精品解析：山东省济南市钢城区（五四制）2021-2022学年八年级上学期期末考试数学试题

2021－2022学年山东省济南市钢城区八年级（上）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题（本题共12小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共48分） 1. 分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. x＝﹣1 B. x≠﹣1 C. x≠0 D. x＞﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用分式有意义的条件是分母不等于零，进而得出答案． 【详解】解：∵分式 在实数范围内有意义， ∴x+1≠0， 解得：x≠﹣1． 故选：B． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题关键. 2. 下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是（ ） A. 厨余垃圾 B. 可回收物 C. 其他垃圾 D. 有害垃圾 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，根据中心对称图形的定义即可判定． 【详解】A． 不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．是中心对称图形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了中心对称图形的判定，掌握中心对称图形定义是本题的关键． 3. 下列从左到右的变形，是分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法即可求解． 【详解】解：A．从左到右的变形是多项式乘法，不是分解因式，故本选项不符合题意； B．从左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意； C．等式的右边不是整式的积的形式，即从左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意； D．从左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了因式分解的意义，这类问题的关键在于能否正确应用因式分解的定义来判断． 4. 一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的3倍，则这个正多边形是（ ） A. 正六边形 B. 正八边形 C. 正十边形 D. 正十二边形 【答案】B 【解析】 【分析】设这个正多边形的外角为x°，根据“它的一个内角恰好是一个外角的3倍”可列出方程，即可求出外角的度数，即可求解． 【详解】解：设这个正多边形的外角为x°，由题意得： x+3x＝180， 解得：x＝45， 360°÷45°＝8． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和外角及一元一次方程的应用，解题的关键是计算出外角的度数，进而得到边数． 5. 如图，，直线a平移后得到直线b，则的度数比的度数大（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对顶角相等可得，由平移的性质可得，从而得出，由三角形外角的定义及性质可得，即可得出结果． 【详解】解：如图： 由对顶角相等可得， ∵直线a平移后得到直线b， ∴， ∴， ∵， ∴． 6. 若把分式中的，都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 扩大为原来的9倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同乘或同除以一个不为0的整式，分式的值不变． a，b都扩大为原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成和．用和代替式子中的a和b，看得到的式子与原来的式子的关系． 【详解】解：由题意得：， ∴分式的值缩小为原来的， 故选：C． 7. 如图是某班去年1～8月份全班同学每月的课外阅读数量折线统计图，下列说法正确的是（　　） A. 每月阅读数量的中位数是58 B. 每月阅读数量的众数是42 C. 每月阅读数量的平均数是50 D. 每月阅读数量的极差是65 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数的定义，可判断A；根据众数的定义，可判断B；根据平均数的计算方法，可判断C；根据极差的定义，可判断D． 【详解】解：A．将8个数据由小到大排列为：28，36，42，58，58，70，75，83，中位数是，故本选项说法正确，符合题意； B．出现次数最多的是58，众数是58，故本选项说法错误，不符合题意； C．该班学生去年1～8月份全班同学每月的课外阅读数量的平均数是故本选项说法错误，不符合题意； D．每月阅读数量的极差是故本选项说法错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了折线统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图表示的是事物的变化情况．也考查了极差、平均数、众数与中位数． 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据异分母分式加减法运算法则进行计算，判断A，根据分式的基本性质判断B，根据分式乘除法运算法则进行计算，判断C和D． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查分式的混合运算，理解分式的基本性质，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． 9. 如图，已知中，点M是边上的中点，平分，于点N，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于点，证明，得出，从而可得，再由三角形中位线定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M是边上的中点， ∴为的中位线， ∴． 10. 若关于的方程有正数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，根据方程有正数根列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围． 