8.3简单几何体的表面积与体积 讲义（知识梳理+4题型突破）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.3 简单几何体的表面积与体积 讲义 【题型一：柱体、锥体、台体的表面积计算】 4 【题型二：柱体、锥体、台体的体积计算】 9 【题型三：球的截面、球的表面积与体积计算】 14 【题型四：等体积法求解点到面的距离问题】 16 1、理解简单几何体（棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球）的表面积、体积的定义，明确表面积与体积的区别与联系。 2、掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积计算公式，能结合其结构特征，推导并记忆表面积公式（含侧面积、全面积）。 3、掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式，理解公式的推导逻辑（如圆柱侧面积的展开法、球体积的推导思路）。 4、了解简单组合体的表面积和体积的计算方法，能区分“拼接型”“截去/挖去型”组合体的表面积、体积计算要点（如拼接时重叠面不计入表面积）。 【知识点一：棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积】 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和． 2．棱柱、棱锥、棱台的高 ①棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，该点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离． ②棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离． ③棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，该点与垂足之间的距离． 3．棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 图形 体积 棱柱 （为底面面积， 为高） 棱锥 （为底面面积， 为高） 棱台 （，分别为上、下底面面积， 为高） 4. 几个特殊几何体的表面积和体积： ①长方体：设长方体的长、宽、高分别为，，，则长方体的表面积，体积． ②正方体：设正方体的棱长为，则正方体的表面积为，体积． ③正四面体：设正四面体的棱长为，则正四面体的表面积为，体积。 【知识点二：圆柱、锥、圆台的表面积和体积】 1．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 几何体 图形 表面积与体积公式 圆柱 （为底面半径，为母线长，为高，） 表面积： 体积： 圆锥 （为底面半径， 为母线长， 为高） 侧面积： 表面积： 体积： 圆台 （，分别为上、下底面半径，为母线长，为高） 侧面积： 2．关于体积的归纳与总结 ①对于柱体、锥体、台体，体积公式可总结为： - ，其中为底面面积， 为高； - ，其中为底面面积， 为高； - ，其中，分别为上、下底面面积， 为高。 ②台体是介于柱体和锥体的“中间形态”，因此我们可以把柱体看作上、下底面相同的台体，把锥体看作是上底面为一个点的台体，因此将台体体积公式中的替换为即可得到柱体的体积公式，将替换为即可得到锥体的体积公式，即： 【知识点三：球的相关性质】 1. 球的表面积和体积 设球的半径为，则球的表面积，体积。 2. 球的截面 ①球的截面形状 球的截面是一个圆面。如图1，球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆。 ②球的截面的性质 (i) 球心和截面小圆圆心的连线垂直于截面。 (ii) 如图2，设球心为，球面上一点为，过截出的小圆的圆心为，小圆半径为，球的半径为，球心到小圆圆心的距离为，则过的轴截面如图3所示，在中，由勾股定理可知， 。 【知识点四：空间几何体体积的常见求法】 1. 公式法：常见简单几何体，条件具备时，可直接代公式求体积。 2. 等体积法：在求四面体（以四面体为例）的体积时，理论上讲，可以选择A 中的任何一个作为顶点、余下三个顶点构成的三角形作为底面来求体积，但实际操作时，往往选择高易求且底面积好算的方案。 3. 割补法：将几何体补形或者切割成易求体积的几何体来求体积。 4. 祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．利用祖暅原理，可将不规则几何体的体积转化成高度与之相等的规则几何体体积。 【题型一：柱体、锥体、台体的表面积计算】 【例1】下图是某储蓄罐的平面展开图，其中∠GCD＝∠EDC＝∠GFE＝90°，且AD＝CD＝DE＝CG，FG＝FE． （1）若将五边形CDEFG看成底面，说明该储蓄罐的几何特征； （2）已知该储蓄罐的容积为1250cm3，求制作该储蓄罐所需材料的总面积（精确到整数位，材料厚度、投币口的面积忽略不计）． 【答案】（1）直五棱柱； （2）约为691cm2． 【分析】（1）根据储蓄罐的平面展开图判断即可； （2）利用棱柱的体积公式和表面积公式求解． 【解答】解：（1）该储蓄罐的直观图如图所示， 若将五边形CDEFG看成底面，则该储蓄罐是高为AD的直五棱柱； （2）设AD＝acm，连接EG，则△EFG是等腰直角三角形， 所以， 则五边形CDEFG的面积为， 由该储蓄罐的容积为1250cm3，得a＝1250， 解得a＝10， 故表面积， 即制作该储蓄罐所需材料的总面积约为691cm2． 【例2】如图，在正六棱锥S﹣ABCDEF中，△SAD是面积为4的等边三角形．求： （1）该棱锥的高； （2）该棱锥的斜高； （3）该棱锥的底面积． 【答案】（1）2； （2）； （3）6． 【分析】（1）由正六棱锥的对称性知，△SAD的高即为棱锥的高，根据等边三角形SAD的面积可求出其边长，进而可求出高； （2）棱锥的斜高即侧面等腰三角形的底边上的高，由（1）可得等腰三角形的底和腰，由勾股定理可求出其高； （3）求出底面正六边形的面积即可． 【解答】解：（1）由正六棱锥的对称性知，△SAD的高即为棱锥的高， 因为△SAD是面积为4的等边三角形，设其边长为a，则4，得a＝4， 所以等边三角形SAD的高为h＝42，故该棱锥的高为2； （2）由（1），SA＝SD＝AD＝4，所以在等腰三角形SAB中，SA＝SB＝4，AB2， 故等腰三角形SAB底边上的高为，即该棱锥的斜高为； （3）由已知，棱锥底面正六边形的面积为6． 【例3】正四棱台两底面边长分别为2和4． （1）若侧棱长为，求棱台的表面积； （2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）设O1，O分别为上，下底面的中心，分别取BC，B1C1的中点E，F，利用梯形ECC1F求出斜高，从而求出表面积； （2）根据已知条件求出斜高，再由直角梯形O1OEF求出四棱台的高． 【解答】解：（1）如图，设O1，O分别为上，下底面的中心， 分别取BC，B1C1的中点E，F，连接OE，EF，O1F，则EF为正四棱台的斜高， ， 则棱台的表面积． （2）两底面面积之和为22+42＝20， 正四棱台的侧面积为，解得， 正四棱台的高． 【例4】陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，世界“最大最重”陀螺就出自六盘水（水城区野玉海景区），重达3018斤，直径98cm，高115cm，可视作一个圆柱和一个圆锥的组合体，圆柱部分的高是陀螺高的，则圆柱部分的侧面积为（　　） A．6726πcm2 B．9136πcm2 C．6762πcm2 D．9163πcm2 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出圆柱部分的高，再利用圆柱侧面积公式计算得解． 【解答】解：由题可得整体的高为115cm， 所以陀螺圆柱部分的高为， 故圆柱部分的侧面积为98π•69＝6762πcm2． 故选：C． 【例5】已知一圆台上底半径为1（下底半径大于上底半径），母线与底面所成角的余弦值为，若此圆台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此圆台的表面积是（　　） A．5π B．