45°，得到线段AP',连接CP',则线段 CP'的最小值为 () A.2√2 B.2√2-2 C.2 D.2-1 A(0,2) -27101234x B(-2,-1) B'(3,-1) 第6题图 第7题图 第8题图 8.如图，△ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到 △DEF(点E在点C的左侧).下列判断正确的是 结论I:若BF=8,EC=4,则a的值为2； 结论Ⅱ：连接AD,若△ABC的周长为18，四边形ABFD的周长为 22,则a的值为4. A.I和Ⅱ都对 B.I和Ⅱ都不对 C.I不对，Ⅱ对 D.I对，Ⅱ不对 9.如图，把含30°的直角三角板ABC绕点B顺时针旋转至△EBD,使 BC在BE上，延长AC交DE于点F,若AF=4,则AB的长为 A.2 B.2√2 C.23 D.3 第9题图 第10题图 —20 10.如图，在△0AB中，顶点0(0,0)，A(-3,4),B(3,4),将△0AB 与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°， 则第70次旋转结束时，点D的坐标为 () A.(10,3) B.(-3,10) C.(10,-3) D.(3,-10) 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.如图所示的图案由三个叶片组成，绕点0至少旋转 后 可以和自身重合 12.如图，直角三角形ABC的周长为38，在其内部有6个小直角三 角形，则这6个小直角三角形的周长的和为 第11题图 第12题图 第13题图 13.(焦作期中)如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角aα(0°<< 180),得到△ADE,若AC=1,CE=√2，则的度数为 14.如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂 黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形序号是 ① ④ ② ③ 第14题图 第15题图 15.如图，在△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=24°，将△ABC绕点C逆 时针旋转a(0°<a<90)得到△DEC,CD交AB于点F,当 a= 时，△ADF为等腰三角形 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16.(8分)（南阳期末）如图，△ABC与△A'B'C关于某一个点成中 心对称，点A,B的对称点分别为点A'和B',请找出对称中心O, 并画出△A'B'C. 21 17.(9分)（郑州月考）如图，A(-4,2),B(-1,-2),C(1,-1),将 △ABC向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度， 可以得到△A,B,C1 (1)画出△ABC1; (2)△AB1C1的面积为 (3)已知点P在x轴上，以A1,C1,P为顶点的三角形的面积为 ,则点P的坐标为 3 45 2 23456x 18.(9分)如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边 长均为1个单位长度，已知△ABC (1)作出△ABC以点0为旋转中心，顺时针旋转90°得到的 △AB,C1;(只画出图形) (2)作出△ABC关于原点0成中心对称的△AB2C2(只画出图 形)，并写出点B2和C2的坐标 19.(9分)小贝同学在近期作业中遇到一个作图问题，问题如下： 如图，已知△ABC绕点O逆时针转动一个角度得到△A'B'C',其 中A,B,C的对应点分别是A',B',C',试确定旋转中心点O的 位置 他经过认真思考设计了下列作法： ①连接AA',作线段AA'的垂直平分线L1; ②连接BB',作线段BB'的垂直平分线2，L2与l1交于点O; —22 ③点0即为所求作的旋转中心，如图. A B 请你根据小贝设计的作法，完成下列的推理过程： ·△A'B'C是△ABC绕点O逆时针旋转得到的，（已知） .OA'= ,(对应点到旋转中心的距离相等) 在线段AA'的垂直平分线L1上.( 同理可得，点O在线段BB'的垂直平分线L2上， .点0为l1与2的交点 20.(9分)如图，△AB0与△CD0关于点0成中心对称，点E,F在 线段AC上，且AF=CE.求证：FD=BE. 21.（10分)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点P是斜 边BC上一点，且AB=4,BP=2,若将△ABP绕点A逆时针旋转 后，能与△ACP'重合. (1)求∠BCP的度数； (2)求AP的长度.（结果保留根号） 23— 22.(10分)如图，已知Rt△OAB,∠OAB=90°，∠AB0=30°，斜边OB=4, ※※※※引 将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°得到Rt△ODC,连接BC. 兴兴※※ ※※※※ (1)填空：∠OBC= ※※※※ (2)连接AC,作OP⊥AC,垂足为点P,求OP的长度： ※※※※ B ※※※※ ※※※ D ※※※ ※兴※ ※ ※ 23.