【详解】去分母得：2x+6=3x+3k， 解得：x=6﹣3k， 根据题意得：6﹣3k＞0，且6﹣3k≠﹣3，6﹣3k≠﹣k， 解得：k＜2且k≠3． ∴k＜2． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 11. 如图，已知▱ABCD的顶点C（4，0），D（7，4），点B在x轴负半轴上，点A在y轴正半轴上，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交CB、CD于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线CG交边AD于点M．则点M的坐标为（ ） A. （1，4） B. （2，4） C. （3，4） D. （1.5，4） 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线与平行的性质证明DM=CD，再利用勾股定理求出CD=5，故可求出M的坐标． 【详解】解：根据尺规作图可得CM平分∠DCB， ∴∠MCB=∠MCD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BCAD， ∴∠MCB=∠DMC， ∴∠MCD=∠DMC， ∵C（4，0），D（7，4）， ∴CD=， ∴DM=CD=5， ∴M（2,4）， 故选B． 【点睛】此题主要考查坐标与图形，等角对等边及勾股定理等，解题的关键是熟知平行四边形的性质、角平分线的作图方法． 12. 如图，中，，，若将绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】在AB上截取AQ=AO=1，利用SAS证明△AQD≌△AOE，推出QD=OE，当QD⊥BC时，QD的值最小，即线段OE有最小值，利用勾股定理即可求解． 【详解】如图，在AB上截取AQ=AO=1，连接DQ， ∵将AD绕A点逆时针旋转90°得到AE， ∴∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC-∠DAC =∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE， 在△AQD和△AOE中， ， ∴△AQD≌△AOE(SAS)， ∴QD=OE， ∵D点在线段BC上运动， ∴当QD⊥BC时，QD的值最小，即线段OE²有最小值， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B=45°， ∵QD⊥BC， ∴△QBD是等腰直角三角形， ∵AB=AC=3，AO=1， ∴QB=2， ∴由勾股定理得QD=QB=， ∴线段OE有最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共24分） 13. 多项式因式分解得，则__________． 【答案】-5 【解析】 【分析】根据多项式的乘法法则把计算后与比较即可求解． 【详解】解：=x2+nx-2x-2n= x2+(n-2)x-2n， ∵因式分解得， ∴m=n-2，-2n=6， ∴n=-3，m=-5． 故答案为：-5． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解与整式的乘法是互为逆运算是解答本题的关键． 14. 甲、乙两人进行射击比赛，每人射击5次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为2.1，乙所得环数分别为：8，7，9，7，9，那么成绩较稳定的是________．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】结合题意，根据平均数和方差的定义计算，即可得到答案． 【详解】由题意可知，乙所得环数的平均数为： 乙所得环数的方差为： ∵， ∴成绩较稳定的是乙 故答案为：乙． 【点睛】本题考查了平均数和方差的知识；解题的关键是熟练掌握平均数和方差的性质，从而完成求解． 15. 当_____时，与互为相反数． 【答案】 【解析】 【分析】根据相反数的定义可得，解分式方程并检验即可得出结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 去分母并展开得：， 解得：， 把代入得， ∴当时，与互为相反数． 16. 正五边形和正方形按如图所示摆放，连接，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形的性质和正方形的性质得出，，最后再由等边对等角并结合三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴． 17. 如图，在一块长AB＝15m，宽BC＝10m的长方形草地上，修建三条宽均为1m的长方形小路，则这块草地的绿地面积（图中空白部分）为 _____m2． 【答案】117 【解析】 【分析】根据平移的性质，可得这块草地的绿地部分是一个长为（15−2）米，宽为（10−1）米的矩形，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： （15−2）×（10−1） ＝13×9 ＝117（平方米）， ∴这块草地的绿地面积为 117m2， 故答案为：117． 【点睛】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 18. 如图，垂直平分，交于E，，垂足为A，，则的长为_____． 【答案】9.6 【解析】 【分析】首先证明四边形为平行四边形，易得，设，则，在和中，由勾股定理解得的值，然后由求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，垂直平分， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 即，解得， ∴， ∴，， ∴． 三、解答题（本大题共9小题，共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 19. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得出结果． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，再将除法转化为乘法并约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 21. 