9π C．14π D．23π 【答案】C 【分析】根据圆台的内切球的性质以及线面夹角可得r2＝2，且BC＝3，再结合圆台的表面积公式运算求解． 【解答】解：设上底面半径为r1＝1，下底面半径为r2， 如图，取圆台的轴截面，作CM⊥AB，垂足为M， 设内切球O与梯形两腰分别切于点E，F， 可知BC＝r1+r2，BM＝r2﹣r1， 根据题意可知，母线与底面所成角的余弦值为：，可得r2＝2，即BC＝3， 故． 故选：C． 【例6】已知圆锥SO的底面半径为1，母线长为3，圆柱OO1的下底面在圆锥SO的底面上，上底面圆O1的圆周在圆锥SO的侧面上，则圆柱OO1的侧面积的最大值为（　　） A．π B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆柱侧面积的最大值问题，转化为关于圆柱底面半径的二次函数的最值问题． 【解答】解：由题意圆锥SO的底面半径为1，母线长为3，圆柱OO1的下底面在圆锥SO的底面上，上底面圆O1的圆周在圆锥SO的侧面上， 由SO的底面半径r＝1，母线长l＝3， 所以圆锥的高， 由题可设圆柱OO1的底面半径为x（0＜x＜1），高为h′， 由△SO1C∽△SOA得，即，截得， 所以圆柱的侧面积， 所以当时，侧面积取得最大值为． 故选：C． 【题型二：柱体、锥体、台体的体积计算】 【例7】如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1内接于一个圆柱，圆柱的体积是54π，且底面直径与母线长相等． （1）求圆柱的底面半径； （2）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积． 【答案】（1）3；（2）． 【分析】（1）根据圆柱的体积公式求圆柱的底面半径． （2）根据三棱柱的体积公式求其体积． 【解答】解：（1）因为且底面直径与母线长相等， 所以设圆柱的底面半径为R，则圆柱的高为2R， 所以圆柱的体积是πR2×2R＝54π，解得R＝3； （2）因为△ABC为等边三角形，且其外接圆半径为3， 所以，又三棱柱的高为6， 所以三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为：． 【例8】如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，SO是这个四棱锥的高，SM是斜高，且SO＝8，SM＝10． （1）求这个四棱锥的侧棱长； （2）求这个四棱锥的全面积和体积． 【答案】（1）； （2）384；384． 【分析】（1）利用勾股定理计算出OM，可得出CM＝OM，然后利用勾股定理可计算出SC，即为该四棱锥的侧棱长； （2）计算出该正四棱锥的侧面积和底面积，相加即可得出该正四棱锥的全面积．再由体积公式求得体积． 【解答】解：（1）因为在正四棱锥S﹣ABCD中，SO是这个四棱锥的高，SM是斜高， 又SO＝8，SM＝10， 所以， 所以CM＝OM＝6， 所以； （2）BC＝2OM＝12， ， ， ∴S全＝384； ， 【例9】如图，正四棱台两底面边长分别为2和4． （1）若侧棱长为，求棱台的表面积； （2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的体积． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）作出辅助线，求出棱台的斜高，从而求出侧面积，再与底面积相加即可求出表面积； （2）根据已知条件求出斜高，再算出正棱台的高即可． 【解答】解：（1）因为正四棱台两底面边长分别为2和4， 设O1，O分别为上，下底面的中心， 分别取BC，B1C1的中点E，F， 则， 所以棱台的表面积； （2）两底面面积之和为22+42＝20， 正四棱台的侧面积为，解得， 正四棱台的高， 所以正四棱台的体积为． ．【例10】如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线AA1＝4，若母线AA1放置在水平地面上时，水面恰好过OA的中点，那么当底面圆O水平放置时，水面高为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两种放置方式水的体积不变即可求得． 【解答】解：如图，根据题意圆柱母线AA1＝4，若母线AA1放置在水平地面上时， 水面恰好过OA的中点， 可设圆柱底面半径为r，则当母线AA1水平放置时，圆柱中含水部分可以看作是以弓形BAC为底，AA1为高的柱体， 因为水面过OA的中点，则， 则弓形BAC的面积为， 当底面圆O水平放置时，底面圆的面积为，设水面高为h， 当底面圆O水平放置时，底面圆的面积为，设水面高为h， 则由水的体积不变可得：S1•AA1＝S2•h，即（）•AA1＝πr2•h， 解的：． 故选：B． 【例11】已知圆锥的母线所在直线与底面所成角为，若该圆锥的母线长为2，则其体积为（　　） A． B．π C． D．3π 【答案】A 【分析】根据线面角计算出该圆锥的高和底面半径长，结合锥体体积公式可求得结果． 【解答】解：如下图所示： 设圆锥SO的母线长为l，高为h，底面半径为r，则l＝2， 因为圆锥的母线所在直线与底面所成角为，则，可得， 则， 所以圆锥的体积为． 故选：A． 【例12】（多选）在一个圆台形容器内放入一个球体，该球恰与圆台的上、下底面及侧面相切，轴截面如图所示．设球心为O，半径为R，圆台的母线为l，上、下底面的半径分别为a、b，a＞b．若已知l＝1，则（　　） A．a+b＝2 B．圆台的侧面积为π C．ab＝R2 D．圆台体积的最大值为 【答案】BC 【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征以及导数运算求解即可． 【解答】解：如图设球与上底面、侧面、下底面切点为C，D，E， 由过点作圆的切线段等长可知AD+BD＝AC+BE，即l＝a+b＝1，A错误； 由圆台侧面积公式可知该圆台侧面积为πl（r1+r2）＝πl（a+b）＝π，B正确； 在△ABF中由勾股定理得l2＝（a+b）2＝（a﹣b）2+（2R）2，解得ab＝R2，C正确； 圆台体积， 令，由，可知，当且仅当a＝b时等号成立，所以， 则， 求导得，在恒成立， 所以V（x）单调递增，无最大值，D错误． 故选：BC． 【题型三：球的截面、球的表面积与体积计算】 【例13】若球O被一个平面所截，所得截面的面积为2π，且球心O到该截面的距离为2，则球O的表面积是（　　） A．8π B．12π C．24π D．32π 【答案】C 【分析】根据球的几何性质，即可求解． 【解答】解：因为球O被一个平面所截，所得截面的面积为2π， 设截面圆的半径为r，球的半径为R， 所以πr2＝2π，所以r，又球心O到该截面的距离为2， 所以R2＝22+r2＝4+2＝6 所以球O的表面积为4πR2＝24π． 故选：C． 【例14】已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为8π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（　　） A．36π B．64π C．128π D．256π 【答案】C 【分析】首先求出⊙O1的半径r，再由正弦定理求出AB，设球O的半径为R（R＞0），所以，最后由球的表面积公式计算可得． 【解答】解：由⊙O1的面积为8π，可设⊙O1的半径为r（r＞0），则πr2＝8π，解得， 又AB＝BC＝AC＝OO1，所以△ABC为等边三角形，则，解得， 设球O的半径为R（R＞0），则， 所以球O的表面积S＝4πR2＝4π×32＝128π． 故选：C． 【例15】如图，在一个底面边长为4，侧棱长为的正四棱锥P﹣ABCD中，大球O1内切于该四棱锥，小球O2与大球O1及四棱锥的四个侧面相切，则小球O2的体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出正四棱锥的高，利用相切可求球的半径，结合体积公式可得答案． 【解答】解：由题易知斜高为，高为， 设底面中心为O，AD的中点为M，如图所示， 在截面POM中，设N为球O1与平面PAD的切点，所以N在PM上，且O1N⊥PM， 设球O1的半径为R，易知O1N＝O1O＝R， ，故可以求得，则PO1＝3R， 故可以得到，解得， 设球O1与球O2相切于点Q，易知PQ＝PO﹣2R＝2R， 设球O2的半径为r，则PQ＝4r，解得， 则． 