(11分)如图1，将一副直角三角尺放在同一条直线AB上，其中 ※※※※ ※※※ ∠0NM=30°，∠OCD=45. ※※※※ (1)观察猜想 ※※ ※ ※※※※ 将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图2的位置，使得 ※ ※※※※ 点O与点N重合，CD与MN相交于点E,则∠CEN= ※※※※ ※※※※ （2)操作探究 ※※※※ ※ ※※ 将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD 在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON,CD与NM相 ※※※※ 交于点E,求∠CEN的度数； (3)深化拓展 ※※※※ ※※※※ 将图1中的三角尺OCD绕点0按顺时针方向旋转一周，在旋转 ※※※※ 的过程中，当边OC旋转的度数为 时，边CD恰好与边 ※※※※ MN平行. ※※※※ ※※ ※※ ※※※※ M ※※※※ A N E 图 图 ※※※ ※ ※※ 米 米 ※※※ ※※兴※ ※※※※ 24(3)可以.当∠=45°或90°或0°时，△PCD是等 腰三角形 解法提示：由题可知∠PCD=120°-∠α，∠CPD= 30.分三种情况： ①当PC=PD时，△PCD是等腰三角形， 180°-30 此时∠PCD=∠PDC= =75°」 2 即120°-∠a=75°，∴.∠a=45°； ②当PD=CD时，△PCD是等腰三角形， 此时∠PCD=∠CPD=30°， 即120°-∠a=30°，∴.∠a=90°： ③当PC=CD时，△PCD是等腰三角形， 此时∠CDP=∠CPD=30° .∠PCD=180°-2×30°=120° 即120°-∠a=120°，∴.∠a=0° 此时点P与点B重合，点D和A重合 综合所述，当Lx=45°或90°或0°时，△PCD是等 腰三角形. 4单元培优卷（三） 8°0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0O0⊙0⊙0⊙0⊙⊙08 0 快速对答案： 1~5 CBDBC 6~10 CBDCD 0 11.120°12.3813.90°14.③ 15.28°或44° 9.C【解析】连接AE.根据题意得，∠BAC=30°，∠ACB= 90°，.∠ABC=60°根据旋转得BE=AB,.△ABE为等 边三角形，.AE=AB,∠AEB=60°，∴.∠EAF=30°， LABF=90,EF=2AF=2在R△MEF中，AE= √AF2-EF=23,.AB=AE=25.故选C. 10.D【解析.A(-3,4),B(3,4),.AB=3+3=6. 四边形ABCD为正方形，AD=AB=6, .D(-3,10).70=4×17+2,.每4次旋转为一 个循环，第70次旋转结束时，与图形绕点0顺时针 旋转2次位置相同，∴.图形与初始位置关于原点成 中心对称，∴.点D的坐标为(3，-10)故选D. 13.90°【解析】根据旋转得AC=AE=1.:CE=√2， AC2+AE2=CE2,.△ACE是直角三角形，且 ∠CAE=90°，.∴.旋转角α的度数为90°. 15.28°或44°【解析】.△ABC绕点C逆时针旋转a 得到△DEC,∴.AC=CD,.∠ADF=∠DAC= 2(180°-Q),.∠DAF=∠DAC-∠BAC= 2(180°- a)-24°.又.∠AFD=∠BAC+∠DCA=24°+a,△ADF 是等腰三角形，∴.分三种情况讨论：①当∠ADF= ∠DF时7（180-@)=之(180-)-24，无： ②当∠ADF=∠AFD时，2(180°-a)=24°+a,解 得a=49:③当∠DMF=∠AFD时，(180-a) 24°=24°+，解得α=28°.综上所述，旋转角的 度数为28°或44」 16.解：如图，点0即为对称中心，△A'B'C即为所求. C 17.解：(1)如图所示，△AB,C,即为所求， 561 2号 解法提示：△A,B,C,的面积为4x5- 23x41 + 23x5=1 1x2 21 (3)(5,0)或(3,0) 解法提示：设点P(m,0),根据题意，得)1m-41×3= 3 解得m=5或m=3,点P的坐标为(5,0)或(3,0. 18.解：(1)如图所示，△A,B,C,即为所求. (2)如图所示，△A2B2C2即为所求.B2(4,-1), C2(1,-2). 19.解：04点0到一条线段两个端点距离相等的 点在这条线段的垂直平分线上 20.证明：.△AB0与△CD0关于点0成中心对称， .∴.B0=D0,A0=C0. .AF=CE,∴.FO=EO. .·∠FOD=∠EOB. .△FOD≌△EOB, .∴.FD=BE. 21.解：(1)：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC= 90°，AB=4, .AB=AC=4,∠B=∠ACB=45°，BC=√JAB+AC2=4V2. :△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP 重合， ∴.∠ACP'=∠B=45°，∠PAP'=∠BAC=90° ∴.∠BCP'=∠BCA+∠ACP'=45°+45°=90°. (2)由题意可得CP'=BP=2,AP=AP', ∴.PC=BC-BP=42-2. 在Rt△PCP'中，PP'=√JPC+P'C=2√10-42 .·∠PAP'=90°，AP=AP' .△PAP'为等腰直角三角形 APAPPP2AP-PP2V5-2 22.解：(1)60 (2)0B=4,∠AB0=30°， ∴.0A=0B=2,AB=√0B2-0A=2V5. 由旋转性质可知，OB=OC,∠B0C=60°， ∴.△OBC是等边三角形， .∠OBC=60° ∴.∠ABC=∠AB0+∠OBC=90°，BC=OB=4, .AC=√AB2+BC=√(23)2+42=27. -1 SAAO OA·AB=1AC·0P, 2 2 .·.1×2×23=×27×0P,0P=221 7 23.解：(1)105 解法提示：.∠ECN=45°，∠ENC=30° ∴.∠CEN=180°-∠ECN-∠ENC=105°. (2).·OD平分∠M0N. ∠D0N= 2∠MON 2×90°=45°， ∴.∠D0N=∠D=45°，.CD∥AB, .∴.∠CEN=180°-∠0NM=180°-30°=150°. (3)75°或255 解法提示：①如图1，当CD在AB的上方时，设 OM与CD相交于点F,.·CD∥MN,∴.∠OFD= ∠M=60°.在△ODF中，∠MOD=180°-∠D ∠0FD=180°-45°-60°=75°；②如图2，当CD在 AB的下方时，设直线OM与CD相交于点F,.·CD∥ MN,∴.∠DF0=∠M=60°.在△DOF中，∠DOF= 180°-∠D-∠DF0=180°-45°-60°=75°，.·.旋转角为 75°+180°=255°.综上所述，当边0C旋转75°或255 时.边CD恰好与边MN平行. 5期中检测卷（一） 00⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙00⊙0 快速对答案： 0 1~5 CBADD 6~10 DBDBA 5 0 0 11.(-6,-2)1250°13. 11 ≤a< 4 14.(-1,-3)15.或5 10.A【解析】：△ACB是等腰直角 三角形，AC=BC,·∠CAB=45 .∠PAD=∠ACP,.∴.∠APD= ∠ACP+∠PAC=∠PAD+∠PAC= ∠DAC=45°.如图，将△CBP绕点C顺时针旋转90°得 到△CAE,连接PE..CE=PC=2,AE=BP,∠PCE= 90°，.△CPE为等腰直角三角形，.PE= √/CE+PC2=22,∠CPE=45°，∴.∠APE=180°- ∠APD-∠CPE=180°-45°-45°=90°，∴.PB=AE= √PE+PA=√(22)+32=√17.故选A 14.(-1,-√3)【解析】：正六边形ABCDEF边长为 2,中心与原点0重合，AB∥x轴，.AP=1,A0=2, ∠0PA=90°，.0P=√A0-AP2=√5，.第1次旋 转结束时，点A的坐标为(V3,-1),第2次旋转结 束时，点A的坐标为(-1，-3)，第3次旋转结束 时，点A的坐标为(-√3,1)，第4次旋转结束时， 点A的坐标为(1,3)绕点0顺时针旋转，每 次旋转90°，.每旋转4次为一个循环.2026÷ 4=506…2,.第2026次旋转结束时，点A的坐 标为(-1，-3). 15.0或5【解析】分两种情况：①如图1，当∠ECA 90°时，.∠C=∠DCE=90°，∴.∠DC'E+∠EC'A= 180°，点D,C,A共线.CD=DB=5,AC=12, ∴.AD=√CD2+AC2=13,CD'=CD=5.设CE=EC'= x,则AE=12-x.在Rt△AEC中，（12-x)2=x2+(13 5驴解得-9CE=9,②加因2，当ZAC=90 时，由折叠可得∠CED=∠DEC=45°，，∠C=90°， ∴.∠CDE=∠CED=45°，∴.CD=CE=5.综上所述，CE的 长为9我5 图1 图2 16解：(1)去括号，得3x-3-5<2x,移项，得3x-2x< 3+5,合并同类项，得x<8. (2) ￥1-2x-25-3x,①① 3 3-2x>1-3x.② 解不等式①，得x≤1，解不等式②，得x>-2. .不等式组的解集为-2<x≤1. 17.解：(1)如图，四边形ABCD即为所求. D C 1A目 (2)如图，四边形A,B2C,D2即为所求. (3)5 18.解：(1)六边形的内角和为(6-2)×180°=720°， ∠A=∠D=140°，其余四个内角都相等， .∠ABC=(720°-2×140°)÷4=110° (2)BC⊥BF,理由如下： 由题意可知，LABF=∠AFB=180°-140 =20°， 由(1)得，∠ABC=110°， ∴.∠CBF=∠ABC-LABF=90°， .∴.BC⊥BF. 19.解：操作：等边三角形 论证：△BMP是等边三角形 理由：△ABN是等边三角形，∴.∠ABN=60°， ∠NBM=∠ABM=子∠ABN=309 由折叠得，∠BNM=∠BAM=90°， ∴.∠BNP=90°. ∠NBP=∠ABP-∠ABN=30°， ∴.∠BPM=∠MBP=60° ..△BMP是等边三角形 20.解：(1)①② (2)解2x+4≥2a,得x≥a-2. 由ax-2<a-2x,得(a+2)x<a+2. 分两种情况：①当a+2>0,即a>-2时，x<1. .不等式2x+4≥2a与不等式ax-2<a-2x互为 “云不等式” ∴.a-2<1,解得a<3.∴.-2<a<3; ②当a+2<0,即a<-2时，x>1.此时与x≥a-2一 定互为“云不等式”。 综上所述，当a<-2或-2<a<3时，两不等式互为 “云不等式” 21.(1)证明：G是CE的中点，DG⊥CE, .DG是CE的垂直平分线，∴.DE=DC. 又DC=BE,∴.DE=BE.