解方程： 【答案】原方程无解 【解析】 【分析】方程两边同时乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 方程两边同时乘以，得：，即， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的增根， 原方程无解． 【点睛】本题考查了分式方程，将分式方程转化为整式方程并检验是解题的关键． 22. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，BD⊥AD，AB＝10，AD＝8，求OB的长度及平行四边形ABCD的面积． 【答案】OB=3，48 【解析】 【分析】由BD⊥AD可知为直角三角形，利用勾股定理求出BD即可． 【详解】解：∵BD⊥AD，AB＝10， 在中，由勾股定理得 ∴BD＝ ， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝BD＝3，S▱ABCD＝AD•BD＝8×6＝48． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 23. 为了解某校八年级学生的理化生实验操作情况，随机抽查了40名同学实验操作得分（满分为10分）根据获取的样本数据，制作了如图的条形统计图和扇形统计图，请根据相关信息，解答下列问题： （1）①中的描述应为“6分”，其中的m值为 ；扇形①的圆心角的大小为 ； （2）求这40个样本数据平均数，众数，中位数； （3）若该校八年级共有320名学生，估计该校理化生实验操作得满分的学生有多少人． 【答案】（1）， （2）平均数分，众数为分，中位数为分 （3）该校理化生实验操作得满分的学生有人 【解析】 【分析】（1）等于减去其他各项的百分比，扇形圆心角的度数等于该部分所占的百分比乘以； （2）根据平均数、中位数、众数的定义计算即可得出结果； （3）用乘以理化生实验操作得满分的学生所占的比例即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可得， ∴； 扇形①的圆心角的大小为：； 【小问2详解】 解：由题意可得：平均数为（分）； 人数最多的为分，故众数为分； 40名同学，中位数为从小到大排名第20和第21名同学得分的平均数，故中位数为分； 【小问3详解】 解：（人）， 故该校理化生实验操作得满分的学生有人． 24. 如图，已知三个顶点的坐标分别是． （1）画出将关于原点成中心对称的图形，并写出点A的对应点的坐标； （2）画出将绕坐标原点O逆时针旋转得到； （3）直接写出点A的对应点的坐标 ；以O、A、B、为顶点的四边形面积为 ． 【答案】（1）见解析，；（2）见解析；（3），15 【解析】 【分析】（1）分别作出点A、B、C关于原点的对称点，再顺次连接即可得出答案； （2）根据旋转的定义即可得； （3）让矩形的面积减去3个三角形的面积即可得出答案． 【详解】解：（1）如图所示，； （2）如图所示； （3）如图，点A的对应点的坐标为； 以O、A、B、为顶点的四边形面积为：5×6-×2×3-×2×3-×4×3-×2×3=15； 【点睛】本题考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转变换的定义和性质及三角形的面积公式是解题的关键． 25. 如图，已知是等边三角形，D、E分别在边、上，且，连接并延长至点F，使，连接、和． （1）求证：． （2）判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是平行四边形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，再证明为等边三角形，得出，，最后证明，即可得证； （2）根据等边三角形的判定与性质，并结合平行四边形的判定定理证明即可． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形，理由如下： 由（1）可得：，， ∴， ∴为等边三角形， 由（1）可得：、均为等边三角形， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 26. 中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的月饼．已知购进甲种月饼的金额是1200元，购进乙种月饼的金额是600元，购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多40个，甲种月饼的单价是乙种月饼单价的1.5倍． （1）求超市购进甲、乙两种月饼的单价分别是多少元？ （2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种月饼共200个，若总金额不超过1300元．问最多购进多少个甲种月饼？ 【答案】（1）甲种月饼每个的单价为7.5元，乙种月饼每个的单价为5元 （2）120个 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意正确列方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种月饼每个的单价为元，则甲种月饼每个的单价为元，根据“购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多40个”列出方程求解即可； （2） 设购进甲种月饼个，则购进乙种月饼个，根据“总金额不超过1300元”列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设乙种月饼每个的单价为元，则甲种月饼每个的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则， 答：甲种月饼每个的单价为7.5元，乙种月饼每个的单价为5元． 【小问2详解】 设购进甲种月饼个，则购进乙种月饼个， 依题意得：， 解得：， 答：最多购进120个甲种月饼． 27. 解决问题 （1）问题发现：如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段与的数量关系是 ，位置关系是 （2）探究证明：如图2，在与中，，，将绕点A旋转，使点D落在的延长线上时，连接，写出此时线段，，之间的等量关系，并证明： （3）拓展延伸：如图3，在四边形中，．若，，请直接写出的长． 