故选：A． 【题型四：等体积法求解点到面的距离问题】 【例16】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，已知PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝2，E为PC中点． （1）求四棱锥P﹣ABCD的体积； （2）求点D到平面PAC的距离． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）由PD⊥平面ABCD，确定PD为四棱锥的高，再利用四棱锥体积公式计算即可； （2）利用等体积法VD﹣PAC＝VP﹣ACD，结合△PAC的面积即可求解． 【解答】解：（1）在四棱锥P﹣ABCD中， 因为四边形ABCD为正方形，且PD⊥平面ABCD， 所以PD即四棱锥P﹣ABCD的高， 所以， 即四棱锥P﹣ABCD的体积为． （2）连接AC，如图： 由（1）知，又AC为正方形ABCD的对角线， 所以， 又，即△PAC是等边三角形，所以， 设点D到平面PAC的距离为h， 则， 解得， 即点D到平面PAC的距离为． 一、选择题 1．如图，实心圆锥PO的轴截面是一个底边长为12，腰长为10的等腰三角形，过PO上一点O'作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱OO'，若剩下几何体的表面积为120π，则圆柱OO′的高为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】结合圆锥表面积、圆柱侧面积公式直接计算求出挖去的圆柱底面半径和高即可． 【解答】解：由实心圆锥PO的轴截面是一个底边长为12，腰长为10的等腰三角形， 可得圆锥PO的底面直径为12，高为， 因为圆锥底面半径与圆锥的高比值为，设圆柱的高OO′＝8﹣4t，圆柱的底面半径为3t， 剩下几何体的表面积为圆锥表面积加上挖去的圆柱的侧面积， 圆锥表面积为π×62+π×6×10＝96π，圆柱侧面积为2π×3t×（8﹣4t）， 所以剩下几何体的表面积为96π+6t（8﹣4t）π＝120π，所以t＝1． 所以圆柱的高OO′＝8﹣4t＝4． 故选：C． 2．如图所示，半径为4的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为（　　） A．24π B．28π C．32π D．36π 【答案】C 【分析】设圆柱的底面半径为r，高为h，根据组合体的性质，得到圆柱的底面半径和高的关系，求得圆柱的侧面积的表示，结合二次函数的性质即可求出圆柱的侧面积最大值，进一步求得答案． 【解答】解：由题意知，球的表面积为4πR2＝64π， 设圆柱的底面半径为r，高为h，则，即h2＝64﹣4r2， 则圆柱的侧面积 ， 所以当r2＝8，即时，圆柱的侧面积最大，最大值为32π， 此时球的表面积与圆柱的侧面积之差是64π﹣32π＝32π． 故选：C． 3．已知圆锥和圆柱底面半径相等，若圆锥的母线长是底面半径的2倍，圆柱的高与底面半径相等，则圆锥与圆柱的体积之比为（　　） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】设圆锥和圆柱底面半径为r，表示圆锥和圆柱的高，利用圆锥和圆柱的体积公式可得结果． 【解答】解：圆锥和圆柱底面半径相等，若圆锥的母线长是底面半径的2倍，圆柱的高与底面半径相等， 设圆锥和圆柱底面半径为r，则圆锥母线长l＝2r，圆柱的高为r， 故圆锥高， 圆锥体积，圆柱体积， 所以． 故选：C． 4．小明同学的早餐是一个馒头和一块火腿肠，馒头可以看作一个底面直径为8cm的半球，火腿肠可以看作是由一平面将一圆柱截去一部分所得，其数据如图所示，题该馒头和火腿的体积分别为（　　） A．，63π B．，63π C．，36π D．，36π 【答案】B 【分析】根据球的体积以及圆柱的体积计算，可得答案． 【解答】解：由馒头可以看作一个底面直径为8cm的半球， 的馒头的体积为； 由图可知，火腿肠可看作底面半径为3，高为4的圆柱与底面半径为3，高为6的半圆柱的组合体， 则火腿的体积为． 故选：B． 5．《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为30cm，高为10cm，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为3cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦．若需要制作800片这种瓦片，则所需粘土的体积为（　　） A．45πdm3 B．99πdm3 C．135πdm3 D．198πdm3 【答案】D 【分析】根据题意，利用圆柱的体积公式，求得四片瓦需要的粘土量，进而求得800片瓦需要的粘土量，得到答案． 【解答】解：四片瓦需要的粘土量为π×（15+3）2×10﹣π×152×10＝3240π﹣2250π＝990πcm3， 则800片瓦需要的粘土量为990π×200＝198000πcm3＝198πdm3． 故选：D． 6．如图是一个直径为12cm的球形容器和一个底面直径为6cm、深8cm的圆柱形水杯（壁厚均不计），则球形容器装满时，约可以倒满水杯（　　） A．3杯 B．4杯 C．5杯 D．6杯 【答案】B 【分析】应用球的体积公式及圆柱的体积公式计算求解即可． 【解答】解：由题意直径为12cm的球形容器和一个底面直径为6cm、深8cm的圆柱形水杯， 球的体积， 圆柱的体积， 所以V1＝4V2，则球形容器装满时，约可以倒满水杯4杯． 故选：B． 7．若一个圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则该圆锥的体积为（　　） A．3π B．4π C．5π D．6π 【答案】A 【分析】由题意可得该圆锥底面半径、母线长，则可得高，再利用体积公式计算即可得． 【解答】解：由题意圆锥的轴截面是边长为的正三角形， 可得该圆锥底面半径为，母线长为， 则高为，则． 故选：A． 8．已知点P为空间一定点，圆锥SO（O为底面的中心）表面上的所有点到点P的距离均不超过3，则当该圆锥的体积取得最大值时，圆锥的侧面积为（　　） A． B． C． D．16π 【答案】A 【分析】设圆锥SO的底面圆周的半径为r，球心P到圆锥底面的距离为x，由圆锥的体积公式和函数的单调性求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求解即可． 【解答】解：由已知可得圆锥SO表面上所有点均在以定点P为球心，3为半径的球内或球面上，要使圆锥SO的体积最大，则圆锥SO的顶点及底面圆周上的所有点均在球面上，且球心P在圆锥的内部，此时圆锥SO的轴截面如图所示： 设圆锥SO的底面圆周的半径为r，球心P到圆锥底面的距离为x， 则SP＝BP＝3，OP＝x，OB＝r，所以x2+r2＝9， 圆锥SO的体积， 则（9﹣x2）]＝﹣π（x+3）（x﹣1）， 由V′（x）＞0，得0＜x＜1；由V′（x）＜0，得1＜x＜3， 所以V（x）在（0，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减，所以当x＝1，时，， 则圆锥的母线长为，从而其侧面积． 故选：A． 9．已知如图所示的圆台OO1，在轴截面ABCD中，CD＝2AB＝8，点M在弧CD上且为靠近D点的三等分点，若异面直线AC与MD所成角的余弦值为，则圆台OO1的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过A作AH⊥CD于H，利用异面直线夹角的向量法列式求出圆台的高，进而求出其母线，即可求出表面积． 【解答】解：由题意圆台OO1，在轴截面ABCD中，CD＝2AB＝8，点M在弧CD上且为靠近D点的三等分点， 过A作AH⊥CD于H，连OM，则AH⊥平面CDM，又DM⊂平面CDM， 于是AH⊥DM，由CD＝2AB＝8，，则CH＝8﹣2＝6， 因点M在弧CD上且为靠近D点的三等分点，则∠ODM＝∠MOD＝60°，DM＝CDcos60°＝4， 因此6×4×cos60°＝12， 因为异面直线AC与MD所成角的余弦值为， 可得， 解得，则，， 故圆台的表面积． 故选：B． 10．亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥和一个圆台的组合体．已知某重檐圆亭圆台部分的直观图如图2所示，在其轴截面ABCD中，AB＝4m，CD＝6m，点A到CD的距离为1m，则该圆台的侧面积为（　　） A． B．4πm2 C．5πm2 D． 【答案】D 【分析】先求出AD的长度，再利用圆台侧面积公式进行求解． 【解答】解：因为轴截面ABCD中，AB＝4m，CD＝6m，点A到CD的距离为1m， 过点A，作AE⊥CD，所以AE的长度为1m， 故，， ，，． 故选：D． 11．如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆锥的轴截面的顶角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线与轴所成角为θ，求出圆锥的高，利用体积相等，求出2θ的余弦值． 【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线与轴所成角为θ， 则tanθ，所以圆锥的高为h； 所以圆锥的体积为V1πr2•hπr3•， 半球的体积为V2πr3， 因为V1＝V2，即πr3•πr3， 解得tanθ， 所以cos2θ＝cos2θ﹣sin2θ， 即圆锥的轴截面顶角的余弦值是． 故选：C． 12．用半径为4的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器，当该圆锥形容器的容积最大时，扇形的圆心角α是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，求出r2+h2＝16，表示出体积表达式，利用导数求出函数的最大值，得到结果． 【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，那么r2+h2＝16， 因此，V＝πr2h＝π（16﹣h2）hπhπh3（0＜h＜4）， 可得V′π﹣πh2． 令V'＝0，即π﹣πh2＝0，得h， 当0＜h时，V'＞0；当h＜4时，V'＜0， 所以h时，V取得极大值，并且这个极大值是最大值， 把h代入r2+h2＝16，得r， 由4α＝2πr，得απ． 故选：D． 13．如图所示的扇形ASB是某圆锥的侧面展开图，SA＝4，∠ASB＝60°，C，D分别是SA，SB上一点，且SC＝SD，若阴影部分的面积为2π，则阴影部分所围成的圆台的体积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到上底面半径，下底面半径，高，从而得到阴影部分所围成的圆台体积． 【解答】解：因为扇形ASB是某圆锥的侧面展开图，SA＝4，∠ASB＝60°， 又C，D分别是SA，SB上一点，且SC＝SD，且阴影部分的面积为2π， 所以扇形ASB的面积为， 阴影部分的面积为2π，SC＝SD， 故扇形CSD的面积为，解得|SC|＝2，故|AC|＝2， 故，， 设阴影部分所围成的圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h， 则，，解得，， 故， 阴影部分所围成的圆台的上底面面积为，下底面面积为， 所以阴影部分所围成的圆台体积为． 故选：A． 14．某器具的形状可以看作一个球被一个棱长为8的正方体的六个面所截后剩余部分（如图所示），球心与正方体的中心重合，若一个截面圆的面积为9π，则该球的表面积是（　　） A．72π B．90π C．100π D．120π 【答案】C 【分析】设截面圆的半径为r，球的半径为R，根据截面圆的面积求得r＝3，利用球的截面性质求R，再利用球的表面积公式求结论． 【解答】解：设球的半径为R，截面圆的半径为r， 因为截面圆的面积为9π，所以r＝3， 因为正方体棱长为8，所以球心到截面圆的距离为4， 故， 所以该球的表面积S＝4πR2＝100π． 故选：C． 15．如图，半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，这个正四棱锥的高与半球的半径相等且底面正方形ABCD的边长为2，则这个半球的表面积是（　　） A． B．4m C．6π D．8π 【答案】C 【分析】根据题意可得大圆直径2R，从而可求解． 【解答】解：因为半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD， 且这个正四棱锥的高与半球的半径相等且底面正方形ABCD的边长为2， 所以大圆直径2R，所以R， 所以这个半球的表面积是2πR2+πR2＝3π×2＝6π． 故选：C． 16．一个装有水的圆柱形玻璃杯，测得其内部半径为2cm，将一个半径为1cm的玻璃球完全浸入水中，水没有溢出，则杯中水面上升了（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得玻璃球的体积，设圆柱形玻璃杯水面上升了hcm，根据体积相等，列出方程，即可求解． 【解答】解：因为玻璃球的半径为1cm， 所以玻璃球的体积为， 设圆柱形玻璃杯水面上升了hcm， 则， 解得， 所以杯中水面上升了． 故选：B． 17．如图，在棱长为的正方体内有两个球O1、O2相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为（　　） A．9π B．8π C．12π D．6π 【答案】A 【分析】做出对角面，设两球半径分别为R，r，过O1，O2分别作AD，BC的垂线，垂足分别为E，F，结合AO1+O1O2+O2C＝AC求得R+r＝3，再结合体积公式即可求解． 【解答】解：如图，设两球半径分别为R，r，球心O1和O2在正方体体对角线AC上， 过O1，O2分别作AD，BC的垂线，垂足分别为E，F， 则AO1+O1O2+O2C＝AC， 所以， 解得R+r＝3， 所以两球体积之和为 ＝4π[（R+r）2﹣3rR]＝4π[32﹣3R（3﹣R）]＝4π（3R2﹣9R+9）， 所以当且仅当时，V有最小值9π． 故选：A． 18．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（　　） A．圆柱的侧面积为2πR2 B．圆锥的侧面积为2πR2 C．圆柱的侧面积小于球的表面积 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2 【答案】D 【分析】根据题意，结合圆柱、圆锥和球的表面积和体积公式，逐项判定，即可求解． 【解答】解：对于A，圆柱的侧面积为2πR×2R＝4πR2，A错误； 对于B，圆锥的母线为，圆锥的侧面积为，B错误； 对于C，球的表面积为4πR2，结合A选项可知C错误； 对于D，圆柱的体积， 圆锥的体积， 球的体积， 所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，D正确． 故选：D． 二、填空题 19．如图所示，在边长为的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使之恰好围成一个圆锥，则该圆锥的表面积为　 　 ． 【答案】20π． 【分析】根据题意，在图1中：设小圆半径为r，扇形半径为R，分析可得R＝4r，结合正方形的性质可得，解可得r的值，则在图2中，可得圆锥的母线和底面半径，由此计算可得答案． 【解答】解：如图1，过⊙F圆心F作EF⊥AD于E，FG⊥CD于G， 则四边形EFGD为正方形，设小圆半径为r，扇形半径为R，则 小圆周长为2π，扇形弧长为 ∵剪下一个扇形和圆恰好围成一个圆锥，∴，解得R＝4r， 即BH＝4r，∴， ∵正方形铁皮边长为，∴， ∴，∴r＝2， 在图2中，圆锥的表面积． 故答案为：20π． 20．将一个半径为1cm的铁球熔化后，浇铸成一个底面半径为1cm的圆柱铁锭，则圆柱的高为　 　 cm． 【答案】． 【分析】根据球和圆柱的体积相等求解． 【解答】解：设球的半径为R，圆柱的底面半径为r，高为h， 根据题意可得， 所以． 故答案为：． 21．如图，已知球O内切于圆台O1O2（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面的直径分别为2，6，则球O与圆台O1O2侧面的切痕所在平面分圆台所得上、下两部分的体积之比为　 　 ． 【答案】． 【分析】作出圆台的轴截面，根据圆台的内切球的几何性质，勾股定理，圆台的体积公式，即可求解． 【解答】解：如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆， 设圆O与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底分别切于点O1，O2， 又圆台上、下底面的半径为r1＝1，r2＝3， 所以CO1＝CP＝1，BO2＝BP＝3BC＝BP+PC＝4， 所以在直角梯形O1O2BC中，易得， O1O2＝2OP， 则， 设QP与O1O2交于点O3， 则， ， ， 所以球O与圆台O1O2侧面的切痕所在平面分圆台所得上、下两部分的体积之比为： ． 故答案为：． 三、解答题 22．如图，某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是正四棱锥P﹣ABCD和长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝BC＝30cm，BP＝BB1＝25cm． （1）求这种“笼具”的表面积； （2）求这种“笼具”的体积． 【答案】（1）5100（cm2）； （2）． 【分析】（1）取BC的中点Q，连接PQ，先求出PQ，进而求得正四棱锥的侧面积，再求长方体底座的侧面积和底面积，把它们相加，即得这种“笼具”的表面积； （2）根据图形和相关边长求出正四棱锥的高，再利用棱锥和长方体的体积公式计算即得． 【解答】解：（1）如图，取BC的中点Q，连接PQ， 由正四棱锥P﹣ABCD知PB＝PC，所以PQ⊥BC，且， 又BC＝30cm，BP＝PC＝25cm， 所以， 所以， 故正四棱锥P﹣ABCD的侧面积为． 又长方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面积为4×30×25＝3000（cm2），底面积为30×30＝900（cm2）， 所以这种“笼具”的表面积为1200+3000+900＝5100（cm2）． （2）连接AC，BD，设AC，BD的交点为O，连接PO，易知OP⊥平面ABCD， 又OB⊂平面ABCD，所以OP⊥OB， 因为AB＝BC＝30cm，所以，又BP＝25cm， 所以， 则正四棱锥P﹣ABCD的体积为， 长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积， 所以这种“笼具”的体积为． 23．如图，已知正三棱锥S﹣ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的体积和表面积． 【答案】体积为9；表面积为27． 【分析】设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，侧面积、底面积分别为S1，S2，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，结合题意求出h′和a，再计算正三棱锥的体积与表面积． 【解答】解：设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，侧面积、底面积分别为S1，S2， 过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，如图所示： 由题意得，SE⊥AB，SE＝h′，由S1＝2S2，得3ah′a2×2，可得ah′， 由SO⊥OE，则SO2+OE2＝SE2，即OECEaa， 即32h′2，所以h′＝2，a26， 所以， 则S1＝2×918，所以正三棱锥的体积为； 表面积为． 24．已知边长为2，各面均为等边三角形的四面体S﹣ABC如图所示，求它的表面积． 【答案】4． 【分析】易知四面体S﹣ABC为正四面体，求出一个三角形面积即可得四面体S﹣ABC的表面积． 【解答】解：因为四面体S﹣ABC的四个面是全等的等边三角形， 所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍， 不妨求△SAB的面积， 因为△SAB是边长为2的正三角形， 所以S△SABAB•AS•sin60°2×2． 可得四面体S﹣ABC的表面积为． 25．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，SO是这个四棱锥的高，SM是斜高，且SO＝8，SM＝11． （1）求这个四棱锥的侧棱长； （2）求这个四棱锥的表面积． 【答案】（1）； （2）S． 【分析】（1）利用勾股定理计算出OM，可得出BM＝OM，然后利用勾股定理可计算出SB，即为该四棱锥的侧棱长； （2）计算出该正四棱锥的侧面积和底面积，相加即可得出该正四棱锥的表面积． 【解答】解：（1）在Rt△SOM 中，， 在Rt△SBM中，SM＝11，， ∴侧棱长； （2） ，， ∴四棱锥的表面积S． 26．已知正三棱台（由正三棱锥截得的三棱台）的上、下底面边长分别为3cm和6cm，高为，求此正三棱台的表面积． 【答案】． 【分析】根据勾股定理求解侧面的高，即可利用表面积公式求解． 【解答】解：如图所示，画出正三棱台ABC﹣A1B1C1， 其中O1，O为正三棱台上、下底面的中心，D，D1分别为BC，B1C1的中点， 则OO1为正三棱台的高，DD1为侧面梯形BCC1B1的高，四边形ODD1O1为直角梯形， ，， 所以， 所以此三棱台的表面积：． 27．已知正四棱台（由正四棱锥截得且截面是正方形）的底面边长分别为20和10． （1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45o，求棱台的侧面积． （2）若所有侧面的面积和为780，求棱台的斜高（侧面的高）及对应的正四棱锥的体积． 【答案】（1）； （2）13，3200． 【分析】（1）由条件求正四棱台的斜高，再求其侧面积；（2）根据侧面积的大小求出正四棱台的斜高，再求四棱台和四棱锥的高，结合锥体体积公式求四棱锥的体积． 【解答】解：（1）如图，设O1，O分别为上、下底面的中心， 过C1作C1E⊥AC于E，过E作EF⊥BC于F， 连接C1F，则C1F为正四棱台的斜高， 由题意知∠C1CO＝45°， ， 在Rt△C1CE中，， 又EF＝CEsin45°＝5， ∴斜高， ∴棱台的侧面积； （2）取A1B1的中点M，AB的中点N，则MN为棱台的斜高， 四条侧棱延长后交于点P， 由题意侧面积， ∴斜高MN＝13， 在直角梯形ONMO1中， ， ∴， 由棱锥的性质得， ，所以PO＝24， 则正四棱锥P﹣ABCD的体积为． 28．已知正三棱台ABC﹣A1B1C1的上，下底面边长分别为3cm和6cm，高为cm，求正三棱台的表面积和体积． 【答案】见试题解答内容 【分析】由题意画出图形，求出三棱台的斜高，分别代入表面积公式和体积公式求解． 【解答】解：如图， 连接C1O1并延长交A1B1于D1，连接CO并延长交AB于D， ∵等边三角形A1B1C1的边长为3cm，∴cm， ∵等边三角形ABC的边长为6cm，∴ODcm， ∵cm，∴cm， ∴正三棱台的表面积为， 体积为． 29．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为的正三角形，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，若圆柱的体积为2π，求： （1）剩余部分几何体的体积； （2）剩余部分几何体的表面积． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）先由题意求出棱柱底面圆的半径，进而由圆柱体积求出棱柱的高h，再结合柱体体积公式用棱柱体积减去圆柱体积即可得解． （2）根据几何体的特征确定表面的组成部分即可求解． 【解答】解：（1）根据题意可得底面圆的半径为， 设圆柱高为h，则圆柱体积为π×12×h＝2π，解得h＝2， 所以剩余几何体的体积为． （2）剩余部分几何体的表面积为： ． 30．如图（图中单位：cm）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱．（参考数据：π≈3） （1）已知铁的密度为7.8g/cm3，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁； （2）要给一批共1000个零件的表面（包含底面）涂层油漆，若该零件每平方厘米要用油漆0.12g，求总共需要用油漆多少克． 【答案】（1）4992g； （2）72000g． 【分析】（1）根据题意，求出组合体的体积，结合铁的密度，计算可得答案； （2）根据题意，求出一个组合体的表面积，进而计算可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱， 该正四棱柱的底边边长为10cm，高为4cm，圆柱的底面半径为2cm，高为20cm， 该零件的体积V＝10×10×4+π×22×20≈640cm3， 又由铁的密度为7.8g/cm3，则生产一件这样的铸铁零件需要640×7.8＝4992g铁； （2）根据题意，该零件的体积表面积S＝2×10×10+4×10×4+2π×2×20≈600cm2， 该零件每平方厘米要用油漆0.12g，则生产一件这样的铸铁零件需要油漆600×0.12＝72g， 要给一批共1000个零件的表面涂层油漆，总共需要用油漆1000×72＝72000g． 31．在棱长为1的正方体上，用过同一顶点的三条棱中点的平面分别截该正方体，截去1个三棱锥．求剩下的几何体的体积． 【答案】． 【分析】让正方体体积减去1个三棱锥体积即可． 【解答】解：设剩下的几何体的体积为V， 则V， 即剩下的几何体的体积为． 32．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B的面积为S，侧棱CC1到侧面AA1B1B的距离为a，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积． 【答案】． 【分析】根据题意，斜三棱柱补形为平行六面体，求平行六面体的体积即可得解． 【解答】解：在斜三棱柱A1B1C1﹣ABC的一侧补上一个三棱柱B1C1D1﹣BCD，使之成为一个平行六面体，如图所示： 显然，它的体积为V＝aS， 所以斜三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为． 故答案为：． 33．如图所示的几何体的上部是一个正四棱锥P﹣ABCD，下部是一个正方体，其中正四棱锥P﹣ABCD的高为，△PCD是等边三角形，CD＝6． （1）求该几何体的表面积； （2）求该几何体的体积． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据△PCD是边长为6的正三角形，得出PM⊥CD，进而有且，代入面积公式即可求解； （2）先得出PO是四棱锥P﹣ABCD的高，再利用体积公式即可求解． 【解答】解：（1）设M是CD的中点，连接PM， 因为△PCD是边长为6的正三角形， 所以PM⊥CD，且， 所以该几何体的表面积； （2）连接AC，BD，设交点为O，连接PO，则PO是四棱锥 P﹣ABCD的高， 则， 所以， 又正方体的体积为6×6×6＝216， 所以该几何体的体积． 34．如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，截去三棱锥A1﹣ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1﹣DBC的表面积和体积． 【答案】；． 【分析】结合正方体的性质，根据表面积和体积的定义即可求解． 【解答】解：因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a， 所以几何体A1B1C1D1﹣DBC的体积为：． 又因为△A1BD是边长为的等边三角形， 所以△A1BD的面积， 所以所求几何体A1B1C1D1﹣DBC的表面积为：． 35. 在三棱锥 P−ABC 中，PA⊥平面 ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，求三棱锥 P−ABC 的体积，并用等体积法求点A到平面PBC的距离。 【分析】直接求三棱锥 体积： 底面，可直接以 为底、 为高计算。 求点 到平面 的距离：直接作高难度大，用等体积法： ，先算 ，再反推高。 【解析】底面 是直角三角形， ，因此底面积： 。 平面 ，故高 ，由锥体体积公式： 先计算 的边长： 由勾股定理， ， ， 。 验证： ，故 是直角三角形，直角在 。 的面积： 设点 到平面 的距离为 ，由等体积法 ： ，代入 ，解得： ，故点 到平面 的距离为 36．如图，水平放置的正四棱台玻璃容器的高为32cm，两底面对角线EG、E1G1的长分别为14cm、62cm，水深为12cm． （1）求正四棱台的体积； （2）将一根40cm长的玻璃棒l放在容器中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．（容器厚度，玻璃棒粗细均忽略不计） 【答案】（1）26176（ cm3）；（2）20 cm． 【分析】（1）根据题意，结合台体的体积公式，即可求出结果． （2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q＝24 cm，E1E＝40 cm，由正弦定理求出，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度． 【解答】解：（1）由题意可知，下底面正方形的边长为，上底面正方形的边长为， 所以下底面面积为，上底面的面积， 又台体的高为32 cm， 所以正四棱台的体积 （2）设玻璃棒在GG1上的点为M，则EM＝40cm，玻璃棒与水面的交点为N，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q， ∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台， ∴EE1＝GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G1， ∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面EE1G1G的平面图， ∵E1G1＝62 cm，EG＝14 cm，EQ＝32 cm，NP＝12 cm， ∴E1Q＝24 cm， 由勾股定理得：， ∴， 根据正弦定理得：，∴， ∴， ∴sin∠GEM＝sin（∠EGM+∠EMG） ， ∴． ∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20 cm． 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3 简单几何体的表面积与体积 讲义 【题型一：柱体、锥体、台体的表面积计算】 4 【题型二：柱体、锥体、台体的体积计算】 6 【题型三：球的截面、球的表面积与体积计算】 7 【题型四：等体积法求解点到面的距离问题】 8 1、理解简单几何体（棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球）的表面积、体积的定义，明确表面积与体积的区别与联系。 2、掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积计算公式，能结合其结构特征，推导并记忆表面积公式（含侧面积、全面积）。 3、掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式，理解公式的推导逻辑（如圆柱侧面积的展开法、球体积的推导思路）。 4、了解简单组合体的表面积和体积的计算方法，能区分“拼接型”“截去/挖去型”组合体的表面积、体积计算要点（如拼接时重叠面不计入表面积）。 【知识点一：棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积】 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和． 2．棱柱、棱锥、棱台的高 ①棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，该点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离． ②棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离． ③棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，该点与垂足之间的距离． 3．棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 图形 体积 棱柱 （为底面面积， 为高） 棱锥 （为底面面积， 为高） 棱台 （，分别为上、下底面面积， 为高） 4. 几个特殊几何体的表面积和体积： ①长方体：设长方体的长、宽、高分别为，，，则长方体的表面积，体积． ②正方体：设正方体的棱长为，则正方体的表面积为，体积． ③正四面体：设正四面体的棱长为，则正四面体的表面积为，体积。 【知识点二：圆柱、锥、圆台的表面积和体积】 1．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 几何体 图形 表面积与体积公式 圆柱 （为底面半径，为母线长，为高，） 表面积： 体积： 圆锥 （为底面半径， 为母线长， 为高） 侧面积： 表面积： 体积： 圆台 （，分别为上、下底面半径，为母线长，为高） 侧面积： 2．关于体积的归纳与总结 ①对于柱体、锥体、台体，体积公式可总结为： - ，其中为底面面积， 为高； - ，其中为底面面积， 为高； - ，其中，分别为上、下底面面积， 为高。 ②台体是介于柱体和锥体的“中间形态”，因此我们可以把柱体看作上、下底面相同的台体，把锥体看作是上底面为一个点的台体，因此将台体体积公式中的替换为即可得到柱体的体积公式，将替换为即可得到锥体的体积公式，即： 【知识点三：球的相关性质】 1. 球的表面积和体积 设球的半径为，则球的表面积，体积。 2. 球的截面 ①球的截面形状 球的截面是一个圆面。如图1，球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆。 ②球的截面的性质 (i) 球心和截面小圆圆心的连线垂直于截面。 (ii) 如图2，设球心为，球面上一点为，过截出的小圆的圆心为，小圆半径为，球的半径为，球心到小圆圆心的距离为，则过的轴截面如图3所示，在中，由勾股定理可知， 。 【知识点四：空间几何体体积的常见求法】 1. 公式法：常见简单几何体，条件具备时，可直接代公式求体积。 2. 等体积法：在求四面体（以四面体为例）的体积时，理论上讲，可以选择A 中的任何一个作为顶点、余下三个顶点构成的三角形作为底面来求体积，但实际操作时，往往选择高易求且底面积好算的方案。 3. 割补法：将几何体补形或者切割成易求体积的几何体来求体积。 4. 祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．利用祖暅原理，可将不规则几何体的体积转化成高度与之相等的规则几何体体积。 【题型一：柱体、锥体、台体的表面积计算】 【例1】下图是某储蓄罐的平面展开图，其中∠GCD＝∠EDC＝∠GFE＝90°，且AD＝CD＝DE＝CG，FG＝FE． （1）若将五边形CDEFG看成底面，说明该储蓄罐的几何特征； （2）已知该储蓄罐的容积为1250cm3，求制作该储蓄罐所需材料的总面积（精确到整数位，材料厚度、投币口的面积忽略不计）． 【例2】如图，在正六棱锥S﹣ABCDEF中，△SAD是面积为4的等边三角形．求： （1）该棱锥的高； （2）该棱锥的斜高； （3）该棱锥的底面积． 【例3】正四棱台两底面边长分别为2和4． （1）若侧棱长为，求棱台的表面积； （2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高． 【例4】陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，世界“最大最重”陀螺就出自六盘水（水城区野玉海景区），重达3018斤，直径98cm，高115cm，可视作一个圆柱和一个圆锥的组合体，圆柱部分的高是陀螺高的，则圆柱部分的侧面积为（　　） A．6726πcm2 B．9136πcm2 C．6762πcm2 D．9163πcm2 【例5】已知一圆台上底半径为1（下底半径大于上底半径），母线与底面所成角的余弦值为，若此圆台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此圆台的表面积是（　　） A．5π B．9π C．14π D．23π 【例6】已知圆锥SO的底面半径为1，母线长为3，圆柱OO1的下底面在圆锥SO的底面上，上底面圆O1的圆周在圆锥SO的侧面上，则圆柱OO1的侧面积的最大值为（　　） A．π B． C． D． 【题型二：柱体、锥体、台体的体积计算】 【例7】如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1内接于一个圆柱，圆柱的体积是54π，且底面直径与母线长相等． （1）求圆柱的底面半径； （2）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积． 【例8】如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，SO是这个四棱锥的高，SM是斜高，且SO＝8，SM＝10． （1）求这个四棱锥的侧棱长； （2）求这个四棱锥的全面积和体积． 【例9】如图，正四棱台两底面边长分别为2和4． （1）若侧棱长为，求棱台的表面积； （2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的体积． ．【例10】如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线AA1＝4，若母线AA1放置在水平地面上时，水面恰好过OA的中点，那么当底面圆O水平放置时，水面高为（　　） A． B． C． D． 【例11】已知圆锥的母线所在直线与底面所成角为，若该圆锥的母线长为2，则其体积为（　　） A． B．π C． D．3π 【例12】（多选）在一个圆台形容器内放入一个球体，该球恰与圆台的上、下底面及侧面相切，轴截面如图所示．设球心为O，半径为R，圆台的母线为l，上、下底面的半径分别为a、b，a＞b．若已知l＝1，则（　　） A．a+b＝2 B．圆台的侧面积为π C．ab＝R2 D．圆台体积的最大值为 【题型三：球的截面、球的表面积与体积计算】 【例13】若球O被一个平面所截，所得截面的面积为2π，且球心O到该截面的距离为2，则球O的表面积是（　　） A．8π B．12π C．24π D．32π 【例14】已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为8π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（　　） A．36π B．64π C．128π D．256π 【例15】如图，在一个底面边长为4，侧棱长为的正四棱锥P﹣ABCD中，大球O1内切于该四棱锥，小球O2与大球O1及四棱锥的四个侧面相切，则小球O2的体积为（　　） A． B． C． D． 【题型四：等体积法求解点到面的距离问题】 【例16】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，已知PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝2，E为PC中点． （1）求四棱锥P﹣ABCD的体积； （2）求点D到平面PAC的距离． 一、选择题 1．如图，实心圆锥PO的轴截面是一个底边长为12，腰长为10的等腰三角形，过PO上一点O'作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱OO'，若剩下几何体的表面积为120π，则圆柱OO′的高为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 2．如图所示，半径为4的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为（　　） A．24π B．28π C．32π D．36π 3．已知圆锥和圆柱底面半径相等，若圆锥的母线长是底面半径的2倍，圆柱的高与底面半径相等，则圆锥与圆柱的体积之比为（　　） A． B．3 C． D． 4．小明同学的早餐是一个馒头和一块火腿肠，馒头可以看作一个底面直径为8cm的半球，火腿肠可以看作是由一平面将一圆柱截去一部分所得，其数据如图所示，题该馒头和火腿的体积分别为（　　） A．，63π B．，63π C．，36π D．，36π 5．《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为30cm，高为10cm，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为3cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦．若需要制作800片这种瓦片，则所需粘土的体积为（　　） A．45πdm3 B．99πdm3 C．135πdm3 D．198πdm3 6．如图是一个直径为12cm的球形容器和一个底面直径为6cm、深8cm的圆柱形水杯（壁厚均不计），则球形容器装满时，约可以倒满水杯（　　） A．3杯 B．4杯 C．5杯 D．6杯 7．若一个圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则该圆锥的体积为（　　） A．3π B．4π C．5π D．6π 8．已知点P为空间一定点，圆锥SO（O为底面的中心）表面上的所有点到点P的距离均不超过3，则当该圆锥的体积取得最大值时，圆锥的侧面积为（　　） A． B． C． D．16π 9．已知如图所示的圆台OO1，在轴截面ABCD中，CD＝2AB＝8，点M在弧CD上且为靠近D点的三等分点，若异面直线AC与MD所成角的余弦值为，则圆台OO1的表面积为（　　） A． B． C． D． 10．亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥和一个圆台的组合体．已知某重檐圆亭圆台部分的直观图如图2所示，在其轴截面ABCD中，AB＝4m，CD＝6m，点A到CD的距离为1m，则该圆台的侧面积为（　　） A． B．4πm2 C．5πm2 D． 11．如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆锥的轴截面的顶角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 12．用半径为4的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器，当该圆锥形容器的容积最大时，扇形的圆心角α是（　　） A． B． C． D． 13．如图所示的扇形ASB是某圆锥的侧面展开图，SA＝4，∠ASB＝60°，C，D分别是SA，SB上一点，且SC＝SD，若阴影部分的面积为2π，则阴影部分所围成的圆台的体积是（　　） A． B． C． D． 14．某器具的形状可以看作一个球被一个棱长为8的正方体的六个面所截后剩余部分（如图所示），球心与正方体的中心重合，若一个截面圆的面积为9π，则该球的表面积是（　　） A．72π B．90π C．100π D．120π 15．如图，半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，这个正四棱锥的高与半球的半径相等且底面正方形ABCD的边长为2，则这个半球的表面积是（　　） A． B．4m C．6π D．8π 16．一个装有水的圆柱形玻璃杯，测得其内部半径为2cm，将一个半径为1cm的玻璃球完全浸入水中，水没有溢出，则杯中水面上升了（　　） A． B． C． D． 17．如图，在棱长为的正方体内有两个球O1、O2相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为（　　） A．9π B．8π C．12π D．6π 18．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（　　） A．圆柱的侧面积为2πR2 B．圆锥的侧面积为2πR2 C．圆柱的侧面积小于球的表面积 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2 二、填空题 19．如图所示，在边长为的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使之恰好围成一个圆锥，则该圆锥的表面积为　 　 ． 20．将一个半径为1cm的铁球熔化后，浇铸成一个底面半径为1cm的圆柱铁锭，则圆柱的高为　 　 cm． 21．如图，已知球O内切于圆台O1O2（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面的直径分别为2，6，则球O与圆台O1O2侧面的切痕所在平面分圆台所得上、下两部分的体积之比为　 　 ． 三、解答题 22．如图，某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是正四棱锥P﹣ABCD和长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝BC＝30cm，BP＝BB1＝25cm． （1）求这种“笼具”的表面积； （2）求这种“笼具”的体积． 23．如图，已知正三棱锥S﹣ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的体积和表面积． 24．已知边长为2，各面均为等边三角形的四面体S﹣ABC如图所示，求它的表面积． 25．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，SO是这个四棱锥的高，SM是斜高，且SO＝8，SM＝11． （1）求这个四棱锥的侧棱长； （2）求这个四棱锥的表面积． 26．已知正三棱台（由正三棱锥截得的三棱台）的上、下底面边长分别为3cm和6cm，高为，求此正三棱台的表面积． 27．已知正四棱台（由正四棱锥截得且截面是正方形）的底面边长分别为20和10． （1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45o，求棱台的侧面积． （2）若所有侧面的面积和为780，求棱台的斜高（侧面的高）及对应的正四棱锥的体积． 28．已知正三棱台ABC﹣A1B1C1的上，下底面边长分别为3cm和6cm，高为cm，求正三棱台的表面积和体积． 29．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为的正三角形，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，若圆柱的体积为2π，求： （1）剩余部分几何体的体积； （2）剩余部分几何体的表面积． 30．如图（图中单位：cm）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱．（参考数据：π≈3） （1）已知铁的密度为7.8g/cm3，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁； （2）要给一批共1000个零件的表面（包含底面）涂层油漆，若该零件每平方厘米要用油漆0.12g，求总共需要用油漆多少克． 31．在棱长为1的正方体上，用过同一顶点的三条棱中点的平面分别截该正方体，截去1个三棱锥．求剩下的几何体的体积． 32．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B的面积为S，侧棱CC1到侧面AA1B1B的距离为a，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积． 33．如图所示的几何体的上部是一个正四棱锥P﹣ABCD，下部是一个正方体，其中正四棱锥P﹣ABCD的高为，△PCD是等边三角形，CD＝6． （1）求该几何体的表面积； （2）求该几何体的体积． 34．如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，截去三棱锥A1﹣ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1﹣DBC的表面积和体积． 35. 在三棱锥 P−ABC 中，PA⊥平面 ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，求三棱锥 P−ABC 的体积，并用等体积法求点A到平面PBC的距离。 36．如图，水平放置的正四棱台玻璃容器的高为32cm，两底面对角线EG、E1G1的长分别为14cm、62cm，水深为12cm． （1）求正四棱台的体积； （2）将一根40cm长的玻璃棒l放在容器中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．（容器厚度，玻璃棒粗细均忽略不计） 学科网（北京）股份有限公司 $