期中培优讲义 异面直线所成之角问题复习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期中培优：异面直线所成之角问题复习讲义 期中培优：异面直线所成之角问题复习讲义 知识点解析 一、解题原理 依据异面直线所成角定义：通过平移，将异面直线转化为相交直线，其锐角或直角即为异面直线所成角；范围。核心思想：平移化异为共，空间角转化为平面角。 二、解题思路 1. 平移构图：利用中位线、平行四边形等，平移其中一条或两条异面直线，使它们相交，构造出夹角。 1. 锁定夹角：找出相交形成的锐角或直角，即为所求角（或其补角）。 1. 解三角形：在构造出的三角形中，用勾股定理、正余弦定理、边长比例求解角度。 1. 取舍定角：若求出为钝角，取其补角，保证结果为锐角或直角。 例题分析 例1．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】连接，易证，只需解三角形，求出的余弦值即可得解. 【详解】 如图，正方体中，为线段的中点，连接，， 因为，，所以四边形是平行四边形，， 异面直线与所成角，即直线与所成角，为或其补角， 设正方体的棱长为2，则，， 在中，， ，即是直角三角形，， 即异面直线与所成角的余弦值为. 例2．（25-26高一下·河北唐山·月考）在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到点，使，连接,可得（或其补角）就是异面直线 与所成的角. 【详解】延长到点，使，连接, 因为 且 ​，所以四边形是平行四边形，因此 ​ 所以，（或其补角）就是异面直线 与所成的角, 在中，，，所以是等边三角形，, 直三棱柱中，，则：​ , 在中， 由余弦定理： , 所以 ​ 在 中， 由余弦定理： 例3．（24-25高三上·上海浦东新·期末）如图，已知为圆柱底面圆的直径，，母线长为3，点为底面圆的圆周上一点． (1)若，求三棱锥的体积； (2)若，求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】(1)4； (2). 【分析】（1）利用等体积法求出三棱锥的体积. （2）作出母线，利用几何法，结合余弦定理求出异面直线夹角的余弦. 【详解】（1）依题意，平面，由，得， 所以三棱锥的体积. （2）过点作圆柱的母线，连接， 则，于是四边形为平行四边形，， 因此是异面直线与所成的角或其补角， 由，得，，， 则，， 由平面，得， 在中，， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 例4．（25-26高二上·上海·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点． (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）连接，利用三角形中位线性质可得，再利用线面平行的判定定理即可证明； （2）由和可知或其补角即为所求，再利用余弦定理求解即可． 【详解】（1）连接，由已知条件，点分别为棱的中点， 故有， 又平面，平面， 所以直线平面； （2）由（1）可知，， 故或其补角为异面直线与所成的角． 因为，，，所以， 根据直三棱柱性质可知，，所以， ， 在中，由余弦定理得， 又，故， 即异面直线与所成的角的大小为． 例5．（25-26高一下·广东广州·月考）如图所示，三棱锥中，平面，，，是的中点． (1)求证：与是异面直线； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】第（1）问用反证法，假设两条直线共面，通过推理得出与已知条件矛盾，从而证明它们异面； 第（2）问通过作辅助线将异面直线所成角转化为相交直线所成角，再在三角形中利用余弦定理求出角的余弦值. 【详解】（1）证明 假设与共面，设平面为， 因为，，，所以平面即为平面，所以平面， 这与平面矛盾， 所以与是异面直线． （2）取的中点，连接，，则，所以（或其补角）就是异面直线与所成的角． 因为，，平面， 所以，，，， 故异面直线与所成角的余弦值为． 变式训练 变式1．（2026·辽宁大连·一模）在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出异面直线与所成角，利用余弦定理求得所成角的余弦值. 【详解】由于，所以， 设分别是的中点，连接，则， 所以异面直线BE与AD所成角为（或其补角）， 在中，， 所以， 所以异面直线BE与AD所成角的余弦值为. 变式2．（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，在棱长均相等的正三棱柱中，为三棱柱的顶点，为所在棱的中点，设与所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助等角定理与余弦定理计算即可得. 【详解】如下图：连接，由为所在棱的中点，则， 故与所成的角的大小也为，即有, 设该正三棱柱棱长为，则， 则，故. 故选：C. 变式3．（25-26高二上·天津武清·月考）如图：在直三棱柱中，是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，利用几何关系可得，再由线面平行的判定定理，即可求解； （2）取的中点，连接，利用异面直线的定义，可得为直线与直线所成的角或其补角，根据条件，求出的各边长，由余弦定理，即可求解. 【详解】（1）取的中点，连接，因为是的中点，则，且， 又是的中点，且，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，则，又平面，平面， 所以平面. （2）取的中点，连接，易知，且， 则为直线与直线所成的角或其补角， 因为，则， 又三棱柱是直三棱柱，则平面，又平面， 所以，又，所以， 同理可知， 在中，由余弦定理知， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 变式4．（25-26高二上·江西景德镇·期中）如图，三棱锥中，是一个边长为2的正三角形，.    (1)求证：平面平面ABC； (2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）取中点，连接，进而根据边长关系证明平面即可证明结论； （2）取的中点连接，进而得是异面直线与所成的角或其补角，再根据几何关系，结合余弦定理求解即可. 【详解】（1）证明：取中点，连接，如图， ∵是一个边长为2的正三角形，∴，且， ∵，∴是直角三角形，为斜边， ∴， ∵，∴，即， ∵，平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面.    （2）取的中点连接 ∵为的中点∴，且， ∴是异面直线与所成的角或其补角， 取中点，连接， ∵在中，为中点，∴，， ∵在中，，，， ∴由余弦定理得，即， ∵平面，∴平面， ∵平面，∴ ∴，即， ∴在中，， ∴异面直线与所成的角的余弦值为.    变式5．（25-26高三上·广东中山·月考）如图，在直三棱柱中，，，，，点，分别是和的中点.    (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，证得或其补角即为异面直线与所成的角.结合题干条件，在中利用余弦定理即可求解； （2）在平面中，过作于如图所示.在直三棱柱中，由平面，结合面面垂直的判定定理可得平面平面.再利用面面垂直的性质定理可得平面，即是三棱锥的高线. 根据三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）在平面中，取的中点，连接，如图所示.    在直三棱柱中，∵点是的中点，∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∴或其补角即为异面直线与所成的角. ∵，，，∴. ∵为的中点，∴. 在中，， 在中，. 在等腰中，是斜边的中线，∴. 在中，∴， ∴异面直线与所成的角的余弦值等于. （2）在平面中，过作于如图所示.    在直三棱柱中，平面，平面， ∴平面平面. 平面平面，，平面， 平面，即是三棱锥的高线. 在中，∵是中点，，，∴， 是的中线，∴. ∵的面积， 三棱锥的体积. 实战演练 1．（24-25高一下·安徽合肥·期末）如图，在正三棱柱中，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论； （2）作出异面直线与所成角，判断是直角三角形，即可求得答案. 【详解】（1）连接交于，连接，易得为中点． 在正三棱柱中，因为、分别为、中点，所以 又因为平面，平面，所以平面 （2）取中点，连接． 在正三棱柱中，设，因为、分别为、中点， 可得，且，所以四边形是平行四边形 所以，或其补角即为异面直线与所成的角． 在中，， 满足， 则是直角三角形， 所以． 即异面直线与所成角的余弦值为． 2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，长方体中，，点P为的中点. (1)求证：直线平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，求证，再利用线面平行的判定定理判定即可； （2）将问题转化为求或其补角的余弦值，利用余弦定理计算即可. 【详解】（1）设，连接， 因，且为长方体， 则四边形为正方形，故为线段中点， 因点P为的中点，则为的中位线，则， 又平面，平面，则平面. （2）连接，由（1）可知，则直线与所成角是或其补角， 因，点P为的中点， 则，， 在中，， 在中，， 在中，， 在中由余弦定理得，， 故直线与所成角的余弦值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：异面直线所成之角问题复习讲义 期中培优：异面直线所成之角问题复习讲义 知识点解析 一、 解题原理 依据异面直线所成角定义：通过平移，将异面直线转化为相交直线，其锐角或直角即为异面直线所成角；范围 (0:90]。核心思想：平移化异为共，空间角转化为平面角。 二、解题思路 1.平移构图：利用中位线、平行四边形等，平移其中一条或两条异面直线，使它们相交，构造出夹角。 2.锁定夹角：找出相交形成的锐角或直角，即为所求角（或其补角）。 3.解三角形：在构造出的三角形中，用勾股定理、正余弦定理、边长比例求解角度。 4.取舍定角：若求出为钝角，取其补角，保证结果为锐角或直角。 例题分析 例1.(2026陕西宝鸡模拟预测)在正方体ABCD-A,BCD,中，E为线段AC的中点，则异面直线DE与B,C所成 角的余弦值为() A月 B. 2 C.v3 D.0 2 例2.(25-26高一下·河北唐山月考)在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=AC=2,AA,=3,∠BAC=60°，则异面直 线A,B与AC,所成角的余弦值为() 3 A. B. 7 13 c D. √2 期中培优：异面直线所成之角问题复习讲义 例3.(24-25高三上·上海浦东新·期末)如图，已知AB为圆柱OO,底面圆0的直径，0A=2,母线AA长为3，点 P为底面圆O的圆周上一点. 0。 B D (1)若LB0P=90°，求三棱锥A-PBA的体积； (2)若∠B0P=60°，求异面直线A,B与AP所成的角的余弦值. 例4.(25-26高二上·上海期末)如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AB⊥AC,AB=4,AC=4√5，AA=4V6, 点E,F分别为棱BC,A,B的中点. A B A E B (I)证明：直线EF/1平面AA,CC; (2)求异面直线EF与B,C所成的角的大小. 2 期中培优：异面直线所成之角问题复习讲义 例5.(25-26高一下广东广州月考)如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC=60°， PA=AB=AC=2,E是PC的中点. (I)求证：AE与PB是异面直线； (2)求异面直线AE与PB所成角的余弦值. 期中培优：异面直线所成之角问题复习讲义 变式训练 变式1.(2026辽宁大连·一模)在四面体ABCD中，AB=AC=AD=BD=CD=2,BC=2√2，E为CD的中点， 则异面直线BE与AD所成角的余弦值为() A.5 B.5 c.25 9 D. 10 5 5 10 变式2.(2026山东潍坊模拟预测)如图，在棱长均相等的正三棱柱中，P,Q为三棱柱的顶点，M,N为所在棱的 中点，设MN与PQ所成的角为a,则cosa=() A B.2 4 D 变式3.(25-26高二上·天津武清·月考)如图：在直三棱柱ABC-A,B,C,中， AC=BC=2,AA=2V2,∠ACB=90°，M是AA的中点，N是BC,的中点. A B Ms… 3 (I)求证：MW1/平面A,B,C; (2)求直线AB与直线CM所成角的余弦值 期中培优：异面直线所成之角问题复习讲义 变式4.(25-26高二上江西景德镇期中)如图，三棱锥P-ABC中，△PAB是一个边长为2的正三角形， AC=1,BC=3,PC=2. A B (I)求证：平面PAB⊥平面ABC; (2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值. 变式5.(25-26高三上广东中山月考)如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，∠ABC=90°，AB=4,BC=4, BB,=3,点M,N分别是BC和AC的中点. B M C A A N (1)求异面直线AB,与CN所成的角的余弦值： (2)求三棱锥M-CCN的体积 期中培优：异面直线所成之角问题复习讲义 实战演练 1.(2425高一下·安徽合肥期末)如图，在正三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=AA,,D为棱BC的中点. B (1)证明：AB/1平面ADC,; (2)求异面直线A,B与AD所成角的余弦值. 2.(2425高一下·浙江杭州期中)如图，长方体ABCD-A,BC,D,中，AB=AD=2,AA=4,点P为DD,的中点. D C A B P (1)求证：直线BD∥平面PAC; (2)求异面直线BD与PC,所成角的余弦值， 6