【答案】（1）， （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质可得，，由旋转的性质可得，，证明，得出，，即可得解； （2）先证明，得出，，再结合勾股定理证明即可； （3）将绕点逆时针旋转至，连接，，则是等腰直角三角形，求出，同理可得，由全等三角形的性质可得，最后再结合勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴，， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即； 【小问2详解】 解：，证明如下： ∵在与中，，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图，将绕点逆时针旋转至，连接，， ， 则是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021－2022学年山东省济南市钢城区八年级（上）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题（本题共12小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共48分） 1. 分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. x＝﹣1 B. x≠﹣1 C. x≠0 D. x＞﹣1 2. 下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是（ ） A. 厨余垃圾 B. 可回收物 C. 其他垃圾 D. 有害垃圾 3. 下列从左到右的变形，是分解因式的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的3倍，则这个正多边形是（ ） A. 正六边形 B. 正八边形 C. 正十边形 D. 正十二边形 5. 如图，，直线a平移后得到直线b，则的度数比的度数大（ ） A. B. C. D. 6. 若把分式中的，都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 扩大为原来的9倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 7. 如图是某班去年1～8月份全班同学每月的课外阅读数量折线统计图，下列说法正确的是（　　） A. 每月阅读数量的中位数是58 B. 每月阅读数量的众数是42 C. 每月阅读数量的平均数是50 D. 每月阅读数量的极差是65 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知中，点M是边上的中点，平分，于点N，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 10. 若关于的方程有正数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 11. 如图，已知▱ABCD的顶点C（4，0），D（7，4），点B在x轴负半轴上，点A在y轴正半轴上，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交CB、CD于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线CG交边AD于点M．则点M的坐标为（ ） A. （1，4） B. （2，4） C. （3，4） D. （1.5，4） 12. 如图，中，，，若将绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、填空题（本大题共6小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共24分） 13. 多项式因式分解得，则__________． 14. 甲、乙两人进行射击比赛，每人射击5次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为2.1，乙所得环数分别为：8，7，9，7，9，那么成绩较稳定的是________．（填“甲”或“乙”） 15. 当_____时，与互为相反数． 16. 正五边形和正方形按如图所示摆放，连接，则_____． 17. 如图，在一块长AB＝15m，宽BC＝10m的长方形草地上，修建三条宽均为1m的长方形小路，则这块草地的绿地面积（图中空白部分）为 _____m2． 18. 如图，垂直平分，交于E，，垂足为A，，则的长为_____． 三、解答题（本大题共9小题，共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 19. 因式分解：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 解方程： 22. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，BD⊥AD，AB＝10，AD＝8，求OB的长度及平行四边形ABCD的面积． 23. 为了解某校八年级学生的理化生实验操作情况，随机抽查了40名同学实验操作得分（满分为10分）根据获取的样本数据，制作了如图的条形统计图和扇形统计图，请根据相关信息，解答下列问题： （1）①中的描述应为“6分”，其中的m值为 ；扇形①的圆心角的大小为 ； （2）求这40个样本数据平均数，众数，中位数； （3）若该校八年级共有320名学生，估计该校理化生实验操作得满分的学生有多少人． 24. 如图，已知三个顶点的坐标分别是． （1）画出将关于原点成中心对称的图形，并写出点A的对应点的坐标； （2）画出将绕坐标原点O逆时针旋转得到； （3）直接写出点A的对应点的坐标 ；以O、A、B、为顶点的四边形面积为 ． 25. 如图，已知是等边三角形，D、E分别在边、上，且，连接并延长至点F，使，连接、和． （1）求证：． （2）判断四边形的形状，并说明理由． 26. 中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的月饼．已知购进甲种月饼的金额是1200元，购进乙种月饼的金额是600元，购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多40个，甲种月饼的单价是乙种月饼单价的1.5倍． （1）求超市购进甲、乙两种月饼的单价分别是多少元？ （2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种月饼共200个，若总金额不超过1300元．问最多购进多少个甲种月饼？ 27. 解决问题 （1）问题发现：如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段与的数量关系是 ，位置关系是 （2）探究证明：如图2，在与中，，，将绕点A旋转，使点D落在的延长线上时，连接，写出此时线段，，之间的等量关系，并证明： （3）拓展延伸：如图3，在四边形中，．若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $